基于Petri网的排队网分析方法

的是瞬时变迁。系统初始状态为：库所 P1 有 5 个令 牌；P6'、P7'各有两令牌，P2'有 1 个令牌。其他库所 的初始状态令牌数为 0。应用 CPN Tools 仿真软件 得到如下仿真结果：
节点数：13494； 状态：遍历； 死变迁：无；
弧：71640； 仿真时间：701 秒； 家标识：全部； 死标识：无； 活变迁：全部
如图 6，P2'、P6'、P7'分别是 P2、P6、P7 的反 库所，因为反库所与对应库所的令牌和等于定值， 如 M(P2)+M(P2')＝1，只要已知 P2、P6、P7 的令牌 数，即可知 P2'、P6'、P7' 的令牌数，可不考虑 P2'、 P6'、P7' 令牌数。瞬时变迁 T3、T4 只有共同前置 库所 P3，在稳态分析中，P3 为 0，若 P3 不为 0， 后置瞬时变迁 T3 或 T4 触发，使 M(P) 为 0，则在 稳态分析中不需考虑。
一共有 21 个可达标识，与基础 Petri 网模型的 状态节点数（13494 个）相比，GSPN 的状态空间压 缩了，因为 GSPN 技术剔除所有的瞬时状态，即上 文所介绍的消失状态。该消失状态数量很大，但由 于其滞留时间为 0，对排队系统分析平均队长、资
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网络信息技术 Network Information Technique
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与多服务窗损失制排队模型（M/M/n/m）。其中 P2 为排队位置能容纳的顾客数。当为 M/M/1/m 时，
T1 P1
T2 P2 P2'
T3
T5 P6' T7
P4
P6
P3
T6
T8
P5
P7
T4
P7'
图 6 系统的 GSPN 模型
令 Mi＝[Mi(P1) Mi(P2) Mi(P4) Mi(P6) Mi(P5) Mi(P7)]，则可达标识为：
M1 = [4 1 0 0 0 0]; M2 = [3 1 0 1 0 0]; M3 = [3 1 0 0 0 1]; M4 = [2 1 0 2 0 0]; M5 = [2 1 0 1 0 1]; M6 = [2 1 0 0 0 2]; M7 = [1 1 1 2 0 0]; M8 = [1 1 0 2 0 1]; M9 = [1 1 0 1 0 2]; M10=[1 1 0 0 1 2]; M11=[0 1 2 2 0 0]; M12=[0 1 1 2 0 1]; M13=[0 1 0 2 0 2]; M14=[0 1 0 1 1 2]; M15=[0 1 0 0 2 2]; M16=[0 0 3 2 0 0]; M17=[0 0 2 2 0 1]; M18=[0 0 1 2 0 2]; M19=[0 0 0 2 1 2]; M20=[0 0 0 1 2 2]; M21=[0 0 0 0 3 2].
关键词：Petri 网；排队网；分层建模 中图分类号：TP393.01 文献标识码：A
Queuing Network Analysis Method Based on Petri Nets
GUO Jian-zhang, WANG Ming-zhe (Dept. of Control Science & Engineering, Huazhong University of Science & Technology, Wuhan 430074, China)
T1
P2 P1
T2
图 1 M/M/1/1 与 M/M/n/n 的等价 GSPN 模型
1.2 单/多服务等待制排队模型
其中 P1 代表等待队列，P2 代表服务位置，当为 单服务等待制排队模型（M/M/1）时，M0(P3)＝1； 当为多服务等待制排队模型（M/M/n）时，M0(P3) ＝n，T3 的服务时间随机参数 λ3 是 P2 中令牌数的函 数：λ3＝M(P2)×µ。如图 2。
中心只有 1 个处理器（C1），为 M/M/1 排队模型， 两雷达组各为 M/M/2 模型。作战条例为：指挥中 心发出指令，以概率 p 进入防御区域 1，以概率 （1-p）选择防御区域 2；指令序列进入区域雷达
组 排 队 ， 服 从 先 到 先 服 务 （ FIFS: Fist In First
Service）规则。如果两雷达均空闲，则 R1 与 R2 或 R3 与 R4 出现竞争状态。另外，假设通讯网络带宽 足够，则网络传输延时忽略不计，此时，节点延时
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文章编号：1006-1576（2006）07-0053-03
基于 Petri 网的排队网分析方法
郭建章，王明哲 （华中科技大学 控制科学与工程系，湖北 武汉 430074）
分层仿真方法的步骤为：① 利用 Petri 网建立 基本的可执行功能模型；② 定义网络服务接口， 即功能模型和物理模型间的接口；③ 生成信息令 牌间的因果、前后关系，即某些信息必须在另外的 信息处理完才能产生；④ 对物理模型进行仿真， 即对上一步生成的信息令牌序列进行排队网仿真； ⑤ 得到节点的处理操作时间和网络延时值；⑥ 把 上一步得到的处理时间和网络延时嵌入到功能模型 中，并对功能模型进行仿真、评价。
务结束，离开系统。当为 M/M/1/1 时，M0(P2)＝1。 为 M/M/n/n 时，M0(P2)＝n，T2 服务时间随机参数 λ2 是 P1 中令牌数的函数：λ2＝M(P1)×µ。
对于 M/M/n/n 模型，当进行结构分析或逻辑 分析需区分 n 个服务窗时，可引入着色 Petri 网的颜 色集概念，定义一个描述服务窗的颜色集 C，包含 n 个整型元素，其形式化定义为：color C＝int with 1..n，用自然数 1 到 n 来区分各服务窗。图 1 为 M/M/1/1 与 M/M/n/n 的等价 GPSN 模型。
T1
P1
T2
P3 P2
T3
图 2 M/M/1 与 M/M/n 的等价 GSPN 模型
1.3 M/M/1/m 与 M/M/n/m 的等价 GSPN 模型
图 3 是单服务窗混合制排队模型（M/M/1/m）
