高中数学必修第二章点线面位置关系测试题

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人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(内含答案解析)

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(内含答案解析)

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》(内含答案解析)一、选择题1.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,那么这n条直线中与直线a平行的()A.至少有一条B.至多有一条C.有且只有一条D.没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β,所以平面α与平面β只有一条交线,且与直线a平行,这条交线可能不是这n条直线中的一条也可能是.故选B.【答案】B2.设a,b是两条直线,α,β是两个平面,若a∥α,a⊂β,α∩β=b,则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A.平行 B.相交C.异面 D.平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理,所以a∥b,又a与α无公共点,故选C.【答案】C3.下列命题中不正确的是()A.两个平面α∥β,一条直线a平行于平面α,则a一定平行于平面βB.平面α∥平面β,则α内的任意一条直线都平行于平面βC.一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行,也可能在β内,故选项A不正确;三角形两边必相交,这两条相交直线平行于一个平面,那么三角形所在的平面与这个平面平行,所以选项C正确;依据平面与平面平行的性质定理可知,选项B,D也正确,故选A.【答案】A4.如图2221,四棱锥P ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面P AD,则()图2221A.MN∥PDB.MN∥P AC.MN∥ADD.以上均有可能【解析】∵MN∥平面P AD,MN⊂平面P AC,平面P AD∩平面P AC=P A,∴MN∥P A.【答案】B5.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当点A、B分别在平面α,β内运动时,动点C()A.不共面B.当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.无论点A,B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动,其中点C到α、β的距离始终相等,故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上.【答案】D二、填空题6.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).图229【解析】①设MP中点为O,连接NO.易得AB∥NO,又AB⊄平面MNP,所以AB∥平面MNP.②若下底面中心为O,易知NO∥AB,NO⊄平面MNP,所以AB与平面MNP不平行.③易知AB∥MP,所以AB∥平面MNP.④易知存在一直线MC∥AB,且MC⊄平面MNP,所以AB与平面MNP不平行.【答案】①③7.在如图2210所示的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形,则平面ABC与平面A1B1C1平行吗?______(填“是”或“否”).图2210【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形,所以AB∥A1B1,因为AB⊄平面A1B1C1,A1B1⊂平面A1B1C1,所以AB∥平面A1B1C1,同理可证:BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以平面ABC∥平面A1B1C1.【答案】是三、解答题8.如图2123,长方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.(1)求证:D1E∥BF;(2)求证:∠B1BF=∠D1EA1.图2123【证明】(1)取BB1的中点M,连接EM,C1M.在矩形ABB1A1中,易得EM═∥A1B1,∵A1B1═∥C1D1,∴EM═∥C1D1,∴四边形EMC1D1为平行四边形,∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中,易得MB═∥C1F,∴BF═∥C1M.∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF,BM∥EA1,又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同,∴∠B1BF=∠D1EA1.9.如图2124,正方体ABCDEFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:(1)BE与CG所成的角;(2)FO与BD所成的角.图2124【解】(1)如图,因为CG∥BF,所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又△BEF中,∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH,因为HD═∥EA,EA═∥FB,所以HD═∥FB,所以四边形HFBD为平行四边形,所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.连接HA、AF,易得FH=HA=AF,所以△AFH为等边三角形,又依题意知O为AH的中点,所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角是30°.10.如图2125是正方体的平面展开图,在这个正方体中,图2125①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是()A.①②③B.②④C.③④ D.②③④【解析】由题意画出正方体的图形如图:显然①②不正确;③CN与BM成60°角,即∠ANC=60°,正确;④正确.【答案】C11.在四面体ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点.若BD、AC所成的角为60°,且BD=AC=1.求EF的长度.【解】如图,取BC中点O,连接OE、OF,∵OE∥AC,OF∥BD,∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角,而AC、BD所成的角为60°.∴∠EOF=60°或∠EOF=120°.当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=21.当∠EOF=120°时,取EF的中点M,连接OM,则OM⊥EF,EF=2EM=2×43=23.。

点、直线、平面之间点位置关系测试题(含答案)

点、直线、平面之间点位置关系测试题(含答案)

第二章测试(时间:120分钟总分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β解析由垂直同一直线的两平面平行知,B正确.答案 B2.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.不相交解析由棱台的定义知,各侧棱的延长线交于一点,所以选B.答案 B3.一直线l与其外三点A,B,C可确定的平面个数是()A.1个B.3个C.1个或3个D.1个或3个或4个解析当A,B,C共线且与l平行或相交时,确定一个平面;当A,B,C共线且与l异面时,可确定3个平面;当A,B,C三点不共线时,可确定4个平面.答案 D4.若三个平面两两相交,有三条交线,则下列命题中正确的是()A.三条交线为异面直线B.三条交线两两平行C.三条交线交于一点D.三条交线两两平行或交于一点答案 D5.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,P A⊥面ABC,AB=AC,D是BC的中点,则图中直角三角形的个数是()A.5 B.8C.10 D.6解析这些直角三角形是:△P AB,△P AD,△P AC,△BAC,△BAD,△CAD,△PBD,△PCD.共8个.答案 B6.下列命题正确的有()①若△ABC在平面α外,它的三条边所在直线分别交α于P,Q,R,则P,Q,R三点共线;②若三条平行线a,b,c都与直线l相交,则这四条直线共面;③三条直线两两相交,则这三条直线共面.A.0个B.1个C.2个D.3个解析易知①与②正确,③不正确.答案 C7.若平面α⊥平面β,α∩β=l,且点P∈α,P∉l,则下列命题中的假命题是()A.过点P且垂直于α的直线平行于βB.过点P且垂直于l的直线在α内C.过点P且垂直于β的直线在α内D.过点P且垂直于l的平面垂直于β答案 B8.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM()A.与AC,MN均垂直相交B.与AC垂直,与MN不垂直C.与MN垂直,与AC不垂直D.与AC,MN均不垂直解析易证AC⊥面BB1D1D,OM⊂面BB1D1D,∴AC⊥OM.计算得OM2+MN2=ON2=5,∴OM⊥MN.答案 A9.如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;②过M 点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直;③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行.其中真命题是()A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③解析将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度,所得平面与直线AB,B1C1都相交,故③错误,排除A,B,D.答案 C10.已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离相等,则正确的结论是()A.平面ABC必平行于αB.平面ABC必不垂直于αC.平面ABC必与α相交D.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内解析排除A、B、C,故选D.答案 D11.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是( )A .①和②B .②和③C .③和④D .②和④ 答案 D12.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点 E ,F ,且EF =12,则下列结论错误的是( )A .AC ⊥BEB .EF ∥平面ABCDC .三棱锥A —BEF 的体积为定值D .△AEF 的面积与△BEF 的面积相等解析 易证AC ⊥平面BB 1D 1D ,∴AC ⊥BE .∵EF 在直线B 1D 1上,易知B 1D 1∥面ABCD ,∴EF ∥面ABCD ,V A -BEF =13×12×12×1×22=224.∴A 、B 、C 选项都正确,由排除法即选D.答案 D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.已知A,B,C,D为空间四个点,且A,B,C,D不共面,则直线AB与CD的位置关系是________.解析如图所示:由图知,AB与CD为异面直线.答案异面14.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取点E,F,G,H,如果EH,FG相交于一点M,那么M一定在直线________上.答案BD15.如图所示,以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕.使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面,则:(1)BD与CD的关系为________;(2)∠BAC=________.解析 (1)AB =AC ,AD ⊥BC ,∴BD ⊥AD ,CD ⊥AD ,∴∠BDC 为二面角的平面角,∠BDC =90°,∴BD ⊥DC .(2)设等腰直角三角形的直角边长为a ,则斜边长为2a .∴BD =CD =22a .∴折叠后BC =⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2=a . ∴折叠后△ABC 为等边三角形.∴∠BAC =60°.答案 (1)BD ⊥CD (2)60°16.在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中,过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ,交CC ′于F ,则:①四边形BFD ′E 一定是平行四边形;②四边形BFD ′E 有可能是正方形;③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形;④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D .以上结论正确的为__________.(写出所有正确结论的编号)解析 如图所示:∵BE =FD ′,ED ′=BF ,∴四边形BFD ′E 为平行四边形.∴①正确.②不正确(∠BFD ′不可能为直角).③正确(其射影是正方形ABCD).④正确.当E,F分别是AA′,CC′中点时正确.答案①③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,已知点E,F,G,H分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点,求证:EF,HG,DC三线共点.证明∵点E,F,G,H分别为所在棱的中点,连接BC1,GF,如图.∴GF是△BCC1的中位线,∴GF∥BC1.∵BE∥C1H,且BE=C1H,∴四边形EBC1H是平行四边形.∴EH∥BC1,∴GF∥EH.∴E,F,G,H四点共面.∵GF≠EH,故EF与HG必相交.设EF∩HG=I.∵I∈GH,GH⊂平面CC1D1D,∴I∈平面CC1D1D.同理可证I∈平面ABCD.∴点I在交线DC上.即EF,HG,DC三线共点.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,P A⊥底面ABCD,P A=AB,点M在棱PD上,PB∥平面ACM.(1)试确定点M的位置,并说明理由;(2)求四棱锥P-ABCD的表面积.解 (1)点M 为PD 的中点.理由如下:连接BD ,设BD ∩AC =O ,则点O 为BD 的中点,连接OM ,∵PB ∥平面ACM ,∴PB ∥OM .∴OM 为△PBD 的中位线,故点M 为PD 的中点.(2)∵P A ⊥底面ABCD ,又底面是边长为1的正方形,∴S 正方形ABCD =1,S △P AB =S △P AD =12×1×1=12,S △PBC =12×1×2=22,S △PCD =12×1×2=22.故四棱锥P -ABCD 的表面积为S =1+2×12+22+22=2+ 2.19.(12分)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,M ,N 分别为A 1B 和AC 上的点,A 1M =AN =23a ,如图.(1)求证:MN ∥面BB 1C 1C ;(2)求MN 的长.解 (1)证明:作NP ⊥AB 于P ,连接MP .NP ∥BC ,∴AP AB =AN AC =A 1M A 1B ,∴MP ∥AA 1∥BB 1, ∴面MPN ∥面BB 1C 1C . MN ⊂面MPN , ∴MN ∥面BB 1C 1C .(2)NP BC =AN AC =23a2a =13,NP =13a ,同理MP =23a . 又MP ∥BB 1,∴MP ⊥面ABCD ,MP ⊥PN . 在Rt △MPN 中MN =49a 2+19a 2=53a .20.(12分)如图,DC ⊥平面ABC ,EB ∥DC ,AC =BC =EB =2DC =2,∠ACB =120°,P ,Q 分别为AE ,AB 的中点.(1)证明:PQ∥平面ACD;(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.解(1)证明:因为P,Q分别为AE,AB的中点,所以PQ∥EB.又DC∥EB,因此PQ∥DC,又PQ⊄平面ACD,从而PQ∥平面ACD.(2)如图,连接CQ,DP,因为Q为AB的中点,且AC=BC,所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC,EB∥DC,所以EB⊥平面ABC,因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ ∥DC ,又PQ =12EB =DC , 所以四边形CQPD 为平行四边形,故DP ∥CQ .因此DP ⊥平面ABE ,∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角, 在Rt △DP A 中,AD =5,DP =1, sin ∠DAP =55,因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55.21.(12分)如图,在四面体ABCD 中,CB =CD ,AD ⊥BD ,点E ,F 分别是AB ,BD 的中点.求证:(1)直线EF ∥面ACD ; (2)平面EFC ⊥平面BCD . 证明 (1)在△ABD 中,∵E ,F 分别是AB ,BD 的中点, ∴EF ∥AD .又AD ⊂平面ACD ,EF ⊄平面ACD , ∴直线EF ∥平面ACD .(2)在△ABD 中,∵AD ⊥BD ,EF ∥AD , ∴EF ⊥BD .在△BCD中,∵CD=CB,F为BD的中点,∴CF⊥BD.∵CF∩EF=F,∴BD⊥平面EFC,又∵BD⊂平面BCD,∴平面EFC⊥平面BCD.22.(12分)已知四棱锥P-ABCD(图1)的三视图如图2所示,△PBC为正三角形,P A垂直底面ABCD,俯视图是直角梯形.(1)求正视图的面积;(2)求四棱锥P-ABCD的体积;(3)求证:AC⊥平面P AB.解(1)过A作AE∥CD,根据三视图可知,E是BC的中点,且BE=CE=1,AE=CD=1.又∵△PBC 为正三角形, ∴BC =PB =PC =2,且PE ⊥BC , ∴PE 2=PC 2-CE 2=3.∵P A ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,∴P A ⊥AE . ∴P A 2=PE 2-AE 2=2,即P A = 2. 正视图的面积为S =12×2×2= 2.(2)由(1)可知,四棱锥P -ABCD 的高P A =2,底面积为S =AD +BC 2·CD =1+22×1=32,∴四棱锥P -ABCD 的体积为V P -ABCD =13S ·P A =13×32×2=22. (3)证明:∵P A ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴P A ⊥AC . ∵在直角三角形ABE 中,AB 2=AE 2+BE 2=2, 在直角三角形ADC 中,AC 2=AD 2+CD 2=2, ∴BC 2=AA 2+AC 2=4,∴△BAC 是直角三角形. ∴AC ⊥AB .又∵AB ∩P A =A ,∴AC ⊥平面P AB .。

