函数的应用举例·例题解析

函数的应用举例·例题解析

1．几何咨询题类

用函数思想解决几何(如平面几何、立体几何及解析析几何)咨询题，这是常常显现的数学本身的综合运用咨询题．【例1】如图2．9－1，一动点P自边长为1的正方形A BCD的顶点A动身，沿正方形的边界运动一周，再回到A点．若点P的路程为x，点P到顶点A的距离为y，求A、P两点间的距离y与点P的路程x之间的函数关系式．

解(1)当点P在AB上，即0≤x≤1时，AP＝x，也确实是y＝x．

(2)当点P在BC边上，即1＜x≤2时，AB=1，AB＋BP＝x，BP＝x－1，按照勾股定理，得AP2＝AB2＋BP2

222

x x

y=AP=1+(x1)2

∴．

-=-+

(3)当点P在DC边上，即2＜x≤3时，AD＝1，DP＝3－x．按照勾股定理，得AP2=AD2＋DP2．

2610

x x

-=-+

∴y=AP=1+(3x)2

(4)当点P在AD边上，即3＜x≤4时，有y=AP＝4－x．

∴所求的函数关系式为

2．行程咨询题类

【例2】已知，A、B两地相距150公里，某人开汽车以60公里/小时的速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再

以50公里/小时的速度返回A 地，求汽车离开A 地的距离x 表示为时刻t 的函数．

解 按照题意：

(1)汽车由A 到B 行驶t 小时所走的距离x=60t ，(0≤t ≤2.5)

(2)汽车在B 地停留1小时，则B 地到A 地的距离x ＝150(2.5＜x ≤3.5)

(3)由B 地返回A 地，则B 地到A 地的距离x=150－50(t －3.5)＝325－50t(3.5＜x ≤6.5) 总之≤≤＜≤－＜≤x =60t(0t 2.5)150(2.5t 3.5)32550t(3.5t 6.5)

⎧⎨⎪⎩⎪ 3．工程设计咨询题类 工程设计咨询题是指运用数学知识对工程的定位、大小、采光等情形进行合理布局、运算的一类咨询题．

【例3】 要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图2．9－2所示)，在窗框为定长l 的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有如何样的尺寸？

解 设半圆的直径为x ，矩形的高度为y ，窗户透光面积为S ，则 窗框总长＋＋，l =x 2x 2y π ∴＋＋·－y =2(2+)x 4S =x xy =x 2(2+)x 4x =22l l l l --+-+++πππππππ8848242422()()x 当时，，此时，x =24+S =y =4+max 2l l l πππ242()+=x 答 窗户中的矩形高为，且半径等于矩形的高时，窗户的透光l 4+π

面积最大．

讲明 应用二次函数解实际咨询题，关键是设好适当的一个变量，建立目标函数．

【例4】 要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不承诺小于600米，如果某段铁路两端相距156米，弧所对的圆心角小于180°，试确定圆弧弓形的高所承诺的取值范畴．

解 设园的半径为R ，圆弧弓形高CD=x(m)．

在Rt △BOD 中，DB ＝78，OD=B －x

∴(R －x)2＋782=R2

解得 R =x 2+60842x

由题意知R ≥600

∴≥x x

260842+600 得x2－1200x ＋6084≥0(x ＞0)，解得x ≤5.1或x ≥1194.9(舍)

∴圆弧弓形高的承诺值范畴是(0，5.1]．

4．营销咨询题类

这类咨询题是指在营销活动中，运算产品成本、利润(率)，确定销售价格．考虑销售活动的盈利、亏本等情形的一类咨询题．在营销咨询题中，应把握有关运算公式：利润=销售价－进货价．

【例5】 将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，若每件售价涨价0.5元，其销售量就减少10件．咨

询应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出那个最大利润．

解设每件售价提升x元，则每件得利润(2＋x)元，每天销售量变为(200－20x)件，所获利润

y=(2＋x)(200－20x)

=－20(x－4)2＋720

当x=4时，即售价定为14元时，每天可获最大利润为720元．

5．单利咨询题类

单利是指本金到期后的利息不再加入本金运算．设本金为P元，每期利率为r，通过n期后，按单利运算的本利和公式为Sn=P(1＋nR)．

【例6】某人于1996年6月15日存入银行1000元整存整取定期一年储蓄，月息为9‰，求到期的本利和为多少？

解那个地点P=1000元，r=9‰，n＝12，由公式得S12＝P(1＋12r)＝1000×(1＋0.009×12)=1108元．

答本利和为1108元．

6．复利咨询题类

复利是一种运算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再运算下一期的利息．设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1＋r)x．【例7】某企业打算发行企业债券，每张债券现值500元，按年利率6.5％的复利计息，咨询多青年后每张债券一次偿还本利和1000元？(参考lg2=0.3010，lg1.065＝0.0274)．

解 设n 年后每张债券一次偿还本利和1000元，由1000=500(1＋6.5％)n ，解得n=lg2/lg1.065≈11．

答 11年后每张债券应一次偿还本利和1000元．

7．函数模型类

那个咨询题是指在咨询题中给出函数关系式，关系式中有的带有需确定的参数，这些参数需要按照咨询题的内容或性质来确定之后，然后使咨询题本身获解．

【例8】 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数能够选用二次函数或函数y=abx ＋c(其中a 、b 、c 为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请咨询用以上哪个函数作为模拟函数较好，并讲明理由．

解 设二次函数y1＝f(x)=px2＋qx ＋x(p ≠0) 则＋＋＋＋＋＋f(1)=p q r =1f(2)=4p 2q r =1.2f(3)=9p 3q r =1.3⎧⎨⎪⎩⎪ ⇒⎧⎨⎪⎩⎪P =0.05q =0.35r =0.7－ ∴y1=f(x)=－0.05x2＋0.35x ＋0.7

f(4)=－0.05×16＋0.35×4＋0.7=1.3

又y=abx ＋c 得·＋·＋·＋－a b c =1

a b c =1.2a b c =1.3a =0.8b =12c =1.423⎧⎨⎪⎩⎪⇒⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ ∴－＋当时，－＋经比较可知：用－＋作模拟函数较好．y =0.8(12) 1.4x =4y =0.8(12) 1.4=1.35y =0.8(12

) 1.4x 4x 【例9】 有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次