随机信号分析(第3版)第六章 习题答案
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−j a(t ) e jω0t 的傅立叶变换是 a (t ) sin ω0t 的傅立叶变换的正频率部分。 2
（3）
a (t ) cos ω0t 和 a (t ) sin ω0t 的傅立叶变换是希尔伯特变换对。
6.5
6.6
6.7 若零均值平稳窄高斯随机信号 X (t ) 的功率谱密度如题图 6.7 （1） 试写出此随机信号的一维概率密度函数； （2） 写出 X (t ) 的两个正交分量的联合概率密度函数。
∆ω ， 试
a (t ) cos ω0t 和 (1 2) a(t ) exp( jω0 t) 的傅立叶变换。 a (t ) sin ω0t 和 ( − j 2) a(t ) exp( jω0 t) 的傅立叶变换。 a (t ) cos ω0t 和 a (t ) sin ω0t 的傅立叶变换。
解： 由傅立叶变换的定义可以得到： （1）
ω0 。
若另一输入 Y (t ) = A sin(ω0t + θ ) ，其中 A 为常数， θ 服从 (0, 2π ) 上的均匀分布， 且 与 X (t ) 独立。求检波器输出 Z (t ) 的平均功率。
X (t )
理想低通 滤波器
Z (t )
Y (t )
题图 6.13 解： 由题意知
E[Y (t )] = E[ A sin(ω0t + θ )]
6.1 复随机过程 Z (t ) = e
j (ω0t +Φ )
∗
，式中 ω0 为常数， Φ 是在 (0, 2π ) 上均匀分布的随机变量。
求： （1） E[ Z (t + τ ) Z (t )] 和 E[ Z (t + τ ) Z (t )] ； （2）信号的功率谱。 解： (1)
+∞
E[ Z (t + τ ) Z (t )] =
0 2π
1 dΦ 2π 1 dΦ 2π
= e jω0 (2t +τ ) ∫ e j 2 Φ
0
=0
(2)
S Z (ω ) = F [ RZ (τ )] = F {E[ Z (t + τ ) Z ∗ (t )]}
= F [e jω0τ ] = 2πδ (ω − ω0 )
6.2 6.3
6.4 已知 a (t ) 的频谱为实函数 A(ω ) ，假定 ω > ∆ω 时， A(ω ) = 0 ，且满足 ω0 比较： （1） （2） （3）
所以 Z (t ) 的平均功率
PZ = RZ (0) =
1 2 2 A σX 4
所以 i (t ), q (t ) 彼此正交，做为零均值的高斯信号也彼此独立，所以
− 1 f iq (i , q ; t1 , t2 ) = f i (i , t1 ) f q (q , t2 ) = e 2πσ 2 (i 2 + q 2 ) 2σ 2
, σ =
2
AW 2π
6.8 对于窄带平稳随机过程 x(t ) = i (t ) cos ω0t − q (t ) sin ω0t ，若其均值为零，功率谱密度为
∗
−∞
∫e
0
j [ ω0 ( t +τ ) +Φ ] − j [ ω0t +Φ ]
e
1 dΦ 2π
2π
= ∫ e jω0τ
+∞
1 d Φ = e jω0τ 2π
E[ Z (t + τ ) Z (t )] =
2π
−∞
∫e
j [ω0 (t +τ ) +Φ ] j [ω0t +Φ ]
e
1 dΦ 2π
= ∫ e j [ω0 (2t +τ )+ 2Φ ]
0
ω2 − ω1 2
ω
由于 X (t ) 的功率谱不以中心频率 ω0 偶对称， 所以互功率谱密度 S BA (ω ) 在三种情况 下都不为 0, 所以 A(t),B(t)相关. 6.12 6.13 同步检波器如下题图 6.13 所示，输入 X (t ) 为窄带平稳噪声，它的自相关函数为
2 −β τ RX (τ ) = σ X e cos ω0τ ， β
