常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念
齐次方程化为可分离变量的方程去求解.
x
例1.4 求微分方程 y' y 1 的通解. x
解 令 y ux
则有 整理得 两边积分得 得
u x du u 1 dx
du dx x
u ln x ln C ln C x
y x ln C x
例1.5 求微分方程 x y ydx x2dy 0 的通解.
高等数学
常微分方程的基本概念
1.1 定义
定义1.1 含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程.
如果微分方程中的未知函数是一元函数,则称这种方程为常微分方程.
如果微分方程中的未知函数是多元函数,则称方程为偏微分方程.
微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.n 阶微分方程
的一般形式是
1.2 可分离变量的微分方程
定义1.3 如果一阶微分方程 经整理后能写成如下形式
F x, y, y' 0
g( y)dy f (x)dx 则称式(6-7)为可分离变量的微分方程.
(6-7) (6-8)
可分离变量方程解法是,对变量分离方程式(6 - 8),两边取
不定积分,即
g( y)dy f (x)dx
1.3 一阶齐次微分方程
定义1.4 如果一阶微分方程能化为
dy dx
f
y x
的形式,就称为一阶齐次微分方程,简称为齐次方程.
(6-10)
对于齐次方程,解法是令u y y xu 得
x
dy u x du f u
dx
dx
分离变量得
f
du
u u
dx x
这就是可分离变量的方程,也就是说,通过代换 u y , 可以把
常微分方程基本概念
常微分方程基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是数学分析中的一个重要分支，研究的是一元函数的导数与自变量之间的关系。
它在物理学、工程学、生物学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念和相关知识。
一、常微分方程的定义常微分方程是描述未知函数的导数与自变量之间关系的方程。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
二、常微分方程的阶数常微分方程根据未知函数的最高阶导数的阶数不同，可以分为一阶、二阶、高阶等不同阶数的微分方程。
1. 一阶微分方程一阶微分方程是指含有一阶导数的方程。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)例如，y' = 2x + 1就是一个一阶微分方程，其中y'表示y对x的一阶导数。
2. 二阶微分方程二阶微分方程是指含有二阶导数的方程。
一般形式可以表示为：d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)例如，y'' + y = 0就是一个二阶微分方程，其中y''表示y对x的二阶导数。
三、常微分方程的初值问题和边值问题常微分方程除了描述函数的导数与自变量之间的关系外，还可以给出一些初始条件或边界条件，从而确定唯一的解。
1. 初值问题初值问题是指在微分方程中给出了函数在某一点的初值条件，要求求解出满足该条件的解。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)，y(x₀) = y₀其中，y(x₀) = y₀表示在点(x₀, y₀)处给定了函数的初始值条件。
2. 边值问题边值问题是指在微分方程中给出了函数在多个点的边界条件，要求求解出满足这些条件的解。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)，y(a) = y_a，y(b) = y_b其中，y(a) = y_a和y(b) = y_b表示在点(a, y_a)和(b, y_b)处给定了函数的边界条件。
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念什么是常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变量只有一个的函数的微分方程。
通常表示为形如dy/dx = f(x, y)的方程，其中y是未知函数，x是自变量，dy/dx表示y对x的导数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程主要用于描述变量之间的关系和变化规律。
常微分方程的分类常微分方程可以根据其阶数、线性性质和特殊形式进行分类。
阶数根据常微分方程中导数的阶数，可以将其分为一阶常微分方程、二阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程一阶常微分方程具有形式dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知函数。
一阶常微分方程的解包含一个任意常数。
二阶常微分方程二阶常微分方程具有形式d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)，其中f(x, y, dy/dx)是已知函数。
二阶常微分方程的解包含两个任意常数。
线性和非线性根据常微分方程中的未知函数和导数之间的线性关系，常微分方程可以分为线性常微分方程和非线性常微分方程。
线性常微分方程线性常微分方程具有形式aₙ(x) * dⁿy/dxⁿ + aₙ₋₁(x) * dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + … + a₁(x) * dy/dx + a₀(x) * y = f(x)，其中aₙ(x)到a₀(x)是已知函数，f(x)是已知函数。
非线性常微分方程非线性常微分方程中的未知函数和导数之间的关系是非线性的，不能表示为线性的组合。
特殊形式常微分方程可以根据其特殊形式进行分类，包括可分离变量形式、齐次形式、恰当形式等。
常微分方程的解法常微分方程的解法包括解析解和数值解。
解析解解析解是指可以用一种或多种已知的函数表达式表示出来的解。
常微分方程的解析解的求解过程可以使用分离变量法、线性常系数齐次方程解法、变量替换法等。
数值解数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中的一个重要分支，用来研究包含未知函数及其导数的方程。
它在物理学、工程学、经济学等学科中有着广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念，包括一阶和二阶微分方程、初值问题以及常见的解析解方法。
一、一阶微分方程一阶微分方程是指未知函数的导数只出现一阶的微分方程。
一般形式可以表示为：\[\frac{{dy}}{{dx}} = f(x, y)\]其中，y是未知函数，f(x, y)是已知的函数。
一阶微分方程的解是函数y(x)，使得方程对于所有的x成立。
为了求解一阶微分方程，我们可以使用分离变量法、恰当方程法或者线性方程法等解析解方法。
分离变量法要求将未知函数y与自变量x 的项分开，并进行适当变换，使得两边可以分别积分得到解。
恰当方程法要求将一阶微分方程化为全微分形式，然后积分求解。
