高阶变系数线性微分方程的解
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２１ ０ ２年 ５月 第 ２ １卷 第 ２期
中 央 民 族 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊｕ ｎ ｌ ｆＭ （ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｏ ＵＥ Ｎａ ａ Ｓ ｉ ｃ ｓＥ ｉｏ ） ｕ ｅ ｉ
Ｍ ａ ．，２ ２ ｙ ０１
Ｖ ｏ ． １ ＮＯ ２ １２ ．
高 阶变 系数 线 性微 分 方 程 的解
贾庆 菊
（ 西 财 经 大 学 应 用数 学 学 院 ，山 西 太 原 山 ００ ０ ） ３ ０６
摘
要 ： 本 文 给 出 了 广 义 全微 分方 程 的 定 义 ， 到 了高 阶变 系 数 线 性 微 分 方 程 化 为 全 微 分 方 程 的 充 要 条 件 得
ｂ （） ＝ ｎ （ ）一ｎ１ ｔ 。ｔ 。ｔ ｔ（）＋。２ ｔ … ＋ （ ）０“（） ： ０ （ ） 一１ ｔ
（ ３）
通过首 次 积分将 方 程降低 一 阶求 出它 的通解 ：
ｂ（） ‘ ” ｔ ｔ （）＋…ｂ（） （）＋ｂ（） ｔ Ｉ ｔｄ ＋ｃ 一 ２ｔ ｔ １ｔ ）： － ） ｔ （ 厂 （
［ ｎ￡ ｎ （ ） （）＋ ㈤ ￡
（）
（ ）＋． ￡ ． 。＋。 （） （）＋ｎ （） ｆ ｆ ￡ 。 （ ）
＝
￡ ＋ｃ ）
（） ５
这里 Ｃ 任意 常数 ．上式 左 端各项 分部 积分 得 ： 是
Ⅱ （） ｄ ｎ （ ） ￡ｄ 。 （） ｆ＝ 。 （）
工 作．
第 ２期
贾 庆 菊 ：高 阶变 系数 线 性 微 分 方 程 的 解
ｂ
一
１
（， ＝ ｔ
一 （ 一 ０ （ ； ｌｔ ｔ
ｂ （） ＝ 口 （） ￡
证 明： 假设 高 阶变系 数线 性微 分方程 （ ） 一个 全微 分方 程 ， １是 则存 在 函数 “ ｔ ， （） 使得 ：
— —
ｎ ｔｘ （）＋０ （ ） ‘ （ ） （ ） 一 ｆ ｔｘ ’ ｆ 一
两 边相 加得 ：
『 ｏ ）（ ＋ ｌ ）（ ＋ ２ ） ｆ ＋ ｂ ’ ）ｄ ＝ ） ＋ ［ （ ｂ ｂ ） …＋ ） （ ］ ｄ ｃ ｂ ） （ ） （ （ （ ｆ ｔ ｔ
和通解计算公式． 关 键 词 ： 变 系 数线 性 微 分 方 程 ； 微 分 方 程 ； 要 条 件 ； 解 公 式 全 充 通 中图 分 类 号 ： １ ５ Ｏ ７ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章编 号 ：０ ５ ８ ３ （ ０ ２ ０ － ３ —４ １ ０ —０ ６ ２ １ ） ２０ ２０ ０
引
高 阶变 系数线 性微 分方 程 ８ （） ｔ
言
（ ）＋。一（） ¨（）＋… ＋。 （ ） （）＋口 （） ｔ ｔ ‘ 一 ｔ ｔ ｔ ０￡ （ ）＝／ ｔ ）
（） １
Байду номын сангаас
其 中 ： ） ｉ＝０ １２ … ； ｔ 、（）在 区 间 Ｉ 的连 续 ， ａ（ ， ， ， ， （） 厂 上 且有连 续 的 阶导数 ．虽然 理论 上证 明 了解 的存 在惟 一 性 ， 具 体 求解 尚无 通 法．仅 有 观 察法 ［ ］ 变 量代 换 法 ［ ］ 常数 变 易 法 ［ ］ 积 分 因子 法 但 １、 ２、 ３ 、 ［ ］ 大多 数 对方 程 的 系数 仍有 严 格要 求 ， 解 的类 型极 其 特殊 ， 程 比较 繁琐 ．由于 全微 分 方程 求 解 ４ ， 求 过 方便 快捷 ， 因此 ， 若将 方程 （ ） 化为 全微 分方 程 ， 可通 过首 次积分 将方 程降 低一 阶求 出它 的通 解 ．这 １转 则 是 一种 重要 和有 效地 求解 方法 ．本 文从 全微 分方 程人 手 ， 出判 断方程 （ ） 导 １ 为全微 分方 程 的充要 条件 和
