完整word版,大一线性代数期末试题及答案,推荐文档

,考试作弊将带来严重后果！线性代数期末考试试卷及答案1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：开（闭）卷；单项选择题（每小题2分，共40分）。

．设矩阵22, B 23, C 32A ⨯⨯⨯为矩阵为矩阵为矩阵，则下列矩阵运算无意义的是【 】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB设n 阶方阵A 满足A 2＋E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有 【 】A. 矩阵A 不是实矩阵B. A=-EC. A=ED. det(A)=1设A 为n 阶方阵，且行列式det(A)=1 ,则det(-2A)= 【 】A. 2－B. ()n2－ C. n2－ D. 1设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中 【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 1321,,a a a a －6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m Λ线性无关的充分必要条件是 【 】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k ΛΛ使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是【 】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有 【 】 A.03221= b b a a B.02121≠ b b a a C.332211b a b a b a == D. 02131= b b a a 9.方程组12312312321 213 321x x x x x x x x x a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=+⎩有解的充分必要的条件是 【 】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=110. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1-η3，η1-η2-η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】A. }0|),,,{(2121=a a a a a n ΛB. }0|),,,{(121∑==ni i n aa a a Λ C. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n ΛΛ=∈ D. }1|),,,{(121∑==n i inaa a a Λ14.若2阶方阵A 相似于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3- 201B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【 】A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 10 1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 0 1-C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-0 0D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 2-01-15.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是 【 】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。

16．设矩阵,100 2,1 0 23 1- 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A 记T A 为A 的转置，则B A T = 。

17．设矩阵 1 22 1A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则行列式det(TAA )的值为 . 18．行列式 3 4 85 9 1 7 2 6的值为 .19．若向量组123123824001a (, , ), a (, t, ), a ( , , )===线性相关，则常数t = .20.向量组（10，20），（30，40）， （50，60）的秩为 .21.齐次线性方程组123123 0230x x x x x x --=⎧⎨+-=⎩ 的基础解系所含解向量的个数为22.已知T, , x )201(1=、T, , x )54(32=是3元非齐次线性方程组b Ax =的两个解向量，则对应齐次线性方程0=Ax 有一个非零解ξ= .23.矩阵 1 2 30 2 30 0 3A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的全部特征值为 。

24．设λ是3阶实对称矩阵A 的一个一重特征值，T 1) 3 1, 1, (ξ=、T2) 12 a, 4, (ξ=是A 的属于特征值λ的特征向量，则实常数a= .25.二次型2221231122133(,,)448f x x x x x x x x x x =-+++对应的实对称矩阵A= .三、计算题（，共50分）25．计算行列式27 2- 6 2- 2 2 0 0 1 4 3-54 3 0 的值。

26．设111 011001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,且E AB 2=-A ,其中E 是三阶单位矩阵,求矩阵B 。

27．a 取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=++=+a x x x x x x x 3232121 107432有解？在有解时求出方程组的通解。

28．设向量组321,,a a a 线性无关。

试证明：向量组332123211,,a a a a a a =-=++=βββ线性无关。

29．试证向量组123(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)a a a ===为3R 的一组基，并求向量(2,2,2)x =在该组基下的坐标。

2007线性代数考试试题B----------参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）1.A2.A3.B4.C5.D6.A7.B8.C9.D 10.D 11.B 12.C 13.B 14. C 15. D二、填空题（本大题共10空，每空3分，共30分）16. 0 30 0 0 4⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦17. 9 18. -360 19. 16 20. 2 21. 1 22.(2,4,3)T(或它的非零倍数) 23. 1、2、324. 4 25. 1 -2 4-2 4 04 0 1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、计算题（每小题6分，共30分）26. 296 02220 01435430--=D 29 62- 2 254 33=…………4分 .96=…………8分27. 解:由于E AB 2=-A ,因此E AB 2-=A ,又A 10=≠,故A 可逆, ……2分所以1111111022B A 011011002001001000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭……8分28． ,200021103021⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→ a- - -A 故当且仅当a=2时，有解。

…………2分当2=a 时，得x x x x x ( 22321⎩⎨⎧+-=-=是任意），所以)( 112203是任意常数k k x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=…………8分 或 ⎩⎨⎧+=--=),( 22133231任意x x x x x 即).( 112021是任意常数k k x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=…………8分 29．证一：设有一组数321,,x x x 使,0332211=++βββx x x …………2分即0)()()(331221121=++-++a x x a x x a x x 由321,,a a a 线性无关，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=+0 0312121x x x x x x …………2分 该方程组只有零解0321===x x x 故321,,βββ线性无关。

…………6分 证二：因321,,a a a 线性无关，321,,βββ用321,,a a a 线性表出的系数行列式021- 11110 00 1- 11 1 1≠-===∆故线性无关。

（若只证明△≠0，不强调321,,a a a 线 性无关这一条件,就得出321,,βββ线性无关的结论，扣2分）。

故命题得证。

…8分30．证明：令110011101∆=，则11011001101120101002∆===≠，故向量组123(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)a a a ===为3R 的一组基，…………4分又设332211αααx x x x ++=，得线性方程组12231322 2x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解之得向量(2,2,2)x =在该组基下的坐标为(1,1,1)x =。

…………8分。