线性方程法则适用于具有形如\(\frac{{dy}}{{dx}} + p(x)y = q(x)\)的方程，通过乘以合适的因子，将其转化为恰当方程求解。
二、二阶微分方程二阶微分方程是指未知函数的导数出现在方程中的最高阶为二阶的微分方程。
一般形式可以表示为：\[\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = f(x, y, \frac{{dy}}{{dx}})\]其中，y是未知函数，f(x, y, \(\frac{{dy}}{{dx}}\))是已知的多元函数。
二阶微分方程的解是函数y(x)，使得方程对于所有的x成立。
与一阶微分方程类似，二阶微分方程的求解也可以通过解析解方法进行。
其中，常见的解法包括常系数线性齐次方程法、特殊非齐次方程法和变量分离法等。
常系数线性齐次方程法适用于形如\(\frac{{d^2y}}{{dx^2}} + a\frac{{dy}}{{dx}} + by = 0\)的方程，通过猜测解的形式，将其代入方程并化简求解。
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。
2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
《常微分方程》知识点
《常微分方程》知识点常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的数学学科。
常微分方程在科学和工程领域中有着广泛的应用，涉及到许多重要的数学原理和方法。
下面将介绍常微分方程的一些重要知识点。
1.基本概念-常微分方程的定义：常微分方程是描述未知函数在其中一区域上的导数与自变量之间的关系的方程。
-方程的阶数：常微分方程中最高阶导数的阶数称为方程的阶数。
-解和解集：满足常微分方程的未知函数称为方程的解，所有满足方程的解的集合称为方程的解集。
2.常微分方程的分类-分离变量法：适用于可以通过变量分离的常微分方程，将所有含有未知函数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，然后两边同时积分求解。
-齐次方程：适用于可以化为齐次方程的常微分方程，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
-线性齐次方程：适用于可以化为线性齐次方程的常微分方程，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
-非齐次方程：适用于非齐次方程的常微分方程，可以通过对应的齐次方程的解和特解的叠加，得到非齐次方程的解。
-可降阶的方程：这类方程具有特殊的形式，通过进行变量的代换，可以将高阶常微分方程转化为一阶或者低阶的方程，然后求解。
3.常微分方程的解法-解析解：指通过直接计算得到的解析表达式，能够准确地求得方程的解。
-数值解：指通过数值计算的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等，近似求解方程的解。
4.常用的一阶常微分方程- 可分离变量的方程：形如dy/dx = f(x)g(y)，通过将变量分离，然后积分求解得到解析解。
- 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
- 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
常微分方程的基本概念及其求解方法
常微分方程的基本概念及其求解方法常微分方程是数学中一种基础而又普遍的模型，它描述了自然界中大量的现象，例如物理运动、化学反应、生物生长等。
在科学和工程中，常微分方程的应用十分广泛，因此学习和掌握它是非常重要的。
本文将从常微分方程的基本概念和求解方法两方面，为读者介绍常微分方程。
一、常微分方程的基本概念1.1 定义常微分方程是指一个包含一个或多个未知函数及其导数的等式。
通常情况下，未知函数是一个关于一元变量的的函数。
例如，下面这个方程就是一个一阶常微分方程：y' = f(x, y)其中，y'表示y关于自变量x的导数，f(x, y)是一个已知的函数。
1.2 阶数常微分方程的阶数是指方程中导数的最高阶数。
例如，y'' + 2y' + y = 0 是一个二阶常微分方程。
1.3 初值问题常微分方程有时也被称为初值问题，因为为了求解方程，我们需要先给出初值。
初值问题指的是给定某个时刻的函数值和导数值，以及常微分方程本身，求解函数在其他时刻的值。
例如，y' = f(x, y)，y(x0) = y0 就是一个初值问题，其中y(x0) = y0表示在x = x0时函数y的值为y0。
二、常微分方程的求解方法2.1 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最基本的方法。
它的基本思路是将未知函数的导数通过分离变量的方法移到等式的一侧，将其他项移到另一侧，从而实现变量的分离。
例如，对于y' =f(x)g(y)，我们可以将其改写成dy/g(y) = f(x) dx，然后对两边积分得到：ln |g(y)| = F(x) + C其中F(x)和C是常数，|g(y)|表示g(y)的绝对值。
通过取指数，我们可以得到g(y)的表达式，从而求得未知函数。
2.2 变量代换法当分离变量法难以应用时，可以采用变量代换法。
变量代换的基本思路是将因式分解，然后进行替换。
例如，对于y' + 2y/x =x^2，我们可以将y = ux^m代入方程，其中m是一个待定的整数。
常微分方程基本概念
注1:称函数y (x, c1,, cn )含有n个独立常数,是指
存在(x, c1,, cn )的某一邻域,使得行列式
c1
(, ',, (n1) )
(c1, c2 ,, cn )
'
c1
(n1)
c1
c2
cn
'
c2
'
cn 0
(n1) (n1)
为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实 际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.
求满足定解条件的求解问题称为定解问题.
常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初
始条件是指如下的n个条件:
当x
x 0时,
y
y0 ,
dy dx
y (1) 0
,,
d (n1) y dxn1
y (n1) 0
这里x0 , y0 , y0(1) ,, y0(n1)是给定的 n 1个常数.
定义6 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解 称ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程的特解.
例如 y sinx, y cosx都是方程 y" y 0的特解. 可在通解y c1sinx c2cosx中分别取 c1 1, c2 0,得到 : y sinx,
c1 0, c2 1,得到 : y cosx.
3 定解条件
tx
dx dt
3
x
0;
d4x d2x (4) dt4 5 dt2 3x sin t;
都是常微分方程
2.偏微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程.
