高中数学-指数与指数函数练习题及答案

高中数学-指数与指数函数练习题
1、已知 1.22a =，0.81()2
b -=，52log 2
c =，则,,a b c 的大小关系为( ) A.c b a <<
B.c a b <<
C.b a c <<
D.b c a <<
2、不论a 为何值时，函数(1)22
x a y a =--恒过定点，则这个定点的坐标是( ) A.1(1,)2
-
B.1(1,)2
C.1(1,)2
--
D.1(1,)2
-
3、已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为log 26a +，则a 的值为( ) A.12
B.14
C.2
D.4
4、若函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则
()log ()a g x x k =+的图象是下图中的( )
5、已知函数,0()(3)4,0
x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()
0f x f x x x -<-成立，
则a 的取值范围是________．
6、若函数2,0
()2,0x
x x f x x -⎧<⎪=⎨->⎪⎩
，则函数[()]y f f x =的值域是________．
7、已知2()f x x =，1()()2
x g x m =-，若对1[1,3]x ∀∈-，2[0,2]x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是________．
8、已知定义域为R 的函数12()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数．(1)求,a b 的值； (2)解关于t
的不等式22(2)(21)0f t t f t -+-<．
9、定义在[1,0)(0,1]-⋃上的奇函数()f x ，已知当[1,0)x ∈-时，1()()42
x x
a
f x a R =
-∈．(1)求()f x 在(0,1]上的最大值；(2)若()f x 是(0,1)上的增函数，求实数a 的取值范围．
10、已知定义在R 上的函数||
1()22x x f x =-
．(1)若3
()2f x =
，求x 的值；(2)若2(2)()0t f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围．
答案——指数与指数函数
1、已知 1.22a =，0.81()2
b -=，52log 2
c =，则,,a b c 的大小关系为( ) A.c b a <<
B.c a b <<
C.b a c <<
D.b c a <<
解：a ＝21.2>2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12－0.8＝20.8，所以1<b <2，c ＝2log 52＝log 54<1，所以c <b <a .
答案 A
2、不论a 为何值时，函数(1)22
x a y a =--恒过定点，则这个定点的坐标是( ) A.1(1,)2
-
B.1(1,)2
C.1(1,)2
--
D.1(1,)2
-
解：y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，则函数y ＝(a －1)2x
－a 2恒过定点⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，－12.
答案 C
3、已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为log 26a +，则a 的值为( ) A.1
2
B.14
C.2
D.4
解：由题意知f (1)＋f (2)＝log a 2＋6，即a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍)． 答案 C
4、若函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则
()log ()a g x x k =+的图象是下图中的( )
解：函数f (x )＝(k －1)a x －a －x 为奇函数，则f (0)＝0，即(k －1)a 0－a 0＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝a x －a －x ，又f (x )＝a x －a －x 为减函数，故0<a <1，所以g (x )＝log a (x ＋2)为减函数且过点(－1,0)． 答案 A
5、已知函数,0()(3)4,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212
()()
0f x f x x x -<-成立，
则a 的取值范围是________． 解：对任意x 1≠x 2，都有
1212
()()
0f x f x x x -<-成立，说明函数y ＝f (x )在R 上是减函数，
则0<a <1，且(a －3)×0＋4a ≤a 0，解得0<a ≤1
4. 答案 ⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，14
6、若函数2,0()2,0x x x f x x -⎧<⎪
=⎨->⎪⎩
，则函数[()]y f f x =的值域是________．
解：当x >0时，有f (x )<0；当x <0时，有f (x )>0.
故f (f (x ))＝⎩⎨⎧ 2f x ，f x <0，－2－f x ，f x >0＝⎩
⎨⎧
2－2－
x ，x >0，
－2－2x
，x <0. 而当x >0时，－1<－2－x
<0，则1
2<2－2－x <1.
而当x <0时，－1<－2x <0，则－1<－2－2x <－1
2. 则函数y ＝f (f (x ))的值域是⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1
答案 ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1
7、已知2()f x x =，1()()2
x g x m =-，若对1[1,3]x ∀∈-，2[0,2]x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是________．
解：x 1∈[－1,3]时，f (x 1)∈[0,9]，x 2∈[0,2]时，g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫120－m ，即g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
14－m ，1－m ，要使∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，只需
f (x )min ≥
g (x )min ，即0≥14－m ，故m ≥1
4. 答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，＋∞
8、已知定义域为R 的函数12()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数．
(1)求,a b 的值；
(2)解关于t 的不等式22(2)(21)0f t t f t -+-<．
解：(1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋1
2x ＋1＋a .
又由f (1)＝－f (－1)知－2＋1
4＋a ＝－－1
2＋1
1＋a .解得a ＝2.
(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋1
2x ＋1
.
由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．
又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，
解不等式可得⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫t ⎪
⎪⎪
t >1或t <－13. 9、定义在[1,0)(0,1]-⋃上的奇函数()f x ，已知当[1,0)x ∈-时，1()()42x x
a
f x a R =-∈． (1)求()f x 在(0,1]上的最大值；
(2)若()f x 是(0,1)上的增函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)， f (－x )＝
14－x －a 2
－x ＝4x
－a ·2x ， ∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈(0,1]．
令t ＝2x
，t ∈(1,2]，∴g (t )＝a ·t －t 2
＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －a 22＋a
2
4，
当a
2≤1，即a ≤2时，g (t )max 不存在；
当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2＝a 2
4；
当a
2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4.
综上，当a ≤2时，f (x )的最大值不存在；当2<a <4时，f (x )的最大值为a 2
4；当a ≥4时，f (x )的最大值为2a －4. (2)∵函数f (x )在(0,1)上是增函数，
∴f ′(x )＝a ln 2×2x －ln 4×4x ＝2x ln 2·(a －2×2x )≥0， ∴a －2×2x ≥0恒成立， ∴a ≥2×2x .∵2x ∈(1,2)，∴a ≥4. 10、已知定义在R 上的函数||
1
()22x x f x =-． (1)若3()2
f x =，求x 的值；
(2)若2(2)()0t f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x <0时， f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，
由2x
－12x ＝3
2，得2·22x －3·2x －2＝0，
看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－1
2， ∵2x >0，∴x ＝1.
(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t
－122t ＋m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2t －12t ≥0，
即m (22t －1)≥－(24t －1)， ∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)，
∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。