初二应用题的解法

初二应用题的解法
【知识点归纳】
应用题的解法（含初中所有问题的解法）：
1，一般的应用题可从问题入手，问题问什么就设什么为未知数。

2，对于复杂的题目可多设几个未知数，然后写出其对应关系式，通常有几个未知数就列几条式，然后通过联立方程组即可求解。

3，有时候设出来的未知数只起到中介的作用，不必求解，熟悉运用初中代数的处理技巧即可求得最终结果。

（哪一个量未知就设哪个量为未知数，不必顾虑太多，因为只要方程是合理的，必定能求得最终结果！） 4，若所列的方程计算过程复杂，且不易看出等量关系的，极有可能是选取的参考对象不正确所致，此时应主动放弃，然后进行重新思考。

【典型例题讲解】
类型一：设而不求
例1、王华、毛平两学生从实验学校去书城，走这段路王华用30分钟，毛平用20分钟，如果王华比毛平早5分钟出发，问毛平多少分钟可追上王华？
解析：本题如只设一个直接未知数，毛平x 分钟可追上王华，则不易找到问题中的数量关系。

然而增设一个辅助未知数，学校到书城的距离为y 米，那么可便于两人速度的表示：v y v y 王华毛平，=
=3020
，从而根据追及问题可列方程如下：
y x y x 30520
()+=· 去分母，得253y x xy ()+=
去括号，得2103xy y xy += 移项、合并同类项，得
xy y
y x =≠∴=101010
答：毛平经过10分钟可追上王华。

练习：
仿上述例题的做法解出以下的题目：
1， 在环保知识竞赛中，某校代表队的队员平均分是88分，其中女生的平均成绩比男生平均成绩高10%，
而男生人数比女生人数多10%，则男、女生的平均成绩各是多少？
2， 甲、乙两人分别从A 、B 两地同时相向匀速前进，第一次相遇在距A 点700米处，然后继续前进，甲到
B 地、乙到A 地后都立即返回，第二次相遇在距B 点400米处。

求A 、B 两地间的路程是多少米？
3， 某初一（1）班同学星期日去公园春游，去时乘公共汽车，回来时步行。

已知公共汽车的速度是12千
米/时，步行速度是4千米/时，往返共用了3小时，问单程走了几千米？
4，如图，在一个梯形有两个面积分别为10和12的三角形，已知梯形的上底长是下底长的
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，求图中阴影部分的面积。

5，一个十位数字为0的三位数，它恰好等于它的数字和的67倍；交换它的个位与百位数字后得到一
个新的三位数，它恰好又是数字和的m 倍，求m 的值。

6，一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个粗细相同的进水管。

当打开4个进水管
时，需要5小时注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池，现需要在2小时将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？
类型二：比例问题
例2、甲乙两车分别从A 、B 两地同时相向而行，速度比是5 : 3 。

甲车行了全程的后又行了66千米，正好与乙车相遇。

A 、B 两地相距多少千米？
解析：对于比例的题目，可设其中一个为5x ，另一个为3x ，（其中x 起辅助作用），然后根据追及问题的解题方法即可求解！
例3、如图1，电源电压保持不变，电阻R 3的阻值为4Ω。

当开关S 由闭合到断开时，电压表V 1的两次示数之比为３：２，电压表V 2的两次示数之比为9 ：10。

求：电阻R 1的阻值是多
少Ω？
解析：比例的题目常应用于物理方面，依题意，分别以R1，R2做未知数，列
出两条式子就可解了！
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图1
例4、甲、乙两班人数相等，各有一些同学参加了数学小组。