X (t ) 为 0 均值的高斯随机信号,所以
所以一维概率密度
X (t )
N (0, σ 2 )
− 2 1 f ( x) = e 2σ 2πσ
x2
,σ =
2
AW 2π
(2) 又因为 X (t ) 的功率谱关于中心频率 ω0 偶对称 由（6.37）得 即
S qi (ω ) = 0 Rqi (τ ) = E[i(t1 ) q(t2 )] = 0
⎧ P cos[π (ω − ω0 ) / ∆ω ], ⎪ S x (ω ) = ⎨ P cos[π (ω + ω0 ) / ∆ω ], ⎪ ⎩0，
式中 P, ∆ω 及ω0 >> ∆ω 都是正实常数。试求 （1） x(t)的平均功率； （2） i(t)的功率谱密度； （3） 互相关函数 Riq (τ ) 或互谱密度 Siq (ω ) ； （4） i(t)与 q(t)是否正交或不相关？ 解： （1） x(t ) 的平均功率：
（3）互相关函数 Riq (τ ) 或互谱密度 Siq (ω ) 因为 N (t ) 是零均值平稳窄带随机信号，并且 S N (ω ) 是关于 ω0 偶对称，有 9.3 的性 质，定理可知，互谱密度 Siq (ω ) 为 0，互相关函数 Riq (τ ) 也为 0 （4） 由 Riq (τ ) = 0 ， 所以 i (t ) 与 q (t ) 任意时刻正交。 因为 i (t ) 与 q (t ) 是零均值的， 所以 i (t ) 与 q (t ) 是不相关的。
S N (ω )
W A
−ω0
0
ω0
ω
题图 6.7 解： (1) 零均值平稳窄带高斯信号 X (t ) 的正交表达式为
x(t ) = i (t ) cos ω0t − q (t ) sin ω0t
基于功率谱计算功率得
1 P = RX (0) = σ = 2π
2 X
+∞
−∞
∫S
X
(ω ) dω =
AW 2π
6.9 6.10 6.11 已知零均值窄带平稳噪声 X (t ) = A(t ) cos ω0t − B(t ) sin ω0t 的功率谱密度如题图 6.11 所示。画出下列情况下随机过程 A(t ) ， B(t ) 各自的功率谱密度： （1） （3）
ω0 = ω1 ω0 = (ω1 + ω2 ) / 2
ω − ω0 ≤ ∆ω / 2 ω + ω0 ≤ ∆ω / 2
其它
PN =
1 +∞ 1 ω0 +∆ω 2 S N (ω ) dω = ∫ P cos ⎡ ⎣π (ω − ω0 ) ∆ω ⎤ ⎦dω ∫ 2π −∞ π ω0 −∆ω 2 P +∆ω 2 = ∫ cos [πω ∆ω ]d ω π −∆ω 2
2π
=
∫ A sin(ω t + θ ) 2π dθ = 0
0 0 2π
1
RY (t + τ , t ) = E[Y (t + τ )Y (t )]
= =
所以 Y (t )] 也是平稳的. 设
∫ A sin[ω (t + τ ) + θ ] A sin(ω t + θ ) 2π dθ
0 0 0
1
A2 cos ω0τ = RY (t ) 2
（2） ω0 = ω2
判断上述各种情况下，过程 A(t ) ， B(t ) 是否互不相关。
Baidu Nhomakorabea
S X (ω )
1
−ω2
−ω1
0
题图 6.11
ω1
ω2
ω
解： 因为 X (t ) 是零均值平稳窄带随机信号,所以有：
⎧ S (ω + ω0 ) + S x (ω − ω0 ) S A (ω ) = S B (ω ) = ⎨ x 0 ⎩
M (t ) = X (t )Y (t )
由于 X (t ), Y (t ) 独立, 不难得:
E[ M (t )] = E[ X (t )Y (t )] = E[ X (t )] E[Y (t )] = 0 , RM (t + τ , t ) = E[ X (t + τ )Y (t + τ ) X (t )Y (t )] = E[ X (t + τ ) X (t )] E[Y (t + τ )Y (t )] = RX (τ ) RY (τ ) 1 2 −β τ = A2σ X e cos 2 ω0τ 2 所以经过低通滤波器 LPF 后，由于 RM (τ ) =
