线性规划模型与标准化分解
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第一章、 线性规划及单纯形法
线性规划（Linear Programming，LP） 是运筹学的一个重要分支。
一、问题提出
• • • • 什么是线性规划模型？ 线性规划模型的特点是什么？ 如何建立线性规划模型？ 标准化的提出及实现
定义：
对于求取一组变量 xj (j =1,2,......,n) ，使之 既满足线性约束条件，又使具有线性表达式的 目标函数取得极大值或极小值的一类最优化问 题称为线性规划问题，简称线性规划（LP）。
x1, x2 , x3 ，x3 , x4，x5 0
练习：课后习题
标准型的几种形式：
（1）展开式
Max = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a 21 x1 + a22 x2 + … + a 2 n xn = b2
各种食物的营养成分表
序号
食品名称
热量
（千卡）
蛋白质
（克）
价格 （毫克） （元） 钙
1 2 3 4
猪肉 鸡蛋 大米 白菜
1000 800 900 200
50 60 20 10
400 200 300 500
14 6 3 2
解： 设 x1 为每天猪肉的购入量， x2 为鸡蛋
的购入量， x3 为大米的购入量， x4 为白菜 的购入量，则配餐问题的线性规划模型为： min S=14x1+6x2 +3x3+2x4 s.t. 1000x1+800x2 +900x3+200x4 3000 50x1+ 60x2 + 20x3+ 10x4 55 400x1+200x2 +300x3+500x4 800 x1 ，x2 ， x3 ， x4 0
•约束条件 于 •决策变量
s.t. (subject to)
满足
用符号来表示可控制的因素
例 1 胜利家具厂生产桌子和椅子两种家 具。桌子售价 50 元 / 个，椅子销售价格 30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工 和油漆工两种工种。生产一个桌子需要 木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅 子需要木工 3 小时，油漆工 1 小时。该厂 每个月可用木工工时为120小时，油漆工 工时为50小时。问该厂如何组织生产才 能使每月的销售收入最大？
线性规划模型
max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120 2x1+ x2 50 x1,x2 0 线性规划数学模型三要素： 决策变量、约束条件、目标函数
例2 营养配餐问题 假定一个成年人每天需要从食物中 获得3000千卡的热量、55克蛋白质和 800毫克的钙。如果市场上只有四种食 品可供选择，它们每千克所含的热量 和营养成分和市场价格见下表。问如 何选择才能在满足营养的前提下使购 买食品的费用最小？
s.t.
… … …
a m1 x1 + a m 2 x2 + … + a mn xn x1 , x2 , … , xn ≥ 0
=
bm
（2）紧缩形式
Max Z = c j x j
j =1
n
s.t.
n
j =1
aij x j
=
bi
i = 1,2, … m
xj 0
j = 1,2, … n
（3）矩阵形式
线性规划模型的特点：
用一组未知变量表示所求的方案，这组 未知变量称为决策变量； 存在一定的限制条件，且为线性表达式 , 称之为约束方程；
有一个目标要求（最大化或最小化）， 目标表示为未知变量的线性表达式，称 之为目标函数；
线性规划数学模型的三要素：
•目标函数 Max F 或 Min F
-3x1+x2+2x3 = - 5
x1,x2 0, x3 无非负限制
标准型为：
Max S = x1-2x2+3x3 -3x3 +0· x4+0· x5 s.t. x1+x2+x3 -x3 +x4 =7
x1-x2+ x3 -x3 -x5=2
3x1-x2-2x3 +2x3 = 5
（4）右端常数项小于零；两边同乘-1。
例3 将下列问题化成标准型:
Min S = -x1+2x2-3x3 s.t. x1+x2+x3 7
Max S’=x1-2x2+3x3 x1+x2+x3 +x4=7 x1-x2+x3 –x5= 2 3x1-x2-2x3 = 5 令x3=x3’-x3’’
x1-x2+x3 2
LP数学模型：
… + = + + Max(或Min) Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ (=, )b1 a 21 x1 + a22 x2 + … + a 2 n xn ≤ (=, )b2
s.t.
