放射生物LQ模型的数理基础及其剂量修正改进算法研究
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Hale Waihona Puke Baidu
3.76 104 C 0 ，这个温度升高对机体来说是可以忽略不计的，但 8Gy 的剂量却可以使人致 命。 辐射的生物效应的靶学说解释： 由于辐射能量的量子化导致了生物系统吸收辐射能量是 量子化的， 吸收能量不是一个连续的过程， 其吸收能量分布和能量沉积过程是一个泊松过程， [4] 作用几率分布服从泊松分布 。细胞中存在着对辐射敏感的体积：靶，可以是单靶也可以是 多靶。靶学说的核心观点： （1）生物结构中存在着对射线敏感的部分（DNA）或者是染色体，射线粒子对它们的损伤 导致了产生某种生物效，这一敏感结构称为靶。 （2）X(r)射线和带点粒子以光子和离子束流的形式撞击靶，击中事件的概率服从泊松分布。 （3）最简单的靶理论认为。每一个细胞内只存在一个靶点，对该靶的一次不可修复性的击 中就可以产生某种放射生物效应，细胞死亡。 （4）击中从生物物理学角度理解，是指那些入射能量超过了使靶体受损伤的阀植能量的沉 积事件，他是一个统计学意义上的概念： 。击中指的是致死性损伤。
松分布统计规律 [5] ，但泊松分布的基础是 伯努利 独立概率模型，因此只有理解 伯努利 （Bernoulli）独立概型才能理解泊松分布，才能真正理解 LQ 模型中关于细胞存活的学说。 伯努利(Bernoulli)试验的定义：只有两种结果 A 与 A 的试验，称为伯努利试验[6]。如果在
相同的条件下独立地作 n 次伯努利试验（即各次试验的结果互不影响），事件 A 在每次 试验中发生的概率保持不变，这时称这种试验为 n 重伯努利试验，n 重伯努利试验是一 种非常重要的概率模型，许多实际问题都可归结为这种模型，通常称它为伯努利概型。 它与古典概型的重要区别在于，它的样本点不一定是等概率的，它常用来讨论 n 次重复 试验中事件 A 发生的次数及其概率。 伯努利定理:设伯努利试验中事件 A 发生的概率为 p(0＜p＜1)，则在 n 重伯努利试验中 事件 A 恰发生 m 次的概率为：
m m nm P (m 0,1, 2,3 n) ---------------------------- 式 (1) n (m) Cn p (1 p)
其实射线和细胞中靶的作用过程为近似 n 次重复的伯努利试验过程，射线与细胞靶作用， 结果只有两种情况，要么击中细胞中靶使细胞产生不可修复的致死性损伤，最终导致细 胞死亡，要么没有击中靶使细胞产生亚致死性可修复损伤，使细胞存活。在一定射线质 条件和实验细胞条件下，对于单个射线粒子而言，细胞靶数量相当大，就单个射线击中 细胞靶并引起细胞死亡的概率是相对不变的，由于射线粒子间相互的独立性，在一定粒 子通量情况下，某一剂量率的射线照射对细胞靶的击中概率也服从 n 次重复伯努利试 验。（由于细胞数量巨大，1 个细胞的死亡对样本总数影响忽略不计，任按照放回抽样 概型研究。） 一般情况下， 在一定剂量率单次照射模式下， 高能射线经过打靶后形成的 X 射线的原射 线和散射线数量特别巨大，因此 n ，而单个射线击中靶的概率 p 很小，则在 n 次射线 击靶实验中事件发生 k 次击中靶出现的概率可以用泊松分布来逼近。
通信作者：马胜林(1965- ) 杭州市第一人民医院 杭州市肿瘤医院 院长 博士生导师 E-mail: mashenglin@gmail.com 0571-87065701
LQ 模型计算公式 （Linear Quadratic Models/Formulation） 或者称为 / 方程， 是由 Kellerer 和 Rossi 以及 Cradwick 和 Leenheuts 提出的，现在已经广泛应用于放射生物学研究和临床放 射治疗，对放射生物学理论研究和临床应用产生了深远的影响[1]。但是一直以来由于 LQ 模 型涉及多学科的知识点涵盖理论基础较多， 目前国内还没用专门的关于放射生物 LQ 模型的 系统深入的论述， LQ 模型的理论背景及临床应用对大多数放疗医师而言存在着一定的困难， 本文从 LQ 模型的基本理论基础出发， 。 表 1、LQ 模型理论基础涉及学科 Table 1.The theoretical basis of LQ model and the subjects involved LQ 模型 辐射剂量学 粒子注量 / 通 量 放射生物学 DNA 断裂学 说 分析数学 半对数坐标 系 实验细胞学 细胞存活曲 线 数理统计学 泊松分布 生物物理学 单靶 / 混合靶 学说
（5）如果入射粒子能量 EO Ecut ，入射粒子对靶只造成一定程度的损伤，细胞可以启动 DNA 修复机制对损伤进行修复，因此该能量不至于照成细胞的死亡，称为非致死性损伤或 者可修复性损伤。 （2）数理统计学（泊松分布） 根据靶理论，细胞内存在着敏感的靶，只有将其击中，细胞才能被灭活，由于射线与 细胞的相互过程中，发生击中事件是个随机的事件，而且同一次辐射时，不同粒子与细胞靶 作用的相互独立性， 发生粒子击中细胞靶并且导致细胞死亡的事件是相互独立其概率服从泊
