等腰三角形解题方法
中考数学——等腰三角形问题解题思路与攻略
中考数学——等腰三角形问题解题思路与攻略等腰三角形是中考数学中常见的一个题型，掌握解题思路和攻略对于中考数学的顺利通过非常重要。
本文将介绍等腰三角形问题的解题思路和攻略，希望能帮助同学们更好地应对这类问题。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指两条边相等的三角形，其性质有以下几点：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（底边所对的角）相等。
2. 顶角平分底边：等腰三角形的顶角（顶边所对的角）平分底边。
二、解题思路解等腰三角形问题的关键在于利用等腰三角形的性质，找到已知条件和需要求解的未知量之间的关系。
下面将介绍几种常见的解题思路。
1. 使用底角性质解题：如果已知等腰三角形的两个底角相等，可以利用这一性质来解题。
通过已知条件和底角性质，可以建立方程或找到相应的关系式，从而求解未知量。
2. 利用顶角平分底边性质解题：如果已知等腰三角形的顶角平分底边，可以利用这一性质来解题。
可以通过已知条件和顶角平分底边性质，建立方程或找到相应的关系式，进而求解未知量。
3. 利用勾股定理解题：有时候，等腰三角形问题中可能会涉及到与直角三角形相关的内容。
此时，可以尝试利用勾股定理和等腰三角形的性质进行解题。
三、解题攻略除了解题思路外，下面还列举了一些常见的解题攻略，帮助同学们更好地解决等腰三角形问题。
1. 注意题目中给出的条件：在解题时，要仔细阅读题目，将已知条件和需要求解的未知量提取出来，明确问题的要求。
2. 利用图形性质：画图是解决等腰三角形问题的有效方法之一。
合理利用等腰三角形的性质和图形的特点，可以更好地理解和解决问题。
3. 运用代数方法：当图形给出的信息较少或者不便于直接利用几何性质时，可以尝试使用代数方法，建立方程或者列举可能的条件，以求解未知量。
4. 反证法解题：有时候，可以运用反证法来解决等腰三角形问题。
假设某个结论不成立，通过推理推导出矛盾，从而得出正确结论。
四、总结通过上述的解题思路和攻略，相信同学们对于中考数学中的等腰三角形问题能够有更清晰的认识和更高的解题能力。
等腰直角三角形的腰和底边的公式
等腰直角三角形的腰和底边的公式等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它的两条腰相等，而底边与腰垂直且相等。
在几何学中，我们可以利用腰和底边的关系来求解等腰直角三角形的各种属性。
我们来讨论等腰直角三角形的特点和性质。
由于等腰直角三角形的两条腰相等，我们可以推导出一些关系式。
设等腰直角三角形的腰长为a，底边长为b，斜边长为c。
根据勾股定理，我们知道c的平方等于a的平方加上b的平方，即c^2 = a^2 + b^2。
这个关系式在解题时非常有用，可以帮助我们计算等腰直角三角形的各个边长。
在解题时，我们经常会遇到需要求等腰直角三角形的面积。
根据几何学的知识，三角形的面积等于底边乘以高的一半。
对于等腰直角三角形来说，它的底边就是b，高就是a。
因此，等腰直角三角形的面积可以用公式S = 1/2 * b * a来表示。
除了面积，我们还可以利用腰和底边的关系来求解等腰直角三角形的周长。
等腰直角三角形的周长等于三条边长之和。
由于等腰直角三角形的两条腰相等，所以周长可以简化为周长 = 2 * a + b。
接下来，我们来看一个具体的例子，如何利用腰和底边的关系求解等腰直角三角形的边长。
假设等腰直角三角形的底边长为6cm，我们需要求解腰的长度。
根据勾股定理，我们可以得到c的平方等于a的平方加上b的平方。
由于等腰直角三角形的两条腰相等，所以a和b的值相等。
将b的值代入公式，我们可以得到c的平方等于2a的平方，即c^2 = 2a^2。
根据c的定义，我们知道c等于6cm。
将这个值代入公式，我们可以得到6^2 = 2a^2，即36 = 2a^2。
解这个方程，我们可以得到a的平方等于18，即a = √18。
因此，等腰直角三角形的腰长为√18 cm。
同样的方法，我们可以求解等腰直角三角形的面积和周长。
假设等腰直角三角形的底边长为6cm，腰长为√18 cm。
根据面积公式S = 1/2 * b * a，我们可以得到面积S = 1/2 * 6 * √18 = 3√2 cm^2。
初二等腰三角形解题技巧
初二等腰三角形解题技巧
等腰三角形是三角形的一种特殊形式，其中两边长度相等。
在初二数学中，等腰三角形是一个重要的知识点，需要掌握其性质和判定方法。
首先，要明确等腰三角形的性质。
等腰三角形两腰相等，两个底角相等，并且有一个顶角。
此外，等腰三角形的高、中线和角平分线三线合一。
这些性质是解决等腰三角形问题的关键。
其次，要掌握等腰三角形的判定方法。
有以下几种方法：
1. 两边相等：如果一个三角形的两边长度相等，则它是等腰三角形。
2. 两个角相等：如果一个三角形的两个角相等，则它是等腰三角形。
3. 三线合一：如果一个三角形的高、中线和角平分线三线合一，则它是等腰三角形。
最后，要学会运用这些性质和判定方法来解决等腰三角形的问题。
以下是一些常见的题型和解题技巧：
1. 求角度：利用等腰三角形的性质，可以通过已知的角度或边长来求其他角度。
2. 作辅助线：在解题过程中，可以通过作辅助线来将问题转化为更容易解决的问题。
例如，作等腰三角形的高、中线或角平分线。
3. 利用三线合一：在解题过程中，可以利用三线合一的性质来证明或求解问题。
4. 分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论，分别考虑不同的情况。
总之，掌握等腰三角形的性质和判定方法是解决等腰三角形问题的关键。
在解题过程中，要灵活运用这些性质和判定方法，通过作辅助线、分类讨论等方法来解决问题。
同时，要注意细节和计算准确性，避免因为粗心而出现错误。
构造等腰三角形解题的五种途径
构造等腰三⾓形解题的五种途径2019-09-19等腰三⾓形是⼀类特殊的三⾓形，它的性质和判定在⼏何证明和计算中有着⼴泛的应⽤.有些⼏何图形中不存在等腰三⾓形，可根据已知条件和图形特征，通过添加适当的辅助线，巧妙构造等腰三⾓形，然后利⽤等腰三⾓形的性质使问题获解.⼀、利⽤⾓平分线+平⾏线，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⾓平分线，我们可以通过作平⾏线构造等腰三⾓形.如图1，AD是ABC的⾓平分线.①如图2，过点D作DE∥AC交AB于点E，则ADE是等腰三⾓形；②如图3，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，则ABE是等腰三⾓形；③如图5，点E是AB边上⼀点，过点E作EF∥AC分别交AD、BC于点F、G，则AEF是等腰三⾓形；④如图4，点E是AB边上⼀点，过点E作EF∥AC，交AD的延长线于点F，交BC于点G，则AEF是等腰三⾓形；⑤如图6，过点C作CE∥AD交AB的反向延长线于点E，则ACE是等腰三⾓形；⑥如图7，点E是AC边上⼀点，过点E作EF∥AD，交AB的反向延长线于点F，交BC于点G，则AEF是等腰三⾓形.我们知道，等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线和底边上的⾼互相重合，简称“三线合⼀”.