初中竞赛数学26.整数整除的概念和性质(含答案)

26.整数整除的概念和性质
知识纵横
对于整数a和不为零的整数b,总存在整数m,n使得a=bm+n(0≤n<b),其中m称为商,n 称为余数,特别地,当n=0时,即a=bm,便称a被b整除(也称a是b的倍数或b是a的约数),记为b│a.
整除有以下基本性质:
1.若a│b,a│c,则a│(b±);
2.若a│b,b│c,则a│c;
3.若a│bc,且(a,c)=1,则a│b,若质数p│bc,则必有p│b或p│c;
4.若b│a,c│a,且(b,c)=1,则bc│a.
解整除有关问题常用到数的整除性常见特征:
1.被2整除的数:个位数字是偶数;
2.被5整除的数:个位数字是0或5;
3.被4整除的数:末两位组成的数被4整除;被25整除的数,•末两位组成的数被25整除;
4.被8整除的数:末三位组成的数被8整除;被125•整除的数,•末三位组成的数被125整除;
5.被3整除的数:数字和被3整除;
6.被9整除的数:数字和被9整除;
7.被11整除的数:奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除.
例题求解
【例1】一个自然数与13的和是5的倍数,与13的差是6的倍数,•则满足条件的最小自然数是_________. (重庆市竞赛题)
思路点拨略
解:37
【例2】有三个正整数a、b、c,其中a与b互质且b与c也互质,给出下面四个判断:①(a+c)2不能被b整除;②a2+c2不能被b整除;③(a+b)2不能被c整除;④a2+b2不能被c整除,其中,不正确的判断有( ).
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个 (“希望杯”邀请赛试题)
思路点拨举例验证.
解:选A 提示:当a=3,b=5,c=2时,①③④都是假命题;当a=3,b=2,c=5,②是假命题.
xy是72的倍数,求出所有的符合条件的7位数.
【例3】已知7位数12876
(第15届江苏省竞赛题)
思路点拨 7位数12876xy 能被8,9整除,运用整数能被8,9整除的性质求出x,y 的值.
解:提示:因为72│12876xy ,
所以8│12876xy ,9│12876xy ,
由此得1+2+8+7+x+y+6=24+x+y 是9的倍数,
而0≤x+y ≤18,则x+y=3或12,又6xy 必是8的倍数, 6y 必是4的倍数,
则y=1,3,5,7或9,
当y=1时,x=2,8│216;
当y=3时,x=0,8不整除36;8│936;
当y=5时,x=7,8不整除756;
当y=7时,x=5,8│576;
当y=9时,•x=•3,•8不整除396,•
所以符合条件的7•位数是1287216,1287576.
【例4】(1)若a 、b 、c 、d 是互不相等的整数,且整数x 满足等式(x-a)(x-b)(•x-c)(x-d)-9=0,求证:4│(a+b+c+d).
(2)已知两个三位数abc 与def 的和abc +def 能被37整除,证明:六位abcdef 也能被37整除.
思路点拨 (1)x-a,x-b,x-c,x-d 是互不相等的整数,且它们的乘积等于9,•于是必须把9分解为4个互不相等的因数的积;(2)因已知条件的数是三位数,•故应设法把六位数abcdef 用三位数的形式表示,以沟通已知与求证结论的联系.
解:(1)略;(2)提示:abcdef=abc ×1000+def=abc ×999+(abc+def)
【例５】(1)一个自然数N 被10除余9,被9除余8,被8除余7,被7除余6,被6除余5,被5除余4,被3除余2,被2除余1,则N 的最小值是_______. (北京市竞赛题)
(2)若1059、1417、2312分别被自然数x 除时,所得的余数都是y,则x-y 的值等于( ).
A.15
B.1
C.164
D.174 (“五羊杯”竞赛题)
(3)设N=1990111 个
,试问N 被7除余几?并证明你的结论. (安徽省竞赛题)
思路点拨 运用余数公式,余数性质,化不整除问题为整除问题.(1)N+1•能分别被2,3,4,5,6,7,8,9,10整除;(2)建立关于x,y 的方程组,通过解方程组求解,(3)从考察11,111,…,111111被7除的余数入手.
解:(1)N+1为2～10的公倍数,要使N 最小,取N+1为它们的最小公倍数23×5×33•×7=2520,故所求N 的最小值为2520-1=2519.