放射生物 LQ 线性二次模型的数理基础及临床意义
李夏东 吴稚冰 马胜林* 吴式琇 张霓 夏冰 张珂 杭州市第一人民医院 杭州市肿瘤医院 肿瘤放射治疗科 310000 杭州 浙江
[摘要] 目的：本文拟从对 LQ 模型提出的数学、物理、数理统计、放射生物学模型的研究分析 LQ 模型的数理基础和理论背景，系统阐述 LQ 模型的理论基础，为更好理解并应用放射生物 LQ 模型提供理论基础，为临床放疗方案改变作参考。方法：从 LQ 模型的数学公式研究入 手，充分发掘 LQ 模型计算公式得出的数理依据和放射生物学实验结果，分别从 LQ 模型的 N 无穷次贝努力实验的泊松概率模型、低 LET 射线和高 LET 射线对 DNA 双链造成击打原 理和模型、 笛卡尔坐标系和半对数坐标系的应用、 细胞存活曲线的计算和表达等几个方面系 统阐述 LQ 模型的理论基础。并研究了 损伤和 的不同数学背景，从射线和细胞作用过 程分析入手重新阐述了 、 值的放射生物学意义，同时研究了早晚反正组织中损伤等效 剂量计算公式的应用范围。 结果：通过对 LQ 模型分析得到 损伤其实代表了高 LET 射线与细胞中靶 DNA 的作用模式，作用概率和辐射场粒子存在一次正相关关系， 是低 LET 射线与细胞中靶 DNA 作用的结果， 和辐射场中粒子通量存在二次方正相关关系;早晚反 应组织等效剂量除了需要满足 f t / N 外还需要满足本文（18）式提出的条件。结 论：放射生物学 LQ 模型不单是一个放射生物学模型， 其模型得意提出和应用和辐射 剂量学、分析数学、数理统计学、生物物理学等学科息息相关，只有深刻理解以上学科在该 模型中意义才能正确理解和应用 LQ 模型。 关键词：LQ 模型；肿瘤放射治疗； 中国分类号：R730.55 文献标识码：A 文章编号： The mathematic and physical base of Radiobiology LQ line quadratic model and It’s clinical significance. Li xiadong, Wu zhibing, Ma shenglin, Wu shixiu ,Zhangni, Xia bing, Zhang ke Purpose: This article aims to provide a in-depth explanation and research of the basic theory of LQ model which may help the radiation physician to get a more complete understanding and correspondingly get suggestion when a radiation therapy Schedule should be changed. Methods: we start our research form the mathematical formula of LQ model , to exploit the mathematical base of LQ model based on radiation biology and experimental results respectively, which contains the LQ model of N infinitely Bernoulli trials( Poisson probability model), low-LET radiation and high-LET radiation caused double-stranded DNA damage , the application of Cartesian coordinate system and the semi-logarithmic coordinates, the calculation of cell survival curves and expression system. Meanwhile we also study the radiation biological significance of and from the role of interaction between radiation Particle and cell. Results: through the Analysis of the LQ model we found that the damage which represents the reaction between high-LET radiation and the target DNA in the cell , there is a positive correlation