数理经济学
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du dx = ∫ f (u )du = F (u ) + c dx
∫
f (u )
法则VII(分部积分) v对u的积分等于uv减去u对v 的积分:
∫ vdu = uv − ∫ udv
2011-4-30
V.14/15.8
GuoSipei@CCNUMATH
定积分
定积分的含义
对于连续函数f(x)的已知不定积分∫ f ( x)dx = F ( x) + c ,若 选择x定义域中的两个值a<b,依次将其代入,并形 成差值[F(b)+c]-[F(a)+c]=F(b)-F(a),从而得到 不在包含变量x及任意常数c的具体数值,称为f(x) 从a至b的定积分 a b 每一个定积分均有一个确定的值,在几何上可以解 释为一条给定曲线下的特定面积
dK ≡ I (t ) dt dK K (t ) = ∫ I (t )dt = ∫ dt = ∫ dK dt
用Ig表示总投资,I表示净投资,两者关系为: Ig=I+δK, 其中, δ表示折旧率,δK表示重置投资率
2011-4-30
V.14/15.14
GuoSipei@CCNUMATH
例3 假设净投资流量以方程I(t)=3t1/2表示,在时 间t=0时的初始资本存量是K(0),何谓资本K的时 间路径?
运算法则
法则IV (和的积分) ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx 法则V (倍数的积分) ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
涉及代换的法则
法则VI (代换法则) f(u)(du/dx)对变量x的积分, 是f(u)对变量u的积分:
2011-4-30 V.14/15.17 GuoSipei@CCNUMATH
酒商力求最大化的净现值可以表示成
s N (t ) = V (t )e − rt − (1 − r − rt ) − C r s − rt s = [V (t ) + ]e − − C r r
为使N(t)最大化,必须选择t值以使N’(t)=0 即
s N ' (t ) = V ' (t )e − rt − r[V (t ) + ]e − rt = [V ' (t ) − rV (t ) − s ]e − rt = 0 r ∴V ' (t ) = rV (t ) + s
此方程为选择销售时间t*的最优化的必要条件 经济解释: V’(t)表示若销售延迟一年销售额的变 化率,或者V的增量,方程右边的两项分别表示由于 延迟销售而导致的利息成本增量和窖藏成本增量 (收益和成本均在时间t*计算)
2011-4-30 V.14/15.5 GuoSipei@CCNUMATH
不定积分
积分的性质
积分是微分的逆过程 给定原函数F(x),对其微分得到导数f(x),假设可以 得到适当的信息以确定在积分过程中产生的任意常 数,则可以”积分f(x)以求得F(x).”函数F(x)称为 f(x)的积分或反导数. 积分与微分两种运算类似研究家谱的两种方法:积 分就是追溯函数f(x)的家系或出身,而微分则是寻 找F(x)的后裔. 注意两者的区别:尽管可微原函数总是产生一个后 代,即唯一的导数f(x),但导数的积分则可能追溯到 无数个可能的父母.
将I(t)对t积分,得到: K (t ) = I (t )dt = 3t 1/ 2 dt = 2t 3 / 2 + c 令t=0,求得K(0)=c K的时间路径为: K(t)=2t3/2+K(0) 如果希望求出某一段时间区间的资本形成数量就使用定 b 积分: ∫ I (t )dt = K (b) − K (a ) a 注意:资本K是存量而投资I是流量!
2011-4-30
V.14/15.4
GuoSipei@CCNUMATH
动态学与积分
动态模型涉及的问题是,在已知变化模式的基 础上,描述某些变量的变化时间路径
如,假设已知人口规模H随时间以速率dH/dt=t-1/2 变化,则想知道的是:人口H=H(t)的何种时间路径 可以产生上述变化率? 当然,如果我们事先就知道函数H=H(t),那么可以 通过求导数得到变化率.但现在的问题恰恰相反:要 从已知的导数求出原函数! 上述问题揭示了动态经济学问题的实质:给定变量 随时间变化的行为模式,设法求出描述变量时间路 径的函数,在此过程中,遇到一个或多个任意常数, 可以通过引入初始条件,确定常数的值.