如 (5) z z z ;
x y
常微分方程课件
常微分方程课件常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然现象中变化规律的方程。
在物理、生物、经济等领域中，常微分方程都有着广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念、解的存在唯一性以及一些常见的解法方法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类。
一阶常微分方程只涉及到一阶导数，而高阶常微分方程则涉及到高阶导数。
二、解的存在唯一性对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，解的存在唯一性定理告诉我们，在一定条件下，该方程存在唯一的解。
这一定理的证明通常基于柯西-利普希茨定理，该定理表明如果f(x, y)在某个区域内连续且满足利普希茨条件，那么解是存在且唯一的。
三、常见的解法方法1. 可分离变量法：当方程可以写成dy/dx = g(x)h(y)的形式时，我们可以通过分离变量的方式将方程化简成两个可积分的方程，然后分别对x和y进行积分得到解。
2. 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程可以通过积分因子法求解。
通过找到一个合适的积分因子，将方程变换为(d(xy)/dx) = r(x)，然后对两边进行积分得到解。
3. 齐次方程：对于形如dy/dx = f(y/x)的齐次方程，我们可以通过变量替换y =vx将方程转化为可分离变量的形式，然后进行积分得到解。
4. 变量代换法：当方程形式复杂或者无法直接求解时，我们可以通过适当的变量代换将方程化简为更简单的形式，然后再进行求解。
四、应用举例常微分方程在各个领域都有着广泛的应用。
以生物学为例，常微分方程可以用来描述生物种群的增长和衰减规律，从而帮助我们研究生物种群的动态变化。
在经济学中，常微分方程可以用来描述经济模型中的供需关系、市场价格等因素的变化规律，从而帮助我们预测和分析经济现象。
常微分方程的基本概念与解法
常微分方程的基本概念与解法常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述变化规律的方程中出现的微分项。
本文将介绍常微分方程的基本概念和解法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数和自变量之间的关系方程。
一般形式可以表示为：\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，y为未知函数，x为自变量，y'，y''，...，y^(n)为y的一阶、二阶，...，n阶导数，n为正整数。
常微分方程的阶数指的是方程中最高阶导数的阶数。
例如一阶常微分方程只包含y'，二阶常微分方程包含y'和y''，依此类推。
常微分方程可以分为常系数微分方程和变系数微分方程。
常系数微分方程中的系数是常数，变系数微分方程中的系数可以是关于自变量x 的函数。
二、常微分方程的解法常微分方程的解法可以分为初值问题和边值问题。
1. 初值问题初值问题是指在方程中给定自变量x的某个初始值和未知函数y在该点的初值。
对于一阶常微分方程，求解初值问题的基本步骤如下：(1) 将一阶常微分方程改写成dy/dx = f(x, y)的形式；(2) 使用分离变量、全微分或变量代换等方法将方程转化为可分离变量的形式；(3) 对变量进行积分，得到通解；(4) 将初始条件代入通解中，求解常数，得到特解。
对于高阶常微分方程，可以通过转化为一阶常微分方程组的形式，然后利用类似的方法求解。
2. 边值问题边值问题是指在方程中给定自变量x在两个不同点上的值，要求找到满足这些条件的未知函数y。
对于二阶线性常微分方程的边值问题，可以使用常数变易法或格林函数法等求解方法。
三、常微分方程的应用常微分方程在科学和工程领域中具有广泛的应用。
以下是常见的几个应用领域：1. 物理学常微分方程在描述物理系统的运动规律中起着重要的作用。
例如，牛顿第二定律可以表示为二阶线性常微分方程。
什么叫做常微分方程
什么叫做常微分方程导论：在数学中，方程是研究数学问题最基本的工具之一。
所谓方程，就是包含未知数的等式或不等式，通过求解方程，我们可以找到满足条件的未知数的值。
常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）是一类描述自然和科学现象中变化率的数学方程。
本文将介绍常微分方程的定义、特点以及一些解法。
一、常微分方程的定义常微分方程是描述未知函数和它的导数之间关系的方程。
通常，常微分方程可以写成以下形式：dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f(x, y)是已知函数。
这个方程就是一个一阶常微分方程。
如果方程中含有更高阶的导数，那么它就是高阶常微分方程。
常微分方程的求解目标是找到满足方程的函数。
二、常微分方程的特点1. 未知函数与导数之间的关系：常微分方程是通过已知函数和它的导数来描述未知函数与其自身的变化关系。
换句话说，通过已知的输入和输出值，我们可以推断未知函数的变化规律。
2. 存在多个解：与代数方程不同的是，常微分方程往往具有多个解。
这是因为常微分方程描述的是函数的变化规律，而同一个变化规律可以对应不同的函数形式。
3. 初始条件：为了确定常微分方程的解，需要给出初始条件。
初始条件通常是未知函数在某个点的函数值和导数值。
通过给出初始条件，我们可以唯一确定一个解。
三、常微分方程的解法常微分方程的解法众多，常见的解法包括分离变量法、常数变易法、齐次方程法等等。
以下是其中两种常用的解法：1. 分离变量法：分离变量法适用于可以将方程中的变量分开的情况。
首先将方程两边的变量分开，变成一个只包含y的方程和一个只包含x的方程，然后对两个方程进行积分，最后解出y的表达式。
2. 常数变易法：常数变易法适用于一些特殊形式的常微分方程。
首先假设待解方程的解为y = u(x) * v(x)，其中u(x)和v(x)都是关于x 的函数，然后将y及其导数带入原方程，得到关于u(x)和v(x)的方程组，通过求解该方程组，最后解出u(x)和v(x)，再将它们代入y= u(x) * v(x)，得到方程的解。
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念
一、 常微分方程的概念
① 微分方程的概念：凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫做微分方程。
② 常微分方程的概念：未知函数是一元函数的，
叫做常微分方程。
③ 微分方程阶的概念：微分方程中多出现的未知函数的最高阶导数即是微分方程的阶。
一般地，n 阶微分方程的形式是:
()(...)0n F x y y y y ′′′⋅⋅⋅=
其中F 是n+2个变量的函数，且是必须出现的，而小于n 阶导数的变量不一定要出现。
()n y
④ 微分方程的解：在解决实际问题中，往往建立的微分方程，然后找出满足微分方程的函数（解微分方程），找出的这样的函数带入微分方程，使该微分方程成为恒等式，这个函数就叫做微分方程的解。
⑤ 微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与方程的阶数相同，则这样的解叫做微分方程的通解。
⑥ 微分方程的初始条件：设微分方程中的未知函数为()y y x =，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是：
00
y y x x == 00y y x x ′
′== 其中，，都是给定的值，上述这种条件称为微分方程的初始条件。
0x 0y 0
