线代复习题

线性代数复习题

一判断对错

1.若行列式D 等于零，则或D 有一行为零，或有两行对应成比例。

错，反例：⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=420101321A

2.若向量组s ααα ,,21线性无关t βββ ,,21也线性

无关，则合起来s ααα ,,21，t βββ ,,21也线性无关。

错，反例：任单独一个非零向量1α线性无关，令112αβ=，则1β也线性无关，但合起来1α，1β也线性无关。 3．判断下面哪些成立。

（1）当0AB =时推出0A =或0B =。 （2）当,0AB AC A =≠时，一定有.B C = （3）当,||0AB AC A =≠时，一定有.B C = （4）当||0AB =时推出||0A =或||0B =

正确解法：由于矩阵乘法不满足消去律，（1）（2）不成立，（3）（4）成立。

4．若存在全为0的数

s k k k ,,21使得

,02211=++s s k k k ααα 则向量组s ααα,,,21 线

性无关。

错，反例：任何一组线性相关的向量组s ααα,,,21 也满足上述条件。

5．任何一组向量是否线性无关，都可用行列式来判断。 错，反例：当向量的个数与维数不相等时，如

)4,2,0(),3,2,1(21==αα，无法作成行列式。

6．||||||B A B A +=+错，而||||||B A AB = 对

反例：⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10011001B A 则 21

0011001=--+， |A+B|=0 7.若向量的个数大于分量的个数时，向量组必线性无关（错）

8．若向量组s ααα ,,21与t βββ ,,21等价，则它们含向量的个数相等。 错，反例：

)

,0,0,0(,,),1,0,1(),3,2,1(3221121=====βαβαβαα与等价，但所含向量个数不等。

9任何向量组s ααα ,,21与它的极大无关组等价（对） 10任何向量组都存在极大无关组（错，全是0的向量组没有极大无关组）

11．对于任何线性方程组,若方程的个数小于未知数的个数,则一定有无穷多解.

错,这对于非齐次的不成立.例 1

24212321321=++=++x x x x x x 无解.

12.若|A|=0,则A=0.

错，反例:A=⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡2211. 13.对任何数k,都有||||A k kA =.

错,分析:当A 有n 行(），（2≥n ||kA 中每一行都有公因子

k,行列式提公因子时,必每行提出来一个k,因此n 行必提

n 个k.

14.设矩阵A 的秩为，r 则A 中所有r 阶子式都不为零. 错,分析: 矩阵A 的秩为r 只要求存在一个r 阶子式非零,

不一定所有，r 阶子式都不为零.例:⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=013642321A , A 的

秩为2,有一个2阶子式非零,但二阶子式

04

22

1=. 应改成：至少有一个r 阶子式非零。

15. 设矩阵A 的秩为，r 则A 中存在1-r 阶子式非零. 对,因为若所有1-r 阶子式为零,则由定义, A 的秩

2-≤r .矛盾.

16.对于所有n 阶矩阵A,B,都有

2222B AB A B A ++=+）（

错, 因为

222B AB BA A B A B A B A ++++=++=+））（（）（,要

等式成立只有BA AB =

17．（1）AB 的秩A ≤的秩，对吗？

（2）若0),,(321≠=a a a A ，0321≠⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=b b b B ，则AB 的秩为

多少？．

分析：AB 的秩A ≤的秩，即AB 的秩1≤，但可能为0. 18若02=A 则0=A .对吗？

分析:不对,如⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡=0010A .0,02=≠A

19. 若矩阵0≠A , 且AY AX =则必有Y X =．

分析:不对,因矩阵的乘积没有消去律（cancellation law ）. 20.两个初等矩阵的乘积（product ）仍为初等矩阵．

分析:不对,如⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡021********* 不是初等矩阵. 21.若022=+-E A A ，证明：A 是可逆矩阵，求出其逆。 对，(自己证明)

22.若s ααα ,,21线性相关，则每一个i α都可以由其余的向量线性表示。

错，应该是其中至少有一个i α都可以由其余的向量线性表示，而不是每一个。反例：）

，，（），，，（00032121==αα，21,αα线性相关，1

α

不能由其余的向量表示。

23对于任何线性方程组b AX =，若方程的个数小于未知数的个数,则一定有无穷多解；（错，对齐次成立） 24线性方程组b AX =的任意两个解之和还是它的解.（错）

25线性方程组b AX =的任意两个解之差还是它的解.（错，只对齐次成立）

26线性方程组b AX =的任意两个解之差为其导出组

0AX =的解.（对）

27若12ηη，为线性方程组b AX =的任意两个解，则

1212

+33

ηη也为b AX =的解。（对） 27 若12ηη，为线性方程组0=AX 的任意两个解，则

1212

+33

ηη也为0AX =的解。（对） 28.含有零向量的向量组必线性相关，两个向量线性相关不然对应分量成比例。

29.属于不同特征值的特征向量线性无关。 30.正交矩阵一定可逆，可逆矩阵不一定正交。 二．填空：

1． 矩阵等价的充要条件是—— 2 写出４阶行列式中含2234a a 的项=——

分析：行指标还有１、４未出现，列指标还有１、３未出现，含2234a a 的项应该为11223443a a a a 和13223441a a a a ．别忘了符号的确定：

11122344311223443(1)a a a a a a a a -=-和41322344113223441

(1)a a a a a a a a -=为所求．

3. 324314512566a a a a a a 的符号为----。

分析：由元素的行和列下标排列的逆序数：

1)1()1(8)234156()341526(=-=-+ττ所以为正号。