现在的问题是：如果三⾓形⼀边上的中线与它的对⾓的⾓平分线重合，那么这个三⾓形是否是等腰三⾓形呢？答案是肯定的，现在就来证明这个定理.例1 如图8，ABC中，中线AD平分∠BAC.求证：AB=AC.分析：AD既是AC的中线，同时⼜是ABC的⾓平分线.联想到与⾓平分线和中线有关的辅助线，可过点B（或点C）作AC（或AB）的平⾏线.证明：如图9，延长AD⾄点E，使DE=AD.BD=CD，∠BDE=∠ADC，DE=AD，BDE≌CDA.BE=AC，∠E=∠CAD.⼜∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠E.AB=BE.AB=AC.说明：本例也可过点D作DEAB，DFAC，垂⾜分别为E、F，如图10所⽰，从⾯积⼊⼿证明.⼆、利⽤⾓平分线+垂线，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⾓平分线时，我们也可以通过作垂线的⽅法构造等腰三⾓形.如图11，点E是∠ABC的⾓平分线AD上的⼀点，过点E作AD的垂线分别交AB、AC于点M、N，则AMN是等腰三⾓形.例2 如图12，在ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D， CEBD，交BD的延长线于点E.求证：CE=BD.分析：由⾓平分线和垂线可以构造以BC为腰、∠ABC为顶⾓的等腰三⾓形.证明：如图12，延长CE交AB的反向延长线于点F.BD平分∠ABC，CEBD，由⾓平分线的对称性知CE=EF=CF.∠1+∠F =90°，∠2+∠F =90°，∠1=∠2.⼜AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，BAD≌CAF.BD=CF.CE=BD.三、利⽤中垂线，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⾼时，可以在⾼所在的边（或其延长线）上取⼀点，使⾼是该点与该边上三⾓形的⼀顶点组成的线段的中垂线，从⽽构造等腰三⾓形.如图13，AD是ABC的⾼.①如图14，在线段BC上取⼀点E使ED=DE，连结AE，则AEC是等腰三⾓形；②如图15，在线段BC的延长线上取⼀点E，使BD=DE连结AE，则ABE是等腰三⾓形.例3 如图16，在ABC中，ADBC于点D，∠B=2∠C.求证：AB+BD=CD.分析：由待证结论AB+BD=CD并结合已知条件“ADBC”，可构造以AB为腰、AD为底边上的⾼的等腰三⾓形.证明：在BC上取⼀点E，使BD=DE，连结AE，则ABE是等腰三⾓形.AB=AE，∠B=∠AED.⽽∠AED=∠C+∠CAE，且∠B=2∠C，∠C+∠CAE=2∠C.∠CAE=∠C.AE=CE.AB=CE.AB+BD=CE+DE=CD.四、利⽤平⾏线，构造等腰三⾓形过等腰三⾓形⼀腰上的点作底边或另⼀腰的平⾏线，都可以得到等腰三⾓形. 如图17，在ABC中，AB=AC.过线段AB上⼀点D 作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，则ADE和BDF都是等腰三⾓形.例4 如图18，ABC中，AB=AC，D是AB上⼀点，E是AC延长线上⼀点，且BD=CE，DE交BC于点F.求证：DF=EF.分析：由待证结论知点F是线段DE的中点，再结合已知条件“AB=AC”，可过点D作DM∥AC构造等腰三⾓形.证明：过点D作DM∥AC交BC于点M，则∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E.AB=AC，∠B=∠ACB.∠B=∠DMB.BD=DM.⼜BD=CE，DM=CE.在DMF和ECF中，DM=CE，∠FDM=∠E，∠DFM=∠EFC，DMF≌ECF.DF=EF.说明：本例也可过点E作EN∥AB交BC的延长线于点N，证明过程留给同学们完成.五、转化倍⾓，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⼀个⾓是另⼀个⾓的2倍时，我们就可以通过转化倍⾓寻找到等腰三⾓形.如图19，ABC中，∠B=2∠C.①如图20，作BD平分∠ABC，则DBC是等腰三⾓形；②如图21，延长CB到点D，使BD=BA，连结AD，则ADC是等腰三⾓形；③如图22，以C为⾓的顶点，CA为⼀边，在形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D，则DBC是等腰三⾓形.例5 如图23，在ABC中，∠ABC=2∠C，BC=2AB.求证：∠A=90°.分析：结合已知条件“∠ABC=2∠DBA”和“BC=2AB”，可作∠ABC的平分线BD交AC于点D，并取BC的中点E，连结DE，借助等腰三⾓形的“三线合⼀”和三⾓形全等证明.证明：作∠ABC的平分线BD交AC于点D，则∠DBE=∠C.BD=CD.取BC的中点E，连结DE，则BE=AB，且DEBC.在ABD和EBD中，BE=AB，∠DBE=∠DBA，BD=BD，ABD≌EBD.∠BED=∠A=90°.（作者单位：湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学）注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。
构造等腰三角形解题常见途径
构造等腰三角形解题的常见途径等腰三角形是研究几何图形的基础，因此在许多几何问题中，常常需要构造等腰三 角形才能使问题获解，那么如何构造等腰三角形呢？一般说来有以下几种途径：一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形•如图 1①中，若 AD 平分/ BAC , AD // EC ,则厶ACE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分/BAC , DE // AC ,则厶ADE 是等腰三角形；如图 1③中，AD 平分/ BAC , CE / AB ，则△证.AE = AP ,可寻找一条角平分线与 EF 平行，于是想到 AB = AC ,则可以要BAC ，所以 AD 丄BC ,而EF 丄BC ,所以 AD // EF ，所以可得到△ AEP 是等 例2 如图3,在厶ABC 中，/ BAC 、/ BCA 的平分线相交于点 0 ,过点 0作DE //AC ,分别交AB 、BC 于点D 、E .试猜想线段 AD 、CE 、DE 的数量关系，并说明你的猜ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分/BAC , EF // AD ，则△ AGE 是等腰三角形.交BA 的延长线于点 简析 作AD 平分/ 腰三角形，故 AE = AP .CP 作EF 丄BC , E ,垂足为点 F .求证：.AE = AP .FD④D F图2E B图3想理由.简析猜想：AD+CE = DE .理由如下：由于OA、OC分别是/ BAC、/ BCA的平分线，DE // AC,所以△ ADO和厶CEO均是等腰三角形，则DO = DA , EC = EO ,故AD+CE = DE .例3 如图4,A ABC中，AD平分/ BAC, E、F分别在BD、AD上，且DE = CD, EF = AC .求证：EF // AB.简析由于这里要证明的是EF // AB,而AD平分/ BAC,所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了，于是DE = CD的提示下，相当于倍长中线，即延长AD至M，使DM = AD，连结EM，则可证得△ MDE ADC，所以ME = AC,又EF = AC , / M = / CAD，所以/ M = / EFM，即/ CAD =/ EFM，又因为AD 平分/ BAC，所以/ BAD = / EFD = / CAD，所以EF // AB.二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图 5 中，若AD平分/ BAC, AD丄。