其 中： ｔ ｂ（）＝０（）一Ⅱ （）＋０３ｔ … ＋（ ）一 ： ” ｔ ； ｔ ｔ ２ ” ） （ 一１ （） ０一
ｂ（ ） ＝ ０ （） 一０３ ｔ ２ｔ ２ｔ （ ）＋０４ ｔ … ＋ （ ）一ｎ （） ”（ ） 一１ 一 ｔ ； ’
（） ４
收 稿 日期 ：０ ２ ２２ ２ １ － ．４ ０
基金项 目： 山西 财 经 大 学 ２ １ ０ １数 学 教 育 改 革 研 究 项 目 （ ｏ２ １１ １ ． Ｎ ．０ １３ ） 作 者 简 介 ： 庆 菊 （ ９ ６～） 女 （ 族 ） 山 西 临 汾 人 ， 西 财 经 大 学 应 用 数 学 学 院 副 教 授 ， 事 常 微 分 方 程 教 学 贾 １５ ， 汉 ， 山 从
ｄ ｕ
～
（） ｎ（ ）＋。 （） ’ ｆ ｆ ￡ ‘ （）＋… ＋。 （ ）
）＋。 （ ） ， 。ｆ （ ）
由题 设 ｏ（） ｉ＝ ０ １ ２ … １ ｔ ｔ ， ，， ， ７ （） ｔ ， ； ）在 区 间 Ｉ 的 连 续 ， 有 连 续 的 ｎ阶 导 数 ， 边 积 分 ： 上 且 两
ｆ（ （ｄ＝ 。）￡￡。￡（ ｏ￡ ｔｆ一 （ （ｄ ）ｆ ，） ） １ ｔ ）＋ （ ）
Ｊ（ ” ｄ Ｊ （ （ｅ 。 ｆ（ ＋ （ （ ．￡ （ ＾ ｆ ，）￡ 。ｔ ￡ ｎ ） ｆ ＝。 ） ）一： ） ：） ） ： ） Ⅳ ｌ （ Ｊ（ ‘ｆ ＝一） ： （ （１ ｌ一ｆ（ ．￡ｎ） （１＿ （ ＋一）。１）￡ ｎ ） ｅ （ｌ ￡ ） ） ｆ ｄ 。 ：（ ） ’
通 解计算 公 式 ． 定 义 ： 系数齐 线性 微分 方程 ： 变
ｔ ‘ ｘ ＋ ｎ 一
＝
０
（） ２
方 程 （ ） 为 ｎ阶 （ ２称 广义 ） 全微 分方 程 。约定 的零 阶导 数
（） ＝ （） ｔ ｔ
１ 主要 结 论
定 理 １ 高 阶变 系数线 性微 分方 程 （ ） ： １ 为全 微分方 程 的充要 条件 是 ：
中 央 民 族 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊｕ ｎ ｌ ｆＭ （ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｏ ＵＥ Ｎａ ａ Ｓ ｉ ｃ ｓＥ ｉｏ ） ｕ ｅ ｉ
Ｍ ａ ．，２ ２ ｙ ０１
Ｖ ｏ ． １ ＮＯ ２ １２ ．
高 阶变 系数 线 性微 分 方 程 的解
贾庆 菊
（ 西 财 经 大 学 应 用数 学 学 院 ，山 西 太 原 山 ００ ０ ） ３ ０６
摘
要 ： 本 文 给 出 了 广 义 全微 分方 程 的 定 义 ， 到 了高 阶变 系 数 线 性 微 分 方 程 化 为 全 微 分 方 程 的 充 要 条 件 得
ｂ （） ＝ ｎ （ ）一ｎ１ ｔ 。ｔ 。ｔ ｔ（）＋。２ ｔ … ＋ （ ）０“（） ： ０ （ ） 一１ ｔ
（ ３）
通过首 次 积分将 方 程降低 一 阶求 出它 的通解 ：
ｂ（） ‘ ” ｔ ｔ （）＋…ｂ（） （）＋ｂ（） ｔ Ｉ ｔｄ ＋ｃ 一 ２ｔ ｔ １ｔ ）： － ） ｔ （ 厂 （
［ ｎ￡ ｎ （ ） （）＋ ㈤ ￡
（）
（ ）＋． ￡ ． 。＋。 （） （）＋ｎ （） ｆ ｆ ￡ 。 （ ）
＝
￡ ＋ｃ ）
（） ５
这里 Ｃ 任意 常数 ．上式 左 端各项 分部 积分 得 ： 是
Ⅱ （） ｄ ｎ （ ） ￡ｄ 。 （） ｆ＝ 。 （）
工 作．
第 ２期
贾 庆 菊 ：高 阶变 系数 线 性 微 分 方 程 的 解
ｂ
一
１
（， ＝ ｔ
一 （ 一 ０ （ ； ｌｔ ｔ
ｂ （） ＝ 口 （） ￡
证 明： 假设 高 阶变系 数线 性微 分方程 （ ） 一个 全微 分方 程 ， １是 则存 在 函数 “ ｔ ， （） 使得 ：
