最优控制理论研究生课程论文

3.2现代非线性系统研究方法及其研究现状

20世纪80年代以后，非线性系统的研究方法有了新的突破。高等数学中的非线性分析、非线性泛函、微分流形及物理学中的非线性动力学的发展都促进了非线性控制理论的发展。现代非线性控制研究的主要内容包括非线性动力学、耗散结构理论、分形几何理论与混沌的同步与控制等。

1）微分几何和微分代数方法

用微分几何法研究非线性系统是现代数学发展的必然产物，正如意大利教授Isidori指出：“用微分几何法研究非线性系统所取得的成绩，就像50年代用拉氏变换及复变函数理论对单输入单输出系统的研究，或用线性代数对多变量系统的研究。”

微分几何方法起源于20世纪70年代初期，其基本思想是将状态空间按要求分解成一些低维子流形，并通过对低维子流形的研究来了解系统的性质，实际上是将问题转化为对与这些低维子流形相应的向量场及其分布的性质进行研究，其中李导数和李托号是主要工具。目前，包括能控性、能观性、解耦、线性化、实现等非线性系统的微分几何理论已基本形成，并且得到了有效的应用。

1986年，Isidori发现了微分几何控制理论中的一些病态问题，导致了微分代数控制理论的产生。代数控制理论从微分代数角度研究非线性系统可逆性和动态反馈设计问题，并取得了有意义的成果。

在过去的20年中，微分几何法一直是非线性控制系统研究的主流，它对非线性系统的结构分析、分解以及与结构有关的控制设计带来极大方便。

但这种方法也有它的缺点，体现在它的复杂性、无层次性、准线性控制以及空间测度被破坏等。同时微分几何和微分代数方法使用的数学工具比较抽象，试图将线性系统理论推广到非线性系统，会遭遇数学计算上的困难，因而可以应用这两种方法处理的非线性系统也只是特定的一些系统。

2）变结构控制理论

由于其滑动模态具有对干扰与摄动的不变性，变结构控制理论到80年代受到重视，是一种实用的非线性控制的综合方法。变结构控制系统理论经历了三个发展阶段：

第一阶段的研究工作始于20世纪50年代末，主要是由前苏联学者完成的，以误差及其导数为状态变量研究单输入单输出线性对象的变结构控制，但由于微分物理不可实现，这期间的工作没有受到普遍重视。

第二阶段的研究工作起始于20世纪60年代，空间不再局限于规范空间，研究的对象扩大到多输入多输出系统和非线性系统，切换流形也不只局限于超平面。但由于缺乏相应的硬件支持，这一阶段的工作还局限于理论研究。

变结构控制内容主要包括以下三个方面：（1）基于各种滑模面的研究；（2）滑模到达条件；（3）变结构自适应控制及与其它控制方法的交叉研究。

变结构控制的首要任务就是滑动模面的选取，只要能使系统在滑动模态稳定，

并且保留滑模变结构控制系统的各种性质，这样的滑动模面就是可选的。传统的滑动面是滑动模态的线性函数，主要有以下两种形式：

s x=Cs

s x=(d

+λ)n−1x1 (λ≥0)

20世纪80年代以来，变结构控制理论和应用得到了迅速发展。以微分几何为主要工具发展的非线性控制思想极大地推动了变结构控制理论的发展。

线性结构的滑模面能充分满足线性系统控制性能的设计要求，使得系统处于滑动模态时对其进行稳定性的分析简洁、方便，其参数设计也容易。直到目前许多关于滑模控制的研究仍然采用线性滑模面。但是线性的滑模通常在复杂非线性系统面前无能为力，在处理抖振问题时也没有太大益处。

为了解决线性滑模无法解决的问题，各种非线性滑模逐渐被提出并应用到实际的控制系统中。以下主要介绍两种非线性滑模。

二次滑模是指滑模结构为状态的二次型函数，如：

s x=xCx

由于该滑模稳定性分析复杂，参数难以设计等缺点，目前很少使用。

三段非线性（TSSM）切换函数是指将滑模s的运动分为三段：加速阶段、恒速阶段、减速阶段。在每一阶段，滑模面是连续的，每一阶段可能存在线性结构，也有非线性结构。

对于到达条件，最早出现的滑动模的到达条件是：

s >0s<0或s<0(s>0)

后来统一等价于s s <0，s必须可微且过原点。针对不能满足有限时间到达，

又提出了lim s(x)→0+s <0,lim s(x)→0−s >0，这样即可保证滑模在有限时间内到

达。此外还有人提出了李雅普诺夫型到达条件：v x<0,v x=0.5s2，以及指数收敛结构：ss≤ηs。

变结构控制理论经过40多年的发展，取得了一定的研究进展，但仍有许多理论问题还未解决，应用研究还主要局限于机器人、电机及航天器等对象。有关变结构控制与智能控制方法的综合应用的研究还处在起步阶段，绝大多数的研究只局限于数值仿真和实验室平台实验阶段。

3）鲁棒（Robust）控制理论

在实际问题中, 系统的模型可能包含不确定性，这时希望控制系统仍具有良好性能，这就是鲁棒控制问题。把经典控制理论的频域方法与现代控制理论的状态空间方法相结合，导致了反馈控制理论的飞跃发展，产生了鲁棒控制理论。

在鲁棒控制中，最典型的方法就是Hoo控制和方法。

鲁棒控制认为系统的不确定性可用模型集来描述,系统的模型并不唯一，可以是模型集里的任一元素，但在所设计的控制器下，都能使模型集里的元素满足要求。鲁棒控制的一个主要问题就是鲁棒稳定性，目前常用的有三种方法：

1.当被研究的系统用状态矩阵或特征多项式描述时一般采用代数方法，其中心问题是讨论多项式或矩阵组的稳定性问题；

2.李雅普诺夫方法，对不确定性以状态空间模式出现时是一种有利工具；

3.频域法从传递函数出发研究问题，有代表性的是Hoo控制，它用作鲁棒性分析的有效性体现在外部扰动不再假设为固定的，而只要求能量有界即可。这种方法已被用于工程设计中，如Hoo最优灵敏度控制器设计。

线性系统的鲁棒控制理论已基本形成，但是还有许多问题需要继续研究。目前，线性系统的鲁棒控制方法正在非线性系统扩展。但鲁棒控制理论还需要不断地加以完善，从而使控制系统设计更精确、更实用，更符合实际的需要。

4）逆系统法

逆系统法原属于反馈线性化方法的一种，是近几年提出和发展起来的比较直观适用的非线性控制方法。其基本思想是对于给定的系统，首先利用对象的模型生成一种可用反馈方法实现的原系统的阶积分逆系统，将对象补偿为具有线性传递关系的、且已解耦的一种规范化系统（伪线性系统），然后再用线性系统的各种设计理论来完成伪线性系统的综合，亦即通过求取被控过程的逆过程，将之串联在被控过程前面，得到解耦的被控对象，然后再用线性系统理论进行设计。由于系统可逆性概念是不局限于系统方程的特点形式，而具有一定的普遍性。由于逆系统的概念和方法容易理解，也避免了微分几何或其它抽象的专门性数学理论的引入，从而形成了一种简明的非线性控制理论分支。

逆系统方法已建立了比较完善的设计理论，其中包括逆系统方法原理、可逆理论、解耦与线性化、系统镇定和非线性状态估计等。逆系统方法避免了对微分几何或其它较抽象的专门数学理论的引入，不为控制算法复杂性所困扰，为实际应用提供了一条可行的、简捷的途径。在未来也有较好的发展前景。