等腰三角形动点最值问题解题技巧
等腰三角形动点最值问题解题技巧简介等腰三角形是数学中常见的一种三角形形状，其具有许多有趣的几何性质。
在这篇文档中，我们将讨论如何解决等腰三角形动点最值问题。
通过使用解题技巧和公式推导，我们可以轻松找到等腰三角形的各个动点的最值。
基本定义1.等腰三角形等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形。
我们可以通过连接底边中点和顶点，形成一个高。
由于等腰三角形具有对称性，底边中点和顶点之间的连线与底边垂直相交，划分出两个等腰直角三角形。
2.动点在几何学中，动点是指在平面上移动的点。
通过改变动点的位置，我们可以观察到某些几何量的变化情况。
在等腰三角形中，我们可以考虑顶点和底边上的某个点作为动点。
动点最值问题解题步骤步骤一：建立坐标系为了简化问题的分析和计算，我们可以将等腰三角形放在坐标系中。
通过选取合适的坐标轴和原点，我们可以方便地描述动点的位置。
步骤二：确定动点位置根据问题描述，确定我们所关注的是等腰三角形的哪个动点。
例如，我们可以考虑探索顶点和底边上的某个点的变化。
步骤三：建立几何关系通过观察等腰三角形的几何性质，我们可以建立动点与其他几何元素之间的相互关系。
这可以通过直线、角度、距离等几何关系来描述。
步骤四：建立动点与几何量的关系式利用步骤三中建立的几何关系，我们可以将动点的位置表示为其他几何量的函数。
这个函数可以是一个方程、一个不等式或一个定义域。
步骤五：求解最值通过求解动点位置的函数，我们可以得到动点所在位置的最值。
这可能是一个最大值、最小值或其他特定值。
步骤六：验证解的合理性最后，我们需要验证我们得到的最值是否合理，并根据实际情况进行解释。
这可以通过对几何性质和约束条件的分析来完成。
例题分析例题：在等腰三角形A BC中，AB=A C=6c m，B C=8c m。
动点P在边B C 上，求B P+PC的最小值。
解题步骤：步骤一：建立坐标系。
选择顶点A为坐标原点，建立x轴和y轴。
步骤二：确定动点位置。
在边BC上选择点P作为动点。
等腰三角形的特性及求解
等腰三角形的特性及求解等腰三角形是初中数学中常见的一个几何形状，它具有一些特殊的性质和求解方法。
在本文中，我将详细介绍等腰三角形的特性及如何求解等腰三角形的各个要素。
一、等腰三角形的特性等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
它具有以下几个特性：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两边所夹的角）相等。
这是因为等腰三角形的两边长度相等，根据三角形内角和定理可知，两个底角的和等于一个三角形的内角和，而等腰三角形的两个底角相等，所以它们的和也相等。
2. 顶角平分底边：等腰三角形的顶角（即顶边两边所夹的角）平分底边。
这是因为等腰三角形的两边长度相等，所以底边的中垂线也是等腰三角形的高，而高线平分底边。
3. 高线相等：等腰三角形的两条高线相等。
这是因为等腰三角形的两边长度相等，所以底边的中垂线也是等腰三角形的高，而两条高线都是底边的中垂线，所以它们相等。
二、求解等腰三角形的要素1. 已知底边和顶角求高线：如果已知等腰三角形的底边长度和顶角的大小，我们可以通过正弦定理来求解高线的长度。
设底边长度为a，顶角的大小为θ，高线的长度为h，则有sin(θ/2) = h/a，通过这个公式可以求解高线的长度。
2. 已知底边和高线求顶角：如果已知等腰三角形的底边长度和高线的长度，我们可以通过正弦定理来求解顶角的大小。
设底边长度为a，高线的长度为h，顶角的大小为θ，则有sin(θ/2) = h/a，通过这个公式可以求解顶角的大小。
3. 已知顶角和高线求底边：如果已知等腰三角形的顶角的大小和高线的长度，我们可以通过余弦定理来求解底边的长度。
设顶角的大小为θ，高线的长度为h，底边的长度为a，则有a^2 = h^2 + h^2 - 2h^2cosθ，通过这个公式可以求解底边的长度。
三、实际应用等腰三角形的特性和求解方法在实际生活中有很多应用。
例如，在建筑设计中，我们常常需要根据已知的底边长度和顶角的大小来确定建筑物的高度；在地理测量中，我们可以利用已知的底边长度和高线的长度来测量山的高度；在制作旗帜或标识牌时，我们可以利用等腰三角形的特性来设计出美观而稳定的形状。
等腰三角形的性质和计算方法
等腰三角形的性质和计算方法等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有许多独特的性质和计算方法。
在本文中，我们将深入探讨等腰三角形的性质以及如何进行相关计算。
一、等腰三角形的性质（1）定义：等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两边被称为等腰，而剩下的一边被称为底边。
（2）角度性质：等腰三角形的底边两边的夹角相等，被称为顶角。
根据等腰三角形的性质，顶角可以将底边等分。
（3）对称性质：等腰三角形具有对称性质，即以等腰三角形的顶点为中心进行旋转，可以得到另一个等腰三角形。
（4）高度性质：等腰三角形的高度是指从顶点到底边的垂直距离。
在等腰三角形中，高度同时也是中线、角平分线和垂直平分线。
二、等腰三角形的计算方法（1）边长计算：已知等腰三角形的底边长度和顶角的情况下，可以通过以下计算方法求得等腰三角形的边长。
1. 通过正弦定理计算：根据正弦定理，可以得到等腰三角形的边长公式为：边长 = 底边长度 / sin(顶角的一半)。
通过这个公式，我们可以求得等腰三角形的边长。
2. 通过余弦定理计算：根据余弦定理，可以得到等腰三角形的边长公式为：边长 = 2 * 底边长度 * cos(顶角的一半)。
通过这个公式，我们同样可以求得等腰三角形的边长。
（2）面积计算：已知等腰三角形的底边长度和高度的情况下，可以通过以下计算方法求得等腰三角形的面积。
根据等腰三角形的性质可以知道，等腰三角形可以看作是一个矩形和两个直角三角形组成。
因此，可以通过计算矩形和两个直角三角形的面积之和来求得等腰三角形的面积。
（3）角度计算：已知等腰三角形的边长情况下，可以通过以下计算方法求得等腰三角形的顶角。
根据边长计算方法中的公式，可以将已知的边长代入，通过反正弦函数求得顶角的一半，再将其乘以2，即可得到等腰三角形的顶角。
三、实例应用例如，已知一个等腰三角形的底边长度为8cm，顶角为60度。
我们可以通过边长计算方法中的公式，将底边长度和顶角代入，计算得到等腰三角形的边长为8 / sin(60/2) ≈ 9.24cm。
等腰三角形知识点+经典例题