y ′⑦ 微分方程的特解：确定了通解中的任意常数后，得到微分方程
的特解。
二、 线性的概念：
未知函数和各阶导数只出现一次·。
常微分方程的大致知识点
常微分方程的大致知识点一、基本概念1. 微分方程：包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)。
2.隐式解：由微分方程定义的函数关系，即常微分方程的解。
3.解的阶：微分方程解中导数的最高阶数。
4.初值问题：给定微分方程解及其导数在其中一点的初始条件，求解在该点上的特定解。
二、分类根据微分方程中未知函数的阶数、系数是否包含自变量，以及方程是否含有非线性项，常微分方程可以分为以下几类：1.一阶微分方程：- 可分离变量方程：dy/dx = g(x)/h(y)，通过变量分离可将方程化为两个变量的乘积。
- 齐次方程：dy/dx = f(x, y)，通过变量代换将方程化为变量分离方程。
- 一阶线性方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)，通过积分因子法求解。
- Bernoulli方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，通过变换化为线性方程求解。
2.二阶微分方程：- 齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，通过特征方程求解。
- 非齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，通过待定系数法和特解法求解。
- 常系数线性方程：d^2y/dx^2 + a dy/dx + by = f(x)，通过特征方程和特解法求解。
三、解法1.变量分离法：一阶微分方程中的可分离变量方程通过将未知函数与自变量的微分分离，然后两边同时积分得到解。
2.变量代换法：一阶微分方程中的齐次方程通过将未知函数表示为新的变量，从而将方程化为分离变量方程。
3.积分因子法：一阶线性方程通过找到一个适当的函数作为积分因子，然后将方程乘以积分因子，从而使得方程左侧成为一个全微分。
4.特征方程法：二阶齐次线性方程通过设解为指数函数的形式，通过特征方程求解。
5.待定系数法：二阶非齐次线性方程通过假设特解为其中一形式的函数，然后解出系数。
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念
常微分方程 (Linear Ordinary Differential Equation) 是一类描述物理量随时间变化的线性微分方程，其一般形式为:
$$y"=f(t,y)$$
其中，$y$ 表示物理量，$t$ 是时间变量，$y"=dy/dt$ 表示物理量随时间的变化率，$f(t,y)$ 是与 $y$ 相关的函数。
常微分方程的分类可以根据 $f(t,y)$ 的特征进行。
具体来说，可以根据 $f(t,y)$ 的构成分为以下几类:
1. 常数变易法 (Constant Variation Method):适用于
$f(t,y)$ 是常数。
2. 变量替换法 (Variable Substitution Method):适用于
$f(t,y)$ 是线性函数。
3. 特征值法 (Eigenvalue Method):适用于 $f(t,y)$ 具有特
征值。
4. 谱方法 (Series Expansion Method):适用于 $f(t,y)$ 具有谱性质。
求解常微分方程的方法包括数值求解和解析求解两种方法。
数值求解是通过数值计算的方法求解常微分方程的解，而解析求解则是通过数学方法直接求解常微分方程的解。
解析求解的方法包括分离变量法、特征值法、积分法等。
常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用，例如求解物体的运动轨迹、反应扩散方程、财务分析等。
常微分方程基本概念
目录
• 常微分方程的定义与分类 • 常微分方程的解法 • 常微分方程的应用 • 常微分方程的数值解法 • 常微分方程的稳定性 • 常微分方程的近似解法
01 常微分方程的定义与分类
定义
定义1
常微分方程是包含一个或多个未知函数的导 数的方程。
定义2
常微分方程是描述一个或多个未知函数随时间变化 的数学模型。
非线性系统的稳定性
01
非线性系统的稳定性是指系统在受到扰动后，能否 保持在一定的平衡状态。
02
非线性系统的稳定性可以通过分析系统的动态行为 来判断。
03
非线性系统的稳定性判据包括：局部稳定性和全局 稳定性。
稳定性判据
劳斯-霍尔维茨判据
用于判断线性时不变系统的稳定性，通过 计算系统的极点和零点来确定系统的稳定
参数法适用于一些难以直接求解的常微分 方程，通过引入参数，对方程进行变形， 使其转化为可求解的形式。这种方法在求 解某些特殊类型的常微分方程时非常有效 。
积分因子法
总结词
积分因子法是一种通过引入积分因子来化简常微分方程的方法。
详细描述
积分因子法适用于具有特定形式的常微分方程，通过引入积分因子，将原方程转化为易于求解的形式。这种方法 在求解某些特殊类型的常微分方程时非常有效。
牛顿第二定律
01
描述物体运动规律时，常使用常微分方程来表达加速度与力和
质量的关系。
波动方程
02
在研究波动现象，如声波、光波和水波时，常微分方程用来描
述波的传播规律。
热传导方程
03
在研究热量传递和扩散时，热传导方程用来描述温度随时间和
空间的变化规律。
生物问题
种群动态
常微分方程基础概念
常微分方程基础概念常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）是数学中研究函数和它的导数之间关系的重要分支。
常微分方程具有广泛的应用，可以用于描述动力学系统、物理问题、生物学过程等领域。
本文将介绍常微分方程的基础概念，帮助读者了解其基本定义、分类和解的求解方法。
一、常微分方程的定义常微分方程是描述一个未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。
一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
在这个方程中，y的导数dy/dx 是未知函数y的变化率，f(x, y)则给出了此变化率的具体表达。
二、常微分方程的分类常微分方程可以根据方程中未知函数、自变量和导数的阶数进行分类。
常见的分类如下：1. 一阶常微分方程一阶常微分方程是指方程中未知函数的最高阶导数为一阶导数的方程。
一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)2. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指方程中未知函数的最高阶导数大于一阶导数的方程。
高阶常微分方程的一般形式为：d^n y / dx^n = f(x, y, dy/dx, d^2y/dx^2, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))其中，d^n y / dx^n 表示y的n阶导数。
三、常微分方程的解的求解方法常微分方程的求解是指找到满足方程的未知函数y的表达式。
常微分方程的求解方法有多种，常见的几种方法如下：1. 分离变量法分离变量法是指将常微分方程的变量分离到等式两侧，并分别积分求解。
常用于求解可以写成dy/dx = g(x)h(y)的一阶常微分方程。
2. 变量代换法变量代换法是指通过引入新的变量或通过代换将原方程转化为更简单的形式，然后进行求解。
常用于求解一些特殊形式的方程。
3. 齐次方程法齐次方程法是指通过引入新的变量将非齐次方程转化为齐次方程，然后进行求解。
常用于求解一阶线性常微分方程。
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念常微分方程是数学中最为重要的一个分支，它描述的是关于一个未知函数及其导数的方程。