0 GuoSipei@CCNUMATH
例6 连续收入流按每年D不变收益率持续y年,将其 按年利息率r贴现,其现值为多少? y y −1 D y Π = ∫ De − rt dt = D ∫ e − rt dt = D[ e − rt ]0 = (1 − e − ry ) 按照上述公式有: 0 0 r r 例7 酒窖藏酒问题
b
b
a → −∞ a
∫
b
f ( x)dx
−∞
f ( x)dx ≡ lim
无穷被积函数
b → +∞ a a → −∞
∫
b
f ( x)dx
积分区间为闭区间[a,b]时,如果被积函数在区间中 的某处为无穷大,则积分为广义积分,求解利用极限 积分区间为开区间(a,b)时,则需要先将给定区间分 割成子区间,当且仅当每个子区间有极限时,积分才 是收敛的.
∫
∫
例4 若净投资是一个不变流量I(t)=1000美元/年, 则在一年内的总净投资(资本形成)是多少? 例5 若I(t)=3t1/2,这是一个可变流量,那么,时期 [1,4]的资本形成是多少?
2011-4-30 V.14/15.15 GuoSipei@CCNUMATH
资金流量的现值
仅用单一未来值V得到的贴现公式是:
2011-4-30
V.14/15.2
GuoSipei@CCNUMATH
第16章 最优控制理论
最优控制的特性 其他终止条件 自治问题 经济应用 无限时间跨度 动态分析的局限性
2011-4-30
V.14/15.3
பைடு நூலகம்
GuoSipei@CCNUMATH
第14章 动态经济学与积分学 章
动态经济学的涵义
其目的是探寻和研究变量的具体时间路径,或者是 确定在给定的充分长的时间内这些变量是否会趋向 收敛于(均衡)值. 直接面对”可实现性”问题,而不像静态学和比较 静态学那样假设”必然能够实现”. 特征:确定变量的时间!时间可作为连续变量也可以 作为离散变量.
2011-4-30 V.14/15.11 GuoSipei@CCNUMATH
积分的经济应用
从边际函数到总函数
给定一个总函数对其微分会产生边际函数,而积分 使我们可以从已知的边际函数反推出总成本函数 例1 如果厂商边际成本MC是总产出的下述函数: C’(Q)=2e0.2Q,若固定成本CF=90,求总成本函数 C(Q).
2011-4-30
V.14/15.9
GuoSipei@CCNUMATH
定积分的性质
性质I 上下限的互换,使符号改变: b f ( x)dx = − ∫a f ( x)dx ∫ a 性质II ∫a f ( x)dx = F (a) − F (b) = 0 d b c d 性质III ∫a f ( x)dx = ∫a f ( x)dx + ∫b f ( x)dx + ∫c f ( x)dx b b 性质IV ∫a − f ( x)dx = − ∫a f ( x)dx b b 性质V ∫a kf ( x)dx = k ∫a f (bx)dx b b 性质VI ∫a [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫a f ( x)dx + ∫a g ( x)dx x =b x =b x =b 性质VII 给定u(x)和v(x):∫x =a vdu = uv ∫x =a − ∫x = a udv
上述两例可推广至已知边际函数求总函数的其他问 题.
