1.2仿射坐标系

四、向量的坐标运算
（4）线段的定比分点坐标
uuuu r 有向 定理1.5.6 设有向线段 P P2的始点为P ( x1 , y1 , z1 )，终点为 1 1 P2 ( x2 , y2 , z2 )，那么分有向线段P P2成定比λ ( λ ≠ 1) 的分点 1 x1 + λ x2 y1 + λ y2 z1 + λ z2 P的坐标是x = ,y= ,z = . 1+ λ 1+ λ 1+ λ
例2 证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点， 证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，
且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍，用四面体 且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍， 的顶点坐标把交点坐标表示出来. 的顶点坐标把交点坐标表示出来.
z
ur e3
ur r e1 O uu e2
y
x
Ⅲ
z
zox 面
Ⅱ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
坐标系共分八个卦限 坐标系共分八个卦限
Ⅲ
z
Ⅱ
Ⅳ
o
Ⅶ Ⅷ
卦限 坐标
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
Ⅰ Ⅱ Ⅲ + + + + + +
Ⅳ + +
Ⅴ + + -
Ⅵ + -
Ⅶ -
Ⅷ + -
x y z
三、坐标系
1− − ←Байду номын сангаас 1→ 空间的点
那么 推论 设Pi ( xi , yi , zi )( i = 1, 2 ) , 那么线段P P2的中点坐标是 1 x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 x= ,y= ,z = . 2 2 2
已知 例1 已知三角形三顶点为Pi ( xi , yi , zi )( i = 1, 2,3)， 求∆P P2 P3的重心（即三角形三条中线的公共点）的坐标. 1
ur e3
uu r e2 ur r e1 O uu e2
ur e3
ur r e1 O uu e2
一、标架
ur uu ur r ur uu ur r 是有顺序的， 注: (1) 标架 {O; e1 , e2 , e3 } 中的向量 e1 , e2 , e3 是有顺序的，交换它
们的次序将会得到另一标架. 们的次序将会得到另一标架.
{
}
{
}
{
}
{
}
ur e3
ur e1
P
r r
O
uu r e2
Back
三、坐标系
ur uu ur r 之后， 当空间取定标架 O; e1 , e2 , e3 之后，
r 空间向量 r
空间点 P
{
}
1－1对应 1－1对应
三元有序数组 { x, y, z}
三元有序数组 ( x, y , z )
这种一一对应的关系叫做空间向量或点的一个坐标系. 这种一一对应的关系叫做空间向量或点的一个坐标系. 坐标系 ur uu ur r 来表示， 空间坐标系也常用标架 O; e1 , e2 , e3 来表示，这时点 O 叫做 ur uu ur r 坐标原点； 都叫做坐标向量 坐标向量. 坐标原点；向量 e1 , e2 , e3 都叫做坐标向量.
表示空间坐标系， 叫做空间坐标系的原点 原点， 用 O − xyz 表示空间坐标系，此时点 O 叫做空间坐标系的原点， 都叫做坐标轴 坐标轴， 三条轴 Ox, Oy, Oz 都叫做坐标轴，并依次叫做 x 轴， y 轴， z 轴.
每两条坐标轴所决定的平面叫做坐标面， 平面， 每两条坐标轴所决定的平面叫做坐标面，分别叫做 xOy 平面， yOz 坐标面 平面. 平面与 xOz 平面.
§1.2 标架与坐标
Contents
一、标架 二、坐标 三、坐标系 四、向量的坐标运算
一、标架
ur uu ur r 的全体， 定义 1.5.1 空间中的一个定点 O ，连同三个不共面的有序向量 e1 , e2 , e3 的全体， ur uu ur r 叫做空间中的一个标架 标架， 叫做空间中的一个标架，记做 O; e1 , e2 , e3 ， ur uu ur r ur uu ur r 都是单位向量， 叫做笛卡尔标架 笛卡尔标架； 如果 e1 , e2 , e3 都是单位向量，那么 O; e1 , e2 , e3 叫做笛卡尔标架；
有序数组
( x, y, z )
的坐标， 点M 的坐标，记为 M ( x, y, z ) 特殊点的表示:坐标面上点的坐标有一个为零， 特殊点的表示:坐标面上点的坐标有一个为零， 一个为零 坐标轴上点的坐标有两个为零. 坐标轴上点的坐标有两个为零. 两个为零
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
•
C(x,0,z)
{
}
{
}
ur uu ur r 两两相互垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架；简称直角标架； e1 , e2 , e3 两两相互垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架；简称直角标架； 笛卡尔直角标架 直角标架
在一般情况下，叫做仿射标架. 在一般情况下，叫做仿射标架. 仿射标架 P
ur e3
ur e1 O
r r
{
}
右手坐标系 ；左手坐标系 ； 仿射坐标系；笛卡尔坐标系；直角坐标系. 仿射坐标系；笛卡尔坐标系；直角坐标系.
