弹性力学课件05第五章变分原理及其应用教学教材

目录
一、 二、 三、 四、 五、 六、
基本概念 虚功原理 最小势能原理 虚应力方程 最小余能原理 有限元概念
线弹性问题的变形能
U 0 1 2 (xxyyzz xy x yyz y zxx z)z
U0
1 2
ijij
注意：变形能为 U U0d
V
弹性体体积 ，表面积为S。
位移给定表面Su 面力给定表面S
设外力势能为 V(F bxuF byvF bzw)dxdydz (pxupyvpzw)dS]
现在假设位移发生了位移边界条件所容许的微小
位移（虚位移）δu，δv，δw，这时外力在虚位移
上作虚功,虚功应和变形能泛函的增加相等：
δUδ[ (FbxuFbyvFbzw)dxdydz
(pxupyvpzw)dS]
4、瑞利—里兹法
先设定满足位移边界条件的位移分量的表达 式，其中包含若干个待定的系数，再根据最小势 能原理，决定这些系数。设位移分量的表达式
u u 0 A m u m
m
v v 0 B m v m
m
w w 0 C m w m
m
其中u0,v0,w0 为设定的函数，在边界上的值等于 边界上的已知位移；um,vm,wm为边界值等于零的
(pxum δ A mpyvm δ B mpzw m δ C m )dS m
代入 中，得到
δU(V)0
U
Am
Fb xum d x d y d z pxum d S
U Bm
Fb yvm d x d y d z p yvm d S
U C m
Fbzwm d x d y d z pzwm d S
弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条件的虚位移及其 虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在
ห้องสมุดไป่ตู้
对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。
2、功的互等定理
F b 1 iu i 2 d F s 1 iu i 2 d S F b 2 iu i 1 d F s i 2 u i 1 d S
其中，Fbx,Fby,Fbz为体力分量，Px,Py,Pz.为面力 分量，三重积分包括弹性体的全部体积，二重 积分包括弹性体的全部面积（但实际仅在未给 定位移，给定面力的边界不为零）。
3、最小势能原理 (UV)Et 0 位移变分
该式的意义是：在给定的外力作用下，在满足位移 边界条件的各组位移中，实际存在的一组位移应使总势 能为最小。如果考虑二阶变分，进一步的分析证明，对 于稳定平衡状态，这个极值是极小值。因此，该式又称 为最小势能原理。
yy
xy
z
xxzyFbyδvzz
xxzyyzFbzδwdxdydz
如果我们所取的位移不仅满足位移边界条件，
上面是个数为3m的线性代数方程组，求解后，代 回位移分量的表达式，得到位移分量的近似解。
里滋方法的步骤
上述方法称为里滋法，其要点是要找到 满足全部边界条件的位移函数，而这种 函数一般仍然难以找到，尤其在边界不 规整的情况下。所以里滋方法的应用在 这一点上受到极大的限制。五十年代以 来，在这基础上发展起来的有限元方法， 采用了单元离散，分片插值的方法，这 就避免了这一困难，虽然带来了计算工 作量大的问题，但由于电子计算机的产 生和发展，计算工作量大的问题得到解 决，有限元方法得到迅速的发展。
位移边界 面力边界
S =Su+ S
二、 虚功原理 位移变分法
1、虚功原理 F b iu id F siu id Sijid j
V
S
V
关于变分概念：微分是变量的增量，变分是函数的增量，
通常用δ表示，具有以下的性质：
δ(u w ) δu δw δ u δu
x x
δ udS δu d S
设定函数，Am，Bm，Cm为待定的系数，位移的
变分由它们的变分来实现。
δ u u m δ A m
m
δ v v m δ B m
m
δ w
w
δ
m
C
m
m
应变能的变分为
δ U (A U m δ A mB U m δ B mC U m δ C m )
外力势能的变分为
δ V (F bxum δ A mF byvm δ B mF bzw m δ C m )dxdydz m
(l1zxl2zyl3ypz)δw]dS
xx yyxzzxFbxδu
yy zxyxxzyFbyδvzz xxzyyzFbzδwdxdydz
总势能为
δ(UV) [l(1xl2xyl3zxpx)δu(l1xyl2yl3yzpy)δv
(l1zxl2zyl3ypz)δw]dS
xx yyxzzxFbxδu
我们学习变分方法的意义，主要因为它是学习有限元等 数值方法的基础
5、 伽辽金方法
里滋方法要求位移函数满足位移边界条件，如 果进一步要求根据位移函数求得的应力还满足应力 边界条件，公式还可以简化，这种方法称为伽辽金 方法。
由前面我们得到的最小势能原理
δ(UV) [l(1xl2xyl3zxpx)δu(l1xyl2yl3yzpy)δv
真实的位移使得总势能取最小值 最小势能原理是变分表达的平衡条件数学形式 等价于平衡微分方程和面力边界条件
最小势能原理的应用
4、Rayleigh—Ritz(瑞利—里兹)法 •满足位移边界 条件
5、Гапёркин(伽辽金)法
•满足位移与面力边 界条件
基本思想
——构造一个位移试函数 ——几何可能
通过能量变分，偏微分方程边值问题转化为线 性代数方程组。
第七章 能量原理及其应用
偏微分方程求解的困难
——应力函数解法的限制
能量原理的应用
变分法
位移变分法
要点
真实的位移除了满足位移边界条件外，根据它们求 得的应力还应满足应力边界条件和平衡微分方程。求解 微分方程的边值问题，只有在简单的情况下，才能得到 解析解。多数情况下，只能采用数值计算的方法。
基于能量原理的变分法为数值计算提供了理论基础。 其中基于最小势能原理的里滋方法等可用于数值计算。
V
S
V
S
作用于弹性体的第一种状态外力，包括体力 和面力，在第二种状态对应的位移上所做的 功等于第二种状态的外力在第一种状态对应 的位移上所做的功。
三、 最小势能原理 位移变分法
总势能概念
E t U 0 d F b iu id F siu id S
V
V
S
最小势能原理 总势能——应变分量的泛函又是位移分量的泛函