2011-4-30
V.14/15.13
GuoSipei@CCNUMATH
投资与资本形成
资本形成是增加给定资本存量的过程,此过程可视 为连续的,将资本存量表示成时间的函数K(t),并以 导数dK/dt表示资本的形成率,但是,在时间t的资本 形成率与以I(t)表示的净投资(流量)率相等.所以资 本存量K和净投资I通过如下两个方程联系起来:
GuoSipei@CCNUMATH
例2 如果边际储蓄倾向(MPS)是收入的如下函 数:S’(Y)=0.3-0.1Y-1/2,若当收入Y=81时,总储蓄 S=0,求储蓄函数S(Y)
求S’(Y)的积分: S (Y ) = ∫ (0.3 − 0.1Y −1/ 2 )dY = 0.3Y − 0.2Y 1/ 2 + c 确定c值: 0=0.3(81)-0.2(9)+c,所以c=-22.5 储蓄函数为: S(Y)=0.3Y-0.2Y1/2-22.5
在前述酒窖问题中,假定酒窖的藏酒成本为零,当时采用 此假设是因为我们不知道计算成本流量现值的方法.现在 已经解决了这个问题. 假设酒商现在发生的采购成本为C,其未来销售额随时间 C, 变化而变化,一般表示成V(t),现值为V(t)e-rt.虽然销售 额是一个未来值,但窖藏成本是支出流.假设成本是一个 每年为固定比率s的不变支出流,在t年中所发生的窖藏成 本的总现值等于 t s − rt se dt = (1 − e − rt ) ∫0 r
连续情况:
t =1
2011-4-30
– 考察收益率为R(t)的连续收入流,在任意时点t,时期[t,t+dt]的 收益量为R(t)dt,按当年贴现率r连续贴现,其现值为R(t)e-rtdt 3 – 对三年收入流的总现值,那么可以通过定积分获得: Π = ∫ R(t )e − rt dt
V.14/15.16
2011-4-30 V.14/15.6 GuoSipei@CCNUMATH
积分的基本法则
法则I (幂函数积分法则) 法则II (指数函数积分法则) ∫ e x dx = e x + c 1 法则III(对数函数积分法则) ∫ x dx = ln x + c f ' ( x)e f ( x ) dx = e f ( x ) + c 法则IIa ∫ 法则IIIa
2011-4-30 V.14/15.18 GuoSipei@CCNUMATH
持久流量的现值
n
1 n +1 ∫ x dx = n + 1 x + c (n ≠ −1)
( x > 0)
∫
f ' ( x) dx = ln f ( x) + c ( f ( x) > 0)或 ln | f ( x) | +c ( f ( x) ≠ 0) f ( x)
2011-4-30
V.14/15.7
GuoSipei@CCNUMATH
第五篇 动态分析
第14章 动态经济学与积分学
动态学与积分 不定积分 定积分 广义积分 积分的经济应用 多马增长模型
2011-4-30
V.14/15.1
GuoSipei@CCNUMATH
第15章 连续时间：一阶微分方程
具有常系数和常数项的一阶线性微分方程 市场价格的动态学 可变系数和可变项 恰当微分方程 一阶一次非先行微分方程 定性图解法 索洛增长模型
2e 0.2Q dQ = 2 求积分: ∫
将信息CF=90作为确定常数c的初始条件,当Q=0时的总 成本只含有CF,于是得到:10e0+c=90,则c=80. 总成本函数为: C(Q)=10e0.2Q+80.
1 0.2Q e + c = 10e 0.2Q + c 0 .2
2011-4-30
V.14/15.12
A=V(1+i)-t [离散情况] A=Ve-rt [连续情况]
当假设有一个未来值的流-在未来各个时间可获得 的一系列收益,或在各个时间要支付的成本,那么应 该如何计算整个现金流的现值?
