2005年广东高考数学试题及答案

2005 年高考数学广东卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡
上用 王新敞疆 奎屯
2B
铅笔将答题卡试卷类型（A
）填涂在答题卡上
王新敞 疆 奎屯
在答题卡右上角的“试室号”和“座
D． 2 3
（）
A． (2,+∞)
B． (−∞,2)
C． (−∞,0)
D．（ 0，2）
7．给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面α、β的四个命题：
①若 m ⊂ α,l ∩α = A,点A ∉ m,则l与m不共面 ； ②若 m、l 是异面直线， l // α, m // α,且n ⊥ l, n ⊥ m,则n ⊥ α ； ③若 l // α, m // β,α // β ,则l // m ； ④若 l ⊂ α, m ⊂ α, l ∩ m = 点A,l // β , m // β ,则α // β .
x1 + x2 3
y1 + y2 3
…（1）
∵OA⊥OB ∴ kOA ⋅ kOB = −1 ,即 x1 x2 + y1 y2 = −1，……(2)
又点 A，B 在抛物线上，有
y1
=
x12 , y2
=
x
2 2
，代入（2）化简得
x1 x2
=
−1
∴y=
y1 + y2 3
=
1 3
( x12
+
x
2 2
)
=
1 3 [(x1
其中为假命题的是
（）
A．①
B．②

C．③
D．④
8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6）， 骰
子朝上的面的点数分别为 X、Y，则 log 2 X Y = 1的概率为（
A． 1 6
B． 5 36
C． 1 12
）
D． 1 2
9．在同一平面直角坐标系中，函数 y = f (x) 和 y = g(x) 的图象关于直线 y = x 对称. 现将
f (4 − x) =
f (14 −
x)
⇒ f (x) = f (x + 10) ,
又 f (3) = 0,而f (7) ≠ 0 ,
⇒ f (−3) = f (7) ≠ 0 ⇒ f (−3) ≠ f (3) ， f (−3) ≠ − f (3)
故函数 y = f (x)是非奇非偶函数;
(II)由
⎧ ⎨ ⎩
ξ的分布列为
ξ0
1
2
…
n-1
s
st
p s + t (s + t)2
st 2 (s + t)3
st n − 1 … ( s + t ) n −1
n
tn (s + t)n
(II) ξ 的数学希望为
s
st
st 2
st n−1
tn
Eξ = 0 × +1×
+ 2×
+ ... + (n −1) ×
+ n×
…(1)
B
若不存在，请说明理由.
O
x
如图 4
18．（本小题满分 12 分） 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为 s:t.现从箱中
每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续 从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过 n 次，以ξ表示取球结束时已取到白球的 次数.
2
B．
f
(x)
=
⎪ ⎨
x
⎪⎩2 − 2,0 < x ≤ 2
1
⎧2x − 2,1 ≤ x ≤ 2
C．
f
(x)
=
⎪ ⎨x ⎪⎩ 2
+ 1,2
<
x
≤
4
-2 -1
O1
x
如图 2
⎧2x − 6,1 ≤ x ≤ 2
D．
f
(x)
=
⎪ ⎨x ⎪⎩ 2
− 3,2
<
x
≤
4
10．已知数列 {xn }满足x2
=
x1 2
,
xn
y
D
C
O (A)
Bx
如图 5
2005 年高考数学广东卷
参考答案
一、选择题 1B 2D 3A 4D 5B 6D 7C 8C 9A 10B
二、填空题
11.{x|x<0} 12.4
2 13. ±
2
1 14. 5, (n − 2)(n + 1)
2
三、解答题
15．解： f (x) = cos(2kπ + π + 2x) + cos(2kπ − π − 2x) + 2
.
13．已知 (x cos θ + 1)5 的展开 式中 x 2 的系数 与 (x + 5 ) 4 的展开 式中 x3 的系数 相等，则 4
cosθ =
. 14．设平面内有 n 条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同
一点.若用 f (n) 表示这 n 条直线交点的个数，则 f (4) =
P
（Ⅱ）求二面角 B—CE—F 的大小.
F
E
B
A C
如图 3
17．（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2 上异于坐标原点 O 的两不同动点 A、B 满足
AO⊥BO（如图 4 所示）.
y
（Ⅰ）求△AOB 的重心 G（即三角形三条中线的交点）的轨迹
方程；
A
（Ⅱ）△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；
π 3 sin( + 2x)
3
3
3
=
π 2 cos(
+
2x)
+
2
π 3 sin(
+
2 x)
=
4 cos
2x
3
3
函数 f(x)的值域为 − 4 ;
函数 f(x)的周期 T = 2π = π ； ω
16．（ I）证明：∵ PA2 + AC 2 = 36 + 64 = 100 = PC 2
∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形，同理可证
B—CE—F
的平面角 新疆 王新敞
奎屯
tan ∠FEB = cot ∠PBA = AB = 10 = 5 AP 6 3
二面角 B—CE—F 的大小为 arctan 5 3
F
E
B
F1
C
17． 解 ：（ I）设△AOB
的重心为
G(x,y),A(
x
1,y1),B(x2,y2),则
⎧ ⎪⎪ ⎨
x
⎪ ⎪⎩
y
= =
△PAB
是以∠PAB
为直角的直角三角形，△PCB
是以∠PCB
为直角的直角三角形 王新敞 疆 奎屯
故 PA⊥平面 ABC
又∵ S ∆PBC
=
1 2
|
AC
||
BC
|=
1 ×10× 6 2
= 30
P
而 1 | PB || CF |= 1 × 2
2
2
34 × 15 34 17
=
30
=
S ∆PBC
故 CF⊥PB,又已知 EF⊥PB
s + t (s + t)2
(s + t)3
(s + t ) n−1
(s + t)n
t
st 2
2st 3
(n − 2)st n−1 (n −1)st n nt n+1
Eξ =
+
+ ... +
+
+
…(2)
s+t
(s + t)2 (s + t)3
(s + t) n−1 (s + t) n−1 (s + t ) n+1
A
∴PB⊥平面 CEF
（II）由（I）知 PB⊥CE, PA⊥平面 ABC
∴AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影，故 AB⊥CE
在平面 PAB 内，过 F 作 FF1 垂直 AB 交 AB 于 F1，则 FF1⊥平面 ABC，
EF1 是 EF 在平面 ABC 上的射影，∴EF⊥EC
故∠FEB
是二面角
（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望. 19．（本小题满分 14 分）
设函数 f (x)在(−∞,+∞)上满足f (2 − x) = f (2 + x), f (7 − x) = f (7 + x) ，且在闭区
间[0，7]上，只有 f (1) = f (3) = 0.