等腰三角形知识点+经典例题等腰三角形知识点+经典例题等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有两条边相等的性质。
在几何学中，等腰三角形有着独特的特点和应用。
本文将介绍等腰三角形的基本性质和解题技巧，并通过经典例题加深对该知识点的理解。
一、等腰三角形基本性质1. 两边相等：等腰三角形的两条边长相等，通常表示为AB = AC。
2. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两侧的角）相等，通常表示为∠B = ∠C。
3. 对顶角平分底边：等腰三角形的对顶角（即顶点处的角）平分底边，即顶角的平分线与底边相等和垂直。
4. 底角是钝角：当等腰三角形的顶角大于90度时，底角为钝角。
二、等腰三角形的特殊性质1. 高线重合：等腰三角形的高线与底边重合，且高线上的高度等于底边的中线和中线的一半。
2. 内切圆：等腰三角形的内切圆与底边相切，且圆心在高线上。
3. 外接圆：等腰三角形的外接圆的圆心位于底边的中点，且外接圆的半径等于底边长度的一半。
三、等腰三角形的解题技巧1. 利用等腰三角形的两边相等性质，可在题目中找到相等的边长，进而推导其他角度和边长的关系。
2. 利用等腰三角形的两底角相等性质，可在题目中找到已知角度与未知角度的关系，从而推导解题过程。
3. 利用等腰三角形的对顶角平分底边性质，和底角是钝角的特点，可应用角平分线定理解题。
四、经典例题例题1：在等腰三角形ABC中，AB = AC = 6cm，∠B = 60°，求角A的度数和三角形的面积。
解析：由于AB = AC，可知三角形ABC是等腰三角形。
又∠B =∠C = 60°，由等腰三角形的两底角相等性质可得∠A = 180° - 2∠B = 60°。
三角形ABC的三个角度均为60°，是等边三角形。
根据等边三角形的性质，三角形ABC的面积为√3/4 * AB^2 = √3/4 * 6^2 = 9√3 cm^2。
例题2：在等腰三角形ABC中，AB = AC = 8cm，∠A = 100°，求顶角B的度数和三角形的周长。
重难点拓展：等腰三角形中的半角模型两种常见题型解题技巧(学生版)
重难点拓展：等腰三角形中的半角模型两种常见题型解题技巧题型一：等腰直角三角形半角模型题型二：等边三角形半角模型(120°-60°型)题型一：等腰直角三角形半角模型条件：ΔABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2=BD2+EC2；题型二：等边三角形半角模型(120°-60°型)条件：ΔABC是等边三角形，ΔBDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF=BE+FC；④ΔAEF的周长=2AB；⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
题型归纳题型一：等腰直角三角形半角模型1如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是B C边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD ，当∠DAE=45°时，求证：DE=D E；在(1)的条件下，猜想：BD2，DE2，CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.2(2022秋•原平市校级期中)如图，RtΔABC中AB=AC，D、E为BC边上两点，且∠DAE=45°，将ΔADC绕点A顺时针旋转90°后，得到ΔAFB，连接EF．下列4个结论：①ΔADC≅ΔAFB；②ΔABE≅ΔACD；③ΔAED≅ΔAEF；④BE+EF=BC-BF．正确的有( )个．A.1B.2C.3D.43(2023·浙江·八年级假期作业)如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，则△ABD与△AEC的面积之和为()A.36B.21C.30D.224(2023秋•九龙坡区校级期中)如图1，ΔABC为等边三角形，点D为BC的中点，连接AD，AE平分∠DAC，交BC于点E，点F在ΔABC外，连接FE，BF，AF，满足BF⎳AC，∠AFB=∠AEC．(1)求∠FAE的度数；(2)如图2，点G是AC上一点，连接EG，GF，GF与AE交于点K．若AK=EK，求证：CG=2CE．题型二：等边三角形半角模型(120°-60°型)1(2023秋•越秀区校级月考)在等边ΔABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ΔABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及ΔAMN的周长Q与等边ΔABC的周长L的关系．(1)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时Q L=；(2)如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=(用x、L表示)．2如图，ΔABC是边长为6的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，则ΔAMN的周长是．3如图，ΔABC是边长为4的等边三角形，BD=CD，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M．交AC于点N，连接MN，则ΔAMN的周长是．4(2022秋•宜丰县校级期中)如图1，ΔABC是正三角形，ΔBDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC= 120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．(1)探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．(2)若ΔABC的边长为2，求ΔAMN的周长．过关检测一、单选题1如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE=DC；②∠BAF=∠DAC；③∠FAE=∠DAE；④BF=DC．其中正确的有()A.①②③④B.②③C.②③④D.③④2(21-22八年级上·福建龙岩·期中)如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E 是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，则△ABD与△AEC的面积之和为()A.36B.21C.30D.22二、解答题3在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN= 60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．(1)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时Q L=；(2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想(I)问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．