月考 (必修二直线与方程,圆与方程)

中学2012-2013学年第一学期高二年级周考
数 学
时间：100分钟 满分：100分 命卷教师：
第Ⅰ卷 （选择题 共40分）
一、选择题（每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线x ＋y ＋2＝0截圆x 2＋y 2＝4所得劣弧所对圆心角为( )
A ．π6
B ．π3
C ．
π2 D ．2π3
【答案】D
2．已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）
A ．2(2)x ++2(2)y -=1
B ．2(2)x -+2(2)y +=1
C ．2(2)x ++2(2)y +=1
D ．2(2)x -+2(2)y -=1
【答案】B
3． 已知点M 在曲线22
430x y x +++=上，点N 在不等式组20
34430x x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩
所表示的平面
区域上，那么|MN|的最小值是
(
A ．1 B
．
3
C
．
13
-
D ．2
【答案】A 4.（2010
重庆理）(8) 直线
y=
3x +
与圆心为D 的圆
,
1x y θθ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩())0,2θπ⎡∈⎣
交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为
A. 76
π B. 54
π
C.
4
3π D. 5
3
π 【答案】C
5.（2010全国卷1理）（11）已知圆O 的
半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙
的最小值为
(A) 4-+
3-+
(C) 4-+
3-+6、（2009金华十校3月模拟）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是
A 10x y ++=
B 10x y +-=
C 10x y -+=
D 10x y --= 答案 C
7、（2009上海十校联考）圆2286160x y x y +-++=与圆2264x y +=的位置关系是 ( )
(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 答案 C
8.（2007岳阳市一中高三数学能力题训练） 若圆2
225()3(r y x =++-）上有且仅有两个点到直线4x －3y －2=0的距离为1，则半径r 的取值范围是 （ ）
A .（４，6） Ｂ.［４，６） Ｃ.（４，６］ Ｄ.［４，６］
答案 A
9.已知A (t t t ,1,-1-)、B ),2t t ，（，则AB 两点间的距离的最小值是( ) A .、
5
5 Ｂ.
5
55 Ｃ.
3
33 Ｄ.
5
11
答案 Ｃ
10. 6.(广东省华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)点(4,)t 到直线
431x y -=的距离不大于3，则t 的取值范围是 （ ）
A ．
1313
3
t ≤≤
B ．100t <<
C ．100t ≤≤
D ．0t <或10t >
答案 C
第Ⅱ卷 （非选择题 共44分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 11.（全国Ⅱ理16）已知A C B D 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为
(
1,
M ,则四边形A B C D 的面积的最大值为 。

【解析】设圆心O 到A C B D 、的距离分别为12d d 、,则222
123d d O M ==+.
四边形A B C D 的面积2
2
121||||8()52
S A B C D d d =⋅=≤-+=
【答案】5
12、（2009上海卢湾区4月模考）若点00(,)M x y 是圆222x y r +=内异于圆心的点，则直线200x x y y r +=与该圆的位置关系是 ________ 答案 相离
13、（2009上海奉贤区）设实数y x ,
满足1)1(2
2
=-+y x ，若对满足条件y x ,，不等式
0≥++c y x 恒成立，则c 的取值范围是
答案 1,)+∞
14（09江西理16）．设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对于下列四个命题：
A ．M 中所有直线均经过一个定点
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形,其所有边均在M 中的直线上
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 【解析】因为c o s (2)s i n x y θθ+-
=所以点(0,2)P 到M 中每条直线的距离
1d =
=
即M 为圆C :2
2
(2)1x y +-=的全体切线组成的集合,从而M 中存在两条平行直线, 所以A 错误；
又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B 正确； 对任意3n ≥,存在正n 边形使其内切圆为圆C ,故C 正确；
M 中边能组成两个大小不同的正三角形ABC 和AEF ,故D 错误,
故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】,B C
三、解答题(本大题共4个小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15、（2009金华一中2月月考）设点)23
,0(F ，动圆P 经过点F 且和直线2
3-
=y 相切，
记动圆的圆心P 的轨迹为曲线w .
（1） 求曲线w 的方程
（2） 过点F 作互相垂直的直线1l 、2l ，分别交曲线w 于A 、C 和B 、D 四个
点，求四边形ABCD 面积的最小值。

解：（1）W ：x 2=6y
（2）设AC ：2
23(0)692
6y kx k x kx x y ⎧
=+≠⎪⇒--⎨⎪=⎩
设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2） |AC|=6（k 2
+1） 同理|BD|=62
1(
1)k
+
S ABCD =
2
2
2
2
1
11||||6(1)6(
1)
2
2
118(2)18(22)72
AC BD k k
k k
=
⨯+⨯+=++
≥+=
当k=±1时取等号
16．(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)已知：以点C (t , 2
t )(t ∈R , t ≠ 0)为圆心的
圆与x 轴交于点O , A ，与y 轴交于点O , B ，其中O 为原点． （1）求证：△OAB 的面积为定值；
（2）设直线y = –2x +4与圆C 交于点M , N ，若OM = ON ，求圆C 的方程． 解 （1）O C 过原点圆 ，2
2
2
4t
t OC +
=∴． 设圆C 的方程是 2
2
2
2
4)2()(t
t t
y t x +
=-+-
令0=x ，得t
y y 4,021=
=；令0=y ，得t x x 2,021==
4|2||4|
2
12
1=⨯⨯=
⨯=
∴∆t t
OB OA S OAB ，即：OAB ∆的面积为定值．
（2）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ． 2
1,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 2
1=
．
t t 2
12=∴
，解得：22-==t t 或
当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ，
此时C 到直线42+-=x y 的距离559<
=
d ，
圆C 与直线42+-=x y 相交于两点． 当2-=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(--，5=OC ，
此时C 到直线42+-=x y 的距离55
9>=d
圆C 与直线42+-=x y 不相交，
2-=∴t 不符合题意舍去．
∴圆C 的方程为5)1()2(2
2=-+-y x ．
17.已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20(a －1)＝0. (1)求证对任意实数a ，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值．
【答案】(1)将圆的方程整理为(x 2＋y 2－20)＋a(－4x ＋2y ＋20)＝0，令
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0
可得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，y ＝－2，
所以该圆恒过定点(4，－2)．
(2)圆的方程可化为(x －2a)2＋(y ＋a)2＝5a 2－20a ＋20 ＝5(a －2)2，所以圆心为(2a ，a)，半径为5|a －2|. 若两圆外切，则2a －02＋a －02＝2＋5|a －2|， 即5|a|＝2＋5|a －2|，由此解得a ＝1＋
5
5
． 若两圆内切，则2a 2＋a 2＝|2－5|a －2||，即5|a|＝|2－5|a －2||，由此解得a ＝1－
55或a ＝1＋5
5(舍去)． 综上所述，两圆相切时，a ＝1－
55或a ＝1＋5
5
18．已知圆C 方程为：224x y +=.
(Ⅰ）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程; (Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量
O Q O M O N =+
，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.
【答案】（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()
3,1-，其距离为32 满足题意
②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx 设圆心到此直线的距离为d ，则2
4232d -=，得1=d
∴1
|2|12
++-=
k
k ，34
k =
，
故所求直线方程为3450x y -+=
综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x
(Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x （00y ≠），Q 点坐标为()y x , 则N 点坐标是()0,0y
∵O Q O M O N =+ ，
∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，2
0y y =
又∵420
20
=+y x ，∴2
2
4(0)4y
x y +=≠ ∴Q 点的轨迹方程是
2
2
1(0)4
16
x
y
y +
=≠，
轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆，除去短轴端点。

2。