— —
ｎ ｔｘ （）＋０ （ ） ‘ （ ） （ ） 一 ｆ ｔｘ ’ ｆ 一
两 边相 加得 ：
『 ｏ ）（ ＋ ｌ ）（ ＋ ２ ） ｆ ＋ ｂ ’ ）ｄ ＝ ） ＋ ［ （ ｂ ｂ ） …＋ ） （ ］ ｄ ｃ ｂ ） （ ） （ （ （ ｆ ｔ ｔ
和通解计算公式． 关 键 词 ： 变 系 数线 性 微 分 方 程 ； 微 分 方 程 ； 要 条 件 ； 解 公 式 全 充 通 中图 分 类 号 ： １ ５ Ｏ ７ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章编 号 ：０ ５ ８ ３ （ ０ ２ ０ － ３ —４ １ ０ —０ ６ ２ １ ） ２０ ２０ ０
引
高 阶变 系数线 性微 分方 程 ８ （） ｔ
言
（ ）＋。一（） ¨（）＋… ＋。 （ ） （）＋口 （） ｔ ｔ ‘ 一 ｔ ｔ ｔ ０￡ （ ）＝／ ｔ ）
（） １
Байду номын сангаас
其 中 ： ） ｉ＝０ １２ … ； ｔ 、（）在 区 间 Ｉ 的连 续 ， ａ（ ， ， ， ， （） 厂 上 且有连 续 的 阶导数 ．虽然 理论 上证 明 了解 的存 在惟 一 性 ， 具 体 求解 尚无 通 法．仅 有 观 察法 ［ ］ 变 量代 换 法 ［ ］ 常数 变 易 法 ［ ］ 积 分 因子 法 但 １、 ２、 ３ 、 ［ ］ 大多 数 对方 程 的 系数 仍有 严 格要 求 ， 解 的类 型极 其 特殊 ， 程 比较 繁琐 ．由于 全微 分 方程 求 解 ４ ， 求 过 方便 快捷 ， 因此 ， 若将 方程 （ ） 化为 全微 分方 程 ， 可通 过首 次积分 将方 程降 低一 阶求 出它 的通 解 ．这 １转 则 是 一种 重要 和有 效地 求解 方法 ．本 文从 全微 分方 程人 手 ， 出判 断方程 （ ） 导 １ 为全微 分方 程 的充要 条件 和
其 中： ｔ ｂ（）＝０（）一Ⅱ （）＋０３ｔ … ＋（ ）一 ： ” ｔ ； ｔ ｔ ２ ” ） （ 一１ （） ０一
ｂ（ ） ＝ ０ （） 一０３ ｔ ２ｔ ２ｔ （ ）＋０４ ｔ … ＋ （ ）一ｎ （） ”（ ） 一１ 一 ｔ ； ’
（） ４
收 稿 日期 ：０ ２ ２２ ２ １ － ．４ ０
基金项 目： 山西 财 经 大 学 ２ １ ０ １数 学 教 育 改 革 研 究 项 目 （ ｏ２ １１ １ ． Ｎ ．０ １３ ） 作 者 简 介 ： 庆 菊 （ ９ ６～） 女 （ 族 ） 山 西 临 汾 人 ， 西 财 经 大 学 应 用 数 学 学 院 副 教 授 ， 事 常 微 分 方 程 教 学 贾 １５ ， 汉 ， 山 从
ｄ ｕ
～
（） ｎ（ ）＋。 （） ’ ｆ ｆ ￡ ‘ （）＋… ＋。 （ ）
）＋。 （ ） ， 。ｆ （ ）
由题 设 ｏ（） ｉ＝ ０ １ ２ … １ ｔ ｔ ， ，， ， ７ （） ｔ ， ； ）在 区 间 Ｉ 的 连 续 ， 有 连 续 的 ｎ阶 导 数 ， 边 积 分 ： 上 且 两
ｆ（ （ｄ＝ 。）￡￡。￡（ ｏ￡ ｔｆ一 （ （ｄ ）ｆ ，） ） １ ｔ ）＋ （ ）
Ｊ（ ” ｄ Ｊ （ （ｅ 。 ｆ（ ＋ （ （ ．￡ （ ＾ ｆ ，）￡ 。ｔ ￡ ｎ ） ｆ ＝。 ） ）一： ） ：） ） ： ） Ⅳ ｌ （ Ｊ（ ‘ｆ ＝一） ： （ （１ ｌ一ｆ（ ．￡ｎ） （１＿ （ ＋一）。１）￡ ｎ ） ｅ （ｌ ￡ ） ） ｆ ｄ 。 ：（ ） ’
通 解计算 公 式 ． 定 义 ： 系数齐 线性 微分 方程 ： 变
ｔ ‘ ｘ ＋ ｎ 一
＝
０
（） ２
方 程 （ ） 为 ｎ阶 （ ２称 广义 ） 全微 分方 程 。约定 的零 阶导 数
（） ＝ （） ｔ ｔ
１ 主要 结 论
定 理 １ 高 阶变 系数线 性微 分方 程 （ ） ： １ 为全 微分方 程 的充要 条件 是 ：