离散情况:
– 假设有三个在t年末可获得的收益数字Rt(t=1,2,3),每年的利息 率为i,那么Rt的现值分别为R1(1+i)-1, R2(1+i)-2, R3(1+i)-3 3 – 由此得到总现值和为 Π = ∑ Rt (1 + i) −t
a b
2011-4-30
V.14/15.10
GuoSipei@CCNUMATH
广义积分
无穷极限积分
形如 ∫a f ( x)dx, ∫−∞ f ( x)dx 的定积分称为广义积分 计算方法:
b ∞
∫ ∫
∞
a ∞
f ( x)dx ≡ lim ∫ f ( x)dx, ∫ f ( x)dx ≡ lim
b →∞ a −∞
∫
f (u )
法则VII(分部积分) v对u的积分等于uv减去u对v 的积分:
∫ vdu = uv − ∫ udv
2011-4-30
V.14/15.8
GuoSipei@CCNUMATH
定积分
定积分的含义
对于连续函数f(x)的已知不定积分∫ f ( x)dx = F ( x) + c ,若 选择x定义域中的两个值a<b,依次将其代入,并形 成差值[F(b)+c]-[F(a)+c]=F(b)-F(a),从而得到 不在包含变量x及任意常数c的具体数值,称为f(x) 从a至b的定积分 a b 每一个定积分均有一个确定的值,在几何上可以解 释为一条给定曲线下的特定面积
dK ≡ I (t ) dt dK K (t ) = ∫ I (t )dt = ∫ dt = ∫ dK dt
用Ig表示总投资,I表示净投资,两者关系为: Ig=I+δK, 其中, δ表示折旧率,δK表示重置投资率
2011-4-30
V.14/15.14
GuoSipei@CCNUMATH
例3 假设净投资流量以方程I(t)=3t1/2表示,在时 间t=0时的初始资本存量是K(0),何谓资本K的时 间路径?
运算法则
法则IV (和的积分) ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx 法则V (倍数的积分) ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
涉及代换的法则
法则VI (代换法则) f(u)(du/dx)对变量x的积分, 是f(u)对变量u的积分:
2011-4-30 V.14/15.17 GuoSipei@CCNUMATH
酒商力求最大化的净现值可以表示成
s N (t ) = V (t )e − rt − (1 − r − rt ) − C r s − rt s = [V (t ) + ]e − − C r r
为使N(t)最大化,必须选择t值以使N’(t)=0 即
s N ' (t ) = V ' (t )e − rt − r[V (t ) + ]e − rt = [V ' (t ) − rV (t ) − s ]e − rt = 0 r ∴V ' (t ) = rV (t ) + s
此方程为选择销售时间t*的最优化的必要条件 经济解释: V’(t)表示若销售延迟一年销售额的变 化率,或者V的增量,方程右边的两项分别表示由于 延迟销售而导致的利息成本增量和窖藏成本增量 (收益和成本均在时间t*计算)
2011-4-30 V.14/15.5 GuoSipei@CCNUMATH
不定积分
积分的性质
积分是微分的逆过程 给定原函数F(x),对其微分得到导数f(x),假设可以 得到适当的信息以确定在积分过程中产生的任意常 数,则可以”积分f(x)以求得F(x).”函数F(x)称为 f(x)的积分或反导数. 积分与微分两种运算类似研究家谱的两种方法:积 分就是追溯函数f(x)的家系或出身,而微分则是寻 找F(x)的后裔. 注意两者的区别:尽管可微原函数总是产生一个后 代,即唯一的导数f(x),但导数的积分则可能追溯到 无数个可能的父母.
将I(t)对t积分,得到: K (t ) = I (t )dt = 3t 1/ 2 dt = 2t 3 / 2 + c 令t=0,求得K(0)=c K的时间路径为: K(t)=2t3/2+K(0) 如果希望求出某一段时间区间的资本形成数量就使用定 b 积分: ∫ I (t )dt = K (b) − K (a ) a 注意:资本K是存量而投资I是流量!
2011-4-30
V.14/15.4
GuoSipei@CCNUMATH
动态学与积分
动态模型涉及的问题是,在已知变化模式的基 础上,描述某些变量的变化时间路径
如,假设已知人口规模H随时间以速率dH/dt=t-1/2 变化,则想知道的是:人口H=H(t)的何种时间路径 可以产生上述变化率? 当然,如果我们事先就知道函数H=H(t),那么可以 通过求导数得到变化率.但现在的问题恰恰相反:要 从已知的导数求出原函数! 上述问题揭示了动态经济学问题的实质:给定变量 随时间变化的行为模式,设法求出描述变量时间路 径的函数,在此过程中,遇到一个或多个任意常数, 可以通过引入初始条件,确定常数的值.