有着广泛的应用，例如生物学、物理学、经济学等等领域。
本文将为大家详细讲解常微分方程的基本概念。
一、定义常微分方程是指一个未知函数对自变量的一阶或高阶导数以及自变量的关系式。
常见的一阶常微分方程一般形式是$y^\prime=f(x,y)$，其中$y^\prime$表示函数$y(x)$的一阶导数，$f(x,y)$表示方程右端的可导函数。
二、基本形式常微分方程的一般形式可以写成：$$F(x,y,y^\prime,\cdots,y^{(n)})=0$$其中$n$为方程的阶数。
方程的解是指满足上式的函数$y(x)$。
一般情况下，我们只考虑一阶和二阶的常微分方程。
三、初值问题对于一阶微分方程$y^\prime=f(x,y)$，如果已知$y(x_0)=y_0$，那么就得到了关于$x$的一个初值问题。
解这个问题就是找到一个函数$y(x)$，满足$y(x_0)=y_0$且满足微分方程$y^\prime=f(x,y)$。
四、解的存在唯一性定理常微分方程的解不一定存在，而且即使存在，也不一定唯一。
因此，我们需要一个定理来保证解的存在唯一性。
定理：设$f(x,y)$及其偏导数$\frac{\partial f}{\partial y}$在矩形$R=\{|x-x_0|\le a,|y-y_0|\le b\}$中连续，则在点$(x_0,y_0)$存在唯一的解$y=\varphi(x)$满足$\varphi(x_0)=y_0$。
解的存在唯一性定理是常微分方程理论的基础，也是实际应用中判断解的存在性和唯一性的必要条件。
五、解的通解对于一阶微分方程$y^\prime=f(x,y)$，我们可以通过变量分离法、一次齐次方程法、常数变易法等方法得到它的解。
通解指满足微分方程$y^\prime=f(x,y)$的所有解的集合，常常表示为$y=\varphi(x,c)$，其中$c$是任意常数。
常微分方程的基本概念与解法
常微分方程的基本概念与解法常微分方程是数学中的一门重要分支，用于描述自然界中的各种变化规律。
本文将介绍常微分方程的基本概念和常见的解法。
一、常微分方程的概念常微分方程是关于未知函数的导数和自变量之间的关系式，其中自变量通常表示时间。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两种。
1. 一阶常微分方程一阶常微分方程是指未知函数的导数只涉及到一阶导数的方程。
一阶常微分方程的一般形式为dy/dx = f(x, y)，也可以写成f(x, y)dx - dy = 0。
其中f(x, y)是已知函数，x是自变量，y是未知函数。
2. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指未知函数的导数涉及到高阶导数的方程。
高阶常微分方程的一般形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, d^2 y/dx^2, ..., d^(n-1) y/dx^(n-1))，其中n为正整数，f是已知函数，x是自变量，y是未知函数。
二、常微分方程的解法解常微分方程的方法多种多样，根据方程的类型和特点选择不同的解法。
1. 可分离变量法当方程可以写成dy/dx = g(x)h(y)的形式时，可以使用可分离变量法解方程。
这种方法的关键是将变量分离，即将含有y的项移到方程的一边，含有x的项移到方程的另一边，然后分别积分得到x和y的表达式。
2. 线性常微分方程的求解线性常微分方程是指方程可以写成dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式。
对于线性常微分方程，可以使用积分因子法求解。
首先找到一个函数u(x)，使得dy/dx + P(x)y = Q(x)乘以u(x)后变为全导数，则原方程可以写成d(uy)/dx = Q(x)u(x)的形式。
然后对等式两边进行积分并解得y的表达式。
3. 齐次线性常微分方程的求解齐次线性常微分方程是指方程可以写成dy/dx = f(y/x)的形式。
常微分方程知识点
常微分方程知识点常微分方程是微积分的一个重要分支，是描述物理、生物、经济等各类现象的一种数学模型。
常微分方程描述了未知函数与其导数之间的关系，在实际问题中具有广泛的应用。
下面将介绍常微分方程的基本概念、解的存在唯一性、一阶常微分方程和高阶常微分方程等知识点。
1.基本概念：常微分方程描述的是函数与其导数之间的关系。
常微分方程可以分为初值问题和边值问题。
初值问题是给定了函数在特定点的初始值和导数，要求求解函数在整个定义域上的表达式；边值问题是给定了函数在两个点的值，要求求解函数在这两个点之间的表达式。
2.解的存在唯一性：对于一阶常微分方程的初值问题，如果方程的右端函数在整个定义域上连续且满足利普希茨条件，那么方程存在唯一解。
其中利普希茨条件是指有一个正数L，使得对于任意t和s，满足，f(t)-f(s)，≤L，t-s。
3.一阶常微分方程：一阶常微分方程描述的是未知函数y与其一阶导数y'之间的关系。
一阶常微分方程的一般形式为dy/dt = f(t, y)，其中f(t, y)是已知函数。
一阶常微分方程的解可以通过分离变量、线性方程、齐次方程和恰当方程等方法求解。
4.高阶常微分方程：高阶常微分方程描述的是未知函数与其高阶导数之间的关系。
高阶常微分方程的一般形式为d^n y/dt^n = F(t, y, y', ..., y^n-1)，其中F(t, y, y', ..., y^n-1)是已知函数。
高阶常微分方程的解可以通过代数法、特征方程和待定系数法等方法求解。
5.变量分离方法：当一阶常微分方程的右端可以写成g(y)·h(t)的形式时，可以使用变量分离方法求解。
将方程改写为1/g(y) dy = h(t) dt，然后对两边分别积分得到∫1/g(y) dy = ∫h(t) dt，从而求得y的表达式。
6.线性方程方法：当一阶常微分方程可以写成y'+p(t)y=q(t)的形式时，可以使用线性方程方法求解。
常微分方程常考知识点总结
常微分方程常考知识点总结一、基本概念。
1. 常微分方程的定义。
- 含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的等式称为常微分方程。
例如：y' + 2y = 0，这里y = y(x)是未知函数，x是自变量，y'是y对x的一阶导数。
2. 阶数。
- 方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。
如y''+3y' - 2y = x是二阶常微分方程，因为方程中未知函数y的最高阶导数是二阶导数y''。
3. 解、通解、特解。
- 解：如果函数y = φ(x)代入常微分方程后，使方程成为恒等式，那么y=φ(x)就称为该常微分方程的解。
- 通解：如果常微分方程的解中含有独立的任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。
例如，对于一阶常微分方程y'=y，其通解为y = Ce^x（C为任意常数）。
- 特解：在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为特解。
比如在y = Ce^x中，当C = 1时，y = e^x就是一个特解。
二、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式为g(y)dy = f(x)dx的方程称为可分离变量方程。
- 求解方法：将方程两边同时积分，即∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，得到方程的通解。
例如，对于方程y'=(y)/(x)，可化为(dy)/(y)=(dx)/(x)，积分得lny=lnx+C，即y = Cx （C≠0）。
2. 齐次方程。
