2019-2020年高三数学总复习教案新课标人教版(IV)

2019-2020年高三数学总复习教案新课标人教版(IV)

函数是高中数学中的重要内容，函数思想是最基本的数学思想．函数的有关概念、性质以及几类典型的常用函数是函数思想的载体，解题时可利用的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性、连续性、特殊点处的函数值、函数图象的变化趋势、函数图象的某种对称性等去解决问题．

1．利用函数概念

例1．曲线C是定义在R上的函数y=f(x)的图象，则( )

A．曲线C与直线x=1可能有两个交点

B．曲线C与直线x=1可能有一个交点

C．曲线C与直线x=1一定有两个交点

D．曲线C与直线y=1有且仅有一个交点

分析与解：对于函数y=f(x)定义域为A，值域为B，则对任x∈A，都有唯一的y∈B与之相对应，故选B．

例2．若函数y=f(x)存在反函数，则方程f(x)=C (C为常数)

A．有且只有一个实根B．至少有一个实根

C．至多有一个实根D．没有实根

分析与解：函数y=f(x)存在反函数，则此函数的对应必是一对一的，若C在函数f(x)的值域中，则必有唯一实根，若C不在函数f(x)的值域中，则无实根，选C．

2．利用函数的奇偶性

奇偶性(即对称性)是函数的又一重要性质，常利用它进行区间过渡，即将不同区间的问题转化到同一区间中进行研究，从而达到化难为易之目的．

（1）利用函数奇偶性解方程(组)

例3．解方程 (3x3-4)3+4x3+x-4=0 (只求实数根)

分析与解：原方程可变为(3x3-4)3+(3x3-4)=-(x3+x).........①，

令f(x)=x3+x，易证f(x)是奇函数且在R上是增函数，方程①就是f(3x3-4)=-f(x)=f(-x)。

由f(x)的单调性知3x3-4=-x，即3x3+x-4=0，此方程显然有一根为1，

故原方程就是(x-1)(3x2+3x+1)=0，因为3x2+3x+1=0无实根，所以x=1为原方程的实数根。

（2）利用函数奇偶性求值

例4．设

(2-3sinx+4sin2x+5sin3x)7·(2+3sinx+4sin2x-5sin3x)7=a0+a1sinx+a2sin2x+……+a42sin42x, 求

a1+a5+a9+……+a41的值。

分析与解：令f(x)=(2-3sinx+4sin2x+5sin3x)7(2+3sinx+4sin2x-5sin3x)7

=a0+a1sinx+a2sin2x+……+a42sin42x,

易证f(x)是R上的偶函数，

故a1=a3=a5=……=a41=0，所以a1+a5+a9+……+a41=0。

（3）利用函数奇偶性证明不等式

例5．求证：<(x≠0)。

分析与证明：设f(x)=-(x≠0)。

因为f(-x)===[1-(1-4x)]+ =-x+=-=f(x)，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴相对称。

因为当x>0时，1-4x<0，所以f(x)<0，即<(x≠0)。

（4）利用函数奇偶性证明恒等式

例6．已知，α≠kπ+, β≠kπ(k∈z) 且(tanα+3cotβ)3+tanα+cot3β+4cotβ=0, 求证:sin2αsinβ+4cos2αcosβ+4cosβ=0。

分析与证明：已知式可变为(tanα+3cotβ)3+(tanα+3cotβ)= -(cot3β+cotβ) ...①

令f(x)=x3+x，易证f(x)是奇函数且在R上单调递增，

①式即f(tanα+3cotβ)=-f(cotβ)=f(-cotβ)

所以，tanα+3cotβ=-cotβ, 即tanα+4cotβ=0,

+=0,

所以sinαsinβ+4cosαcosβ=0，所以

sin2αsinβ+4cos2αcosβ+4cosβ

=2sinαcosαsinβ+4(2cos2α-1)cosβ+4cosβ

=2sinαcosαsinβ+8cos2αcosβ

=2cosα(sinαsinβ+4cosαcosβ)=2cosα×0=0。

（5）利用函数值奇偶性比较大小

例7．已知x≠0，a>0，且a≠1，试比较xlog a(1-x)与xlog a(1+x)的大小。

分析与解答：设f(x)=xlog a(1-x)-xlog a(1+x)=xlog a。

因为f(-x)=-xlog a=-xlog a()-1=xlog a=f(x)，所以f(x)是偶函数，图像关于y轴对称。

若a>1，由已知得-11，

所以log a>0, xlog a<0，即f(x)<0，由图像的对称性知，当0

若0xlog a(1+x)。

综上，当a>1时，xlog a(1-x)

当0xlog a(1+x)。

3．利用函数的单调性

单调性是函数的重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性，可将函数值间的关系转化为自变量间的关系研究，从而达到化繁为简的目的。特别是在比较数式大小，证明不等式，求值或最值，解方程（组）等方面应用十分广泛。

例8．已知不等式log a(a-1)+对于一切大于1的自然数n 都成立，求实数a的取值范围。

分析：注意到不等式仅仅左边是与n有关的式子，从函数的观点看，左边是关于n的函数，要使原不等式成立，转化为这函数的最小值大于右式，如何求这个函数的最小值呢？这又是一个非常规问题，应该从研究此函数的单调性入手。