S3,S4的自同态和自同构(近世代数)

题目：S3，S4的自同态和自同构学院：数学与统计学院
专业：数学与应用数学
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指导教师：
时间： 2012年6月17日
摘要
本文讨论了三次对称群S3和四次对称群S4各自所拥有的子群，以及找出S3，S4各自的自同态，自同构，检验各自的子群在自同态和自同构下是否保持不变。

关键词: 对称群，子群，不变子群，自同态，自同构。

一、S
4和S
4
的子群：
假如对于代数运算 和 来说，有一个A到A的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算 和 来说，A与A同态。

假如对于代数运算 和 来说，有一个A到A的同构映射存在，我们就说，对于代数运算 和 来说，A与A同构。

S
3
={(1),(12),(13),(23),（123），（132）}，
S
4
={(1)，
(12),(34),(13),(24)，（14），(23)，
(123),(132),(134),(143),(124),(142),(234),(243),
(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),
(12)(34),(13)(24),(14)(23)}.
其中,在S
3
里，(1)、(12) 、(13) 、(23)的逆元就是它们自己本身, （123）与（132）互为逆元。

在S
4
里，(1) 、(12) 、(34) 、(13) 、(24) 、（14）、(23) 、(12)(34) 、(13)(24) 、(14)(23) 的逆元就是它们自己本身，（123）与（132）互为逆元，(134)与(143)互为逆元, (124)与(142) 互为逆元，(234)与(243) 互为逆元，(1234)与(1432) 互为逆元，(1243)与(1342) 互为逆元，(1324)与(1423) 互为逆元。

S 3的子群有H
1
={（1）}，
H
2
={（1），（12）}，
H
3
={（1），（13）}，
H
4
={（1），（23）} ，
H
5
={（1），（123），（132）}，
H 6=S
3。

其中H
1和H
6
为S
3
的平凡子群。

S 4的子群有N
1
={（1）}，
N
2
={（1），（12）}，
N
3
={（1），（13）}，
N
4
={（1），（23）} ，
N
5
={（1），（24）} ，
N
6
={（1），（14）} ，
N
7
={（1），（34）} ，
N
8
={（1），（12）（34）}，
N
9
={（1），（13）（24）}，
N
10
={（1），（14）（23）}，
N
11
={（1），（123），（132）} ，
N
12
={（1），（134），（143）} ，
N
13
={（1），（124），（142）} ，
N
14
={（1），（234），（243）} ，
N
15
={（1），（12），（34），（12）（34）} ，
N
16
={（1），（13），（24），（13）（24）}
N
17
={（1），（14），（23），（14）（23）}，
N
18
={（1），（14）（23），（13）（24），（14）（23）}，
N
19
={（1），（1234），（13）（24），（1432）}，
N
20
={（1），（1324），（12）（34），（1423）}，
N
21
={（1），（1243），（14）（23），（1342）}，
N
22
={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，
N
23
={（1），（12），（24），（14），（124），（142）}，
N
24
={（1），（34），（13），（14），（143），（134）}，
N
25
={（1），（34），（24），（23），（234），（243）}，
N
26
={（1），（1234），（13）（24），（1432），（13），（12）（34），（24），（14）（23）}，
N
27
={（1），（1324），（12）（34），（1423），（12），（13）（24），（34），（14）（32）}，
N
28
={（1），（1243），（14）（23），（1342），（14），（12）（43），（23），（13）（24）}，
N
29
={（1），（123），（132），（134），（143），（124），（142），（234）（243），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}，
N 30=S
4
其中N
1=和N
30
为S
4
的平凡子群，N
2
、N
3
、N
4
、N
5
、N
6
、N
7
、N
8
、N
9
、N
10
为二阶循环群，
N 11、N
12
、N
13
、N
14
为三阶循环群，N
15
、N
16
、N
17
、N
18
为凯莱茵四元群，N
19
、N
20
、N
21
为四
阶循环群，N
22、N
23
、N
24
、N
25
与S
3
同构，N
26
、N
27
、N
28
为八阶子群，N
30
为十二阶子群。

二、S
3和S
4
的自同态，自同构：
由定理：A和A是两个群，在A到A的一个同态满射下，A的单位元的像是A的单位元，A的元a的逆元的像是a的像的逆元。

可知：（1）逆元是自己本身的元素在映射下只能映射到逆元是自己本身的元素。

（2）一对互为逆元的元素的像也是一对互为逆元的元素。

（一）寻找S
3
的自同态，自同构：
S
3
的代数运算为：表1
表中数据表示a*b ，a 、b 为S 3的任意两个元素。

由以上结论，在S 3里，元（1）为单位元，所以（1）的像必为（1），元（12）
的像有三种情况，元（123）的像有两种，故S 3至少有六种自同构，下述种情况：
1f ： （1） （1）
（12） （12）
（13） （13）
（23） （23） （123） （123） （132） （132）
2f ： （1） （1）
（12） （12）
（13） （13）
（23） （23） （123） （123） （132） （132）
3
f：（1）（1）（12）（12）
（13）（13）
（23）（23）
（123）（123）
（132）（132）
S
3到S
3
的满射亦为双射，故上述映射皆为一一映射，且据表1的运算可知，上
述每一个一一映射皆满足运算，故上述三个映射皆为S
3自同态，也是自同构，故S
3
的自同态有六种。