- 形式为y'=φ((y)/(x))的方程称为齐次方程。
- 求解方法：令u = (y)/(x)，则y = ux，y'=u + xu'，原方程化为u+xu'=φ(u)，这是一个可分离变量方程，按照可分离变量方程的方法求解。
例如，对于方程y'=(y)/(x)+tan(y)/(x)，令u=(y)/(x)，方程化为u + xu'=u+tan u，即xu'=tan u，然后分离变量求解。
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考点：常微分方程的基本概念【☆☆☆☆☆】1.微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程. 若未知函数是一元函数，则称为常微分方程； 若未知函数是多元函数，则称为偏微分方程. 考题链接：例：*320y x y x y xdy ydx ''=++=+=，， 2.阶：未知函数的最高阶导数的阶数. 考题链接：例：微分方程()2420x y y x y '''+-=的阶数是（ ） A.1B.2C.3D.43.性微分方程：()()()()()()*012nn f x y f x y f x y f x y f x '⋅+⋅+⋅++⋅=考题链接：例：判断下列函数是否为线性方程. （1）2y x y '=+ （2）2sin y x y x '=++ （3）sin 0y x y '-+= （4）2y yy x '''-= （5）()23y x y '=+4.解：若()y x ϕ=代入方程成为恒等式，则称()y x ϕ=为方程的一个解.（1）通解：含有相互独立（不能合并，212y C x C x =+与12y C x C x =+）的任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同的微分方程的解. （2）特解：不含任意常数的解.例1：某二阶常微分方程的下列解中为通解的是（ ） A.sin y C x =B.12sin cos y C x C x =+C.sin cos y x x =+D.()12cos y C C x =+例2：函数sin y C x =（其中C 为任意常数）是微分方程0y y ''+=的（ ） A.通解B.特解C.解D.不是解例3：已知微分方程x y ay e '+=的一个特解为x y xe =，则a =________.考点：可分离变量的微分方程【☆☆☆☆☆】（1）标准形式：()()f y dy g x dx =（2）解法：①分离变量，化为标准形式；②两边同时积分. 例1：微分方程0dx dy y x+=的通解是（ ） A.2225x y += B.34x y C += C.22x y C +=D.227y x -=例2：方程22sec tan sec tan 0x ydx y xdy +=的通解为________. 例3：微分方程220dy xy dx -=满足条件()11y =-的特解是（ ） A.21y x=B.21y x=-C.2y x =D.2y x =-考点：齐次方程【☆☆☆☆☆】（1）标准形式：y y f x⎛⎫= ⎪⎝⎭考题链接： 例：22x y x y '=+不是222x y x y '=+是（2）解法：①化为标准形式； ②令yu x=，代入方程消去y ； ③化为x 与u 的可分离变量的微分方程，求解. 例：求sin 0y xy x y x'--=的通解.考点：一阶线性微分方程【☆☆☆☆☆】（1）标准形式：()()y P x y Q x '+=（2）解法：①化为标准形式；②套公式()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰注：在此公式中，解不定积分时，不加绝对值，也不加任意常数C . 例：解方程3xy y x '-=.考点：二阶常系数非齐次线性微分方程()y py qy f x '''++=【☆☆☆☆☆】 1.解的结构定理()()0y p x y q x y '''++=（齐次）..............① ()()()y p x y q x y f x '''++=（非齐次）..............②若()Y x 是①的通解，()*y x 是②的特解，则()()*Y x y x +为②的通解. 2.写出特解形式①若()()x n f x P x e λ=，特解形式应设为()*k x n y x Q x e λ=，其中012k λλλ⎧⎪⎨⎪⎩不是特征根是单根是重根例1.用待定系数法求方程()24421x y y y x e '''-+=+的特解时，特解应设为________. 例2.微分方程2x y y y xe -'''+-=的特解用特定系数法可设为（ ） A.()*x y x ax b e -=+ B.()*2x y x ax b e -=+ C.()*x y ax b e -=+ D.*x y axe -=例3.微分方程x y y xe -'''+=的特解形式应设为*y =（ ） A.()x x ax b e -+ B.ax b + C.()x ax b e -+D.()2x x ax b e -+例4.对于微分方程22y y x ''-=利用待定系数法求特解*y 时，下列特解设法正确的是（ ） A.*2y ax bx c =++ B.()*22y x ax bx c =++ C.()*y x ax b =+D.()*2y x ax bx c =++②若()()cos sin x f x C x D x e λωω=+，特解形式应设为()*cos sin k x y x A x B x e λωω=+，其中01i k i λωλω±⎧=⎨±⎩不是特征根是特征根考题链接：例1：微分方程sin cos y y x x ''+=+特解形式应设为*y =________. 例2：微分方程32cos x y y y e x -'''++=特解形式应设为*y =（ ） A.cos x Ce xB.()12cos sin x e C x C x +C.()12cos sin x xe C x C x +D.()212cos sin x x e C x C x +3.求通解①求出与其对应的齐次方程*0y py qy '++=的通解Y ； ②利用待定系数法求出非齐次的一个特解*y ； ③写出非齐次的通解*y Y y =+.考点：可降阶的高阶微分方程【☆☆☆☆☆】1.()()n y f x =型 解法：作n 次不定积分 考题链接：例：微分方程24y x '''=通解为________. 2.()y f x y '''=，型解法：令y p '=，两边对x 求导，y p '''=，然后代入原方程，转化为一阶微分方程求解.例：微分方程4xy y x '''+=的通解为. 3.()y f y y '''=，型解法：令y p '=，两边对x 求导，dp dp dy dpy p dx dy dx dy'==⋅=，然后代入原方程，转化为一阶微分方程求解.例：求微分方程()20yy y '''-=的通解.考点：二阶常系数齐次线性微分方程【☆☆☆☆☆】1.解的结构定理：若()()12y x y x ，都是方程()()0y p x y q x y '''++=的解，则线性组合1122C y C y +（12C C ，为任意常数）仍为它的解.若()()12y x y x ，线性无关（()210y ky k ≠≠），则1122C y C y +为它的通解. 2.求通解：①写出相应的特征方程20r pr q ++= ②求出特征根12r r ， ③写出通解.通解形式：不同实根121212r x r x r r y C e C e ≠=+，重根1212rx rx r r r y C e C xe ===+，共轭复根()1,212cos sin x r i y e C x C x ααβββ=±=+，例1：微分方程20y y y '''++=的通解为（ ） A.12x x C e C e -+B.12x C C e -+C.12x x C e C e --+D.