(2)设已知三数被自然数x 除时,商数分别为a,b,c,则
由此得x为358,859,1253的公约数,x=179,进而求得y=164.
(3)111111=7×15873,而1990=6×331+4,故只须考察1111被7除的余数,1111=•7×158+5,故N被7除余5.
学力训练
一、基础夯实
a是3的倍数,那么a是________.
1.如果五位数1234
2.如果从5,6,7,8,9这5个数中,选出4个组成一个四位数,使它能被3,5,7整除,•那么这
些数中最大的是_______.
ab能被198整除,那么a=________,b=_______.
3.已知整数13456
(第17届江苏省竞赛题)
4.在1,2,3,…,2000这2000个自然数中,有_______个自然数能同时被2和3整除,而且不
能被5整除. (2000年“五羊杯”竞赛题)
5.能整除任意3个连续整数之和的最大整数是( ).
A.1
B.2
C.3
D.6 (第15届江苏省竞赛题)
6.除以8和9都是余1的所有三位数的和是( ).
A.6492
B.6565
C.7501 C.7514
被15整除,则n的最小值等于( ).
7.若20022002200215
n个2002
A.2
B.3
C.4
D.5
8.有棋子若干,三个三个地数余1,五个五个地数余3,七个七个地数余5,•则棋子至少有( ).
A.208个
B.110个
C.103个
D.100个
9.(1)证明:形如abcabc的六位数一定能被7,11,13整除.
(2)若4b+2c+d=32,试问abcd能否被8整除?请说明理由.
xy是99的倍数,求代数式950x+24y+1的值.
10.已知7位自然数62427
11.已知a,b是整数,求证:a+b,ab,a-b这三个数之中,至少有一个是3的倍数.
二、能力拓展
12.五位数abcde是9的倍数,其中abcd是4的倍数,那么abcde的最小值是____.
13.一个三位自然数,当它分别被2,3,4,5,7除时,余数都是1,那么具有这个性质的最小三
位数是______;最大三位数是_______. (第15届“希望杯”邀请赛试题)
14.今天是星期日,从今天算起,第1111
天是星期_____.
2000个1
15.用自然数n去除63、91、130,所得到的3个余数的和为26,则n=________.
(北京市“迎春杯”竞赛题)
16.今有自然数带余除法算式:A÷B=C…8,如果A+B+C=2178,那么A=( ).
A.2000
B.2001
C.2071
D.2100
17.有1997盏亮着的电灯,各有一个拉线开关控制着,现按其顺序编号为1,2,…,1997,然后
将编号为2的倍数的灯线拉一下;再将编号为3的倍数的灯线拉一下;最后将编号为5的倍数的灯线拉一下,3次拉完后亮着的灯数为( ).
A.1464盏
B.533盏
C.999盏
D.998盏
(《学习报》公开赛试题)
18.19972000被7除的余数是( ).
A.1
B.2
C.4
D.6
19.n为正整数,302被n(n+1)除所得商数q及余数r都是正值,则r的最大值与最小值的得
( ).
A.148
B.247
C.93
D.122
20.某商场向顾客发放9999张购物券,每张购物券上印有一个四位数的号码,•从0001到
9999,如果号码的前两位数字之和等于后两位数字的和,则称这张购物券为“幸运券”,试证明:这个商场所发的购物券中,所有幸运券的号码之和能被101整除.
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
21.将分别写有数码1,2,3,4,5,6,7,8,9的九张正方形卡片排成一列,•发现恰是一个能被
11整除的最大的九位数.请你写出这九张卡片的排列顺序,并简述推理过程.
22.将糖果300粒、饼干210块和苹果163个平均分给某班同学,余下的糖果、•饼干和苹
果的数量之比是1:3:2,问该班有多少名同学?
三、综合创新
23.已知质数p、q使得表达式21
p
q
+
及
23
q
p
-
都是自然数,试确定p2q的值.
24.重排任一个三位数三个数位上的数字,得到一个最大的数和一个最小的数,•它们的差构成另一个三位数(允许百位数字为0),再重复以上的过程,问重复2003•次后所得的数是多少?证明你的结论. (2004年武汉市选拨赛试题)
答案
1.2或5或8
2.9765
3.8,0 提示:原数能被2,9,11整除
4.267 提示:自然数n 能同时被2和3整除,相当于n 能被6整除,有333个,•其中能被5整除的便能被30整除,有66个.