+ ∆ω 2
P∆ω 2 P∆ω PN = 2 sin [πω ∆ω ] = π π2 −∆ω 2
（2） N (t ) 是零均值平稳窄带随机信号，所以有：
⎧ ⎧ ⎛ πω ⎞ , ∆w ⎪ S N (ω + ω0 ) + S N (ω − ω0 ) ⎪ 2 P cos ⎜ ⎟ Si (ω ) = S q (ω ) = ⎨ =⎨ ω ≤ ⎝ ∆w ⎠ 0 2 ⎪ ⎪ , other ⎩0 ⎩
ω < ω0
其它
⎧ j[ S (ω − ω0 ) − S x (ω + ω0 )] S BA (ω ) = − S AB (ω ) = ⎨ x 0 ⎩
功率谱图形如下： （1）
ω < ω0
其它
S X (ω )
1
ω2
（2）
0
ω2
ω
S X (ω )
1
ω1
（3）
0
ω1
ω
1
S X (ω )
−
ω2 − ω1 2
1 2 2 −β τ A σ X e cos2 ω0τ 2 1 2 − β τ 1 + cos 2ω0τ = A2σ X e 2 2 1 1 2 −β τ 2 −β τ = A2σ X e + A2σ X e cos 2ω0τ 4 4
其中高频成分：
1 2 2 −β τ A σ X e cos 2ω0τ 被滤掉，所以 4 1 2 −β τ RZ (τ ) = A2σ X e 4
FT a (t ) cos ω0t ←⎯→ π [ A(ω − ω0 ) + A(ω + ω0 )] 1 FT a (t )e jω0t ←⎯→ π A(ω − ω0 ) 2
1 a (t )e jω0t 的傅立叶变换是 a (t ) cos ω0t 的傅立叶变换的正频率部分。 2
（2）
π FT a (t ) sin ω0t ←⎯→ [ A(ω − ω0 ) − A(ω + ω0 )] j −j π FT a(t ) e jω0t ←⎯→ A(ω − ω0 ) 2 j
（3）
a (t ) cos ω0t 和 a (t ) sin ω0t 的傅立叶变换是希尔伯特变换对。
6.5
6.6
6.7 若零均值平稳窄高斯随机信号 X (t ) 的功率谱密度如题图 6.7 （1） 试写出此随机信号的一维概率密度函数； （2） 写出 X (t ) 的两个正交分量的联合概率密度函数。
∆ω ， 试
a (t ) cos ω0t 和 (1 2) a(t ) exp( jω0 t) 的傅立叶变换。 a (t ) sin ω0t 和 ( − j 2) a(t ) exp( jω0 t) 的傅立叶变换。 a (t ) cos ω0t 和 a (t ) sin ω0t 的傅立叶变换。
解： 由傅立叶变换的定义可以得到： （1）
ω0 。
若另一输入 Y (t ) = A sin(ω0t + θ ) ，其中 A 为常数， θ 服从 (0, 2π ) 上的均匀分布， 且 与 X (t ) 独立。求检波器输出 Z (t ) 的平均功率。
X (t )
理想低通 滤波器
Z (t )
Y (t )
题图 6.13 解： 由题意知
E[Y (t )] = E[ A sin(ω0t + θ )]
6.1 复随机过程 Z (t ) = e
j (ω0t +Φ )
∗
，式中 ω0 为常数， Φ 是在 (0, 2π ) 上均匀分布的随机变量。
求： （1） E[ Z (t + τ ) Z (t )] 和 E[ Z (t + τ ) Z (t )] ； （2）信号的功率谱。 解： (1)
+∞
E[ Z (t + τ ) Z (t )] =
0 2π
1 dΦ 2π 1 dΦ 2π
= e jω0 (2t +τ ) ∫ e j 2 Φ
0
=0
(2)
S Z (ω ) = F [ RZ (τ )] = F {E[ Z (t + τ ) Z ∗ (t )]}