收稿日期： 2006-03-22；修回日期：2006-04-16 基金项目：国防预研基金项目（6020203JW0514） 作 者 简 介 ： 郭 建 章 （ 1 9 8 0 - ）， 男 ， 广 东 人 ， 华 中 科 技 大 学 在 读 硕 士 ， 从 事 集 成 系 统 建 模 与 仿 真 研 究 。
等于各服务窗的服务时间。
分析得到排队网模型如图 5。其中指挥中心、
两雷达组的服务率分别为 µ1、µ2、µ3。
雷达队列 1
R1
指挥中心队列
p
R2
C1
雷达队列 2 R3
1-p
R4
图 5 排队网模型结构图
模型转换，得图 4 对应 GSPN 模型，如图 6。
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其中 T2、T7、T8（实心方框）是时间变迁，分别代 表指挥中心、两雷达组服务窗，其余（空心方框）
M0 (P4)＝1，M0 (P2)＝m-1；当为 M/M/n/m 时， M0 (P4)＝n，M0 (P2)＝m-n，T3 的服务时间随机参数 λ3 是 P3 中令牌数的函数：λ3＝M(P3)×µ。
T1
P1
T2
P3
T3
P2
P4
图 3 M/M/1/m 与 M/M/n/m 的等价 GSPN 模型
1.4 单/多服务窗闭合式排队模型
M1
M2
M3
4 结论
M4
M5
M6
M7
M8
M9
M10
M11
M12
M13
M14
M15
M16
M17
M18
M19 M20
M21
图 7 标识图
如图 7 每个节点均代表稳定状态，每根弧是双 向的，即相连状态是可逆的。从上到下，从左到右
分层建模的方法比较适合于对网络延时、处理 时间的仿真评价，而 GSPN 建模方法更适合于评价 系统负荷，即各组件、网络的利用率，系统瓶颈。 分层建模把物理层面和逻辑功能层面分离，所以即 使物理结构发生变化，功能模型不需修改，降低系 统修改成本，而 GSPN 的建立是一次建模，一旦系 统改变，会引起整个模型改变。而分层建模也有其
P5 包含顾客令牌，如得到允许可达到等待队列 P1；T1 为顾客的到来，其时间参数 λ1 是 P5 令牌数 的函数：λ1＝M(P5)×λ。图 4 为单/多服务窗闭合式 排队模型（M/M/1/m/m）/（M/M/n/m/m）的等 价 GSPN 模型。
T1
P1
P5 T2
P3
T3
P2
P4
图 4 M/M/1/m/m 与 M/M/n/m/m 的等价 GSPN 模型
1.5 排队模型与有优先级的排队模型
该 模 型 基 本 结 构 同 上 述 模 型 ，只 是 输 入 率 和 服 务率是其他一些状态函数，可把函数写在对应的变 迁中。而具有优先级排队模型可应用 GSPN 所引 入的禁止弧这一概念解决。
2 案例分析
以 1 个由 1 个指挥中心和 2 个防御区域的 2 组 雷达构成的多雷达防御指令系统为例。假设指挥
Abstract: Based on queuing analysis method of Petri net, making using of layered simulation method, the disperse system was modeled by queuing network primarily and transformed into GSPN model. The model includes single/multi service window damage queuing model, single/multi service window wait queuing model, single service window mix queuing model, multi service window damage queuing model, and single/multi service window close queuing model. The simulation result proved that the simulation was more convenient because of GSPN perform ability and image visualizability.
摘要：基于 Petri 网的排队网分析方法，利用分层仿真方法，先对离散系统进行初步排队网建模并转化为 GSPN 模型。模型可分为单/多服务窗损失制排队模型、单/多服务窗等待制排队模型、单服务窗混合制排队模型与多服务 窗损失制排队模型、单/多服务窗闭合式排队模型几种情况。仿真结果证明，该方法由于 GSPN 的可执行性和图形的 直观性，仿真更为方便。
1 排队网的 GSPN 模型转换
1.1 单/多服务窗损失制排队模型
单 / 多 服 务 窗 损 失 制 排 队 模 型 （ M/M/1/1 ） / （M/M/n/n）结构相似，无等待队列。当只有服务 窗时，为 M/M/1/1。其等价 GSPN 模型也相似， T1 的触发代表顾客进入系统，T2 的触发代表接受服
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源利用率、闲忙比等重要指标时对其进行忽略、压 缩是可行的，且可使问题规模缩小。
应用仿真软件 Arena，完成雷达指挥系统排队 网建模、仿真，得到主要仿真结果如表 1。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
结果表明系统的所有状态都是家标识，即从所 有状态出发，经有限步骤后能回复该状态；系统无 死标识，所有变迁都是活的。系统不会死锁。
但也可看到，一个比较简单的模型，它所具有 的状态空间已达到 13494 个状态，即所谓状态空间 爆炸问题，随着库所和令牌的增加而迅速膨胀。如 下利用 GSPN 分析来压缩系统的状态空间。
Keywords: Petri nets; Queuing network; Layered modeling
0 引言
单纯利用排队网存在难以刻画实体流动过程 和描述系统同步等问题，解决这些问题正好是 Petri 网的强项。故利用分层仿真方法[1]，先对离散系统 进行初步的排队网建模，然后把初次建立的排队网 模型转化为 GSPN 模型，由于 GSPN 的可执行性和 图形的直观性，仿真更为方便。