甲班参加数学小组的人数恰好是乙班没参加数学小组人数的1/3；乙班参加数学小组的人数恰好是甲班没参加数学小组人数的1/4。

那么甲班没参加数学小组的人数是乙班没参加数学小组人数的几分之几？
解析：问题问的是几比几之类的，n个未知数，则n-1条式便可解. 此类问题在物理和化学当中会常见！
练习
仿上述例题的做法解出以下的题目：
1，甲、乙两堆煤原来吨数比是5：3，如果从甲堆运90吨放入乙堆，这时两堆吨数相等，甲、乙原来各有多少吨？
2，一瓶盐水，盐和水的重量比是1 ：23，如果再放入60克水，这时盐与水的重量比是1 ：27，原来瓶盐重多少千克？
3，里有三种颜色的球，黄球个数与红球个数的比是2 ：3，红球个数与白球个数的比是4 ：5。

已知三种颜色的球共175个，红、黄、白球分别有多少个？
4，小明读一本书，已读的和末读的页数比是1 ：5。

如果再读30页，则已读的和末读的页数之比为3 ：5。

这本书共有多少页？
5，甲、乙二人步行的速度比为11∶7。

二人分别从A、B两地相向而行，2小时相遇。

如果二人同向而行，几小时后甲追上乙？
6，甲、乙两班学生同时从学校出发去少年宫。

甲班步行的速度是每小时5千米，乙班步行的速度是每小时6千米。

学校有一辆汽车恰好可以坐一个班的学生，汽车每小时行30千米。

为了使两班学生尽早到达少年宫，甲、乙两班步行路程比应该是几比几？
类型三：参考系的问题
例5、一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。

这列火车长多少米？
解析：此类的题目必须要选取正确的参考对象方能快捷解出来，若选取对象不正确会导致过程非常复杂！
例6、容器里放着某种浓度的酒精溶液若干升，加 1升水后纯酒精含量为25％；再加1升纯酒精，容器里纯酒精含量为40％。

那么原来容器里的酒精溶液共几升？浓度为百分之几？
解析：溶液混合的问题常见于化学当中，对于这一类的问题可能选取的参考对象不只有一个，弄清楚变量与不变量之间的关系问题就不会复杂了！
练习
仿上述例题的做法解出以下的题目：
1，兄妹二人在周长30米的圆形小池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，问他们第十次相遇时，妹还需走多少米才能回到出发点？
2，一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？
3，距离有一辆火车以每小时15公里的速度离开洛杉矶直奔纽约，另一辆火车以每小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶。

如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从洛杉矶出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，请问，这只小鸟飞行了多长？
4，小明喝一瓶牛奶，喝了一半，再倒入一半的水，然后又喝了一半，又倒入一半水，然后一口气喝完！问小明喝的水多还是牛奶多？
5，用浓度为45%和5%的糖水配制成浓度为30%的糖水400克，则需取这两种糖水各多少克？
6，仓库运来含水量为90%的一种水果1000千克，一星期后含水量变为80%，现在这批水果中多少千克？
类型四：不定方程
例7、一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?
解析：像这类的问题，列出方程组后，化简到最后仍然还有一个或两个以上的未知数的，称为不定方程，这类问题往往有条件限制，根据题中限定的条件依据实际经验就能解出来！
一）二元一次不定方程无解的判定方法
在不定方程ax＋by＝c中（a、b、c均为正整数），若a与b的最大公约数不能整除c，则该不定方程无整数解。

二）二元一次方程有解的判定方法
在整系数不定方程ax＋by＝c的系数a、b互质时，方程ax＋by＝1或ax＋by＝c都有整数解。

练习
仿上述例题的做法解出以下的题目：
1，工厂下料，把5米长的钢棒截成17厘米和27厘米的两种料。

结果恰好截完而无剩余（损耗不计）。

问：两种料至少各截了多少件？
综上可以发现，许多的数学问题只要大胆假设未知数，找出其对应的关系就可以解得到！遗憾的是许多学生都知道这样列出式子，像例1，许多同学他例出了第一步的式子后，由于缺乏经验种种原因认为式子没法解下去；又如例3，有些同学已经例出了3个式子了，理论上是可解的，由于缺乏运算经验，认为自己的解答出错，其实他们离成功只有一步了！不仅是数学，所有的理科也是这样，要想学得好，仅靠一些小聪明是远远不够的，必须通过长年的累积才会有所成就！
【能力提升】
1，某街道居委会慰问军烈属，给他们送去红糖和白糖。