5.C
6.A 提示:n-1能被8和9整除,
因此n-1是72的倍数,在3位数中,符合条件的n•是2×72+1,2×73+1,…13×72+1.
7.B 8.C 提示:设有棋子n 个,则n+2能被3,5,7整除
9.(1)提示: abcabc =1001×(100a+10b+c)=7×11×13×(100a+10b +c); (2) bcd =•96b+8c+(4b+2c+d)=8(12b+c+4).
10.提示:因9│62427xy 且11│62427xy ,
故9│(6+2+x+y+4+2+7),且11│[(6+•x+4+7)-(2+y+2)],
又0≤x+y ≤18且-9≤x-y ≤9,得
62x y x y +=⎧⎨-=-⎩或159x y x y +=⎧⎨-=⎩, 解得24x y =⎧⎨=⎩或123x y =⎧⎨=⎩
(不合题意舍去) 把x=2,y=4代入得,原式=1997.
11.对于a 、b,若至少有一个是3的倍数,则ab 是3的倍数,
若a 、b 都不是3的倍数,则有:
(1)当a=3m+1,b=3n+1时,a-b=3(m-n);
(2)当a=3m+1,b=3m+2时,a+b=3(m+n+1);
(3)当a=3m+2,b=3n+1时,a+b=3(m+n+1);
(4)当a=3m+2,b=3n+2时,a-b=3(m-n).
12.10008 13.421,841
14.三提示:因111111=15873×7,2000=333×6+2
故111
2000个1
被7除的余数与11被7除的余数相同.
15.提示:设自然数n除63、91、130时,商分别为x、y、z,余数分别为a、b、c,•
那么63=nx+a ①,91=ny+b ②,130=nz+c ③,
①+②+③得 284=n(x+y+z)+(a+b+c),
而a+b+c=26,则n(x+y+z)=258=2×3×43,
故n=2,3,6,43,86,129或258.
16.A 提示:A=BC+8代入得BC+B+C+8=2178,(B+1)(C+1)=2171=13×167,
则
113
1167
B
C
+=
⎧
⎨
+=
⎩
或
1167
113
B
C
+=
⎧
⎨
+=
⎩
,两者都得A=166×12+8=2000
17.C 18.C
19.A 提示:r为偶数,
n(n+1)只能取6,12,20,30,42,56,•72,•90,110,132,156,182,210,240,272.
20.提示:显然号码为9999是幸运券,除此之外,其余所幸运券可两两配对,•和为9999,
因为9999=99×101,故所有幸运券号码之和也能被101整除.
21.1～9组成的最大九位数是987654321,
但这个数不是11的倍数.经分析所求数的奇位数字和为25,
偶位数字和为20,987652413为所求.
22.根据被除数、除数、商、余数关系列出方程组,可求得该班有同学为23人.
23.提示:先设p≥q,则有1≤23
q
p
-
=2×
q
p
-
3
p
<2,于是只能
23
q
p
-
=1,即p=2q-3,
而这时21
p
q
+
=
45
p
q
-
=4-
5
q
,要
21
p
q
+
为自然数,只能q=5,从而p=7,
再设p<q,这时1≤21
p
q
+
=2×
p
q
+
1
q
<3,于是我们有以下两种情况:
①21
p
q
+
=1,q=2p+1,此时
23
q
p
-
=
41
p
p
-
,得p=1,不合题意;
②21
p
q
+
=2,2p+1=2q,左边为奇数,右边为偶数,矛盾.
故p2q=72×5=245.
24.(1)三个数位上的数字全相同,所得的数为0,
(2)三个数位上的数字不全相同,所得的数为495
证明:(1)显然成立,下面证(2).
若三个数位上的数字不全相同,
不妨设这个三位数为abc,
其中a≥b≥c,且a≥c+1,abc-cba=99(a-c)=100(a-c-1)+10×9+(10+c-a) 故所得的三位数中必有一个9,
而另两个数字之和为9,
共有五种可能:990,981,972,963,954,
易验证上述五个数经过不超过10次操作得到495.。