高等数学课件：chap6_5第一型(对面积)曲面积分的计算

1 2 3
1: x 0, ( y 2 z 2 1, y 0)
z
(x 2 y 2 z 2 )dA
1
2
1
( y 2 z 2 )dydz
Dyz
2 2
d
1
0
3d
4
.
x
y
3
2: y 0, (x2 z2 1, x 0).
(x2 y 2 z 2 )dA
2
2
(x2 z 2 )dxdz
dA
1
z
2 xΒιβλιοθήκη Baidu
z
2 y
dxdy.
2. 若方程为 x x( y, z), Dyz : 在yz 平面上的投影 ,则
f (x, y, z)dA f (x( y, z), y, z)
1
x2 y
x2 z
dydz.
Dyz
若的方程为 y y(x, z), Dxz : 在xz 平面上的投影 ,则
f (x, y, z)dA f (x, y(x, z), z)
（仍以
A
表示其面积）
i
近似 任取 i , i i则, 点M i i ,i , zi ,i Ai , 曲面在
点 Mi i ,i , zi ,i 的切平面被对应的柱面截得一小块
Si , Ai 与 Si 在 xy 面上有相同的投影域 i，则：
i Si cos i
Si
1＋z
2 x
i
,i
z
2 y
( x2 y 2 )3 2dxdy
x
D xy
z
1
2
o Dxy y
a2π 0
d
a
0 2 (a2
ρ2
)ρ dρ
3 a5 a5 19 a5 .
8
10 40
2
2π
0
d
a
2
0
ρ3 ρ dρ
例 3 计算 ( x2 y2 x2 sin yz)dA,
为曲面x2 y2 a2 (0 z 1).
设 光 滑 曲 面的 方 程 为z z(x, y), 在 xy面 上 的 投 影 区 域 为Dxy , z(x, y)在Dxy上 有 一 阶 连 续 偏 导 数, f (x, y)在上 连 续,则
f (x, y, z)dA
f (x, y, z(x, y))
1
z
2 x
z
2 y
dxdy.
Dxy
注 1. : z z(x, y)
3下: z 1 x2 y2 , x 0, y 0.
投影域为
x
Dxy : x2 y 2 1, x 0, y 0,
1 z 2 z 2
1
.
x
y
1 x2 y2
z
y
3
(x2 y2 z2 )dA ( ) (x2 y2 z2 )dA
3
1.
1
dxdy 1.
Dxy 1 x2 y2
作业
习题6.4(P41) 1(1)(3) ，2(1)(3)(5)， 3
解 D: x2 y2 a2 b2 z a2 x2 y2
zx
x z
,
zy
y z
1
z
2 x
z
2 y
a2 a2 x2 y2
A 2
a
dxdy
D a2 x2 y2
2
a2 b2
2 d
a
d 4 a a b
0
0
a2 2
二. 第一型曲面积分的计算:
根据二重积分及第一型曲面积分的定义,可把第一 型曲面积分化成二重积分计算。
1
y2 x
y2 z
dxdz.
Dxz
例 2 计算 z 3dA , : z a 2 x2 y 2 与 z x2 y 2
所 围 立 体 的 表 面.
解 1 2 , 1: z a2 x2 y 2 ,
zx
a2
x x2
y2
,zy
y a2 x2 y2
dA
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
2: z x2 y 2 ,
a
dxdy
a2 x2 y2
z
1
x
y
zx
, x2 y2
zy
. x2 y2
2
dA 1 z 2 z 2 dxdy 2dxdy
x
y
x
o
Dxy
y
Dxy
: x2
y2
a2 2
.
z 3dA z 3dA z 3dA
1
2
( a 2 x2 y 2 )3 D
xy
a
dxdy
a2 x2 y2
i
,i
i Mi 处切平面的法向量与z轴正向的夹角
求和
Ai Si ,
n
A
1
z
2 x
i
,i
z
2 y
i
,i
i
i 1
n
求极限
A lim d 0 i1
1
z
2 x
i ,i
z
2 y
i ,i
i
1
z
2 x
z
2 y
dx
dy
D
例1 求球面 x2 y2 z2 a2在 z b (a b 0) 部分的面积。
Dxz
4
x
3: x2 y2 z2 1, (x 0, y 0).
z
1
y
3
(x2 y 2 z 2 )dA dA 3 的面积
3
3
综上,
(x2
y2
z2 )dA
3 .
2
对3 计算的讨论: (1) 若3向xy面投影,则需把3分成 3上: z 1 x2 y2 , x 0, y 0.
Dxy
3上 1 1 x2
3下
dxdy y2
2
2 0
d
01
d 1 2
z
(2) 若3向yz平 面 投 影, 投 影 域 为 Dyz : y 2 z 2 1, y 0.
y
x
(x 2 y 2 z 2 )dA
3
1.
D yz
1
dydz
1 y2 z2
1
2
d
0
2
3 d 1 2
解
( x2 y2 x2 sin yz)dA x2 y2 dA x2 sin yzdA
利 用 对 称 行 adA 0
a 2a 1 2a2
例 4 计算 (x2 y2 z2)dA, 为由x 0, y 0,
x2 y2 z2 1(x 0, y 0)所围成的闭曲面.
解 (x2 y 2 z 2 )dA ( )
第5节 第一型（对面积）曲面积分的计算
一.曲面的面积：
设光滑曲面 的方程为z zx, y , Dxy 是 在 xy 平面
上的投影区域，求 的面积 A。
分割 将Dxy任意分成 n 小块i i 1,n （同时仍以i
表示其面积），并以 i 的边界为准线作母线平行于z轴
的柱面，这些柱面相应把曲面 分成 n 小块A i (i 1,, n，)