高中数学必修二 点线面间的位置关系检测题及参考答案

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高中数学必修二阶段质量检测(二)点、直线、平面之间的位置关系(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为()A.平行B.相交C.异面D.垂直【答案】B。

【解析】因为两平行平面没有公共点,所以两直线没有公共点,所以两直线不可能相交.2.设BD1是正方体ABCD­A1B1C1D1的一条对角线,则这个正方体中面对角线与BD1异面的有()A.0条B.4条C.6条D.12条【答案】C。

【解析】每个面中各有一条对角线与BD1异面,它们是:AC,A1C1,B1C,A1D,AB1,DC1.3.下列说法不正确的是()A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【答案】D。

【解析】如图所示,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,AD⊥平面DCC1D1,因此平面ABCD、平面AA1D1D均与平面DCC1D1垂直,而且平面AA1D1D∩平面ABCD=AD,显然选项D不正确,故选D.4.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是() A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面【答案】D。

【解析】A项,α,β可能相交,故错误;B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误;C项,若m⊂α,α∩β=n,m∥n,则m∥β,故错误;D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有m∥n,所以原命题正确,故正确.5.如图所示,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于() A.AC B.BD C.A1D D.A1D1【答案】选B【解析】CE⊂平面ACC1A1,而BD⊥AC,BD⊥AA1,∴BD⊥平面ACC1A1,∴BD⊥CE.6.已知在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点,若AB=2,CD=4,EF ⊥AB,则EF与CD所成的角的度数为()A.90°B.45°C.60°D.30°【答案】D【解析】取BC的中点G,连接EG,FG,则EG=1,FG=2,EF⊥EG,则EF与CD所成的角等于∠EFG,为30°.7.如图,在三棱柱ABC­A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,D,E分别是棱BC,AB的中点,点F在棱CC1上,AB=BC=CA=CF=2,AA1=3,则下列说法正确的是() A.设平面ADF与平面BEC1的交线为l,则直线EC1与l相交B.在棱A1C1上存在点N,使得三棱锥N­ADF的体积为37C.设点M在BB1上,当BM=1时,平面CAM⊥平面ADFD.在棱A1B1上存在点P,使得C1P⊥AF【答案】C【解析】连接CE交AD于点O,则O为△ABC的重心,连接OF.由已知得OF∥EC1,则EC1∥l,故A错;若在A1C1上存在点N,则V N­ADF=V D­AFN,当N与C1重合时,V D­AFN取最小值为36,故B错;当BM=1时,可证得△CBM≌△FCD,则∠BCM+∠CDF=90°,即CM⊥DF.又∵AD⊥平面CBB1C1,CM⊂平面CBB1C1,∴AD⊥CM.∵DF∩AD=D,∴CM⊥平面ADF.∵CM⊂平面CAM,∴平面CAM⊥平面ADF,故C正确;过C1作C1G∥FA交AA1于点G.若在A1B1上存在点P,使得C1P⊥AF,则C1P⊥C1G.又∵C1P⊥GA1,C1G∩GA1=G,∴C1P⊥平面A1C1G.∵A1C1⊂平面A1GC1,∴C1P⊥A1C1,矛盾,故D错.故选C.8.在四面体ABCD中,已知棱AC的长为2,其余各棱长都为1,则二面角A­CD­B的余弦值为()A.12B.13C.33D.23【答案】C【解析】取AC 的中点E ,CD 的中点F ,则EF =12,BE =22,BF =32∴△BEF 为直角三角形,cos θ=EF BF =33.9.如图,平面α⊥平面β,A ∈α,B ∈β,AB 与平面α,β所成的角分别为45°和30°,过A ,B 分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A ′,B ′,若AB =12,则A ′B ′等于()A .4B .6C .8D .9【答案】B【解析】连接AB ′,BA ′,则∠BAB ′=45°,∠ABA ′=30°.在Rt △ABB ′中,AB =12,可得BB ′=6 2.在Rt △ABA ′中,可得BA ′=6 3.故在Rt △BA ′B ′中,可得A ′B ′=6.10.矩形ABCD 中,AB =4,BC =3,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ­AC ­D ,则四面体ABCD 的外接球的体积为()A.125π12B.125π9C.125π6D.125π3【答案】C【解析】球心O 为AC 中点,半径为R =12AC =52,V =43πR 3=125π6.11.如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =AB ,∠BCD =45°,∠BAD =90°,将△ABD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,构成四面体ABCD ,则在四面体ABCD 中,下列结论正确的是()A .平面ABD ⊥平面ABCB .平面ADC ⊥平面BDC C .平面ABC ⊥平面BDCD .平面ADC ⊥平面ABC 【答案】D【解析】易知△BCD 中,∠DBC =45°,∴∠BDC =90°,又平面ABD ⊥平面BCD ,而CD ⊥BD ,∴CD ⊥平面ABD ,∴AB ⊥CD ,而AB ⊥AD ,CD ∩AD =D ,∴AB ⊥平面ACD ,∴平面ABC ⊥平面ACD .12.(2019·全国卷Ⅲ)如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD ,M 是线段ED 的中点,则()A .BM =EN ,且直线BM ,EN 是相交直线B .BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是相交直线C .BM =EN ,且直线BM ,EN 是异面直线D .BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是异面直线【答案】B【解析】如图,取CD 的中点F ,DF 的中点G ,连接EF ,FN ,MG ,GB .∵△ECD 是正三角形,∴EF ⊥CD .∵平面ECD ⊥平面ABCD ,平面ECD ∩平面ABCD =CD ,EF ⊂平面ECD ,∴EF ⊥平面ABCD .∴EF ⊥FN .不妨设AB =2,则FN =1,EF =3,∴EN =FN 2+EF 2=2.∵EM =MD ,DG =GF ,∴MG ∥EF 且MG =12EF ,∴MG ⊥平面ABCD ,∴MG ⊥BG .∵MG =12EF =32,BG =CG 2+BC 2=2235222⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∴BM =MG 2+BG 2=7,∴BM ≠EN .连接BD ,BE ,∵点N 是正方形ABCD 的中心,∴点N 在BD 上,且BN =DN ,∴BM ,EN 是△DBE 的中线,∴BM ,EN 必相交.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设正三角形ABC 的边长为a ,PA ⊥平面ABC ,PA =AB ,则A 到平面PBC 的距离为________.【答案】217a 【解析】如图所示,取BC 中点E ,连接AE ,PE ,则AE ⊥BC ,又BC ⊥PA ,∴BC ⊥平面PAE .∴平面PAE ⊥平面PBC .在平面PAE 内过A 作AF ⊥PE ,垂足为F ,则AF ⊥平面PBC .则AF =PA ·AE PE =217a .14.如图所示,在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱AA 1和AB 上的点,若∠B 1MN 是直角,则∠C 1MN 等于________.【答案】90°【解析】∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1,MN ⊂平面A 1ABB 1,∴B 1C 1⊥MN ,又∠B 1MN 为直角.