0 GuoSipei@CCNUMATH
例6 连续收入流按每年D不变收益率持续y年,将其 按年利息率r贴现,其现值为多少? y y −1 D y Π = ∫ De − rt dt = D ∫ e − rt dt = D[ e − rt ]0 = (1 − e − ry ) 按照上述公式有: 0 0 r r 例7 酒窖藏酒问题
b
b
a → −∞ a
∫
b
f ( x)dx
−∞
f ( x)dx ≡ lim
无穷被积函数
b → +∞ a a → −∞
∫
b
f ( x)dx
积分区间为闭区间[a,b]时,如果被积函数在区间中 的某处为无穷大,则积分为广义积分,求解利用极限 积分区间为开区间(a,b)时,则需要先将给定区间分 割成子区间,当且仅当每个子区间有极限时,积分才 是收敛的.
∫
∫
例4 若净投资是一个不变流量I(t)=1000美元/年, 则在一年内的总净投资(资本形成)是多少? 例5 若I(t)=3t1/2,这是一个可变流量,那么,时期 [1,4]的资本形成是多少?
2011-4-30 V.14/15.15 GuoSipei@CCNUMATH
资金流量的现值
仅用单一未来值V得到的贴现公式是:
2011-4-30
V.14/15.2
GuoSipei@CCNUMATH
第16章 最优控制理论
最优控制的特性 其他终止条件 自治问题 经济应用 无限时间跨度 动态分析的局限性
2011-4-30
V.14/15.3
பைடு நூலகம்
GuoSipei@CCNUMATH
第14章 动态经济学与积分学 章
动态经济学的涵义
其目的是探寻和研究变量的具体时间路径,或者是 确定在给定的充分长的时间内这些变量是否会趋向 收敛于(均衡)值. 直接面对”可实现性”问题,而不像静态学和比较 静态学那样假设”必然能够实现”. 特征:确定变量的时间!时间可作为连续变量也可以 作为离散变量.
2011-4-30 V.14/15.11 GuoSipei@CCNUMATH
积分的经济应用
从边际函数到总函数
给定一个总函数对其微分会产生边际函数,而积分 使我们可以从已知的边际函数反推出总成本函数 例1 如果厂商边际成本MC是总产出的下述函数: C’(Q)=2e0.2Q,若固定成本CF=90,求总成本函数 C(Q).
2011-4-30
V.14/15.9
GuoSipei@CCNUMATH
定积分的性质
性质I 上下限的互换,使符号改变: b f ( x)dx = − ∫a f ( x)dx ∫ a 性质II ∫a f ( x)dx = F (a) − F (b) = 0 d b c d 性质III ∫a f ( x)dx = ∫a f ( x)dx + ∫b f ( x)dx + ∫c f ( x)dx b b 性质IV ∫a − f ( x)dx = − ∫a f ( x)dx b b 性质V ∫a kf ( x)dx = k ∫a f (bx)dx b b 性质VI ∫a [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫a f ( x)dx + ∫a g ( x)dx x =b x =b x =b 性质VII 给定u(x)和v(x):∫x =a vdu = uv ∫x =a − ∫x = a udv
上述两例可推广至已知边际函数求总函数的其他问 题.