= F [e jω0τ ] = 2πδ (ω − ω0 )
6.2 6.3
6.4 已知 a (t ) 的频谱为实函数 A(ω ) ，假定 ω > ∆ω 时， A(ω ) = 0 ，且满足 ω0 比较： （1） （2） （3）
所以 Z (t ) 的平均功率
PZ = RZ (0) =
1 2 2 A σX 4
所以 i (t ), q (t ) 彼此正交，做为零均值的高斯信号也彼此独立，所以
− 1 f iq (i , q ; t1 , t2 ) = f i (i , t1 ) f q (q , t2 ) = e 2πσ 2 (i 2 + q 2 ) 2σ 2
, σ =
2
AW 2π
6.8 对于窄带平稳随机过程 x(t ) = i (t ) cos ω0t − q (t ) sin ω0t ，若其均值为零，功率谱密度为
∗
−∞
∫e
0
j [ ω0 ( t +τ ) +Φ ] − j [ ω0t +Φ ]
e
1 dΦ 2π
2π
= ∫ e jω0τ
+∞
1 d Φ = e jω0τ 2π
E[ Z (t + τ ) Z (t )] =
2π
−∞
∫e
j [ω0 (t +τ ) +Φ ] j [ω0t +Φ ]
e
1 dΦ 2π
= ∫ e j [ω0 (2t +τ )+ 2Φ ]
0
ω2 − ω1 2
ω
由于 X (t ) 的功率谱不以中心频率 ω0 偶对称， 所以互功率谱密度 S BA (ω ) 在三种情况 下都不为 0, 所以 A(t),B(t)相关. 6.12 6.13 同步检波器如下题图 6.13 所示，输入 X (t ) 为窄带平稳噪声，它的自相关函数为
2 −β τ RX (τ ) = σ X e cos ω0τ ， β
X (t ) 为 0 均值的高斯随机信号,所以
所以一维概率密度
X (t )
N (0, σ 2 )
− 2 1 f ( x) = e 2σ 2πσ
x2
,σ =
2
AW 2π
(2) 又因为 X (t ) 的功率谱关于中心频率 ω0 偶对称 由（6.37）得 即
S qi (ω ) = 0 Rqi (τ ) = E[i(t1 ) q(t2 )] = 0
⎧ P cos[π (ω − ω0 ) / ∆ω ], ⎪ S x (ω ) = ⎨ P cos[π (ω + ω0 ) / ∆ω ], ⎪ ⎩0，
式中 P, ∆ω 及ω0 >> ∆ω 都是正实常数。试求 （1） x(t)的平均功率； （2） i(t)的功率谱密度； （3） 互相关函数 Riq (τ ) 或互谱密度 Siq (ω ) ； （4） i(t)与 q(t)是否正交或不相关？ 解： （1） x(t ) 的平均功率：
（3）互相关函数 Riq (τ ) 或互谱密度 Siq (ω ) 因为 N (t ) 是零均值平稳窄带随机信号，并且 S N (ω ) 是关于 ω0 偶对称，有 9.3 的性 质，定理可知，互谱密度 Siq (ω ) 为 0，互相关函数 Riq (τ ) 也为 0 （4） 由 Riq (τ ) = 0 ， 所以 i (t ) 与 q (t ) 任意时刻正交。 因为 i (t ) 与 q (t ) 是零均值的， 所以 i (t ) 与 q (t ) 是不相关的。
S N (ω )
W A
−ω0
0
ω0
ω
题图 6.7 解： (1) 零均值平稳窄带高斯信号 X (t ) 的正交表达式为
x(t ) = i (t ) cos ω0t − q (t ) sin ω0t
基于功率谱计算功率得
1 P = RX (0) = σ = 2π
2 X
+∞
−∞
∫S
X
(ω ) dω =
AW 2π
6.9 6.10 6.11 已知零均值窄带平稳噪声 X (t ) = A(t ) cos ω0t − B(t ) sin ω0t 的功率谱密度如题图 6.11 所示。画出下列情况下随机过程 A(t ) ， B(t ) 各自的功率谱密度： （1） （3）