∴B 1M ⊥MN ,而B 1M ∩B 1C 1=B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1,又MC 1⊂平面MB 1C 1,∴MN ⊥MC 1,∴∠C 1MN =90°.15.如图,圆锥SO 中,AB 、CD 为底面圆的两条直径,AB ∩CD =O ,且AB ⊥CD ,SO =OB =2,P 为SB 的中点,则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为________.【答案】2【解析】连接PO ,则PO ∥SA ,∴∠OPD 即为异面直线SA 与PD 所成的角,且△OPD 为直角三角形,∠POD 为直角,∴tan ∠OPD =OD OP =22= 2.16.(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB =90°,P 为平面ABC 外一点,PC =2,点P 到∠ACB 两边AC ,BC 的距离均为3,那么P 到平面ABC 的距离为________.【答案】2【解析】如图,过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ,则PO 为P 到平面ABC 的距离.再过O 作OE ⊥AC 于E ,OF ⊥BC 于F ,连接PC ,PE ,PF ,则PE ⊥AC ,PF ⊥BC .又PE =PF =3,所以OE =OF ,所以CO 为∠ACB 的平分线,即∠ACO =45°.在Rt △PEC 中,PC =2,PE =3,所以CE =1,所以OE =1,所以PO =PE 2-OE 2=(3)2-12= 2.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图,在四面体ABCD 中,CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点.求证:(1)EF ∥平面ACD ;(2)平面EFC ⊥平面BCD .证明:(1)∵E ,F 分别是AB ,BD 的中点,∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF ∥AD ,∵EF ⊄平面ACD ,AD ⊂平面ACD ,∴EF ∥平面ACD .(2)∵AD ⊥BD ,EF ∥AD ,∴EF ⊥BD .∵CB =CD ,F 是BD 的中点,∴CF ⊥BD .又EF ∩CF =F ,∴BD ⊥平面EFC .∵BD ⊂平面BCD ,∴平面EFC ⊥平面BCD .18.(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)如图,直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB =2,∠BAD =60°,E ,M ,N 分别是BC ,BB 1,A 1D 的中点.(1)证明:MN ∥平面C 1DE ;(2)求点C 到平面C 1DE 的距离.解:(1)证明:连接B 1C ,ME .因为M ,E 分别为BB 1,BC 的中点,所以ME ∥B 1C ,且ME =12B 1C .又因为N 为A 1D 的中点,所以ND =12A 1D .由题设知A 1B 1綊DC ,可得B 1C 綊A 1D ,故ME 綊ND ,因此四边形MNDE 为平行四边形,所以MN ∥ED .又MN ⊄平面C 1DE ,所以MN ∥平面C 1DE .(2)过点C 作C 1E 的垂线,垂足为H .由已知可得DE ⊥BC ,DE ⊥C 1C ,所以DE ⊥平面C 1CE ,故DE ⊥CH .从而CH ⊥平面C 1DE ,故CH的长即为点C到平面C1DE的距离.由已知可得CE=1,C1C=4,所以C1E=17,故CH=41717.从而点C到平面C1DE的距离为41717.19.(本小题满分12分)矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点,沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置,使平面D1AE⊥平面ABCE.(1)若F为线段D1A的中点,求证:EF∥平面D1BC;(2)求证:BE⊥D1A.证明:(1)取AB的中点G,连接EG、FG,则EG∥BC,FG∥D1B,且EG∩FG=G,EG、FG⊂平面EFG;D1B∩BC=B,D1B、BC⊂平面D1BC.∴平面EFG∥平面D1BC,注意到EF⊂平面EFG,∴EF∥平面D1BC.(2)易证BE⊥EA,平面D1AE⊥平面ABCE,平面D1AE∩平面ABCE=AE,∴BE⊥平面D1AE,且D1A⊂平面D1AE,∴BE⊥D1A.20.(本小题满分12分)在三棱锥S­ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E,又SA=AB,SB=BC.(1)求证:BD⊥平面SAC;(2)求二面角E­BD­C的大小.解:(1)证明:如图,∵DE⊥SC,且E为SC的中点,又SB=BC,∴BE⊥S C.又DE∩BE=E,根据直线与平面垂直的判定定理知SC⊥平面BDE,BD⊂平面BDE,∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,∴SA⊥BD.又SA∩SC=S,∴BD⊥平面SAC.(2)由(1)知∠EDC为二面角E­BD­C的平面角,又△SAC ∽△DEC ,∴∠EDC =∠ASC .在Rt △SAB 中,∠SAB =90°,设SA =AB =1,则SB = 2.由SA ⊥BC ,AB ⊥BC ,AB ∩SA =A ,∴BC ⊥平面SAB ,SB ⊂平面SAB ,∴BC ⊥SB .在Rt △SBC 中,SB =BC =2,∠SBC =90°,则SC =2.在Rt △SAC 中,∠SAC =90°,SA =1,SC =2.∴cos ∠ASC =SA SC =12.∴∠ASC =60°,即二面角E ­BD ­C 的大小为60°.21.(本小题满分12分)如图,正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直,EF ∥AC ,AB =2,CE =EF =1.(1)求证:AF ∥平面BDE ;(2)求证:CF ⊥平面BDE .证明:(1)设AC 与BD 交于点O ,连接EO ,∵EF ∥AC ,且EF =1,AO =12AC =1,∴四边形AOEF 为平行四边形,∴AF ∥OE .∵OE ⊂平面BDE ,AF ⊄平面BDE ,∴AF ∥平面BDE .(2)连接FO ,∵EF ∥CO ,EF =CO =1,且CE =1,∴四边形CEFO 为菱形,∴CF ⊥EO .∵四边形ABCD 为正方形,∴BD ⊥AC .又平面ACEF ⊥平面ABCD ,且平面ACEF ∩平面ABCD =AC ,∴BD ⊥平面ACEF ,∴CF ⊥BD .又BD ∩EO =O ,∴CF ⊥平面BDE .22.(本小题满分12分)如图,已知空间几何体ABCDE 中,△BCD 与△CDE 均为边长为2的等边三角形,△ABC 为腰长为3的等腰三角形,平面CDE ⊥平面BCD ,平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线,使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行,并给出详细证明;(2)求三棱锥E ­ABC 的体积.解:(1)取DC 的中点N ,取BD 的中点M ,连接MN ,EN ,EM ,则直线MN 即为所求.取BC 的中点H ,连接AH ,∵△ABC 为腰长为3的等腰三角形,H 为BC 的中点,∴AH ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCD ,平面ABC ∩平面BCD =BC ,AH ⊂平面ABC ,∴AH ⊥平面BCD ,同理,可证EN ⊥平面BCD ,∴EN ∥AH .∵EN ⊄平面ABC ,AH ⊂平面ABC ,∴EN ∥平面ABC .又M ,N 分别为BD ,DC 的中点,∴MN ∥BC .∵MN ⊄平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,∴MN ∥平面ABC .又MN ∩EN =N ,MN ⊂平面EMN ,EN ⊂平面EMN ,∴平面EMN ∥平面ABC .又EF ⊂平面EMN ,∴EF ∥平面ABC .(2)连接DH ,取CH 的中点G ,连接NG ,则NG ∥DH ,NG =12DH ,由(1)可知,EN ∥平面ABC ,∴点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等.又△BCD 是边长为2的等边三角形,∴DH ⊥BC ,又平面ABC ⊥平面BCD ,平面ABC ∩平面BCD =BC ,DH ⊂平面BCD ,∴DH ⊥平面ABC ,∴NG ⊥平面ABC .又DH =3,∴NG =32.又AC =AB =3,BC =2,∴AH =22,∴S △ABC =12·BC ·AH =22,∴V E ­ABC =V N ­ABC =13·S △ABC ·NG =63.。