4如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．5如图，△ABC是边长为2的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以点D为顶点作∠MDN=60°，点M、N分别在AB、AC上．(1)如图①，当MN⎳BC时，则△AMN的周长为；(2)如图②，求证：BM+NC=MN．6(21-22八年级上·浙江绍兴·期中)问题情境在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC= 120°，BD=DC．特例探究如图1，当DM=DN时，(1)∠MDB=度；(2)MN与BM，NC之间的数量关系为；归纳证明(3)如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE=BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．拓展应用(4)△AMN的周长与△ABC的周长的比为．7如图，已知在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD ，连接D E．(1)当∠BAC=120°，∠DAE=60°时，求证：DE=D E；(2)当DE=D E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．8(20-21七年级下·四川成都·期末)如图，CA=CB，CA⊥CB，∠ECF=45°，CD=CF，∠ACD=∠BCF．(1)求∠ACE+∠BCF的度数；(2)以E为圆心，以AE长为半径作弧；以F为圆心，以BF长为半径作弧，两弧交于点G，试探索△EFG的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由．9(2020秋•西青区期末)已知在ΔABC中，AB=AC，D，E是BC边上的点，将ΔABD绕点A旋转，得到ΔACD ，连接D E．(Ⅰ)如图1，当∠BAC=120°，∠DAE=60°时，求证：DE=D E；(Ⅱ)如图2，当DE=D E时，请写出∠DAE与∠BAC的数量关系，并说明理由．10(2022春•林甸县期末)如图ΔABC为等边三角形，直线a⎳AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．(1)若D恰好在BC的中点上(如图1)求证：ΔADE是等边三角形；(2)若D为直线BC上任一点(如图2)，其他条件不变，上述(1)的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．。
等腰三角形解题方法
四、作平行线构造等腰三角形 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE ，连接DE，求证：DE⊥BC.
证明：过 E 作 EF∥BC 交 AB 于 F，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，又∵EF∥BC，∴∠AFE＝∠B，
∠AEF＝∠C，∴∠AFE＝∠AEF，∵AD＝AE，
证明：过A作AM⊥BD于它的延长线上的M点，易求△AMD≌△CBD(AAS)， ∴AM＝BC，∵∠ABM＝30°，∴AB＝2AM，∴AB＝2BC
六、共顶点的等腰三角形 5．如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE，CF交于M，连接 AM. (1)求证：BE＝CF； (2)求证：BE⊥CF； (3)求∠AMC的度数．
三、利用“三线合一”作辅助线 8．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点， 且EA＝EC.求证：EB⊥AB.
证明：过E作EF⊥AC于F，∵AE＝CE，EF⊥AC， ∴AF＝FC，又∵AC＝2AB，∴AB＝AF，∵AD平 分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE， ∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°， ∴EB⊥AB
一、方程思想求等腰三角形的角边 二、分类讨论在等腰三角形中的应 三、利用“三线合一”作辅助线用 四、作平行线构造等腰三角形 五、构造30°的直角三角形 六、共顶点的等腰三角形 七、用截长补短法构程思想求等腰三角形的角边 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝AD，DC＝AC， 求∠BAC的度数．
证明：(1)∵∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAF＋∠CAE，即∠BAE＝ ∠CAF，又∵AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴BE＝CF (2)由(1)得△BAE≌△CAF，∴∠AFC＝∠AEB，∵∠AFM＋∠MFE＋∠AEF＝90°， ∴∠MEA＋∠AEF＋∠EFM＝90°，∴∠EMF＝90°，即BE⊥CF
高中数学等腰三角形解题技巧
高中数学等腰三角形解题技巧等腰三角形是高中数学中常见的题型，解题技巧的掌握对于学生来说非常重要。
本文将从几个典型的等腰三角形题目入手，分析解题思路和考点，并给出一些解题技巧，帮助学生更好地应对这类题目。
一、等腰三角形的基本性质等腰三角形的基本性质是指两边相等，两底角相等。
这个性质是解题的基础，很多题目都是通过利用等腰三角形的性质来解决的。
例如，下面这个题目：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=80°，则∠C等于多少度？解题思路：根据等腰三角形的性质，我们知道AB=AC，所以∠B=∠C。
又已知∠B=80°，所以∠C也是80°。
通过运用等腰三角形的基本性质，我们可以轻松解答这个题目。
二、等腰三角形的边长关系等腰三角形的边长关系也是解题时需要注意的考点之一。
在一些题目中，通过等腰三角形的边长关系可以得到其他边长的信息。
例如，下面这个题目：在等腰三角形ABC中，AB=AC=8cm，BC=10cm，求∠B的度数。
解题思路：根据等腰三角形的性质，AB=AC，所以∠B=∠C。
又已知BC=10cm，所以∠B和∠C对应的边长相等。
利用三角形的边长关系，我们可以得到∠B对应的边长为8cm。
通过三角形的边长关系和等腰三角形的性质，我们可以解得∠B的度数。
三、等腰三角形的角平分线等腰三角形的角平分线也是解题时常用的技巧之一。
通过等腰三角形的角平分线，可以得到一些有用的角度信息，从而解题。
例如，下面这个题目：在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=80°，D是AC的角平分线，求∠ADB 的度数。
解题思路：根据等腰三角形的性质，我们知道AB=AC，所以∠B=∠C。
又已知∠B=80°，所以∠C也是80°。
由于D是AC的角平分线，所以∠DAB=∠DAC=40°。
通过等腰三角形的角平分线，我们可以得到∠ADB=∠DAB+∠DAC=40°+40°=80°。
等腰三角形计算口诀