between probability of radiation particles and the radiation field. the damage which represents the reaction between low-LET radiation and the target DNA in the cell , there is a quadratic positive correlation between probability of radiation particles and the radiation field. The Formula must be Satisfied as f t / N and the boundary condition which was proposed in the equation of(18).conclusion: LQ model and its calculation equation was proposed by Kellerer and Rossi's Cradwick and Leenheuts, which was widely used in radiation biology research and clinical radiation therapy. the theory of LQ model had a profound impact on radiation biology research and clinical applications. Keywords: LQ model; Radiation Oncology;
1、生物物理模型（靶学说） 靶学说是从生物物理角度来对受照细胞中存在的靶及其他们的大小进行估计的一种假说 [2] ，在放射生物学基础理论中占有重要地位，并且取得了实验的有力支持。电离辐射的生物 效应的显著特点为沉积能量低而生物效应高[3]，X（r）射线与物质相互作用的过程主要是次 级带点粒子在作用介质中同介质原子系统发生弹性和非弹性的碰撞改变运动状态和损失能 量的连续慢化过程[4]，碰撞能量的损失主要就是射线对作用介质的物理和生物效应，如果用 8Gy 的剂量照射人体组织， 电离粒子和人体内的分子原子系统之间的相互力而使人体组织温 度升高。根据热力学定律：Q C M t ，我们假设人体组织平均比热为 4.7 103 J Kg 1 C 1 ， 作 用 的 局 部 组 织 质 量 M 10Kg,1Gy 1J Kg 1 那 么 在 8Gy 剂 量 下 人 体 的 温 度 变 化 为
3.76 104 C 0 ，这个温度升高对机体来说是可以忽略不计的，但 8Gy 的剂量却可以使人致 命。 辐射的生物效应的靶学说解释： 由于辐射能量的量子化导致了生物系统吸收辐射能量是 量子化的， 吸收能量不是一个连续的过程， 其吸收能量分布和能量沉积过程是一个泊松过程， [4] 作用几率分布服从泊松分布 。细胞中存在着对辐射敏感的体积：靶，可以是单靶也可以是 多靶。靶学说的核心观点： （1）生物结构中存在着对射线敏感的部分（DNA）或者是染色体，射线粒子对它们的损伤 导致了产生某种生物效，这一敏感结构称为靶。 （2）X(r)射线和带点粒子以光子和离子束流的形式撞击靶，击中事件的概率服从泊松分布。 （3）最简单的靶理论认为。每一个细胞内只存在一个靶点，对该靶的一次不可修复性的击 中就可以产生某种放射生物效应，细胞死亡。 （4）击中从生物物理学角度理解，是指那些入射能量超过了使靶体受损伤的阀植能量的沉 积事件，他是一个统计学意义上的概念： 。击中指的是致死性损伤。
松分布统计规律 [5] ，但泊松分布的基础是 伯努利 独立概率模型，因此只有理解 伯努利 （Bernoulli）独立概型才能理解泊松分布，才能真正理解 LQ 模型中关于细胞存活的学说。 伯努利(Bernoulli)试验的定义：只有两种结果 A 与 A 的试验，称为伯努利试验[6]。如果在
相同的条件下独立地作 n 次伯努利试验（即各次试验的结果互不影响），事件 A 在每次 试验中发生的概率保持不变，这时称这种试验为 n 重伯努利试验，n 重伯努利试验是一 种非常重要的概率模型，许多实际问题都可归结为这种模型，通常称它为伯努利概型。 它与古典概型的重要区别在于，它的样本点不一定是等概率的，它常用来讨论 n 次重复 试验中事件 A 发生的次数及其概率。 伯努利定理:设伯努利试验中事件 A 发生的概率为 p(0＜p＜1)，则在 n 重伯努利试验中 事件 A 恰发生 m 次的概率为：
m m nm P (m 0,1, 2,3 n) ---------------------------- 式 (1) n (m) Cn p (1 p)