高中数学必修2 第二章 点线面位置关系(A卷)

高中数学必修2 第二章 点线面位置关系(A卷)

高中数学必修2 第二章点线面位置关系(A卷)试卷一、选择题(共20题;共88分)1.若三个平面两两相交,则它们的交线条数是()A.1B.2C.1或3D.3【答案】C【考点】平面的公理及应用,点线面关系【解析】三个平面两两相交,类似于三条直线两两相交,它们的交线有1条或3条.2.如图所示,平面α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M【答案】D【考点】平面概念及表示,平面的公理及应用【解析】∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ.又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.根据公理3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.3.若a,b是异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是()A.b∥αB.相交C.b⊂αD.以上三种情况都有可能【答案】D【考点】异面直线,点线面关系【解析】如图所示,三种情况都有可能,故选D.4.如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与平面AB1C平行的直线是()A.DD1B.A1D1C.C1D1D.A1D【答案】D【考点】线线平行的判定与性质,线面平行的判定与性质【解析】∵A1B1∥DC,A1B1=DC,∴四边形A1B1CD是平行四边形,∴A1D∥B1C,∵A1D⊄平面AB1C,B1C⊂平面AB1C,∴A1D∥平面AB1C,故选D.5.下列命题中正确的是()A.一个平面内两条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行【答案】B【考点】线线平行的判定与性质,面面平行的判定与性质【解析】如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,即两个平面没有公共点,则两平面平行,所以B正确.6.已知m,n是两条直线,α,β是两个平面,有以下命题:①m,n相交且都在平面α,β外,mα,mβ,nα,nβ,则αβ;②若mα,mβ,则αβ;③若mα,nβ,m n,则αβ.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】B【考点】面面平行的判定与性质【解析】设m∩n=P,记m与n确定的平面为γ.由题意知:γα,γβ,则αβ.故①正确.②、③均错误.7.在空间中,a,b是不重合的直线,α,β是不重合的平面,则下列条件中可推出a b的是()A.a⊂α,b⊂β,αβB.aα,b⊂αC.a⊥α,b⊥αD.a⊥α,b⊂α【答案】C【考点】垂直关系综合【解析】对于A,若a⊂α,b⊂β,αβ,则a与b没有公共点,即a与b平行或异面;对于B,若aα,b⊂α,则a与b没有公共点,即a与b平行或异面;对于C,若a⊥α,b⊥α,由线面垂直的性质定理,可得a b;对于D,若a⊥α,b⊂α,则由线面垂直的定义可得a⊥b,故选C.8.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两条对角线AC,BD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交【答案】C【考点】线面垂直的判定与性质【解析】取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,∴BD⊥平面AOC,∴BD⊥AC,又BD,AC异面,故选C.9.如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么D在面ABC内的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部【答案】A【考点】线面垂直的判定与性质,面面垂直的判定与性质【解析】在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,∴AC⊥平面ABD.又∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,D在面ABC内的射影H必在AB上.故选A.10.已知直线a,b与平面α,β,γ,能使α⊥β的条件是()A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b⊂βC.aβ,aαD.a⊥β,aα【答案】D【考点】面面垂直的判定与性质,垂直关系综合【解析】α⊥γ,β⊥γ⇒α与β相交或平行,故A不正确;∵α∩β=a,b⊥a,b⊂β,∴b不一定垂直于α,∴α不一定垂直于β,故B不正确;aβ,aα⇒α与β相交或平行,故C不正确;∵a⊥β,aα,∴α中一定有一条直线垂直于β,∴α⊥β,故D正确.11.如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,AC∩EF=G.现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体,使B、C、D三点重合,重合后的点记为P,则在四面体P-AEF中必有()A.AP⊥平面PEFB.AG⊥平面PEFC.EP⊥平面AEFD.PG⊥平面AEF【答案】A【考点】线面垂直的判定与性质【解析】如图所示,∵AP⊥PE,AP⊥PF,PE∩PF=P.∴AP⊥平面PEF.故选A.12.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是()1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE,B1C1为异面直线,且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E【答案】C【考点】线线垂直的判定与性质,线面垂直的判定与性质【解析】由已知AC=AB,E为BC的中点,得AE⊥BC.又∵BC∥B1C1,∴AE⊥B1C1,C正确.13.若两条异面直线所成的角为θ,则θ的取值范围是()A.0°<θ<90°B.0°<θ≤90°C.0°≤θ<90°D.0°≤θ≤90°【答案】B【考点】异面直线所成的角【解析】异面直线是空间中不在任一平面内的直线.设a,b是空间中两条异面直线,在空间任取一点O,过点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′,b′所成的锐角或直角θ即为异面直线a,b所成的角,其范围为0°<θ≤90°.14.有下列四个命题:①过三点确定一个平面;②矩形是平面图形;③三条直线两两相交则确定一个平面;④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误命题的序号是()A.①和②B.①和③C.②和④D.②和③【答案】B【考点】平面概念及表示,平面的公理及应用【解析】由于过不共面的三点才能确定一个平面,故①不对;矩形的两对边平行可以确定一个平面,故矩形是平面图形,②正确;由于三条直线两两相交包括三线过一点,故三条直线两两相交则确定一个平面不正确,③不对;两个相交平面把空间分为四个区域是正确的命题,故④正确.综上,错误命题的序号是①③.故选B.15.α,β,γ为三个不重合的平面,a,b,c为三条不同的直线,则有下列命题,不正确的是()①②③④⑤⑥.A.④⑥B.②③⑥C.②③⑤⑥D.②③【答案】C【考点】线线平行的判定与性质,线面平行的判定与性质,面面平行的判定与性质,平行关系综合【解析】由公理4及平行平面的传递性知①④正确,举反例知②③⑤⑥不正确;②中a,b可以相交,还可以异面;③中α,β可以相交;⑤中a可以在α内;⑥中a可以在α内.16.如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,,求AD与BC 所成角的大小( )A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】C【考点】异面直线所成的角【解析】如图,取BD的中点G,连接GE,GF.∵BE=EA,BG=GD,∴GE AD,,∵DF=FC,DG=GB,∴GF BC,∴∠EGF(或其补交)是异面直线AD与BC所成的角.在△GEF中,GE=1,GF=1,(如图),取EF的中点O,连接GO,则,∴∴∴,∴异面直线AD与BC所成的角是.17.如图所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于点D,E,又SA =AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小()A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】C【考点】二面角【解析】∵E为SC的中点,且SB=BC.∴BE⊥SC,又DE⊥SC,BE∩DE=E.∴SC⊥平面BDE.∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC,可得SA⊥BD又SC∩SA=S,∴BD⊥平面SAC,从而BD⊥AC,BD⊥DE.∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角.设SA=AB=1.在△ABC中,AB⊥BC,∴SB=BC=,AC=,∴SC=2.∵在Rt△SAC中,∠DCS=30°,∴∠EDC=60°,即二面角E-BD-C的大小为60°.18.已知四面体A-BCD的棱长都相等,Q是AD的中点,则CQ与平面DBC所成的角的正弦值是()A.B.C.D.【答案】C【考点】直线与平面所成的角【解析】过点A作AO⊥平面BCD,连接OD,OB,OC,可知O是△BCD的中心.作QP⊥OD,如图所示.∵QP∥AO,∴QP⊥平面BCD.连接CP,则∠QCP即为所求的角.设四面体的棱长为a,∵在正△ACD中,Q是AD的中点,∴,∵QP∥AO,Q是AD的中点,∴,即.19.如图,已知E,F分别是菱形ABCD中边BC,CD的中点,EF与AC交于点O,点P在平面ABCD之外,M是线段PA上一动点,若PC平面MEF,试求PM∶MA的值()A.B.C.D.【答案】B【考点】线面平行的判定与性质【解析】如图,连接BD交AC于点O1,连接OM.∵PC平面MEF,平面PAC∩平面MEF=OM,∴PC OM,∴.在菱形ABCD中,∵E,F分别是边BC,CD的中点,∴,又,∴,∴.20.如果二面角α-l-β的平面角是锐角,点P到α,β和棱l的距离分别为、4和,则二面角α-l-β的大小是()A.15°B.75°C.45°D.75°或15°【答案】D【考点】空间距离,二面角【解析】如图1是点P在二面角α-l-β的内部,图2是点P在二面角α-l-β的外部.∵PA⊥α,∴PA⊥l.∵AC⊥l,∴l⊥平面PAC.同理,l⊥平面PBC.而平面PAC∩平面PBC=PC,∴平面PAC与平面PBC应重合,即A、C、B、P在同一平面内,则∠ACB是二面角α-l-β的平面角.在Rt△APC中,,∴∠ACP=30°.在Rt△BPC中,,∴∠BCP=45°.故∠ACB=30°+45°=75°或∠ACB=45°-30°=15°.即二面角α-l-β的大小为75°或15°.二、解答题(共1题;共12分)21.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD =2,PA=2.求:(1).三角形PCD的面积( )A.B.C.D.【答案】A【考点】垂直关系综合【解析】因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.又AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD,从而CD⊥PD.因为,CD=2,所以三角形PCD的面积为.(2).异面直线BC与AE所成的角的大小()A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】A【考点】异面直线所成的角【解析】如图,取PB中点F,连接EF,AF,则EF BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.在△AEF中,由EF=,AF=,AE=2知△AEF是等腰直角三角形,所以∠AEF=45°.因此,异面直线BC与AE所成的角的大小是45°.。

