初中竞赛数学26.整数整除的概念和性质(含答案)

26.整数整除的概念和性质

知识纵横

对于整数a和不为零的整数b,总存在整数m,n使得a=bm+n(0≤n

整除有以下基本性质:

1.若a│b,a│c,则a│(b±);

2.若a│b,b│c,则a│c;

3.若a│bc,且(a,c)=1,则a│b,若质数p│bc,则必有p│b或p│c;

4.若b│a,c│a,且(b,c)=1,则bc│a.

解整除有关问题常用到数的整除性常见特征:

1.被2整除的数:个位数字是偶数;

2.被5整除的数:个位数字是0或5;

3.被4整除的数:末两位组成的数被4整除;被25整除的数,•末两位组成的数被25整除;

4.被8整除的数:末三位组成的数被8整除;被125•整除的数,•末三位组成的数被125整除;

5.被3整除的数:数字和被3整除;

6.被9整除的数:数字和被9整除;

7.被11整除的数:奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除.

例题求解

【例1】一个自然数与13的和是5的倍数,与13的差是6的倍数,•则满足条件的最小自然数是_________. (重庆市竞赛题)

思路点拨略

解:37

【例2】有三个正整数a、b、c,其中a与b互质且b与c也互质,给出下面四个判断:①(a+c)2不能被b整除;②a2+c2不能被b整除;③(a+b)2不能被c整除;④a2+b2不能被c整除,其中,不正确的判断有( ).

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个 (“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨举例验证.

解:选A 提示:当a=3,b=5,c=2时,①③④都是假命题;当a=3,b=2,c=5,②是假命题.

xy是72的倍数,求出所有的符合条件的7位数.

【例3】已知7位数12876

(第15届江苏省竞赛题)

思路点拨 7位数12876xy 能被8,9整除,运用整数能被8,9整除的性质求出x,y 的值.

解:提示:因为72│12876xy ,

所以8│12876xy ,9│12876xy ,

由此得1+2+8+7+x+y+6=24+x+y 是9的倍数,

而0≤x+y ≤18,则x+y=3或12,又6xy 必是8的倍数, 6y 必是4的倍数,

则y=1,3,5,7或9,

当y=1时,x=2,8│216;

当y=3时,x=0,8不整除36;8│936;

当y=5时,x=7,8不整除756;

当y=7时,x=5,8│576;

当y=9时,•x=•3,•8不整除396,•

所以符合条件的7•位数是1287216,1287576.

【例4】(1)若a 、b 、c 、d 是互不相等的整数,且整数x 满足等式(x-a)(x-b)(•x-c)(x-d)-9=0,求证:4│(a+b+c+d).

(2)已知两个三位数abc 与def 的和abc +def 能被37整除,证明:六位abcdef 也能被37整除.

思路点拨 (1)x-a,x-b,x-c,x-d 是互不相等的整数,且它们的乘积等于9,•于是必须把9分解为4个互不相等的因数的积;(2)因已知条件的数是三位数,•故应设法把六位数abcdef 用三位数的形式表示,以沟通已知与求证结论的联系.

解:(1)略;(2)提示:abcdef=abc ×1000+def=abc ×999+(abc+def)

【例５】(1)一个自然数N 被10除余9,被9除余8,被8除余7,被7除余6,被6除余5,被5除余4,被3除余2,被2除余1,则N 的最小值是_______. (北京市竞赛题)

(2)若1059、1417、2312分别被自然数x 除时,所得的余数都是y,则x-y 的值等于( ).

A.15

B.1

C.164

D.174 (“五羊杯”竞赛题)

(3)设N=1990111 个

,试问N 被7除余几?并证明你的结论. (安徽省竞赛题)

思路点拨 运用余数公式,余数性质,化不整除问题为整除问题.(1)N+1•能分别被2,3,4,5,6,7,8,9,10整除;(2)建立关于x,y 的方程组,通过解方程组求解,(3)从考察11,111,…,111111被7除的余数入手.

解:(1)N+1为2～10的公倍数,要使N 最小,取N+1为它们的最小公倍数23×5×33•×7=2520,故所求N 的最小值为2520-1=2519.

(2)设已知三数被自然数x 除时,商数分别为a,b,c,则

由此得x为358,859,1253的公约数,x=179,进而求得y=164.

(3)111111=7×15873,而1990=6×331+4,故只须考察1111被7除的余数,1111=•7×158+5,故N被7除余5.

学力训练

一、基础夯实

a是3的倍数,那么a是________.

1.如果五位数1234

2.如果从5,6,7,8,9这5个数中,选出4个组成一个四位数,使它能被3,5,7整除,•那么这

些数中最大的是_______.

ab能被198整除,那么a=________,b=_______.

3.已知整数13456

(第17届江苏省竞赛题)

4.在1,2,3,…,2000这2000个自然数中,有_______个自然数能同时被2和3整除,而且不

能被5整除. (2000年“五羊杯”竞赛题)

5.能整除任意3个连续整数之和的最大整数是( ).

A.1

B.2

C.3

D.6 (第15届江苏省竞赛题)

6.除以8和9都是余1的所有三位数的和是( ).

A.6492

B.6565

C.7501 C.7514

被15整除,则n的最小值等于( ).

7.若20022002200215

n个2002

A.2

B.3

C.4

D.5

8.有棋子若干,三个三个地数余1,五个五个地数余3,七个七个地数余5,•则棋子至少有( ).

A.208个

B.110个

C.103个

D.100个

9.(1)证明:形如abcabc的六位数一定能被7,11,13整除.

(2)若4b+2c+d=32,试问abcd能否被8整除?请说明理由.