等腰三角形计算口诀以下是为您生成的十个关于等腰三角形计算的口诀：口诀一：一测底长二测腰，等腰特性要记牢。
腰长相等是关键，如同姐妹一般高。
底角相等别忘掉，内角和是一百八。
计算角度用公式，轻松解题不烦恼。
高与底边垂直分，面积计算底乘高。
口诀二：一找底边二找腰，腰长相等要知晓。
顶角平分线真好，垂直底边分两瓢。
底上中线也是宝，三线合一要记牢。
一求面积二求角，方法对了错不了。
两个底角一样妙，相加能把一百八抱。
口诀三：一观图形二思考，等腰三角有门道。
腰长相等是首要，如同双筷一般俏。
底角相等别混淆，就像同双鞋码妙。
一算周长二算高，公式清晰不乱套。
底边中线连顶角，直角出现赶紧瞧。
口诀四：一看等腰二心笑，两边相等真奇妙。
一量腰长二量角，角度关系要明了。
顶角底角相依靠，和为一百八十度。
一求面积用底高，二用正弦也能好。
等腰特性把握牢，解题迅速分数高。
口诀五：一识等腰二不慌，腰长相等放光芒。
底角相等心欢畅，如同糖果一样甜。
一中线来二垂线，特殊线段要分辨。
周长计算把边添，面积算法有几番。
一用底乘高来算，二用三角函数探。
口诀六：一瞧等腰二动脑，两边相等要记好。
底上高来分三角，面积计算方法妙。
一乘底长二乘高，结果除以二才妙。
内角和是一百八，底角顶角算不差。
一用和差二用倍，角度求出乐开花。
口诀七：一遇等腰二不愁，腰等特性在心头。
底角相等像好友，携手同行乐无忧。
一求周长二求积，公式清楚不着急。
周长相加很容易，面积底高乘半奇。
等腰三角真美丽，计算轻松我能行。
口诀八：一探等腰二有招，腰长相等似虹桥。
底角相等如同胞，相亲相爱度数晓。
一计边长二算角，规则明确不会绕。
等腰三角很重要，认真学习成绩傲。
面积底高关系妙，牢记心中错不了。
口诀九：一见等腰二眉扬，相等两腰闪光芒。
一量腰长二量长，底角相等心不慌。
周长相加细思量，面积算法有多样。
一用底乘高来量，二把三角拆来想。
等腰知识常回想，做题准确响当当。
口诀十：一瞅等腰二放光，腰长相等有良方。
底角相等暖洋洋，内角之和不会忘。
高中数学解等腰三角形的技巧
高中数学解等腰三角形的技巧等腰三角形是高中数学中常见的一种特殊三角形，解题时掌握一些技巧可以帮助我们更快地解决问题。
在本文中，我将介绍一些解等腰三角形题目的技巧，并通过具体的例题进行说明和分析。
首先，我们来看一个简单的例题：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，角A的大小为60°，则角B和角C各是多少度？解题思路：由于等腰三角形的两边相等，所以AB=AC，又角A的大小为60°，所以角B 和角C的大小应该相等。
设角B和角C的大小均为x度，则有x+x+60=180，解得x=60，所以角B和角C的大小均为60°。
通过这个例题，我们可以看出解等腰三角形的关键是利用等腰性质和角度之和为180°的性质进行计算。
在解决这类问题时，我们可以运用以下几个技巧：1. 利用等腰性质：等腰三角形的两边相等，可以通过设定未知数或利用已知条件来求解其他未知数的值。
在例题中，我们设定角B和角C的大小均为x度，利用等腰性质得到方程x+x+60=180，从而解得x=60。
2. 利用角度之和为180°的性质：三角形的内角之和为180°，可以通过利用已知角度和未知角度之间的关系来求解其他未知角度的大小。
在例题中，我们利用角度之和为180°的性质得到方程x+x+60=180，从而解得x=60。
除了以上的技巧，我们还可以通过一些特殊的等腰三角形性质来解决问题。
例如，对于等腰三角形中的高和中线问题，我们可以利用以下技巧：3. 高的性质：等腰三角形的高是两边的中线，即等腰三角形的高和底边中点连线重合。
利用这个性质，我们可以通过已知的高和底边求解其他未知量。
例如，已知等腰三角形的底边长度和高的长度，可以求解出等腰三角形的面积。
通过以上的技巧和例题分析，我们可以看出解等腰三角形的关键是利用等腰性质和角度之和为180°的性质进行计算，并且可以通过一些特殊的等腰三角形性质来解决问题。
《等腰三角形》解题技巧
适用人教版八年级上《等腰三角形》解题技巧本节我们学习了等腰三角形的有关特性，在涉及等腰三角形问题的解题过程中我们除了要注意运用等腰三角形的特性外，往往过要注意其它的一些知识点灵活运用．一、注意基本图形的运用例1．已知：如图1，△ABC ，∠ACB 的平分线交于F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ．求证：BD ＋EC ＝DE ．【分析】因为DE ＝DF ＋FE ，因此要证BD ＋EC ＝DF ＋FE ，由此想要证BD ＝DF ，CE ＝FE 即可，于是运用图2，图3基本图形“角平分线＋平行线→等腰三角形”，再利用等腰三角形的性质易证结论成立．证明：∵DE ∥BC ，∴∠3＝∠2（两直线平行，内错角相等）又∵BF 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DB ＝DF （等角对等边），同理：EF ＝CE ，∴BD ＋EC ＝DF ＋EF ，即BD ＋EC ＝DE ．二、注意全等三角形的运用例2．如图4，C 是线段AB 上的一点，△ACD 和△BCE 是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ．求证：（1）∠AOB ＝120°； （2）CM ＝CN ．【分析】要证明∠AOB ＝120°，充分利用等边三角形的每个内角是60°的性质，由于∠AOB 是△AOD 的一个外角，则∠AOB ＝∠1＋∠ADM ＋∠2，只须证∠1＋∠2＝60°即可，考虑到∠1＋∠3＝60°，故着手证明∠2＝∠3．随之易证△ACM ≌△DCN 得到CM ＝CN ．由于∠ACD ＝∠BCN ＝60°，所以∠MCN ＝60°，则△CMN 为等边三角形，有∠CMN ＝60°＝∠ACM ，故MN ∥AB ．证明：（1）∵∠ACE ＝∠ACD ＋∠DCE ，∠BCD ＝∠BCE ＋∠DCE ，且∠ACD ＝∠BCE ＝60°， ∴∠ACE ＝∠BCD ， 在△ACE 和△BCD 中 AC DC ACE DCB CE BC ===⎧⎨⎪⎩⎪∠∠，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠3＝∠2，∵∠1＋∠3＝60°，∴∠1＋∠2＝60°，∴∠AOB ＝∠1＋∠ADC ＋∠2＝60°＋60°＝120°．（2）∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠MCN ＝60°，在△CMA 和△CND 中∠＝∠＝°＝∠＝∠MCA NCD CA CD6032⎧⎨⎪⎩⎪ ∴△CMA ≌△CND （ASA ），∴CM ＝CN ．三、注意方程思想的运用例3．如图5所示，点D 在AC 上，点E 在AB 上，且AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝BE ．求∠A 的度数．【分析】本题中没有给出一个角的度数，而要求∠A 的度数，其解题思路是设某一个角的度数为x ，其他各角都能用x 的代数式表示，再运用三角形内角和定理，列出方程求解．解：设∠A ＝x °，∵AD ＝DE ＝EB ，∴∠DEA ＝∠A ＝x °，∠EBD ＝∠EDB ，又∵∠DEA ＝∠EBD ＋∠EDB ，∴∠EBD ＝∠EDB ＝2x，∴∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝x 23，∵BD ＝BC ，AB ＝AC ，∴∠BDC ＝∠BCD ＝∠ABC ＝x 23，在△ABC 中，∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋32x ＋32x ＝180，∴x ＝45，即∠A ＝45°．。