其实射线和细胞中靶的作用过程为近似 n 次重复的伯努利试验过程，射线与细胞靶作用， 结果只有两种情况，要么击中细胞中靶使细胞产生不可修复的致死性损伤，最终导致细 胞死亡，要么没有击中靶使细胞产生亚致死性可修复损伤，使细胞存活。在一定射线质 条件和实验细胞条件下，对于单个射线粒子而言，细胞靶数量相当大，就单个射线击中 细胞靶并引起细胞死亡的概率是相对不变的，由于射线粒子间相互的独立性，在一定粒 子通量情况下，某一剂量率的射线照射对细胞靶的击中概率也服从 n 次重复伯努利试 验。（由于细胞数量巨大，1 个细胞的死亡对样本总数影响忽略不计，任按照放回抽样 概型研究。） 一般情况下， 在一定剂量率单次照射模式下， 高能射线经过打靶后形成的 X 射线的原射 线和散射线数量特别巨大，因此 n ，而单个射线击中靶的概率 p 很小，则在 n 次射线 击靶实验中事件发生 k 次击中靶出现的概率可以用泊松分布来逼近。
通信作者：马胜林(1965- ) 杭州市第一人民医院 杭州市肿瘤医院 院长 博士生导师 E-mail: mashenglin@gmail.com 0571-87065701
LQ 模型计算公式 （Linear Quadratic Models/Formulation） 或者称为 / 方程， 是由 Kellerer 和 Rossi 以及 Cradwick 和 Leenheuts 提出的，现在已经广泛应用于放射生物学研究和临床放 射治疗，对放射生物学理论研究和临床应用产生了深远的影响[1]。但是一直以来由于 LQ 模 型涉及多学科的知识点涵盖理论基础较多， 目前国内还没用专门的关于放射生物 LQ 模型的 系统深入的论述， LQ 模型的理论背景及临床应用对大多数放疗医师而言存在着一定的困难， 本文从 LQ 模型的基本理论基础出发， 。 表 1、LQ 模型理论基础涉及学科 Table 1.The theoretical basis of LQ model and the subjects involved LQ 模型 辐射剂量学 粒子注量 / 通 量 放射生物学 DNA 断裂学 说 分析数学 半对数坐标 系 实验细胞学 细胞存活曲 线 数理统计学 泊松分布 生物物理学 单靶 / 混合靶 学说
（5）如果入射粒子能量 EO Ecut ，入射粒子对靶只造成一定程度的损伤，细胞可以启动 DNA 修复机制对损伤进行修复，因此该能量不至于照成细胞的死亡，称为非致死性损伤或 者可修复性损伤。 （2）数理统计学（泊松分布） 根据靶理论，细胞内存在着敏感的靶，只有将其击中，细胞才能被灭活，由于射线与 细胞的相互过程中，发生击中事件是个随机的事件，而且同一次辐射时，不同粒子与细胞靶 作用的相互独立性， 发生粒子击中细胞靶并且导致细胞死亡的事件是相互独立其概率服从泊
放射生物 LQ 线性二次模型的数理基础及临床意义
李夏东 吴稚冰 马胜林* 吴式琇 张霓 夏冰 张珂 杭州市第一人民医院 杭州市肿瘤医院 肿瘤放射治疗科 310000 杭州 浙江
[摘要] 目的：本文拟从对 LQ 模型提出的数学、物理、数理统计、放射生物学模型的研究分析 LQ 模型的数理基础和理论背景，系统阐述 LQ 模型的理论基础，为更好理解并应用放射生物 LQ 模型提供理论基础，为临床放疗方案改变作参考。方法：从 LQ 模型的数学公式研究入 手，充分发掘 LQ 模型计算公式得出的数理依据和放射生物学实验结果，分别从 LQ 模型的 N 无穷次贝努力实验的泊松概率模型、低 LET 射线和高 LET 射线对 DNA 双链造成击打原 理和模型、 笛卡尔坐标系和半对数坐标系的应用、 细胞存活曲线的计算和表达等几个方面系 统阐述 LQ 模型的理论基础。并研究了 损伤和 的不同数学背景，从射线和细胞作用过 程分析入手重新阐述了 、 值的放射生物学意义，同时研究了早晚反正组织中损伤等效 剂量计算公式的应用范围。 结果：通过对 LQ 模型分析得到 损伤其实代表了高 LET 射线与细胞中靶 DNA 的作用模式，作用概率和辐射场粒子存在一次正相关关系， 是低 LET 射线与细胞中靶 DNA 作用的结果， 和辐射场中粒子通量存在二次方正相关关系;早晚反 应组织等效剂量除了需要满足 f t / N 外还需要满足本文（18）式提出的条件。结 论：放射生物学 LQ 模型不单是一个放射生物学模型， 其模型得意提出和应用和辐射 剂量学、分析数学、数理统计学、生物物理学等学科息息相关，只有深刻理解以上学科在该 模型中意义才能正确理解和应用 LQ 模型。 