在探究中激发学生的运算潜能——记一道高考题的教学功能

来研究一道高考解几题 ， 我期望通 过学 习能 对 同学们 今后 的解几 学 习有所 帮助 ， 请看
的教学思路 ： 选择一道方法不太难 的解几题 ， 但它却有较强的探究功能 ， 在教师的引导下 ，
让学生发现问题的背景， 发现更一般更优美
的结论， 在教师鼓励下， 使他们满怀信心地去
２ ０ １ ２ 年上海市高考第 ２ ２ 题（ 投影展示） ． 教师 ： 第（ Ｉ ） 题 比较简单 ， 请大家在下面
＝ ： １ Ｉ 】 ｂ ２ ＝ｋ ２ ・
直线与双曲线方程 ， 可得出根与系数的关系 ， 最后计算数量积 ・
而得 到 ０Ｐ上０ Ｑ．
， 按理说应为 ｏ ， 从
教师 ： 很好 ！学生 １ 的思路非常清晰， 请
大 家完 成证 明过 程． （ 教 师巡查 后 展示 学生 作
业）
联 立 ｛
．
， 得
－ｂ ｚ 一】
（ ２ 一忌 。 ） 。 一２ 忌 ６ ｚ一 ６ 。 一１ —０ ．
设 Ｐ（ ｘ １ ， Ｙ １ ） ， Ｑ（ ２ ， Ｙ ２ ） ， 则
２ ｋ ｂ
学生 ２ 的解答 ： 设直线 Ｐ Ｑ 的方程是 Ｙ
—
＋６ ， 且直线 Ｐ Ｑ与圆 ｚ 。 － － ［ － ｙ 。 一１ 相切， 故
所以 Ｏ Ｐ上０Ｑ ．
教师 ： 学生 ６的解题思路是不错的， 但我
又 １ ２ 一（ Ｘ ｌ ＋√ ２ ） （ ｘ ｚ ＋√ ２ ） 一 １ ｚ ２ ＋√ ２ （ １ ＋ｚ ２ ） ４ － ２ －３ ．
们还要来审视一下他 的解答过程 ， 看看有没
有什么瑕疵？
故 － ｏ － Ｐ・ － 一 １ ｚ ２ ＋ １ Ｙ ２ ＝ｏ ， Ｏ Ｐｌ ＿ Ｃ ￣．
完成 ， 要求同学们运算尽可能都不失误 （ 巡查 中， 发现正确率高 ， 展示一学生 的答案 ， 并迅
速点评） ．
检验结论的正确性 ， 由此消除他们惧怕运算
的心理 ， 逐步适应烦难运算的问题． 在问题的
选择上 ， 笔者选 中了 ２ ０ １ ２ 年上海市 的一道高
考解几题 ：
教师 ： 请同学们再思考第 （ Ｕ） 题， 迅速画
学生运算能力的校本研究” 的主持人 ， 不能只 停留在理论研究上， 而要通过实践来检验研 究成果的实效性． 这节示范课 ， 学生的探究热
（ １ Ｉ ） 设斜率为 １的直线 ｚ 交Ｃ 于 Ｐ， Ｑ 两点， 若ｚ 与圆 ＋ 。 一１ 相切 ， 求证 ： Ｏ Ｐ 上
Ｏ Ｑቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（ ｎ １ ） 设椭圆 Ｃ ２ ： ４ ｚ 。 ＋ 一１ ， 若 Ｍ， Ｎ分
别是 Ｃ １ ， Ｃ ２ 上的动点， 且ｏ Ｍ＿ ｌ － Ｏ Ｎ， 求证 ： Ｏ 到直线 ＭＮ 的距离为定值．
该高考题 的第 （ １ Ｉ ） 、 （ １ １ １ ） 两小题都是在