等腰三角形解题技巧
等腰三角形解题技巧等腰三角形是一种具有特殊性质的三角形，其两边长度相等，两个底角相等。
在解题时，我们可以根据等腰三角形的性质，采用不同的技巧来解决问题。
1. 边相等对于边相等的等腰三角形，可以根据三边长度确定三个内角的大小，从而得到等腰三角形的所有性质。
例如，可以根据三角形内角和公式计算出三角形第三个角的大小，或者根据等腰三角形的对称性，得到底角的大小。
2. 角相等对于角相等的等腰三角形，可以通过角边夹角和圆周角等知识点得到等腰三角形的所有性质。
例如，可以根据角边夹角公式，计算出三角形另外两个角的大小，或者根据圆周角公式，得到三角形三个内角大小的关系。
3. 轴对称对于轴对称的等腰三角形，可以根据对称轴将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，从而得到等腰三角形的所有性质。
例如，可以根据轴对称的性质，得到等腰三角形底边中点到顶点的距离等于底边的一半。
4. 运用定理对于一般的等腰三角形，可以根据一些定理来解题，例如“等边对等角”和“等腰三角形底边中点到顶点的距离等于底边的一半”等。
这些定理可以直接应用于解题中，帮助我们快速得到问题的答案。
5. 构造等腰三角形对于一些难以直接解决的题目，可以构造出等腰三角形，从而将题目转化为比较简单的形式。
例如，在证明两个角相等时，可以构造一个等腰三角形，利用其对称性得到两个角相等。
6. 分类讨论对于一些比较复杂的题目，可以将题目进行分类讨论，从而得到解决。
例如，在解决等腰三角形内部一点到三边的距离之和为定值的问题时，可以分别讨论该点在等腰三角形内部的位置，从而得到不同的答案。
7. 转化为线段或角度问题对于一些仍然难以解决的题目，可以将其转化为线段或角度问题，从而找到解决的方法。
例如，在解决等腰三角形内部一点到三边的距离之和为定值的问题时，可以将问题转化为证明两边之和大于第三边的问题，从而利用三角形三边的关系来解决该问题。
如何求解等腰三角形的高度
如何求解等腰三角形的高度等腰三角形是指具有两个边相等的三角形。
在解题的过程中，我们可以利用几何知识和三角函数来求解等腰三角形的高度。
本文将介绍两种方法来求解等腰三角形的高度。
方法一：勾股定理
在等腰三角形中，两个底边相等，我们可以将等腰三角形拆分成两个直角三角形。
利用勾股定理，可以得到以下公式：
h^2 = c^2 - (a/2)^2
其中，h表示高度，c表示底边，a表示等腰三角形的两边之间的距离。
接下来，根据给定的等腰三角形的底边和两边之间的距离，代入公式，即可求解高度。
方法二：正弦定理
正弦定理是一个三角形中角度和边之间的关系，可以用来求解等腰三角形的高度。
在等腰三角形中，两个底边相等，可以将等腰三角形拆分成两个等腰三角形。
利用正弦定理，可以得到以下公式：
h = (c/2) * sin(A)
其中，h表示高度，c表示底边，A表示等腰三角形的顶角。
根据给定的等腰三角形的底边和顶角，代入公式，即可求解高度。
综上所述，我们可以利用勾股定理或者正弦定理来求解等腰三角形的高度。
根据给定的信息，选择适合的公式进行计算，即可得到等腰三角形的高度。
高中数学解等腰直角三角形的技巧
高中数学解等腰直角三角形的技巧等腰直角三角形是高中数学中常见的一个特殊三角形，它具有一条直角边和两条相等的斜边。
解决等腰直角三角形的问题，需要掌握一些技巧和方法。
本文将从三个方面介绍解等腰直角三角形的技巧，包括边长关系、角度关系和面积计算。
一、边长关系对于等腰直角三角形 ABC，如果已知直角边 AC 的长度为 a，斜边 AB 的长度为 b，那么根据等腰直角三角形的性质，我们可以得到以下边长关系：1. 斜边的长度：由勾股定理可知，直角边的平方和等于斜边的平方，即 a^2 + a^2 = b^2，化简得到b = √2a。
2. 直角边的长度：同样由勾股定理可知，直角边的平方和等于斜边的平方的一半，即 a^2 + a^2 = (b^2)/2，化简得到a = √(b^2/2) = b/√2。
利用这些边长关系，我们可以在已知任意一条边的情况下，求解出等腰直角三角形的其他边长。
例题：已知等腰直角三角形 ABC 中，直角边 AC 的长度为 4 cm，求斜边 AB 的长度和另一条直角边 BC 的长度。
解析：根据边长关系，我们知道b = √2a，代入已知数据，得到b = √2 * 4 =4√2 cm。
再利用a = b/√2，可以求得a = 4√2 / √2 = 4 cm。
因此，斜边 AB 的长度为4√2 cm，另一条直角边 BC 的长度为 4 cm。
二、角度关系等腰直角三角形的两个锐角是相等的，每个锐角等于 45°。
这个角度关系在解题过程中常常被用到。
例题：已知等腰直角三角形 ABC 中，∠B = 45°，求解∠A 和∠C。
解析：由等腰直角三角形的性质可知，∠A = ∠C。
又因为∠A + ∠B + ∠C = 180°，代入已知数据，得到∠A + 45° + ∠A = 180°。
化简得到 2∠A = 135°，解方程得到∠A = 67.5°，所以∠A = ∠C = 67.5°。
全等三角形与等腰三角形-解题技巧
第一讲：全等三角形与等腰三角形-解题技巧知识点总结全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形．1. 全等三角形有如下性质：(1)全等三角形的对应边相等；(2)全等三角形的对应角相等；(3)全等三角形的对应中线、对应角平分线、对应高相等；(4)全等三角形的面积相等，周长相等．2. 判定两个三角形全等的依据：(1)边角边公理(SAS)：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；(2)角边角公理(ASA)：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；(3)角边角公理的推论(AAS)：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(4)边边边公理(SSS)：三条边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边公理(HL)：斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等．. 等腰三角形1．两边相等的三角形叫等腰三角形．2．等腰三角形性质：(除一般三角形的边角关系之外的)(1)等边对等角；(2)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；(3)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；(4)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半；(5)顶角等于180°减去底角的两倍；(6)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．3．等腰三角形可分为腰和底边不等的等腰三角形及等边三角形．等边三角形的三边相等，三个角都是60°，它具备等腰三角形的一切性质。