ω0 = ω1 ω0 = (ω1 + ω2 ) / 2
ω − ω0 ≤ ∆ω / 2 ω + ω0 ≤ ∆ω / 2
其它
PN =
1 +∞ 1 ω0 +∆ω 2 S N (ω ) dω = ∫ P cos ⎡ ⎣π (ω − ω0 ) ∆ω ⎤ ⎦dω ∫ 2π −∞ π ω0 −∆ω 2 P +∆ω 2 = ∫ cos [πω ∆ω ]d ω π −∆ω 2
2π
=
∫ A sin(ω t + θ ) 2π dθ = 0
0 0 2π
1
RY (t + τ , t ) = E[Y (t + τ )Y (t )]
= =
所以 Y (t )] 也是平稳的. 设
∫ A sin[ω (t + τ ) + θ ] A sin(ω t + θ ) 2π dθ
0 0 0
1
A2 cos ω0τ = RY (t ) 2
（2） ω0 = ω2
判断上述各种情况下，过程 A(t ) ， B(t ) 是否互不相关。
Baidu Nhomakorabea
S X (ω )
1
−ω2
−ω1
0
题图 6.11
ω1
ω2
ω
解： 因为 X (t ) 是零均值平稳窄带随机信号,所以有：
⎧ S (ω + ω0 ) + S x (ω − ω0 ) S A (ω ) = S B (ω ) = ⎨ x 0 ⎩
M (t ) = X (t )Y (t )
由于 X (t ), Y (t ) 独立, 不难得:
E[ M (t )] = E[ X (t )Y (t )] = E[ X (t )] E[Y (t )] = 0 , RM (t + τ , t ) = E[ X (t + τ )Y (t + τ ) X (t )Y (t )] = E[ X (t + τ ) X (t )] E[Y (t + τ )Y (t )] = RX (τ ) RY (τ ) 1 2 −β τ = A2σ X e cos 2 ω0τ 2 所以经过低通滤波器 LPF 后，由于 RM (τ ) =
+ ∆ω 2
P∆ω 2 P∆ω PN = 2 sin [πω ∆ω ] = π π2 −∆ω 2
（2） N (t ) 是零均值平稳窄带随机信号，所以有：
⎧ ⎧ ⎛ πω ⎞ , ∆w ⎪ S N (ω + ω0 ) + S N (ω − ω0 ) ⎪ 2 P cos ⎜ ⎟ Si (ω ) = S q (ω ) = ⎨ =⎨ ω ≤ ⎝ ∆w ⎠ 0 2 ⎪ ⎪ , other ⎩0 ⎩
ω < ω0
其它
⎧ j[ S (ω − ω0 ) − S x (ω + ω0 )] S BA (ω ) = − S AB (ω ) = ⎨ x 0 ⎩
功率谱图形如下： （1）
ω < ω0
其它
S X (ω )
1
ω2
（2）
0
ω2
ω
S X (ω )
1
ω1
（3）
0
ω1
ω
1
S X (ω )
−
ω2 − ω1 2
1 2 2 −β τ A σ X e cos2 ω0τ 2 1 2 − β τ 1 + cos 2ω0τ = A2σ X e 2 2 1 1 2 −β τ 2 −β τ = A2σ X e + A2σ X e cos 2ω0τ 4 4
其中高频成分：
1 2 2 −β τ A σ X e cos 2ω0τ 被滤掉，所以 4 1 2 −β τ RZ (τ ) = A2σ X e 4
FT a (t ) cos ω0t ←⎯→ π [ A(ω − ω0 ) + A(ω + ω0 )] 1 FT a (t )e jω0t ←⎯→ π A(ω − ω0 ) 2
1 a (t )e jω0t 的傅立叶变换是 a (t ) cos ω0t 的傅立叶变换的正频率部分。 2
（2）
π FT a (t ) sin ω0t ←⎯→ [ A(ω − ω0 ) − A(ω + ω0 )] j −j π FT a(t ) e jω0t ←⎯→ A(ω − ω0 ) 2 j