集合与简易逻辑知识点归纳

知识点典型例题集合与简易逻辑

集合1.元素与集合的关系:

用∈或∉表示；

2.集合中元素具有

确定性、无序性、互异性.

3.集合的分类：

①按元素个数分：有限集，无限集；

②按元素特征分；数集，点集。如

数集{y|y=x2},表示非负实数集，点

集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以

y轴为对称轴的抛物线；

4.集合的表示法：

①列举法：用来表示有限集或具有

显著规律的无限集，如N+={0，1，

2，3，…}；

②描述法

③字母表示法:常用数集的符号：

自然数集N；正整数集*

N N

+

或；

整数集Z；有理数集Q、实数集R;

例1 下列关系式中正确的是（）

(A){}

Φ⊆Φ(B){}

0∈Φ

(C)0{}Φ

=(D)0{}

⊆Φ

例2

3

231

x y

x y

+=

⎧

⎨

-=

⎩

解集为______.

例3设{}{}

2

4,21,,9,5,1

A a a

B a a

=--=--,

已知{}9

A B=,求实数a的值.

子集集合与集合的关系:用⊆，≠⊂，=

表示;A是B的子集记为A⊆B；A

是B的真子集记为A≠⊂B。

①任何一个集合是它本身的子集，

记为A

A⊆；②空集是任何集合

的子集，记为A

⊆

φ；空集是任

何非空集合的真子集；

③如果B

A⊆，同时A

B⊆，那

么A = B；如果A B

⊆，B C

⊆，

A C

⊆

那么.④n个元素的子集有

2n个；n个元素的真子集有2n－1

个；n个元素的非空真子集有2n

－2个.

例4设{}

220,

M x x x x R

=++=∈，a=lg(lg10)，

则{a}与M的关系是( )

(A){a}=M (B)M{a} (C){a}M (D)M⊇{a}

例5集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3n+1，

n∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之间的关系是( )

(A)S B A (B)S=B A

(C)S B=A (D)S B=A

例6用适当的符号()

∈∉

、、=、、填空：

①π___Q;②{3.14}____Q;③-

R∪R+_____R;

④{x|x=2k+1, k∈Z}___{x|x=2k－1, k∈Z}。

例7已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a2－a＋2｝

如果{}1

U

A=-，那么a的值为____.

交、并、补1.交集A∩B={x|x∈A且x∈B};

并集A∪B={x|x∈A，或x∈B};

补集C U A=｛x|x∈U，且x∉A｝，

集合U表示全集.

2.集合运算中常用结论:

①;

A B A B A

⊆⇔=

A B A B B

⊆⇔=

②()()();

U U U

A B A B

=

()()()

U U U

A B A B

=

③()()

card A B card A

=+

()()

card B card A B

-

例8设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，

且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是( )

(A)11 (B)1 (C)16 (D)15

例9已知A={

4

|

2

m

m Z

-

∈}，B={x|

3

}

2

x

N

+

∈，

则A∩B=__________。

例10已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，

x∈R}，求M∩N。

、

并

、

补

则A∩B =_____.

例12设全集,{6}

U R A x x

==≤，

则()_____,

U

A A=()_____.

U

A A=

例13设全集U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，

A = {3，4，5}

B = {4，7，8},

求：（C U A）∩(C U B), (C U A)∪(C U B),

C U(A∪B), C U (A∩B).

不

等

式

1.绝对值不等式的解法：

(0)

x a a

<>的解集是{}

,0

x a x a a

-<<>;

(0)

x a a

>>的解集是{}

,0

x x a x a a

><->

或

⑴公式法:()()()()()()

f x

g x f x g x f x g x

>⇔><-

或,()()()()()

f x

g x g x f x g x

<⇔-<<.

(2)几何法(3)定义法（利用定义打开绝对值）(4)两边平方

2、一元二次不等式)0

(0

2>

>

+

+a

c

bx

ax或)0

.

(0

2>

<

+

+a

c

bx

ax的求解原理：利用

二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解

集。

>

∆0

=

∆0

<

∆

二次函数

c

bx

ax

y+

+

=2

（0

>

a）的

图象

c

bx

ax

y+

+

=2c

bx

ax

y+

+

=2c

bx

ax

y+

+

=2

一元二次方

程

20

ax bx c

++=

()0

a>的根

有两相异实根

)

(

,

2

1

2

1

x

x

x

x<

有两相等实根

a

b

x

x

2

2

1

-

=

=

无实根

的解集

)0

(

2

>

>

+

+

a

c

bx

ax{}2

1

x

x

x

x

x>

<或

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

-

≠

a

b

x

x

2

R

的解集

)0

(

2

>

<

+

+

a

c

bx

ax{}

2

1

x

x

x

x<

<∅∅

注:分式、高次不等式的解法：标根法

不

等

式

14.不等式20

x ax b

--<的解集是{}

23

x x

<<,则____,____.

a b

==

15.分式不等式30

7

x

x

-

<

+

的解集为：___________________.

16.求使

4

1

2

3

-

+

-

x

x

有意义的取值范围.