【高中数学检测卷及答案解析】人教A版必修2第二章《点线面的位置关系》A卷

【高中数学检测卷及答案解析】人教A版必修2第二章《点线面的位置关系》A卷

数学必修2第二章《点线面的位置关系》同步检测试卷A 卷一.单项选择题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.面α⋂面β=l ,A α∈,B α∈,AB ⋂l =D ,C β∈,C l ∉,则平面ABC 与平面β的交线是( )A . 有无数条B . 有两条C . 至多有两条D . 有一条2.圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则圆锥的表面积为( )A .)π1B .4πC .3πD .5π3.已知直三棱柱111ABC A B C -中,120ABC ∠=,2AB =,11BC CC ==,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A B . C D4.点E,F,G,H 分别为空间四边形ABCD 中AB,BC,CD,AD 的中点,若AC=BD,且AC 与BD 所成角的大小为90°,则四边形EFGH 是 ( ) A.梯形 B.空间四边形C.正方形D.有一内角为60°的菱形5在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,Q 为AD 中点,点M 在线段PC 上,且PM tPC =,0t >,试确定实数t 的值,使得//PA 面MQB .A . 14B . 1.C . 23.D . 13.6.在直三棱柱111ABC A B C -中,2BAC π∠=,12AB AC AA ===,点,G E 分别为线段111,A B CC 的中点,点,D F 分别为,AC AB 上的动点,且GD EF ⊥,则线段DF 的最小值为A .12 B . 1 C . D .二.多项选择题:本大题共2小题,每小题4分,共8分,在每小题给出的四个选项中,有多个选项符 合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.7.设a ,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与,a b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴,有以下结论:(1)当直线AB 与a 成60角时,AB 与b 成30角. (2)当直线AB 与a 成60角时,AB 与b 成60角. (3)直线AB 与a 所成角的最小值为45.(4)直线AB 与a 所成角的最大值为60. 则正确结论的序号为A (1)B (2)C (3)D (4)8.一张A4,E ,F 为AD ,BC 的中点.现分别将ABE ∆,CDF ∆沿BE ,DF 折起,且A ,C 在面BFDE 同侧,下列命题正确的是 ( )(1) ,,,A G H C 四点共面.(2)当面//ABE 面CDF 时,//AC 面BFDE .(3)当A ,C 重合于点P 时,面PDE ⊥面PBF .(4) 当A ,C 重合于点P 时,设面PBE ⋂面PDF =l ,则//l 面BFDE .A (1)B (2)C (3)D (4) 三、填空题:本大题共4题,每小题4分,共16分.9已知长方体1111ABCD A B C D -中,115BA C D ==,11C A BD ==11DA BC ==. 则三棱锥11B A DC -的体积为________10.已知点,E F 分别为正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 点,且12AE AB =,113AF AA =.点,M N 分别为线段1D E 和线段1C F 上的动点.则与面ABCD 平行的直线MN 有__________条.11.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是AB 的中点,F 在1CC 上,且12CF FC =.点P 是侧面11AA D D 上一动点,且1//PB 面DEF ,则tan ABP ∠的取值范围是__________.12设α,β,γ为两两不重合的平面,l,m,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β; ③若α∥β,l ⊂α,则l ∥β;④若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l ∥γ,则m ∥n. 其中正确的命题是________和________.四、解答题:本大题共3小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13.(本小题满分16分)在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,1AA =E 为1CC 中点,F 为AB 上一点.证明面EBD ⊥面1A FC .14.(本小题满分18分)如图,已知二面角α-MN-β的大小为60°,菱形ABCD 在面β内,A,B 两点在棱MN 上,∠BAD=60°,E 是AB 的中点,DO⊥面α,垂足为O. (1)证明:AB⊥平面ODE;(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.15.(本小题满分18分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为40 3(1)求棱A1A的长;(2)求经过A1,C1,B,D四点的球的表面积.参考答案一.单项选择题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1选D解析:由于C β∈,C ∈面ABC ,根据公理3可知面ABC 与面β必相交,且点C 在交线上. 由于D AB ∈,AB ⊂面ABC ,所以D ∈面ABC ;由于D l ∈,l ⊂面β,所以D ∈面β. 根据公理3可知面ABC 与面β必相交,且点D 在交线上. 因此平面ABC 与平面β的交线是CD . 2选C∵圆锥的轴截面是边长为2的正三角形ABC △,∴圆锥的底面半径1r =,母线长2l =;表面积212232S r r l =π+⨯π⨯=π+π=π.故选C .3选C取AB 中点M ,BC 中点Q ,1B B 中点N ,11B C 中点P .连接MQ ,PQ ,MP ,MN ,PN .由于1AB //MN ,1BC //PN ,所以异面直线1AB 与1BC 所成的角即为MNP ∠或其补角.易求得AC =MQ =,1PQ =,MN =,2PN =,2PM =.在MNP ∆中,cos MNP ∠=2222PN MN PM PN MN+-⋅=故异面直线1AB 与1BC .4.选C 如图所示,因为点E,F,G,H 分别为空间四边形ABCD 中AB,BC,CD,AD 的中点,所以EF ∥HG ∥AC 且EF=GH=AC,EH ∥FG ∥BD,且EH=FG=BD,EF=FG=GH=HE,并且所成角为直角,所以四边形EFGH 为正方形.5. 选D解析:要使//PA 面MQB ,只需在面MQB 内找到一条直线与PA 平行.观察到ABCD 是平行四边形,有一条线段BQ ,容易想到连接对角线AC ,如图(5)所示.设AC 与BQ 相交于点N ,连接MN .由//PA 面MQB ,PA ⊂面PAC ,面MQB ⋂面PAC MN =,根据线面平行的性质定理知//PA MN .易知12AN AQ NC BC ==,故1=3PM AN PC AC =,因此13t =. 6选C解析:如图所示,以A 为原点建立空间直角坐标系.()1,0,2G ,()0,2,1E .设()0,,0D y ,(),0,0F x ,0,2x y ≤≤. 由=0GD EF ⋅得22x y +=.问题转化成为已知22x y +=,0,2x y ≤≤,求2DF x =这其实是一个二元最值问题.法1:可以借助不等式的性质. 由()()22225x y x y+≤+得2245xy +≥. 因此2DF x =≥当且仅当24,55x y ==时取等号.法2:可以减元.由22x y +=得22x y =-.令0222y ≤-≤得01y ≤≤.因此2DF x =≥当且仅当24,55x y ==时取等号. 二.多项选择题:本大题共2小题,每小题4分,共8分,在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.7选B,C分析:本道试题重点考查立体几何中的空间线线角,要想正确作出判断必须在几何直观的基础上经过一系列严格的逻辑推理论证,很好地考查了空间想象能力以及逻辑推理能力.解析:如图(10)所示,设直线a 为直线NC ,直线b 为直线MC ,设直线AB 与a 所成的角为α,直线AB 与b 所成的角为β.作//BM NC ,//BN MC ,则=ABM α∠,=ABN β∠.cos cos BM ABM AB α=∠=,cos cos BNABN AB β=∠=, 又cos BC ABC AB ∠=,cos BM CBM BC ∠=,cos BNCBN BC∠=,因此有cos cos cos ABC CBM α=∠⋅∠ (1)cos cos cos ABC CBN β=∠⋅∠cos sin ABC CBM =∠⋅∠ (2)当=60α时,由于=45ABC ∠,所以有1cos 2CBM =∠,即cos CBM ∠因此sin =2CBM ∠,则有1cos =222β=⋅.所以=60β. 所以当直线AB 与a 成60角时,AB 与b 成60角.第(2)个正确.又因为斜线与射影所成的角是该斜线与平面内任意一条直线所成角中最小的,故直线AB 与a 所成角的最小值为45.第(3)个正确. 8选 A B C D分析:(1)由上述结论可知AC BE ⊥,AC DF ⊥,则折叠后,BE ⊥面AGH ,DF ⊥面CHG .又DF ⊥BE ,面AGH 与面CHG 有公共点,则面AGH 与面CHG 重合,即,,,A G H C 四点共面.(2)由于面ABE ⋂面AGHC AG =,面CDF ⋂面AGHC CH =,当面//ABE 面CDF 时,有//AG CH ,显然AG CH =,所以四边形AGHC 是平行四边形,故//AC GH ,则//AC 面BFDE .(3)设1PE DE ==,则PD =所以PE DE ⊥,则PE BF ⊥,又PE PB ⊥,BF PB B ⋂=,所以PE ⊥面PBF ,则面PDE ⊥面PBF .(4)由//BE DF ,得//DF 面PBE .由于面PBE ⋂面PDF =l ,故//l DF ,所以//l 面BFDE . 综合上述分析,可知四个选项均正确.三、填空题:本大题共4题,每小题4分,共16分. 9.20解析:111114B A DC B A B C V V V --=-长方体.设长方体的长宽高分别为,,a b c ,易求得5a =,4b =,3c =. 所以111114B A DC B A B C V V V --=-长方体20=. 10.无数条解析:取113BH BB =,连接FH ,则//FH AB .在线段1D E 上取113O E D E =,在线段DE 上取13EK DE =.连接,,OH OK BK .则易得四边形OKBH 为矩形.连接HE ,在段1D E 上任取一点M ,过点M 在面1D HE 中,作//HO MG ,交1D H 于G .再过点G 作//GN HF ,交1C F 于N ,连接MN .由面面平行的判定定理可知面MNG //面ABCD ,又MN ⊂面MNG ,所以//MN 面ABCD .由于M 为1D E 上任意一点,故与面ABCD 平行的直线MN 有无数条.11.13⎡⎢⎣⎦.解析:取112AM MA =,连接11,,B M B F DM .易证四边形1MDFB 为平行四边形,所以1//B M DF .取11D C中点N ,连接1,B N MN ,则1//B N DE .故面1//B NM 面DEF .作//NG DF ,连接MG ,则1//NG MB .因此面1//B NGM 面DEF .所以点P 落在面11AA D D 与面1B N G M 的交线上,即P MG ∈.易求得tan ABP ∠的取值范围是13⎡⎢⎣⎦.12 (3)和(4)①不正确,面α,β可能相交.②不正确,当直线m,n 平行时,α,β还可能相交;根据面面平行的判定定理只有当m,n 相交时,α∥β. ③正确,根据面面平行的定义可知l 与β无公共点,即可知l ∥β. ④正确,因为α∩β=l ,可知l ⊂α,又因为l ∥γ,γ∩α=n,则m ∥n.四、解答题:本大题共3小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13(本小题满分16分) 证明:如图所示,易知BE ⊥1CB .又BE ⊥11A B ,1111CB A B B ⋂=,所以BE ⊥面11A B C .由于1AC ⊂面11A B C ,所以BE ⊥1A C .又BD ⊥CA ,BD ⊥1A A ,1CA A A A ⋂=,所以BD ⊥面1A AC .由于1AC ⊂面1A AC ,所以BD ⊥1A C .由于BE BD B ⋂=,所以1A C ⊥面EBD ,所以面EBD ⊥面1A FC14(本小题满分18分)(1)因为DO⊥α,AB ⊂α,所以DO⊥AB.连接BD,由题设知,△ABD 是正三角形.又因为E 是AB 的中点,所以DE⊥AB.而DO∩DE=D,故AB⊥平面ODE.(2)因为BC∥AD,所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角,即∠ADO 是BC 与OD 所成的角. 由(1)知,AB⊥平面ODE,所以AB⊥OE.又DE⊥AB,于是∠DEO 是二面角α-MN-β的平面角,从而∠DEO=60°.不妨设AB=2,则AD=2,易知DE= . 在Rt△DOE 中,DO=DE·sin 60°=.连接AO,在Rt△AOD 中,cos∠ADO===.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为. 15(本小题满分18分)(1)设A1A=h,因为几何体ABCD-A1C1D1的体积为403,所以-=---=403即S四边形ABCD·h-13·△·h=403,即2×2×h-13××2×2×h=403解得h=4. 所以棱A1A的长为4.(2)如图,连接D1B,设D1B的中点为O,连接OA1,OC1,OD.因为ABCD-A1B1C1D1是长方体,所以A1D1⊥平面A1AB.因为A1B⊂平面A1AB,所以A1D1⊥A1B.所以OA1=D1B.同理OD=OC1=D1B.所以OA1=OD=OC1=OB.所以经过A1,C1,B,D四点的球的球心为点O.因为D1B2=A1+A1A2+AB2=22+42+22=24,所以S球=4π·(OD1)2=4π·()2=π·D1B2=24π. 故经过A1,C1,B,D四点的球的表面积为24π.。