（二）寻找S
4
的自同态，自同构：
因为S
3为S
4
的一个子群，故S
3
S
4
中的元素需保持S
3
里的六个自同构的映射的
不变，故S
4的六个自同构可按照寻找S
3
的自同构的计算方法算出。

S
4
的1f为恒等映射。

下面列出S
4
的六种映射：
2
f：(1) (1)
（12）（12）
（13）（13）
（23）（23）
(14) (14)
(24) (24)
(34) (34)
（123）（123）
（132）（132）
（134）（134）
（143）（143）
(124) (124) (142) (142)
(234) (234)
(243) (243)
(1234) (1234)
(1432) (1432)
(1243) (1243)
(1342) （1342）
（1324）（1324）
（1423）（1423）
(12)(34) (12)(34)
(13)(24) (13)(24)
(14)(23) (14)(23)
f：(1) (1)
3
（12）（12）
（13）（13）
（23）（23）
(14) (14)
(24) (24)
(34) (34)
（123）（123）
（132）（132
（134）（134）
（143）（143）
(124) (124) (142) (142)
(234) (234)
(243) (243)
(1234) (1234)
(1432) (1432)
(1243) (1243)
(1342) （1342）
（1324）（1324）
（1423）（1423）
(12)(34) (12)(34)
(13)(24) (13)(24)
(14)(23) (14)(23) f：
4
(1) (1)
（12）（12）
（13）（13）
（23）（23）
(14) (14)
(24) (24)
(34) (34)
（123）（123）
（132）（132）
（134）（134）
（143）（143）
(124) (124) (142) (142)
(234) (234)
(243) (243)
(1234) (1234)
(1432) (1432)
(1243) (1243)
(1342) （1342）
（1324）（1324）
（1423）（1423）
(12)(34) (12)(34)
(13)(24) (13)(24)
(14)(23) (14)(23) f：
5
(1) (1)
（12）（12）
（13）（13）
（23）（23）
(14) (14)
(24) (24)
(34) (34)
（123）（123）
（132）（132）
（134）（134）
（143）（143）
(124) (124) (142) (142)
(234) (234)
(243) (243)
(1234) (1234)
(1432) (1432)
(1243) (1243)
(1342) （1342）
（1324）（1324）
（1423）（1423）
(12)(34) (12)(34)
(13)(24) (13)(24)
(14)(23) (14)(23)
f：
6
(1) (1)
（12）（12）
（13）（13）
（23）（23）
(14) (14)
(24) (24)
(34) (34)
（123）（123）
（132）（132）
（134）（134）
（143）（143）
(124) (124) (142) (142)
(234) (234)
(243) (243)
(1234) (1234)
(1432) (1432)
(1243) (1243)
(1342) （1342）
（1324）（1324）
（1423）（1423）
(12)(34) (12)(34)
(13)(24) (13)(24)
(14)(23) (14)(23)
S 4到S
4
的满射亦为双射，故上述1f、2f、3f、4f、5f、6f皆为一一映射，
且据运算可知，上述每一个一一映射皆满足运算，故上述六个映射皆为S
4
的自同态，也是自同构。

三、在自同态，自同构下，各个子群保持不变的情况：
对于S
3
的1f情况，由于1f为恒等映射，故S3的所有子群皆保持不变。

对于S
3的2
f情况，H
1
，H
5
，H
6
保持不变。

对于S
3的4
f情况，H
1
，H
5
，H
6
保持不变。

对于S
4
的1f情况，由于1f为恒等映射，故S4的所有子群皆保持不变。

对于S
4的2
f情况，N
1
、N
7
、N
8
、N
11
、N
13
、N
18
、N
20
、N
22
、N
23
、N
29
、N
30
保持不变。

对于S
4的3
f情况，N
1
、N
11
、N
18
、N
22
、N
29
、N
30
保持不变。

对于S
4的4
f情况，N
1
、N
4
、N
6
、N
10
、N
11
、N
14
、N
17
、N
18
、N
21
、N
22
、N
25
N
28
、N
29
、N
30
保持不变。

对于S
4的5
f情况，N
1
、N
3
、N
5
、N
11
、N
12
、N
18
、N
20
、N
22
、N
24
、N
26
、N
29
、N
30
保持不变。

对于S
4的6
f情况，N
1
、N
11
、N
18
、N
11
、N
22
、N
29
、N
30
保持不变。

通过S
3是S
4
的子群可知道，n-1次对称群是n次对称群的子群，故求n次对称
群的自同构可通过n-1次对称群的自同构计算得出，且n次对称群里存在某几个子群，在n次对称群的任意的自同构里皆保持不变。

参考文献
[1]近世代数基础，张禾瑞著，高等教育出版社，1978
[2]近世代数及其应用，阮传概，孙伟编著，北京邮电大学出版社，2005
[3]近世代数，朱平天，李伯葓，邹园编，科学出版社，2009。