特定条件下的结论 ， 通常都可以加 以推广和 引申， 得出问题的更具一般性的结论 ， 所以本 节课 的中心任务有两个 ： 通过问题的探究 ， 激 发 学生 的学 习兴 趣 ， 得 出一些 重 要 的优 美结 论； 通过这些优美结论 ， 引发学生急于求证的 目的， 从而达到使他们“ 要” 运算的目的．
在平面直角坐标系 ｘ Ｏ ｙ中， 已知双曲线
Ｃ ｌ ： ２ ｚ 一 。 一１ ．
（ Ｉ） 过 Ｇ 的左顶点引 Ｃ １ 的一条渐近线 的平行线 ， 求该直线与另一条渐近线及 ｚ轴
围成 的三 角形 的面积 ；
错率非常高． 究其原因， 主要是学生的运算能 力较弱， 他们 “ 怕” 运算 ， 稍微烦一点 的运算 ， 就不想做 ； 简单 的运算又容易错 ， 这就严重地 制约着他们在解几题上 的得分率． 针对此， 我 校高三数学备课组要求笔者上一节有关解几 运算教学方面的示范课 ， 原 因是笔者为盐城 市教育科学“ 十二 ・ 五” 规划课题“ 提高高中
２ 课 堂实践
情较高 ， 都能积极投入到运算中去 ， 也得到了
组 内同事的高度评价． 现将教学过程及课前 、 课 后 的一些思 考整理 成 文 ， 与读者 交流 ．
１ 课前 准备
由于解几题运算量大 ， 学生“ 怕” 运算 ， 怎 样激发他们的运算要求呢？笔者设计了这样
教师： 同学们 ， 今天这节课我打算和大家
－ －
１ 十 ２ 一研
又
’ ｚ ｌ Ｘ ２ 一—
’
１ ， 所以 ６ 一士 ．
ｙ ］ Ｙ ２ ＝（ ｋ ｘ ｌ ＋６ ） （ ｋ ｘ ２ ＋６ ） ，
√２
故 ｏ － ｏ Ｐ・ ＝ｚ １ ２ ＋ １ ２
一 １ ２ ＋忌 。 Ｘ １ ２ ＋ｋ ｂ （ ｘ １ ＋ｚ ２ ） ＋６ ，
２ ２
数学教学研究
第３ ２卷第 ２ 期
２ ０ １ ３年 ２ 月
在探究 中激发学生的运算潜能 记一道高考题的教学功能
— —
崔志荣
（ 江苏 省东 台市安丰 中学 ２ ２ ４ ２ ２ １ ）
解析几何作 为一种重要 的数学 思想方
法， 一直都是高考的重点和热点 ， 这部分内容 也格外受到老师和学生 的重视． 但一个不容 否认的事实是 ， 老师们往往感到这部分 内容 的教学效果不如人意 ， 学生似懂非懂 ， 解题 出
图并理清一个运算思路．
第３ ２ 卷第 ２期
２ ０ １ ３年 ２月
数学教学研究
２ ３
学生 １ ： 直线 ｚ 的斜 率 为 １ ， 并与圆 Ｘ 。 ＋ Ｙ 一１ 相切 ， 可 具体 求 出直 线 方 程 ， 然后 联 立
学 生 ６的 解 答 ： 设直线 Ｐ Ｑ 的 方 程 为 ｙ＝ｋ ｘ ＋６ ， 由直 线与 圆相 切 ， 所 以
＿（ １
－ －
当 ６ 一 时 ， 由 ｊ 【 ｚ ２ ＋ ２ ， 得
－ ｙ 一 ｌ，
）・
・
＋６ ２
ｚ２ —２ ｚ一 ３— ０ ．
设Ｐ （ ｘ １ ， Ｙ １ ） ， Ｑ（ ２ ， Ｙ ２ ） ， 则
ｌ
０，
＋Ｘ ２ ＝ ＝ ＝ ２ √ ２， Ｘ ｌ Ｘ ２ ＝ －３ ，