()12x C C x e -+例2：微分方程40y y ''-=的通解为（ ） A.2212x x y C e C e -=+ B.()212x y C C x e =+ C.212x y C C e =+D.12cos2sin 2y C x C x =+例3：求微分方程222430d y dyy dx dx++=的通解.3.已知通解，反求微分方程 ①找出特征根； ②写出特征方程； ③写出微分方程. 考题链接：例1：通解为312x x y C e C xe -=+（为任意常数）的二阶线性常系数齐次微分方程为________.例2.以3312x x y C e C xe --=+为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为________.考点：空间直角坐标系【☆☆☆☆☆】1.空间直角坐标系三个坐标轴：x 轴（横轴），y 轴（纵轴），z 轴（竖轴），它们的正向满足右手法则三个坐标平面 八个卦限2.空间内点的坐标()x y z ，，（1）坐标轴上的点：x 轴（x ，0，0），y 轴（0，y ，0），z 轴（0，0，z ） （2）坐标平面上的点：xOy 平面（x ，y ，0），yOz 平面（0，y ，z ），xOz 平面（x ，0，z ） 3.两点间的距离()()1111222212M x y z M x y z M M =，，，，，考点：向量的概念【☆☆☆☆☆】（1）向量的定义：既有大小又有方向的量. （2）向量的表示方法 ①坐标表示：()x y z a a a a =，，已知()()111222A x y z B x y z ，，，，，，则()212121AB x x y y z z =---，，. ②向量表示：x y z a a i a j a k =++其中分别为沿坐标轴x ，y ，z 正向的单位向量，即()()()1,0,00,1,00,0,1i j k ===，， （3）向量的横：2x a a a =+考题链接：例：向量34a i j k =+-的模a =________. （4）单位向量：模长为1的向量. （5）单位化：a a（6）方向角与方向余弦①方向角：非零向量a 与三条坐标轴的夹角αβγ，，称为向量a 的方向角.[]0αβγπ∈，，，②方向余弦：cos cos cos y x z a a a aaaαβγ===，，，222coscos cos 1αβγ++=例1：已知两点(A 和B （1，3，0）计算向量AB 的模、方向余弦和左向角. 例2：下列各组角中，可以作为向量的一组方向角的是（ ） А.446πππ，，B.432πππ，，C.434πππ，，D.433πππ，，考点：向量的线性运算【☆☆☆☆☆】（1）{}x x y y z z a b a b a b a b ±=±±±，， （2）()x y z a a a a λλλλ=，，，a λ与a 平行. 定理：//y x zx y zb b b b a b a a a a λ⇔=⇔== 考题链接：例：已知向量{}5,,2a x =-和{},6,4b y =平行，则x 和y 的值分别为________.考点：向量的数量积（点积、内积）（1）定义：cos ,cos a b a b a b a b θ∧⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭两向量的夹角余弦：cos a b a bθ⋅=（2）计算：x x y y z z a b a b a b a b ⋅=++.例1：已知向量{}1,1,2a =和{}2,1,1b =-的夹角为________. 例2：已知向量{}01,1,2a =和{}2,0,1b =的夹角为________. （3）性质： ①2a a a ⋅= ②ab b a ⋅=⋅（4）充要条件：0a b a b ⋅=⇔⊥考点：向量的向量积（叉积、外积）（1）定义：c a b =⨯ ①大小：sin a b a b θ⨯=几何意义：以,a b 为邻边的平行四边形的面积. ②方向：,c b c a ⊥⊥，且,,a b c 满足右手法则. （2）计算：xy z xyzij k a b a a a b b b ⨯= 例1：设{}{}2,1,11,1,2a b =-=-，，则a b ⨯=________. 例2：若{}{}{}0,1,11,0,11,1,0a b c ===，，，则()a b c ⨯⋅=________. 例3：由{}{}1,0,10,1,2a b =-=，为邻边构成的平行四边形的面积为________. 例4：已知点()()()412122201A B C --，，，，，，，，，求△ABC 的面积.（3）性质： ①0a a ⨯= ②a b b a ⨯=-⨯ 考题链接：例：对任意两向量a b ，，下列等式不恒成立的是（ ） A.a b b a +=+ B.a b b a ⋅=⋅C.a b b a ⨯=⨯D.()()222a b a b a b ⋅+⨯=（4）充要条件：0//a b a b ⨯=⇔考点：a 在b 上的投影【☆☆☆☆☆】a 在b 上的投影：0Pr cos b a b a b j a a bθ⋅⋅===考题链接：例：向量{}112a =-，，在{}0,3,4b =上的投影为________.考点：空间曲面及其方程【☆☆☆☆☆】1.球面球心在点()0000M x y z ，，，半径为R 的球面方程为()()()2222000x x y y z z R -+-+-=球面的一般方程：2220Ax Ay Az Dx Ey Fz G ++++++=球面方程特点：①三元二次方程，②缺交叉项③平方项系数相同. 2.柱面柱面：直线（母线）沿着定曲线（准线）平行移动所产生的曲面. 柱面方程特点：二元方程. 考题链接：例1：方程2221x y -=表示的二次曲面是（ ） A.球面 B.旋转抛物面 C.柱面D.圆锥面例2：下列方程在空间直角坐标系中所表示图形为柱面的是（ ）A.22273x z y += B.22144x y z -=-C.22214169x y z =--D.2220x y x +-=3.旋转曲面（1）坐标面内的曲线绕某坐标轴旋转，得到的旋转曲面的方程为：该坐标轴对应的变量不变，而另一变量改成该变量与第三个变量平方和的正负平方根. ①xOy 平面上的曲线()00f x y z ⎧=⎨=⎩，，绕x 轴旋转得到的曲面方程为：(0f x ±=，绕y 轴旋转得到的曲面方程为：()0f y =②yOz 平面上的曲线()00f y z x ⎧=⎨=⎩，绕y 轴旋转得到的曲面方程为：(0f y ±=，绕z轴旋转得到的曲面方程为：()0f z = ③xOz 平面上的曲线()00f x z y ⎧=⎨=⎩，，绕x轴旋转得到的曲面方程为：(0f x ±=，绕z轴旋转得到的曲面方程为：()0f z =例1：双曲线221340x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转所成的曲面方程为（ ）A.222134x y z +-=B.222134x y z +-= C.()22134x y z +-=D.()22134y z x +-= 例2：曲线L ：220y xz ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为________.（2）特点：至少有2个变量的二次项系数相等. 考题链接：例：下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是（ ）A.22132x z += B.22z x y =- C.22y x z =-D.2222z x y -=4.常见的二次曲面（1）椭球面：2222221x y z a b c ++=（2）单叶双曲面：2222221x y z a b c +-=双叶双曲面：2222221x y z a b c+-=（3）锥面：2222220x y z a b c+-=（4）椭圆抛物面：2222x y z p q +=（p ，q 同号）双曲抛物面：2222x y z p q-=（p ，q 同号）考点：空间平面方程【☆☆☆☆☆】1.