半导体物理第三章3

§3.4 一般情况下的载流子统计分布

一般情况指同一半导体中同时含有施主和受主杂质的情况。在这种情况下，电中性条件为

-

++=+A D p n n p 00

(3-80)

因为n D +＝N D -n D ，p A －

＝N A -p A ，电中性条件可表示成

D A A D n N n p N p ++=++00

式中，n D 和p A 分别是中性施主和中性受主的浓度，上式即

)exp(kT

E E N N V

F V D --

+)

exp(211kT

E E N A

F A -++)exp(211)exp(kT E E N kT E E N N F D D

F C C A -++

--+= 对确定的半导体，式中的变数仅是E F 及T ，但E F 是T 的隐函数。因此，若能利用这一关系确定出E F 与T 的函数关系，则对于半导体同时含施主和受主杂质的—般情况下，导带中的电子和价带中的空穴以及杂质能级上电子的统计分布问题就可完全确定。

然而，要想利用上式得到E F 的解析表达式是困难的。不过，对计算机的使用已十分普及的今天并不是什么大问题。如果实际应用时式中某些项还可忽略，求解费米能级E F 的问题还能进一步简化。事实上，前面讨论的本征半导体和含一种杂质的半导体就是它的简化特例。

请同学阅读参考书中对含少量受主杂质的n 型半导体求解费米能级的讨论。特别注意求解过程中的近似处理方法。

§3.5 简并半导体

一、重掺杂半导体的载流子密度

1、适用于玻耳兹曼统计的掺杂浓度

已知n 型半导体处于施主杂质完全电离的温区时，其费米能级为

D C F C N N kT

E E ln

=- （N A ＝0） ；A

D C

F C N N N kT E E -=-ln （N A ≠0） 注意此公式成立的先决条件是(E C -E F )>>kT ，因此它只适用于N D 或(N D -N A ) <

2、用费米函数计算重掺杂半导体载流子密度

在玻耳兹曼近似计算条件不成立时，n 型重掺杂半导体的热平衡载流子密度

(3-107)

令

则

dx e x N n x C

⎰

∞

-+=0

2

/1012

ξ

π

(3-108)

其中积分

dx e x x ⎰

∞

-+0

2

/11ξ

(3-109)

称为费米积分，用F 1/2(ξ)表示。因而式(3-108)亦可写成

)(2

2/10ξπ

F N n C

= )(

2

2/1kT

E E

F N C

F C

-=π

(3-l10)

类似地，p 型重掺杂半导体的空穴密度为

(3-111)

表3.2列出了一些费米积分的值，从中可以看出，随着费米能级逐渐移出禁带，尽管费米积分

值也在随着 ξ 的增大而增大，但步幅远不如指数函数e ξ 的步幅大。

在 x >1.25时，费米积分 F 1/2 (x ) 的值可用以下公式近似计算：

()F x x x

12

3

21

2

3

2

1

2

436=

+

π

π

用两种统计方法算出的电子密度之比值如图3-17所示。图中可见，随着费米能级在禁带中逐渐向导带底靠近，经典统计开始出现偏差，其结果偏大；当费米能级进入导带，亦即E F -E C >0时，此偏差已不能忽略。随着费米能级向导带深处移动，此偏差越来越大。当E F 位于导带底以上0.1eV 左右时，用经典统计计算的电子密度已是其实际值的10倍；当E F 位于导带底以上0.2eV 左右时，计算结果进一步超过其实际值的100倍。因此，计算电子密度时通常使用的经典近似计算公式在费米能级接近导带底时就不再适用。对空穴密度的计算也是一样。

二、 区分费米统计和经典统计适用范围的条件−简并(degeneration)化条件

1、 费米能级条件

比较一下用经典统计和用费米统计计算的结果，发现在任意温度下，只要费米能级接近禁带边沿，其距离小于2 k T 之后，其差别就比较明显了。于是将E F 至禁带边沿的距离作为区分费米统计和经典统计的适用条件，称为简并化条件。对n 型半导体

2、 掺杂浓度条件

下面以只含一种施主杂质的n 型半导体为例，讨论杂质浓度为多少时发生简并。

表3.2 费米积分F 1/2 (ξ ) 取值表

ξ

-4 -3 -2 -1 0 1 2 4 6 8 10 F 1/2 (ξ)

0.016

0.043

0.115

0.291

0.678

1.396

2.502

5.771

10.144

15.381

21.345

-4

-2

2

4

6

8

10

10-3

10-2

10-1

1

（E F - E C ）/ kT

量子统计与经典统计结果之比

图3-17 量子统计与经典统计之比随E F 的变化