高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系测试题及答案

高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系测试题及答案

第二章直线与平面的位置关系测试题一、选择题1.设 , 为两个不同的平面,l ,m 为两条不同的直线,且l ⊂ ,m ⊂β,有如下的两个命题:①若 ∥ ,则l ∥m ;②若l ⊥m ,则 ⊥ .那么( ).A .①是真命题,②是假命题B .①是假命题,②是真命题C .①②都是真命题D .①②都是假命题2.如图,ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体,下面结论错误..的是( ). A .BD ∥平面CB 1D 1 B .AC 1⊥BD C .AC 1⊥平面CB 1D 1D .异面直线AD 与CB 1角为60°3.关于直线m ,n 与平面 , ,有下列四个命题: ①m ∥ ,n ∥ 且 ∥ ,则m ∥n ; ②m ⊥ ,n ⊥ 且 ⊥,则m ⊥n ;③m ⊥ ,n ∥ 且 ∥ ,则m ⊥n ; ④m ∥ ,n ⊥ 且 ⊥,则m ∥n .其中真命题的序号是( ). A .①②B .③④C .①④D .②③4.给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l 1,l 2与同一平面所成的角相等,则l 1,l 2互相平行④若直线l 1,l 2是异面直线,则与l 1,l 2都相交的两条直线是异面直线 其中假.命题的个数是( ). A .1B .2C .3D .45.下列命题中正确的个数是( ).(第2题)①若直线l上有无数个点不在平面 内,则l∥②若直线l与平面 平行,则l与平面 内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l与平面 平行,则l与平面 内的任意一条直线都没有公共点A.0个B.1个C.2个D.3个6.两直线l1与l2异面,过l1作平面与l2平行,这样的平面( ).A.不存在B.有唯一的一个C.有无数个D.只有两个7.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为( ).A.90°B.60°C.45°D.30°8.下列说法中不正确的....是( ).A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9.给出以下四个命题:①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是( ).A.4 B.3 C.2 D.110.异面直线a ,b 所成的角60°,直线a ⊥c ,则直线b 与c 所成的角的范围为( ).A .[30°,90°] B.[60°,90°] C .[30°,60°]D .[30°,120°] 二、填空题11.已知三棱锥P -ABC 的三条侧棱PA ,PB ,PC 两两相互垂直,且三个侧面的面积分别为S 1,S 2,S 3,则这个三棱锥的体积为.12.P 是△ABC 所在平面 外一点,过P 作PO ⊥平面 ,垂足是O ,连PA ,PB ,PC .(1)若PA =PB =PC ,则O 为△ABC 的心;(2)PA ⊥PB ,PA ⊥PC ,PC ⊥PB ,则O 是△ABC 的心;(3)若点P 到三边AB ,BC ,CA 的距离相等,则O 是△ABC 的心; (4)若PA =PB =PC ,∠C =90º,则O 是AB 边的点; (5)若PA =PB =PC ,AB =AC ,则点O 在△ABC 的线上. 13.如图,在正三角形ABC 中,D ,E ,F 分别为各边的中点,G ,H ,I ,J 分别为AF ,AD ,BE ,DE 的中点,将△ABC 沿DE ,EF ,DF 折成三棱锥以后,GH 与IJ 所成角的度数为.14.直线l 与平面 所成角为30°,l ∩ =A ,直线m ∈ ,则m 与l 所成角的取值范围 是.15.棱长为1的正四面体内有一点P ,由点P 向各面引垂线,垂线段长度分别为d 1,d 2,d 3,d 4,则d 1+d 2+d 3+d 4的值为.16.直二面角 -l - 的棱上有一点A ,在平面 , 内各有一条射线AB ,AC 与l 成45°,AB ⊂ ,AC ⊂ ,则∠BAC =.J(第13题)三、解答题17.在四面体ABCD 中,△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形. (1)求证:BC ⊥AD ;(2)若点D 到平面ABC 的距离等于3,求二面角A -BC -D 的正弦值;(3)设二面角A -BC -D 的大小为 ,猜想 为何值时,四面体A -BCD 的体积最大.(不要求证明)18. 如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB =2,BB 1=BC =1,E 为D 1C 1的中点,连结ED ,EC ,EB 和DB .(1)求证:平面EDB ⊥平面EBC ; (2)求二面角E -DB -C 的正切值.(第18题)(第17题)19*.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,1.SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=(1)求四棱锥S—ABCD的体积;(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.(提示:延长BA,CD相交于点E,则直线SE是所求二面角的棱.)(第19题)20*.斜三棱柱的一个侧面的面积为10,这个侧面与它所对棱的距离等于6,求这个棱柱的体积.(提示:在AA1上取一点P,过P作棱柱的截面,使AA1垂直于这个截面.)(第20题)第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案一、选择题1.D 解析:命题②有反例,如图中平面∩平面=直线n,l⊂ ,m⊂ ,且l∥n,m⊥n,则m⊥l,显然平面不垂直平面 , (第1题)故②是假命题;命题①显然也是假命题,2.D解析:异面直线AD与CB1角为45°.3.D解析:在①、④的条件下,m,n的位置关系不确定.4.D解析:利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确,故选择答案D.5.B解析:学会用长方体模型分析问题,A1A有无数点在平面ABCD外,但AA1与平面ABCD相交,①不正确;A1B1∥平面ABCD,显然A1B1不平行于BD,②不正确;A1B1∥AB,A1B1∥平面ABCD,但AB⊂平面ABCD内,③不正确;l与平面α平行,则l与 无公共点,l与平面 内的所有直线都没有公共点,④正确,应选B. (第5题)6.B解析:设平面 过l1,且l2∥ ,则l1上一定点P与l2确定一平面 , 与 的交线l3∥l2,且l3 过点P. 又过点P与l2平行的直线只有一条,即l3有唯一性,所以经过l1和l3的平面是唯一的,即过l1且平行于l2的平面是唯一的.7.C解析:当三棱锥D-ABC体积最大时,平面DAC⊥ABC,取AC的中点O,则△DBO是等腰直角三角形,即∠DBO=45°.8.D解析:A.一组对边平行就决定了共面;B.同一平面的两条垂线互相平行,因而共面;C.这些直线都在同一个平面内即直线的垂面;D.把书本的书脊垂直放在桌上就明确了.9.B 解析:因为①②④正确,故选B .10.A 解析:异面直线a ,b 所成的角为60°,直线c ⊥a ,过空间任一点 P ,作直线 a ’∥a , b ’∥b , c ’∥c . 若a ’,b ’,c ’ 共面则 b ’ 与 c ’ 成 30° 角,否则 b ’与c ’所成的角的范围为(30°,90°],所以直线b 与c 所成角的范围为[30°,90°].二、填空题 11.313212S S S .解析:设三条侧棱长为a ,b ,c .则21ab =S 1,21bc =S 2,21ca =S 3 三式相乘: ∴ 81a 2 b 2 c 2=S 1S 2S 3, ∴ abc =23212S S S . ∵ 三侧棱两两垂直, ∴ V =31abc ·21=313212S S S .12.外,垂,内,中,BC 边的垂直平分.解析:(1)由三角形全等可证得O 为△ABC 的外心;(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的垂心; (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的内心; (4)由三角形全等可证得,O 为 AB 边的中点;(5)由(1)知,O 在 BC 边的垂直平分线上,或说O 在∠BAC 的平分线上. 