平面的点法式方程：()()()0000A x x B y y C z z -+-+-= 考题链接：例：求过点（2，-3，0）且以()123n =-，，为法向量的平面方程. 2.平面的一般式方程：0Ax By Cz D +++= 特殊的平面方程：①0D =，π过原点（0，0，0）； ②0//C z π=，轴；③0C D π==，，π过z 轴； ④0//B C yOz π==，平面.例：求通过x 轴和点（4，-3，-1）的平面的方程.3.平面的截距式方程1xy z abc++=（a b c ，，平面在x ，y ，z 轴上的截距） 4.平面方程的求法 方法一：点法式法①确定平面上一点()000x y z ，， ②求出平面的一法向量()n A B C =，， ③代入点法式方程，化简为一般式. 方法二：待定系数法 ①设出所求方程；②将已知点的坐标代入方程，解方程（组）； ③回代，化简得方程.例1：一平面过点（1，0，-4）且平行于向量{}2,1,1a =-和{}1,1,2b =-，求此平面的方程.例2：过Oz 轴及点（3，-2，4）的平面方程为（ ） A.320x y += B.20y z += C.230x y +=D.20x z +=考点：两平面的位置关系【☆☆☆☆☆】()()11111111122222222200A x B y C z D n A B C A x B y C z D n A B C ππ+++==+++==：，，：，，①1111212222////A B C n n A B C ππ==⇔⇔ 若111112222A B C D A B C D π===，与2π重合. 若111112222A B C D A B C D π==≠，与2π平行但不重合. ②12121212120A A B B C C n n ππ++=⇔⊥⇔⊥.③121212cos cos 0,2n n n n n n πθθ∧⋅⎛⎫⎡⎤==∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⋅⎝⎭，， 考题链接：例1：平面3250x y z +-+=与240x y z ---=的位置关系是（ ） A.重合B.平行C.垂直D.斜交例2：平面1x y z ++=与2x y z +-=的位置关系是（ ） A.重合B.平行C.垂直D.相交但不垂直例3：已知平面12570x y z π+-+=：与平面243130x y mz π+++=：垂直，则m =________.考点：点到平面的距离【☆☆☆☆☆】1.点()0000M x y z ，，到平面0Ax By Cz D π+++=：的距离为d=考题链接：例：点（3，2，-1）到平面10x y z ++-=的距离是________. 2两平行平面间的距离112200Ax By Cz D Ax By Cz D d ππ+++=+++==：：考点：空间直线方程【☆☆☆☆☆】1.直线的一般方程1111222200A x B y C z D L A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩： 2.直线的点向式方程000x x y y z z m n p---==考题链接：例：过点（4，-1，3）且平行于直线31215x y z --==的直线方程为________. 3.直线的参数方程000000x x mtx x y y z z t y y nt m n p z z pt=+⎧---⎪===⇒=+⎨⎪=+⎩4.直线的两点式方程111212121x x y y z z x x y y z z ---==--- 考题链接：例：过两点()1321M -，，和()2102M -，，的直线方程为_________. 5.直线的方程的求法 ①确定直线上一点()000x y z ，，②求出直线的一方向向量()s m n p =，，； ③代入点向式方程.例1：求过点A （1，2，1）且与直线l ：240329x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩平行的直线方程.例2：求过点A （2，-3，-1）且与直线l ：23521x y z x z +-=⎧⎨+=⎩平行的直线方程.考点：两直线的位置关系【☆☆☆☆☆】()()1111111111122222222222x x y y z z L s m n p m n p x x y y z z L s m n p m n p ---===---===：，，：，，①1111212222////m n p s s L L m n p ==⇔⇔ ②12121212120m m n n p p s s L L ++=⇔⊥⇔⊥③121212cos cos 0,2s s s s s s πθθ∧⋅⎛⎫⎡⎤==∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⋅⎝⎭，， 例1：直线121113x y z --+==和24121x y z +-==-的关系是_________. 例2：直线1312x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩和234112x y z ---==-的关系是（ ） A.平行但不重合 B.重合 C.垂直但不相交 D.垂直相交考点：直线与平面的位置关系【☆☆☆☆☆】()()0000x x y y z z L s m n p m n pAx By Cz D n A B C π---===+++==：，，：，，①////A B Cn s L m n pπ==⇔⇔ ②0//Am Bn Cp n s L π++=⇔⊥⇔将直线上已知点的坐标()000x y z ，，代入平面方程中，若恒成立，则直线在平面上，否则，平行.③sin cos 02s n s n s nπφφ∧⋅⎛⎫⎡⎤==∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⋅⎝⎭，，， 例1：直线L ：124231x y z -+-==-与平面2340x y z -+-=的位置关系是（ ） A. L 在π上B. L 与π垂直相交C. L 与π平行D. L 与π相交，但不垂直例2：直线112311x y z -+-==-与平面230x y z +-+=的位置关系是（ ） A.互相垂直 B.互相平行但直线不在平面上 C.直线在平面上D.斜交例3：直线32112x y z -+==-与平面10x y z --+=的位置关系是（ ） A.垂直B.相交但不垂直C.直线在平面上D.平行例4：若直线L ：13521x y z m -+-==-与平面210x y z π-+-=：平行，则m =________.考点：空间曲线及其在坐标面上的投影1.判断空间曲线的一般方程()()12F x y zF x y z⎧=⎪⎨=⎪⎩，，，，所表示的曲线类型方法：解方程组后再判断.考题链接：例1：方程2288x y zz⎧-=⎨=⎩在空间直角坐标下的图形为________.例2：方程221942x yx⎧+=⎪⎨⎪=-⎩在空间直角坐标下的图形为________.2.空间曲线在坐标面上的投影（1）空间曲线关于坐标面的投影柱面方程（二元方程）；①母线平行于哪个坐标轴，就把它对应的变量消去.②求关于哪个坐标面的投影柱面，就把另外的变量消去.（2）空间曲线在坐标面上的投影（曲线）方程（方程组）：由上述二元方程和坐标面方程联立的方程组.例1：母线平行于x轴且以曲线222222216x y zx y z⎧++=⎨-+=⎩为准线的投影柱面方程为________.例2：曲线22222z x yz x⎧=+⎨=-⎩关于xOy平面的投影曲线方程为________.。