关键词：LQ 模型；肿瘤放射治疗； 中国分类号：R730.55 文献标识码：A 文章编号： The mathematic and physical base of Radiobiology LQ line quadratic model and It’s clinical significance. Li xiadong, Wu zhibing, Ma shenglin, Wu shixiu ,Zhangni, Xia bing, Zhang ke Purpose: This article aims to provide a in-depth explanation and research of the basic theory of LQ model which may help the radiation physician to get a more complete understanding and correspondingly get suggestion when a radiation therapy Schedule should be changed. Methods: we start our research form the mathematical formula of LQ model , to exploit the mathematical base of LQ model based on radiation biology and experimental results respectively, which contains the LQ model of N infinitely Bernoulli trials( Poisson probability model), low-LET radiation and high-LET radiation caused double-stranded DNA damage , the application of Cartesian coordinate system and the semi-logarithmic coordinates, the calculation of cell survival curves and expression system. Meanwhile we also study the radiation biological significance of and from the role of interaction between radiation Particle and cell. Results: through the Analysis of the LQ model we found that the damage which represents the reaction between high-LET radiation and the target DNA in the cell , there is a positive correlation between probability of radiation particles and the radiation field. the damage which represents the reaction between low-LET radiation and the target DNA in the cell , there is a quadratic positive correlation between probability of radiation particles and the radiation field. The Formula must be Satisfied as f t / N and the boundary condition which was proposed in the equation of(18).conclusion: LQ model and its calculation equation was proposed by Kellerer and Rossi's Cradwick and Leenheuts, which was widely used in radiation biology research and clinical radiation therapy. the theory of LQ model had a profound impact on radiation biology research and clinical applications. Keywords: LQ model; Radiation Oncology;
1、生物物理模型（靶学说） 靶学说是从生物物理角度来对受照细胞中存在的靶及其他们的大小进行估计的一种假说 [2] ，在放射生物学基础理论中占有重要地位，并且取得了实验的有力支持。电离辐射的生物 效应的显著特点为沉积能量低而生物效应高[3]，X（r）射线与物质相互作用的过程主要是次 级带点粒子在作用介质中同介质原子系统发生弹性和非弹性的碰撞改变运动状态和损失能 量的连续慢化过程[4]，碰撞能量的损失主要就是射线对作用介质的物理和生物效应，如果用 8Gy 的剂量照射人体组织， 电离粒子和人体内的分子原子系统之间的相互力而使人体组织温 度升高。根据热力学定律：Q C M t ，我们假设人体组织平均比热为 4.7 103 J Kg 1 C 1 ， 作 用 的 局 部 组 织 质 量 M 10Kg,1Gy 1J Kg 1 那 么 在 8Gy 剂 量 下 人 体 的 温 度 变 化 为