… … …
a m1 x1 + a m 2 x2 + … + a mn xn≤ (= , ≥ )bm 无限制 x1 , x2 , … , xn ≥ 0
MaxZ = CX AX = b s.t. X 0
其中 :
C = (c1 , c 2 ,
… …
cn )
a11
T
a12
… … … …
a1n
X = ( x1 , x2 ,
xn )
A=
a21
…
a22
…
a2 n
…
b = (b1 , b2 , , bm )
…
Tபைடு நூலகம்
am1 am 2
amn
（4）向量—矩阵形式：
MaxZ = CX n Pj x j = b s.t. j =1 X 0
其中：
… … T = = Pj (a1 j , a2 j , , amj ) , j 1,2, , n … A = (P , P , , Pn ) 1 2
二、线性规划模型的标准化：
将 一般形式→标准型
线性规划的标准形式有如下四个特点：
–目标最大化；
–约束为等式； –决策变量均非负； –右端项非负。
问题：如何将一般形式的线性规划模型化为
标准型，使其满足以下四个特点？
–目标最大化； –约束为等式； –决策变量均非负； –右端项非负。
（1）目标函数为最小化：令Z'=-Z，则 maxZ'=-CX。 （2）约束方程为不等式：不等号左端加 （减）松弛变量（剩余变量）。 （3）决策变量xi小于零：令xi'=-xi ，替换 原变量； 决策变量xi无约束：令xi=xi ‘-xi ’‘， 替换原变量。
线性规划（Linear Programming，LP） 是运筹学的一个重要分支。
一、问题提出
• • • • 什么是线性规划模型？ 线性规划模型的特点是什么？ 如何建立线性规划模型？ 标准化的提出及实现
定义：
对于求取一组变量 xj (j =1,2,......,n) ，使之 既满足线性约束条件，又使具有线性表达式的 目标函数取得极大值或极小值的一类最优化问 题称为线性规划问题，简称线性规划（LP）。
x1, x2 , x3 ，x3 , x4，x5 0
练习：课后习题
标准型的几种形式：
（1）展开式
Max = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a 21 x1 + a22 x2 + … + a 2 n xn = b2
各种食物的营养成分表
序号
食品名称
热量
（千卡）
蛋白质
（克）
价格 （毫克） （元） 钙
1 2 3 4
猪肉 鸡蛋 大米 白菜
1000 800 900 200
50 60 20 10
400 200 300 500
14 6 3 2
解： 设 x1 为每天猪肉的购入量， x2 为鸡蛋
的购入量， x3 为大米的购入量， x4 为白菜 的购入量，则配餐问题的线性规划模型为： min S=14x1+6x2 +3x3+2x4 s.t. 1000x1+800x2 +900x3+200x4 3000 50x1+ 60x2 + 20x3+ 10x4 55 400x1+200x2 +300x3+500x4 800 x1 ，x2 ， x3 ， x4 0
•约束条件 于 •决策变量
s.t. (subject to)
满足
用符号来表示可控制的因素
例 1 胜利家具厂生产桌子和椅子两种家 具。桌子售价 50 元 / 个，椅子销售价格 30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工 和油漆工两种工种。生产一个桌子需要 木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅 子需要木工 3 小时，油漆工 1 小时。该厂 每个月可用木工工时为120小时，油漆工 工时为50小时。问该厂如何组织生产才 能使每月的销售收入最大？
线性规划模型
max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120 2x1+ x2 50 x1,x2 0 线性规划数学模型三要素： 决策变量、约束条件、目标函数
例2 营养配餐问题 假定一个成年人每天需要从食物中 获得3000千卡的热量、55克蛋白质和 800毫克的钙。如果市场上只有四种食 品可供选择，它们每千克所含的热量 和营养成分和市场价格见下表。问如 何选择才能在满足营养的前提下使购 买食品的费用最小？
s.t.
… … …
a m1 x1 + a m 2 x2 + … + a mn xn x1 , x2 , … , xn ≥ 0
=
bm
（2）紧缩形式
Max Z = c j x j
j =1
n
s.t.
n
j =1
aij x j
=
bi
i = 1,2, … m
xj 0
j = 1,2, … n
（3）矩阵形式
线性规划模型的特点：
用一组未知变量表示所求的方案，这组 未知变量称为决策变量； 存在一定的限制条件，且为线性表达式 , 称之为约束方程；
有一个目标要求（最大化或最小化）， 目标表示为未知变量的线性表达式，称 之为目标函数；
线性规划数学模型的三要素：
•目标函数 Max F 或 Min F
-3x1+x2+2x3 = - 5
x1,x2 0, x3 无非负限制
标准型为：
Max S = x1-2x2+3x3 -3x3 +0· x4+0· x5 s.t. x1+x2+x3 -x3 +x4 =7
x1-x2+ x3 -x3 -x5=2
3x1-x2-2x3 +2x3 = 5
（4）右端常数项小于零；两边同乘-1。
例3 将下列问题化成标准型:
Min S = -x1+2x2-3x3 s.t. x1+x2+x3 7
Max S’=x1-2x2+3x3 x1+x2+x3 +x4=7 x1-x2+x3 –x5= 2 3x1-x2-2x3 = 5 令x3=x3’-x3’’
x1-x2+x3 2
LP数学模型：
… + = + + Max(或Min) Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ (=, )b1 a 21 x1 + a22 x2 + … + a 2 n xn ≤ (=, )b2
s.t.
… … …
a m1 x1 + a m 2 x2 + … + a mn xn≤ (= , ≥ )bm 无限制 x1 , x2 , … , xn ≥ 0
MaxZ = CX AX = b s.t. X 0
其中 :
C = (c1 , c 2 ,
… …
cn )
a11
T
a12
… … … …
a1n
X = ( x1 , x2 ,
xn )
A=
a21
…
a22
…
a2 n
…
b = (b1 , b2 , , bm )
…
Tபைடு நூலகம்
am1 am 2
amn
（4）向量—矩阵形式：
MaxZ = CX n Pj x j = b s.t. j =1 X 0
其中：
… … T = = Pj (a1 j , a2 j , , amj ) , j 1,2, , n … A = (P , P , , Pn ) 1 2
二、线性规划模型的标准化：
将 一般形式→标准型
线性规划的标准形式有如下四个特点：
–目标最大化；
–约束为等式； –决策变量均非负； –右端项非负。
问题：如何将一般形式的线性规划模型化为
标准型，使其满足以下四个特点？
–目标最大化； –约束为等式； –决策变量均非负； –右端项非负。
（1）目标函数为最小化：令Z'=-Z，则 maxZ'=-CX。 （2）约束方程为不等式：不等号左端加 （减）松弛变量（剩余变量）。 （3）决策变量xi小于零：令xi'=-xi ，替换 原变量； 决策变量xi无约束：令xi=xi ‘-xi ’‘， 替换原变量。