（Ⅰ）试判断函数 y = f (x) 的奇偶性；
A'
角形（如图 1 所示），则三棱锥 B′—ABC 的体积为（ ）
A． 1 4
B． 1 2
A
C． 3
D． 3
6
4
5．若焦点在 x 轴上的椭圆 x 2 + y 2 = 1 的离心率为 1 ，则 m=（ ）
2m
2
C' B'
C B
如图 1
A． 3
B． 3 2
C． 8 3
6．函数 f ( x) = x3 − 3x 2 + 1是减函数的区间为
2 2
由（I）得
S∆AOB
=
1 2
x16
+
x26
+2
≥
1 2
2
x16
⋅ x26
+2
=
1 2
2 (−1)6 + 2 = 1 × 2 = 1 2
当且仅当 x16
=
x
6 2
即
x1
= −x2
= −1 时，等号成立王新敞 疆 奎屯
所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值 1；
18．解：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,n
+ x2 )2
−
2x1 x2
]
=
1 3
×
(3x) 2
+2 3
= 3x2
+2 3
所以重心为 G 的轨迹方程为 y = 3x 2 + 2 3
（II） S∆AOB
=
1 2
| OA || OB |=
1 2
( x12
+
y12 )(x22
+
y
2 2
)
=
1 2
x12 x22
+
x12
y22
+
x22 y12
+
y12
y
(1) －(2)得
t
tn
(n −1)t n nt n
Eξ = −
−
+
s s(s + t) n−1 (s + t) n−1 (s + t) n
19.解:
由
⎧ ⎨ ⎩
f f
(2 (7
− −
x) x)
= =
f (2 + x) ⎧ f (x) =
f
(7
+
x)
⇒
⎨ ⎩
f
(x)
=
f (4 − x) ⇒
f (14 − x)
y = g (x) 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位，再沿 y 轴向上平移 1 个单位，所得的图象是由
两条线段组成的折线（如图 2 所示），则函数 f (x) 的表达式为（ ）
⎧2x + 2,−1 ≤ x ≤ 0
A．
f
(x)
=
⎪ ⎨x
⎪⎩2 + 2,0 < x ≤ 2
y
3
⎧2x − 2,−1 ≤ x ≤ 0
；当 n>4 时 ，
f (n) =
.（用 n 表示）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分 12 分）
化 简 f ( x) = cos( 6k + 1π + 2x) + cos( 6k − 1π − 2x) + 2 3 sin( π + 2x)(x ∈ R, k ∈ Z ),
2．若 (a − 2i)i = b − i ，其中 a、b∈R，i 是虚数单位，则 a 2 + b2 =
（）
A．0
3．
lim
x →−3
x+3 x2 −9
=
A． − 1 6
B．2 B．0
C． 5 2
C． 1 6
D．5
D． 1 3
（）
4．已知高为 3 的直棱柱 ABC—A′B′C′的底面是边长为 1 的正三
位号”栏填写试室号、座位号，并用
2B
铅笔将相应的试室号、座位号信息点涂黑 新疆 王新敞
奎屯
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 王新疆敞 奎屯
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改
液 不按以上要求作答的答案无效
王新敞疆
王新敞 疆
奎屯
奎屯
4
．考生必须保持答题卡的整洁，考试结
束后，将试卷和
答题卡一并交回
新疆 王新敞
奎屯
参考公式：
如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件 A、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)
=
1 2 ( xn−1
+
xn−2 ), n
=
3,4,⋯.若
lim
n→∞
xn
= 2,则x1
=（
）
A． 3 2
B．3
C．4
D．5
第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
11．函数 f (x) = 1 的定义域是
.
1− ex
12．已知向量 a = (2,3), b = (x,6),且a // b, 则 x=
第Ⅰ卷（选择题，共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1．若集合 M = {x || x |≤ 2}, N = {x | x 2 − 3x = 0} ，则 M∩N=
（）
A．{3}
B．{0}
C．{0，2}
D．{0，3}
3
3
3
并求函数 f (x) 的值域和最小正周期.
16．（本小题满分 14 分）
如图 3 所示，在四面体 P—ABC 中，已知 PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB= 2 34 .F
是线段 PB 上一点， CF = 15 34 ，点 E 在线段 AB 上，且 EF⊥PB. 17