13.60°.解析:将△ABC 沿DE ,EF ,DF 折成三棱锥以后,GH 与IJ 所成角的度数为60°.14.[30°,90°].解析:直线l 与平面 所成的30°的角为m 与l 所成角的最小值,当m 在 内适当旋转就可以得到l ⊥m ,即m 与l 所成角的的最大值为90°.15.36.解析:作等积变换:4331⨯×(d 1+d 2+d 3+d 4)=4331⨯·h ,而h =36. 16.60°或120°.解析:不妨固定AB ,则AC 有两种可能. 三、解答题17.证明:(1)取BC 中点O ,连结AO ,DO . ∵△ABC ,△BCD 都是边长为4的正三角形, ∴AO ⊥BC ,DO ⊥BC ,且AO ∩DO =O , ∴BC ⊥平面AOD .又AD ⊂平面AOD , ∴BC ⊥AD .(第17题)解:(2)由(1)知∠AOD 为二面角A -BC -D 的平面角,设∠AOD = ,则过点D 作DE ⊥AD ,垂足为E .∵BC ⊥平面ADO ,且BC ⊂平面ABC ,∴平面ADO ⊥平面ABC .又平面ADO ∩平面ABC =AO , ∴DE ⊥平面ABC .∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离,即DE =3. 又DO =23BD =23,在Rt △DEO 中,sin =DODE =23,故二面角A -BC -D 的正弦值为23. (3)当 =90°时,四面体ABCD 的体积最大.18.证明:(1)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =2,BB 1=BC =1,E 为D 1C 1的中点.∴△DD 1E 为等腰直角三角形,∠D 1ED =45°.同理∠C 1EC =45°.∴︒=∠90DEC ,即DE ⊥EC .在长方体ABCD -1111D C B A 中,BC ⊥平面11DCC D ,又DE ⊂平面11DCC D , ∴BC ⊥DE .又C BC EC = ,∴DE ⊥平面EBC .∵平面DEB 过DE ,∴平面DEB ⊥平面EBC .(2)解:如图,过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O .在长方体ABCD -1111D C B A 中,∵面ABCD⊥面11DCC D ,∴EO ⊥面ABCD .过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ,连结EF ,∴EF ⊥BD .∠EFO为二面角E -DB -C 的平面角.利用平面几何知识可得OF =51,(第18题)又OE =1,所以,tan ∠EFO =5.19*.解:(1)直角梯形ABCD 的面积是M 底面=AB AD BC ⋅)(+21=43=1221+1⨯, ∴四棱锥S —ABCD 的体积是V =31·SA ·M 底面=31×1×43=41. (2)如图,延长BA ,CD 相交于点E ,连结SE ,则SE 是所求二面角的棱. ∵AD ∥BC ,BC =2AD , ∴EA =AB =SA ,∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ,得面SEB ⊥面EBC ,EB 是交线. 又BC ⊥EB ,∴BC ⊥面SEB ,故SB 是SC 在面SEB 上的射影,∴CS ⊥SE ,∠BSC 是所求二面角的平面角. ∵SB =22+AB SA =2,BC =1,BC ⊥SB , ∴tan ∠BSC =22=SB BC , (第19题)即所求二面角的正切值为22. 20*.解:如图,设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10,A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6,在AA 1上取一点P 作截面PQR ,使AA 1⊥截面PQR ,AA 1∥CC 1,∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ,过P 作PO ⊥QR 于O ,则PO ⊥侧面BB 1C 1C ,且PO =6.∴V 斜=S △PQR ·AA 1=21·QR ·PO ·AA 1=21·PO ·QR ·BB 1 =21×10×6 =30.(第20题)。

《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题(含答案)

《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题(含答案)

《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题一、选择题:(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的)1.若直线l 不平行于平面α,则下列结论成立的是( )A.α内所有的直线都与l 异面B.α内不存在与l 平行的直线C.α内所有的直线都与l 相交D.直线l 与平面α有公共点 2. 给出下列命题:(1)和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内; (2)三条两两相交的直线在同一平面内; (3)有三个不同公共点的两个平面重合; (4)两两平行的三条直线确定三个平面. 其中正确命题的个数是( ) A .0B .1C .2D .33.空间四边形ABCD 中,若AB AD AC CB CD BD =====,则AC 与BD 所成角为( )A.030B.045C.060D.090 4.给出下列命题:(1)直线l 与平面α不平行,则l 与平面α内的所有直线都不平行; (2)直线l 与平面α不垂直,则l 与平面α内的所有直线都不垂直; (3)异面直线,a b 不垂直,则过直线a 的任何平面与直线b 都不垂直; (4)若直线a 和b 共面,直线b 和c 共面,则a 和c 共面 其中错误命题的个数为( )A.0B.1C.2D.35.正方体1111ABCD A B C D -中,与对角线1AC 异面的棱有( )条 A.3 B.4 C.6 D.86. 点P 为ABC ∆所在平面外一点,PO ⊥平面ABC ,垂足为O ,若PA PB PC ==,则点O 是ABC ∆的( )BA.内心B.外心C.重心D.垂心 7.如图长方体中,AB AD ==1CC =,则二面角 1C BD C --的大小为( )A .300B.450C.600D.900AB CD A 1B 11D 18.已知直线,,a b c 及平面,αβ,下列命题正确的是( )A.若,,,a b c a c b αα⊂⊂⊥⊥,则c α⊥B.若,//b a b α⊂ ,则//a αC.若//,a b ααβ=,则//a b D.若,a b αα⊥⊥,则//a b9.平面α与平面β平行的条件可以是( )A.α内有无穷多条直线与β平行;B.直线l //α,l //βC.直线m α⊂,直线n β⊂,且m //β,n //αD.α内的任何直线都与β平行 10. 如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:①BM 与ED 平行. ②CN 与BE 是异面直线.③CN 与BM 成60˚角. ④DM 与BN 垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②④ C.③④D.②③④二、填空题:(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)11.已知两条相交直线a ,b ,a α平面∥则b 与α的位置关系是 .12.空间四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 的中点,若AC BD a ==,且AC 与BD 所成的角为90,则四边形EFGH 的面积是 . 13.如图,ABC 是直角三角形,90ABC ∠=,P A ⊥平面ABC ,此图形中 有 个直角三角形.14.已知a b ,是一对异面直线,且a b ,成70角,P 为空间一定点, 则在过P 点的直线中与a b ,所成的角都为70的直线有 条.15.已知平面αβ//,P 是平面αβ,外的一点,过点P 的直线m 与平面αβ,分别交于A C ,两点,过点P 的直线n 与平面αβ,分别交于B D ,两点,若698PA AC PD ===,,,则BD 的长为 。