每到一户送去2袋红糖和5袋白糖，送到最后一户时，红糖正好送完，还剩下10袋白糖。

已知带去的白糖的袋数是红糖袋数的3倍，那么带去的红糖、白糖各多少袋？
2，注满一池水，只打开甲管，要8小时；只打开乙管，要12小时；只打开丙管，要15小时。

今开始只打开甲、乙两管，中途关掉甲、乙两管，然后打开丙管，前后共用了10小时才注满一池水。

那么打开丙管注水几小时？
3，某工程队承建一项工程，要用12天完成。

如果只让其中的甲、乙两个小队交换一下工作容，那么全工程就要推迟3天完成；如果让其中甲、乙两个小队交换一下工作容的同时，也让丙、丁两个小队交换工作容，仍然可以按期完成全工程。

如果只让丙、丁两个小队交换工作容，那么可以使全工程提前几天完成？
4，一辆汽车从甲地开往乙地。

如果把车速度提高20％，那么可以比原定时间提早1小时到达。

如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，那么可以比原定时间提早40分钟到达。

甲、乙两地之间的路程有多少千米？
5，甲、乙、丙三人进行自行车比赛，结果甲比乙早24分钟、乙比丙早6分钟到达终点。

又知道甲速度比乙速度每小时快5千米，乙速度比丙速度每小时快1千米。

甲、乙、丙三人比赛的路程有多少千米？
6，甲乙两车分别从A、B两城同时相对开出，经过4小时，甲车行了全程的80％，乙车超过中点13千米，已知甲车比乙车每小时多行3千米，A、B两城相距多少千米？
7，一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火
车从工人身旁驶过需要多少时间？
8，将一个正方形的一边减少1/5，另一边增加 4米，得到一个长方形。

这个长方形与原来正方形面积相等。

那么正方形面积有多少平方米？
9，现在浓度为5%、8%、9%的甲乙丙三种溶液60g、60g、47g，要配制浓度为7%的溶液100g，问最多需甲种溶液多少克？最少需甲多少克？
10，甲乙两车同时由A开往B地，甲车在前一半路程中的速度为V1，在后一半路程中的速度为V2（V1≠V2）；乙车在前一半时间的速度为V1，在后一半时间的速度为V2。

试问哪辆车先到达终点？再给出证明过程是。

11，小华和小刚分别从家到电影院看电影，小华比小刚的路程少1/3，而小刚比小华花的时间多1/4，求两人速度之比。

12，一个长方形与一个正方形周长比是6:5，长方形的长是宽的7/5倍，求这个长方形与正方形面积之比？
13，瓶装满一瓶水，倒出全部水的1/2，然后在倒入同样多的酒精，又倒出全部溶液的1/3，又用酒精灌满，然后再倒入全部溶液的1/4，在用酒精灌满，这时酒精占全部溶液的百分之几？
14，有A、B、C三种盐水，按A和B数量之比2:1混合，得到浓度为13%的盐水；按A与B数量之比1：2
混合，得到浓度为14%的盐水；按A、B、C的数量比为1:1:3混合，得到浓度为10.2%的盐水，问盐水C 的浓度是多少？
15，已知盐水若干克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为3%，第二次加入同样多的水后，盐水的浓度变为2%，求第三次加入同样多的水后，盐水的浓度？
16，甲容器有纯酒精11升，乙容器有水15升，第一次将甲容器的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合；第二次将乙容器的一部分混合液倒入甲容器中，这时甲容器酒精含量为62.5%，乙容器的酒精含量为25%，那么第二次从乙容器中倒入甲容器的混合液是多少升？。