4. 等腰三角形的判定：①利用定义；②等角对等边；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．解题技巧1利用角平分线构造全等三角形解题. 2 利用中线构造全等三角形解题在等腰三角形的题目中常添加的辅助线是顶角的平分线，由此可以得到线段相等和垂直关系．另外，在未指明边(角)的名称时，应分类讨论．在解题时常会遇到与中线有关的问题，由中线可以提供的常见思路有：①线段相等构造全等；②在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；③中线倍长：即延长中线，使延长的部分等于中线构造全等．用“截长补短”的方法解题截长补短"的方法."截长",在较长线段上截取一段等于较小线段;"补短",延长较短线段,使延长后线段等于较长线段."截长补短"是一种解题方法,在后继学习。
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(3)过 A 作 AG⊥BE 于 G，AH⊥CF 于 H，∵∠AGE＝∠AHF ＝ 90 ° ， ∠ AEG ＝ ∠AFH ， AE ＝ AF ， ∴ △ AEG ≌ △ AFH(AAS)，∴AG＝AH，∴AM 平分∠BMF，∴∠AMB＝ 90°×12＝45°，∴∠AMC＝90°＋45°＝135°
等腰三角形做题方法总结和个例
一、方程思想求等腰三角形的角边 二、分类讨论在等腰三角形中的应 三、利用“三线合一”作辅助线用 四、作平行线构造等腰三角形 五、构造30°的直角三角形 六、共顶点的等腰三角形 七、用截长补短法构造等腰三角形 八、等腰直角三角形
一、方程思想求等腰三角形的角边 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝AD，DC＝AC， 求∠BAC的度数．
度数．
①当△ABC为锐角三角形时，∵BD⊥AC，∴∠ABD ＋ ∠A ＝ 90 ° ， 又 ∵∠ABD ＝ 50 ° ， ∴ ∠ A ＝ 90 ° － 50°＝40°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－40°)＝70°， 即这个三角形的三个内角分别为40°，70°，70°； ②当△ABC为钝角三角形时，如图所示：∵BD⊥AC， ∠ DBA ＝ 50 ° ， ∴ ∠ BAC ＝ 90 ° ＋ 50 ° ＝ 140 ° ， ∴∠ABC＝∠C＝(180°－140°)＝20°.即这个三角形 的三个内角分别为140°，20°，20°.综上所述，这个 三角形的三个内角分别为40°，70°，70°或140°， 20°，20°
∴∠D＝∠AED，在△DEF 中，∵∠D＋∠AED
＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∴∠DEA＋∠AEF ＝180°×12＝90°，∴DE⊥EF，∵EF∥BC，∴ DE⊥BC
五、构造30°的直角三角形 3．如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD＝30°， 求证：AB＝2BC.
证明：(1)∵∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAF＋∠CAE，即∠BAE＝ ∠CAF，又∵AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴BE＝CF (2)由(1)得△BAE≌△CAF，∴∠AFC＝∠AEB，∵∠AFM＋∠MFE＋∠AEF＝90°， ∴∠MEA＋∠AEF＋∠EFM＝90°，∴∠EMF＝90°，即BE⊥CF
八、等腰直角三角形 8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC上一点，过D作DE⊥AD ，且DE＝AD，连接BE，求∠DBE的度数．
解：过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，∵∠MAD＋∠ADM＝90°，∠ADM ＋∠EDN＝90°，∴∠MAD＝∠EDN，∴△AMD≌△DNE(AAS)，∴AM＝DN，DM＝ NE，∵∠ABC＝45°，∴AM＝BM，∴BM－MN＝DN－MN，即BN＝DM，∴BN＝ EN，∵NE⊥BN，∴∠DBE＝45°
三、利用“三Leabharlann 合一”作辅助线 8．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点， 且EA＝EC.求证：EB⊥AB.
证明：过E作EF⊥AC于F，∵AE＝CE，EF⊥AC， ∴AF＝FC，又∵AC＝2AB，∴AB＝AF，∵AD平 分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE， ∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°， ∴EB⊥AB
四、作平行线构造等腰三角形 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE ，连接DE，求证：DE⊥BC.
证明：过 E 作 EF∥BC 交 AB 于 F，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，又∵EF∥BC，∴∠AFE＝∠B，
∠AEF＝∠C，∴∠AFE＝∠AEF，∵AD＝AE，
解：设∠B＝x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，又∵BD＝AD，∴∠BAD＝ x°，∴∠ADC＝x°＋x°＝2x°，∵AC＝DC，∴∠DAC＝2x°，在△ADC中，2x ＋2x＋x＝180，x＝36，∴∠BAC＝36°×3＝108°
二、分类讨论在等腰三角形中的应用
5．已知等腰△ABC一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求△ABC的三个内角
证明：过A作AM⊥BD于它的延长线上的M点，易求△AMD≌△CBD(AAS)， ∴AM＝BC，∵∠ABM＝30°，∴AB＝2AM，∴AB＝2BC
六、共顶点的等腰三角形 5．如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE，CF交于M，连接 AM. (1)求证：BE＝CF； (2)求证：BE⊥CF； (3)求∠AMC的度数．
七、用截长补短法构造等腰三角形 6．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的 度数．(用两种方法)
解：方法一：(截长法)在 CD 上取点 E，使 DE＝BD，连接 AE，则 CE＝AB＝AE，∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝ 2∠C，∵∠BAC＝120°，∴∠C＝20°；方法二：(补短法) 延长 DB 至 F，使 BF＝AB，则 AB＋BD＝DF＝CD，∴AF ＝AC，∠C＝∠F＝12∠ABC，∴∠C＝20°