2011-4-30
V.14/15.13
GuoSipei@CCNUMATH
投资与资本形成
资本形成是增加给定资本存量的过程,此过程可视 为连续的,将资本存量表示成时间的函数K(t),并以 导数dK/dt表示资本的形成率,但是,在时间t的资本 形成率与以I(t)表示的净投资(流量)率相等.所以资 本存量K和净投资I通过如下两个方程联系起来:
GuoSipei@CCNUMATH
例2 如果边际储蓄倾向(MPS)是收入的如下函 数:S’(Y)=0.3-0.1Y-1/2,若当收入Y=81时,总储蓄 S=0,求储蓄函数S(Y)
求S’(Y)的积分: S (Y ) = ∫ (0.3 − 0.1Y −1/ 2 )dY = 0.3Y − 0.2Y 1/ 2 + c 确定c值: 0=0.3(81)-0.2(9)+c,所以c=-22.5 储蓄函数为: S(Y)=0.3Y-0.2Y1/2-22.5
在前述酒窖问题中,假定酒窖的藏酒成本为零,当时采用 此假设是因为我们不知道计算成本流量现值的方法.现在 已经解决了这个问题. 假设酒商现在发生的采购成本为C,其未来销售额随时间 C, 变化而变化,一般表示成V(t),现值为V(t)e-rt.虽然销售 额是一个未来值,但窖藏成本是支出流.假设成本是一个 每年为固定比率s的不变支出流,在t年中所发生的窖藏成 本的总现值等于 t s − rt se dt = (1 − e − rt ) ∫0 r
连续情况:
t =1
2011-4-30
– 考察收益率为R(t)的连续收入流,在任意时点t,时期[t,t+dt]的 收益量为R(t)dt,按当年贴现率r连续贴现,其现值为R(t)e-rtdt 3 – 对三年收入流的总现值,那么可以通过定积分获得: Π = ∫ R(t )e − rt dt
V.14/15.16
2011-4-30 V.14/15.6 GuoSipei@CCNUMATH
积分的基本法则
法则I (幂函数积分法则) 法则II (指数函数积分法则) ∫ e x dx = e x + c 1 法则III(对数函数积分法则) ∫ x dx = ln x + c f ' ( x)e f ( x ) dx = e f ( x ) + c 法则IIa ∫ 法则IIIa
2011-4-30 V.14/15.18 GuoSipei@CCNUMATH
持久流量的现值
n
1 n +1 ∫ x dx = n + 1 x + c (n ≠ −1)
( x > 0)
∫
f ' ( x) dx = ln f ( x) + c ( f ( x) > 0)或 ln | f ( x) | +c ( f ( x) ≠ 0) f ( x)
2011-4-30
V.14/15.7
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第五篇 动态分析
第14章 动态经济学与积分学
动态学与积分 不定积分 定积分 广义积分 积分的经济应用 多马增长模型
2011-4-30
V.14/15.1
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第15章 连续时间：一阶微分方程
具有常系数和常数项的一阶线性微分方程 市场价格的动态学 可变系数和可变项 恰当微分方程 一阶一次非先行微分方程 定性图解法 索洛增长模型
2e 0.2Q dQ = 2 求积分: ∫
将信息CF=90作为确定常数c的初始条件,当Q=0时的总 成本只含有CF,于是得到:10e0+c=90,则c=80. 总成本函数为: C(Q)=10e0.2Q+80.
1 0.2Q e + c = 10e 0.2Q + c 0 .2
2011-4-30
V.14/15.12
A=V(1+i)-t [离散情况] A=Ve-rt [连续情况]
当假设有一个未来值的流-在未来各个时间可获得 的一系列收益,或在各个时间要支付的成本,那么应 该如何计算整个现金流的现值?
离散情况:
– 假设有三个在t年末可获得的收益数字Rt(t=1,2,3),每年的利息 率为i,那么Rt的现值分别为R1(1+i)-1, R2(1+i)-2, R3(1+i)-3 3 – 由此得到总现值和为 Π = ∑ Rt (1 + i) −t
a b
2011-4-30
V.14/15.10
GuoSipei@CCNUMATH
广义积分
无穷极限积分
形如 ∫a f ( x)dx, ∫−∞ f ( x)dx 的定积分称为广义积分 计算方法:
b ∞
∫ ∫
∞
a ∞
f ( x)dx ≡ lim ∫ f ( x)dx, ∫ f ( x)dx ≡ lim
b →∞ a −∞