三、坐标系
rr r 约定， 表示直角坐标系. 约定，用 O; i, j , k 表示直角坐标系.
{
}
r k
r i
O
r j
三、坐标系
ur uu ur r 过点 O 沿着三坐标向量 e1 , e2 , e3 的方向引三条轴 Ox, Oy, Oz ，
四、向量的坐标运算
r r r 定理1.5.5 三个非零向量a { X 1 , Y1 , Z1} , b { X 2 , Y2 , Z 2 } , c { X 3 , Y3 , Z3 } X1 Y1 Z1 Z 2 = 0. Z3 共面的充要条件是 X 2 Y2 X 3 Y3
推论 四个点A ( xi , yi , zi )( i = 1, 2,3, 4 ) 共面的充要条件是 x2 − x1 x3 − x1 x4 − x1 y2 − y1 y3 − y1 y4 − y1 z2 − z1 x1 x2 y1 y2 y3 y4 z1 1 z2 1 z3 1 z4 1 ＝0. z3 − z1 ＝0，或 x3 z4 − z1 x4
四、向量的坐标运算
（3）两向量共线的条件，三向量共面的条件 两向量共线的条件，
r r 定理1.5.4 两个非零向量a { X 1 , Y1 , Z1} , b { X 2 , Y2 , Z 2 } 共线的 X 1 Y1 Z1 充要条件是对应坐标成比例，即 = = . X 2 Y2 Z 2
推论 三个点A ( x1 , y1 , z1 ) , B ( x2 , y2 , z2 ) 和C ( x3 , y3 , z3 ) 共线 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 的充要条件是 = = . x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
r 坐标分解式. 称为向量 r 的坐标分解式.
Back
y
四、向量的坐标运算
（1）用向量的始点和终点的坐标表示向量的坐标 定理1.5.1 定理1.5.1 向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点 的坐标. 的坐标. （2）用向量的坐标进行向量的线性运算 定理1.5.2 定理1.5.2 两向量和的坐标等于两向量对应的坐标的和 定理1.5.3 定理1.5.3 数乘向量的坐标等于这个数与向量的对应 坐标的积. 坐标的积.
M ( x, y, z)
o
Q(0, y,0)
y
x P(x,0,0)
A( x, y,0)
z
R(0,0, z )
z
r k
r j
o
r r
•
M ( x, y, z)
y Q ( 0 , y ,0 ) r o i x P ( x , 0, 0 ) N x r r r 轴正向的单位向量. 以 i , j , k 分别表示沿 x , y , z 轴正向的单位向量. r r = OM = OP+ PN+ NM = OP + OQ + OR r r r 设 OP = xi , OQ = yj , OR = zk . r r r r r = xi + yj + zk
ur uu ur r 定义 1.5.3 对于取定了标架 O; e1 , e2 , e3 的空间中任意点 P ，向量 uuu r uuu r ur uu ur r 向径， 位置向量， OP 叫做点 P 的向径，或称点 P 的位置向量，向径 OP 关于标架 O; e1 , e2 , e3 ur uu ur r 的坐标 x, y, z 叫做点 P 关于标架 O; e1 , e2 , e3 的坐标，记做 P ( x, y, z ) 或 ( x, y, z ) 坐标，
(2) 空间标架有无穷多个. 空间标架有无穷多个.
ur e3
ur e1
ur e3
uu r e2 uu r e2 O ur e1
O
右手（旋）标架 右手（
左手（旋）标架 左手（ Back
二、坐标
r = xe1 + y e2 + z e3 KKKK (1)
r ur uu ur r 定义 1.5.2 （1）式中的 x, y, z 叫做向量 r 关于标架 O; e1 , e2 , e3 的 r 坐标或称为分量， 或称为分量 坐标或称为分量，记做 r { x, y, z} 或 { x, y, z} .