6.9不定方程

09 巧求生日

——不定方程

学习目标:

1、理解方程、不定方程的意义，并运用不定方程解决与数学相关的问题。

2、会通过枚举法求不定方程的解。

3、会通过奇偶性、尾数法、系数法、倍数关系等方法辨析不定方程解的情况，缩小未知数的取值范围。

4、训练学生分析探讨的学习方法，培养学生的数学逻辑思维。

教学重点:

1、会通过枚举法求不定方程的解。

2、会通过奇偶性、尾数法、系数法、倍数关系等方法辨析不定方程解的情况，缩小未知数的取值范围。

教学难点：

会通过奇偶性、尾数法、系数法、倍数关系等方法辨析不定方程解的情况，缩小未知数的取值范围。

教学过程：

一、情景体验

师：今天小奥与优优正在玩猜生日游戏，小奥用了一个很神秘的方法就猜出了优优的生日，那么根据图中的信息，你们能猜出优优的生日吗？（PPT课件展示

图片信息）

生：3月8号。

师：你是怎么算出来的呢？

生：31×3+12×8=189。

师：很好。同学们知道这个游戏中隐藏着怎样的秘密吗？其实，这是一个很有趣的数学问题，接下来我们就来一起研究这个数学问题吧！（板书课题：不定方程）

师：什么样的方程叫做不定方程呢？前两讲中我们研究了有关二元一次方程及二元一次方程组的相关数学问题，像二元一次方程这类，未知数的个数比方程的个数多，这样的方程就叫做不定方程。比如：2x-y=12，方程中含有两个未知数，方程只有一个，这就是一个不定方程。（可让学生举例说明）

师：很明显，在不定方程中的未知数x和y可以取无数个值。今天我们所要研究的不定方程一般都有限制条件，可以根据不定条件求出方程的解。所以在解决这一类问题中，一定要找出问题中明显或者隐含的限制条件。一起来看一下都有哪些问题吧！

二、思维探索（建立知识模型）

展示例题：

例1：求方程11x+6y=89的自然数的解。

师：分析问题，你发现了什么？

生：这是一个二元一次方程，问题要求自然数的解。

师：很好。题目中直接告诉了我们限制条件，我们该如何来求x、y的解呢？生：可以一个一个试。

师：嗯……是一个方法，自己动手算一算吧，都有哪些解是满足我们条件的呢？（学生自主完成）

生：当x=1时，y=13；当x=7时，y=2这两种情况都满足条件。

师：那么x等于2、3、4等都不可以吗？为什么呢？

生：因为当x等于2、3、4等时，y 的值都不是自然数，所以不满足条件。师：说的非常好！但是大家有不有觉得这个办法有点麻烦，或者说是个笨方法呢？有不有更好的方法呢？谁还能从题目信息中发现什么呢？

生：y前面的系数6是一个偶数，所以6y肯定是偶数，在奇偶性中，我们都知道：奇数+偶数=奇数，所以11x一定是奇数，则x肯定也是奇数了。

师：非常好。但是奇数有那么多，还可不可以把范围进一步缩小呢？

生：因为这两个数的和是89，如果当x等于9时，11x=99比89还要大，所以x 只能是小于9的奇数了.

师：也就是说我们x的取值只能在1、3、5、7这四个奇数中去选择了，我们就

只用将这四个值代入到方程中进行计算就可以了，这样就不用一一尝试，大大缩小了x的取值范围，减小了我们的计算量，这种方法主要是根据题目中的要求，结合系数和奇偶性来减小未知数的取值范围。

板书：解不定方程常用方法：

1、系数法

2、奇偶性

总结归纳：

1、在解二元一次不定方程时，要尽量缩小未知数的取值范围，然后再求解。

2、不定方程常用奇偶性来帮助解决。

展示例题：

例2：求方程5x+6y=76的自然数的解。

师：分析题目，这个问题可不可以和例题1一样呢？利用奇偶性来解决呢？生：可以。

师：观察发现，6y是偶数，76也是偶数，所以5x也必须是偶数，x也是偶数，根据：偶数+偶数=偶数，自己尝试做一下吧！（学生自主完成）满足该方程的解有哪些呢？

生：当x=2时，y=11；当x=8时，y=6；当x=14时，y=1；这三种情况都满足条件。

师：同学们都学会了用奇偶性来求解不定方程了，哈哈，老师还有一个更好的方法，你们想知道是什么方法吗？（想）观察发现，x前面的系数是多少？（5）那么一个数乘以5的结果有什么特点呢？

生：个位数字是0或者5。

师：正确！既然和为76，而5x的结果的个位数字为0或者是5，那么6y的结果的个位数字又应该是什么呢？

生：6或者是1。

师：非常好。我们刚刚分析了这么多，现在老师来梳理总结一下，同学们看对不对。

师：5x的个位必为0或5，则6y的个位为6或1，结果个位才能是6；又6y必为偶数，所以6y个位为6,5x个位为0，所以y个位为1或6，x为偶数，大家同意吗？（同意）是不是很快就能得出结果呢？（是）这种这种从尾数上考虑的方法我们一般叫做尾数法。

板书：3、尾数法。

总结归纳：3、在解二元一次不定方程时，还常常用到尾数法来帮助解决。

三、思维拓展（知识模型拓展）

展示例题：

例3：装饼干的盒子有大小两种，大盒每盒要11元，小盒每盒要8元，妈妈用了89元。问大小盒子各买了多少个？

师：分析问题，你发现了什么？

生：盒子只能一个一个的购买，所以大小盒子都必须是整数个。

师：对，你能找出问题中的等量关系，列出方程吗？（学生自主完成，汇报结果）生：可以设有x个大盒子，y个小盒子，因为大盒子的钱数+小盒子的钱数=89元，列得方程为：11x+8y=89。

师：都同意他的结果吗？（同意）观察发现8y肯定是偶数，而89是奇数，则11x为奇数，x肯定也为奇数，自己尝试计算一下。（学生自主完成，汇报结果）生：将x=1，3，5，7分别代入不定方程中求解，只有当当x=3，y=7时满足条件，所以妈妈买了3个大盒子，7个小盒子。

总结归纳：解不定方程（应用题）的一般步骤：

1、设未知数，找等量关系。列出方程；

2、用奇偶性或者尾数法等缩小某未知数的取值范围；

3、将这个未知数的值一一代入，求出另一个未知数的值；

4、写出答案，检验，作答。

展示例题：