复合函数奇偶性的判断方法

函数奇偶性判断方法的教学

1.函数奇偶性的必要性：函数的定义域必须关于原点对称，这样该函数可能有奇偶性。

2.定义法：x属于函数y=f(x)的定义域A,且-x属于A的条件下，如果f(-x)=-f(x)则y=f(x)为奇函数，如果f(-x)=f(x)则y=f(x)为偶函数。如果f(-x)=-f(x)=f(x)=0 则y=f(x)为偶函数且奇函数。如果

f(-x)=-f(x)=f(x)等于不为零的一个常数，则y=f(x)为偶函数。

3.根据函数图像对称性来判断：如果函数图像关于原点对称，则为奇函数，如果函数图像关于y轴对称，则为偶函数。

4. 分段函数奇偶性的判断：要看每段上f(-x)与f(x)的关系，或要取绝对值符号，化简函数式。

5.复合函数奇偶性的判断：函数y=f(t)且t=g(x),如果f(t)为奇（偶）函数，则t=g(x)为奇（偶）函数。

6. 互为反函数的关系判断：如果一个函数是奇函数，则它的反函数也是起函数，但偶函数就不能这样的关系。

7. 用特殊值判断函数的奇偶性：比如：f(x)满足，f(x y) f(x-y)=2f(x).f(y), 且f(1)不等于f(2),求证：f(x)为偶函数

例题：判定函数的奇偶性和单调性

分析：不难判定函数的定义域是；又因为

可得是奇函数，因此，把握在上函数的单调性，就能把握函数在定义域上的单调性，将的解析式变形为

，设，

我们已经熟知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，那么，由就可以推断函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，再由是奇函数就可判定在和两个区间上都是减函数；在区间上是增函数．这样，利用函数的单调性的定义推证的单调性的目标就明确了．

解：∵函数的定义域为，

又

故是奇函数，任取，，且．

其中和恒为正数．

当，，，，

，即

当时，且，，

由此可得，，

即

当时，，，．

即

综上所述，函数在和上都是减函数，在上是增函数．

说明:我们还可以利用函数的奇偶性和单调性对的性质作进一步研究．首先作出函数的草图，我们发现:

当时，；当时，；当时，．

这说明图象位于第一、三象限，且通过原点，

当或即时，，说明图象向左、向右都无限接近轴，再加上对的奇偶性和单调性的推断，就可描绘出函数的图象，在图象上我们还能推断：

当时，取得最小值为，

当时，取得最大值为，

通过上述对从数量关系和几何特征的两个侧面的分析，使我们对函数能有全面的了解．