浅议张量分析的形成及其应用

浅议张量分析的形成及其应用

摘要：张量分析是现代数学物理学的基础工具。从广义相对论开始，到规范场论，以至后来的弦理论的建立都得力于张量分析。张量分析所提供的对曲线坐标系的微分方法，真正实现了非欧几何从概念到演算的革命，而所有这一切都是以张量概念的产生为基础的。同时叙述了张量分析在相对论以及连续介质力学方便的应用。

关键词：张量分析；线性变换；相对论；连续介质力学

1引言

张量是向量(矢量)的自然推广。简单说，三维向量是有三个分量的矩阵函数，三维张量(也叫二阶张量)是有九个分量的矩阵函数。但是并不是只要把九个数写成矩阵形式就可以成为张量，还要必须满足线性变换形式不变这个条件。向量是一种平移不变量，在坐标系变换的时候，向量保持长度和方向不变。建立在向量基础上的微积分运算，也就是向量分析，为麦克斯韦的电磁理论提供了数学工具。不过，向量分析是笛卡儿空间中的分析，即三维直角坐标系中的向量微积分运算，它的局限性是很明显的，物理量中很多都有超过三个的分量，如果把分量理解为维数，那就需要处理高维空间中的分析的数学方法，张量分析因此有存在和发展的必要。

2张量概念的起源

2.119世纪初的非欧几何学

1826年，喀山大学的罗巴切夫斯基(H. N. Lobachevsky，1792-1856)演讲了他的关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》，被视为非欧几何诞生的标志。罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，提出一个和欧氏平行公理相矛盾的命题，假如用它与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，然后展开一系列的推理，那么在此过程中，将得出一个个在直觉上很难理解，但在逻辑上毫无矛盾的命题。罗巴切夫斯基由此提出了新的几何理论，后来被称为罗巴切夫斯基几何，这是第一个被提出的改变空间观念的非欧几何学。

从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，1832年，匈牙利数学家波尔约(Janos Bolyai，1802-1860)从第五公设证明了

非欧几何学的存在。1868年，意大利数学家贝尔特拉米(E. Beltrami，1835-1900)发表了著名的论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的拟球曲面上实现。这就是说，非欧几何命题与相应的欧几里得几何命题一一对应，既然欧几里得几何学命题成立，那么非欧几何也就自然成立。

到此时为止，与欧几里得空间不同的空间观念建立起来了，几何学也重新回到了起点，接下来要做的是: 构造非欧的坐标系、建立非欧坐标系中的微分运算、依据这种微分运算重建微分几何学。这个工作由高斯发起，经黎曼发展，最终在里奇(G. Ricci，1853-1925)手中完成了张量分析，所以说真正意义上的非欧几何学——黎曼几何学(以张量分析为基本方法)的诞生，与19世纪初的非欧几何学有着鲜明的承接关系。

2.2 高斯内蕴几何的思想内涵

最早研究曲面的内在性质的是瑞士数学家欧拉(L. Euler，1707-1783)。1774年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何研究。欧拉的内在坐标实质上是球面几何的参数表示，所以仍然是欧几里得空间中的几何形式，与高斯后来的直接把曲面作为空间是根本不同的。

欧几里得空间中的微分几何经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内蕴几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲线的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。古典微分几何对空间曲线的研究为高斯研究空间曲面的性质奠定了基础，高斯的内蕴几何理论发展了古典微分几何的空间观念，为黎曼革命性地构架弯曲空间的几何理论开了先河。

2.3张量概念的代数学基础

19世纪，代数观念经历了深刻变革，首先是哈密顿提出四元数理论，这是第一个不满足乘法交换律的数系，为凯莱创作矩阵论提供了模板。1843年，哈密顿在对复数的几何表示的研究中，试图将复数概念推广到三维空间，未获成功，但却意想不到的创立了四元数理论。从此，数学家便突破了实数与复数的框架，比较自由地创造各种新的代数系统。四元数理论成为向量代数、向量分析以及格拉斯曼线性结合代数理论的先导。

在此之后，凯莱、西尔维斯特创造性地开辟出抽象代数的研究领域，在矩阵理论、代数形式、线性变换、代数形式的不变量理论等方面，进行了开拓性的研究。所谓不变量是

指经变换后代数形式保持形式不变，凯莱计算了大量代数形式的不变量。1845年，凯莱发表“线性变换理论”一文，探讨求不变量的方式。1846年，凯莱发表“论线性变换”一文，引入了“协变量”的概念，这两篇文章奠定了不变量理论的基础。受凯莱的影响，西尔维斯特在不定量理论的创立过程中也做了许多工作，“不变量”这个术语就是西尔维斯特引进的。

凯莱的不变量理论是在线性变换理论的基础上展开的，它的意义在于揭示自然界中不随坐标系而改变的内在性质。不变量理论最终体现出其价值, 是在爱因斯坦的几何化的引力结构被发现之后。从那时起，不变量理论成为数学中的重要而基本的内容，在黎曼几何学、数学物理学的研究中产生了直接的影响。

有了线性变换这个工具，从1854 年开始, 凯莱连续发表了一系列共10篇论代数形式的学术论文，“代数形式”是他用来指称齐次多项式的名词，现在，所谓代数形式是指包含n 个变元n x x x ...,21的m 次齐次多项式)...,(21n x x x f ，最常见的是二次型。关于代数形式不变量的研究到了贝尔特拉米那里转向了微分形式不变量的研究，而这也正是张量概念开始的地方。我们知道，张量分析的源头是黎曼的度量形式∑==n

j i j i ij dx dx g ds 1,2

这个二次微分形式。因此，抽象代数领域的开辟，为张量数学打下了基础。

3张量分析的建立

3.1 Cay ley 的向量代数定义

土体中孔隙水压力会随着循环荷载作用发生变化，继而引起土体变形和强度变化，因此研究冻融粘土在不同条件下孔隙水压力的变化规律十分重要。在动应力作用下，动孔隙水压力呈现波动变化，而又单调增长。在1858年的第一篇矩阵文章“矩阵论的研究报告”中，凯莱引进了矩阵的基本概念和运算；给出了零矩阵、单位矩阵的定义，两个矩阵的和。他注意到，上述定义不仅适用于n ×n 矩阵，而且可用于任意的m ×n 矩阵，他指出，矩阵加法满足结合律和交换律。对于一个数m ，凯莱定义m A 为这样的矩阵，其每一个元素都是A 的对应元素的m 倍。

运用矩阵代数方法，凯莱对线性变换进行了研究，从而引向了向量的代数定义。在1845 年论文中，凯莱研究了下面的问题：如果函数∑∑=),,,(s r y x s r U 通过替换

,,22,11

...m m r r r r x a x a x a x +++=，,,22,11...m m s s s s y b y b y b y +++=变换为∑∑=),,,(,,,,,s r y x s r U 那么系