人教版高一数学必修2第二章 点、线、面的位置关系单元测试题

人教版高一数学必修2第二章 点、线、面的位置关系单元测试题

人教版高一数学必修2第二章单元测试题(含答案)一、选择题(每小题5分,共60分)1、线段AB 在平面α内,则直线AB 与平面α的位置关系是A 、AB α⊂ B 、AB α⊄C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线一定 A 、平行 B 、相交 C 、异面 D 、以上都有可能4、在正方体1111ABCD A B C D -中,下列几种说法正确的是A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角D 、11AC 与1B C 成60o 角5、若直线l ∥平面α,直线a α⊂,则l 与a 的位置关系是A 、l ∥aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点6、下列命题中:(1)、平行于同一直线的两个平面平行;(2)、平行于同一平面的两个平面平行;(3)、垂直于同一直线的两直线平行;(4)、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有A 、1B 、2C 、3D 、47、空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点,如果与EF GH 、能相交于点P ,那么A 、点必P 在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外8、a ,b ,c 表示直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若a ∥M ,b ∥M ,则a ∥b ;②若b ⊂M ,a ∥b ,则a ∥M ;③若a ⊥c ,b ⊥c ,则a ∥b ;④若a ⊥M ,b ⊥M ,则a ∥b .其中正确命题的个数有A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个9、一个棱柱是正四棱柱的条件是A 、底面是正方形,有两个侧面是矩形B 、底面是正方形,有两个侧面垂直于底面C 、底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直D 、每个侧面都是全等矩形的四棱柱10、在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 A 、23 B 、76 C 、45D 、56B 1C 1A 1D 1BA C D 11、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ,α内一点C 到β的距离为3,点C 到棱AB的距离为4,那么tan θ的值等于 A 、34B 、35 CD 12、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ,点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上,AP=C 1Q ,则四棱锥B —APQC 的体积为A 、2VB 、3VC 、4VD 、5V 二、填空题(每小题4分,共16分)13、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).14、正方体1111ABCD A B C D -中,平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为15、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面,若PC BD ⊥,平行则四边形ABCD 一定是 .16、如图,在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1-ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件________ 时,有A 1 B ⊥B 1 D 1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形.)三、解答题(共74分,要求写出主要的证明、解答过程)17、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.(10分)18、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且EH∥FG.求证:EH ∥BD . (12分)19、已知ABC ∆中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证:AD ⊥面SBC .(12分)20、一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域.Q P C'B'A'C B A HG F E D BA C SD CB A D 1O D B AC 1B 1A 1C FE D BA C21、已知正方体1111ABCD A B C D -,O 是底ABCD 对角线的交点.求证:(1)O C 1∥面11AB D ; (2 )1AC ⊥面11AB D . (14分) 22、已知△BCD 中,∠BCD =90°,BC =CD =1,AB ⊥平面BCD ,∠ADB =60°,E 、F 分别是AC 、AD 上的动点,且(01).AE AF AC ADλλ==<< (Ⅰ)求证:不论λ为何值,总有平面BEF ⊥平面ABC ;(Ⅱ)当λ为何值时,平面BEF ⊥平面ACD ? (14分)高一数学必修2立体几何测试题参考答案一、选择题(每小题5分,共60分)ACDDD BCBDD DB二、填空题(每小题4分,共16分)13、小于 14、平行 15、菱形 16、1111AC B D 对角线与互相垂直三、解答题(共74分,要求写出主要的证明、解答过程)17、解:设圆台的母线长为l ,则 1分圆台的上底面面积为224S ππ=⋅=上 3分圆台的上底面面积为2525S ππ=⋅=下 5分所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上 6分又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧 8分于是725l ππ= 9分即297l =为所求. 10分 18、证明:,EH FG EH ⊄Q P 面BCD ,FG ⊂面BCDEH ∴P 面BCD 6分又EH ⊂Q 面BCD ,面BCD I 面ABD BD =,EH BD ∴P 12分 19、证明:90ACB ∠=o Q BC AC ∴⊥ 1分 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ 4分 BC ∴⊥面SAC 7分 BC AD ∴⊥ 10分 又,SC AD SC BC C ⊥=IAD ∴⊥面SBC 12分 20、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为xcm .在Rt EOF V 中,15,2EF cm OF xcm ==, 3分所以EO =分于是13V x = 10分 依题意函数的定义域为{|010}x x << 12分21、证明:(1)连结11A C ,设11111AC B D O =I连结1AO ,Q 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 11A C AC ∴P 且 11A C AC = 2分 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点,11O C AO ∴P 且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形 4分 111,C O AO AO ∴⊂P 面11AB D ,1C O ⊄面11AB D∴1C O P 面11AB D 6分 (2)1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 7分 又1111A C B D ⊥Q , 1111B D AC C ∴⊥面 9分 111AC B D ⊥即 11分 同理可证11A C AB ⊥, 12分 又1111D B AB B =I∴1AC ⊥面11AB D 14分 22、证明:(Ⅰ)∵AB ⊥平面BCD , ∴AB ⊥CD ,∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B , ∴CD ⊥平面ABC. 3分 又),10(<<==λλAD AFAC AEΘ∴不论λ为何值,恒有EF ∥CD ,∴EF ⊥平面ABC ,EF ⊂平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC. 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE ⊥EF ,又平面BEF ⊥平面ACD ,∴BE ⊥平面ACD ,∴BE ⊥AC. 9分∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°, ∴,660tan 2,2===οAB BD 11分,722=+=∴BC AB AC 由AB 2=AE ·AC 得,76,76==∴=AC AE AE λ 13分 故当76=λ时,平面BEF ⊥平面ACD. 14分。

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(含答案)

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(含答案)

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》(含答案)一、选择题1.下列说法:①两个相交平面所组成的图形叫做二面角;②二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角;③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.其中正确的个数是()A.0B.1C.2 D.3【解析】根据二面角的定义知①②③都不正确.【答案】A2.如图2326,P A垂直于矩形ABCD所在的平面,则图中与平面PCD垂直的平面是()图2326A.平面ABCDB.平面PBCC.平面P ADD.平面PBC【解析】由P A⊥平面ABCD得P A⊥CD,由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD,从而有CD⊥平面P AD,所以平面PCD⊥平面P AD.故选C.【答案】C3.在四面体ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,ABDC为直二面角,E是CD的中点,则∠AED的度数为() A.45°B.30°C.60°D.90°【解析】如图,设AB=BC=CD=AD=a,取BD的中点为F,连接AF,CF,则由题意可得AF=CF=22a.在Rt△AFC中,易得AC=a,∴△ACD为正三角形.又∵E是CD的中点,∴AE⊥CD,即∠AED=90°.【答案】D4.如图2327,AB是圆的直径,P A垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A、B)且P A=AC,则二面角PBCA的大小为()图2327A.60°B.30°C.45°D.15°【解析】由条件得:P A⊥BC,AC⊥BC,又P A∩AC=A,∴BC⊥平面P AC,∴∠PCA为二面角PBCA的平面角.在Rt△P AC 中,由P A=AC得∠PCA=45°,∴C对.【答案】C5.如图2328,在三棱锥P ABC中,已知PC⊥BC,PC⊥AC,点E,F,G分别是所在棱的中点,则下面结论中错误的是()图2328A.平面EFG∥平面PBCB.平面EFG⊥平面ABCC.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D.∠FEG是平面P AB与平面ABC所成二面角的平面角【解析】A正确,∵GF∥PC,GE∥CB,GF∩GE=G,PC∩CB=C,∴平面EFG∥平面PBC;B正确,∵PC⊥BC,PC⊥AC,PC∥GF,∴GF⊥BC,GF⊥AC,又BC∩AC=C,∴GF⊥平面ABC,∴平面EFG⊥平面ABC;C正确,易知EF∥BP,∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角;D错误,∵GE与AB不垂直,∴∠FEG不是平面P AB与平面ABC 所成二面角的平面角.【答案】D二、填空题6.如图239,平面α∩β=CD ,EA ⊥α,垂足为A ,EB ⊥β,垂足为B ,则CD 与AB 的位置关系是________.图239【解析】 ∵EA ⊥α,CD ⊂α,根据直线和平面垂直的定义,则有CD ⊥EA .同样,∵EB ⊥β,CD ⊂β,则有EB ⊥CD .又EA ∩EB =E ,∴CD ⊥平面AEB .又∵AB ⊂平面AEB ,∴CD ⊥AB .【答案】 CD ⊥AB7.如图2310所示,P A ⊥平面ABC ,在△ABC 中,BC ⊥AC ,则图中直角三角形的个数有________.图2310【解析】 BC ⊂平面ABC PA ⊥平面ABC ⇒PA ∩AC =A AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ,∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC .【答案】 4三、解答题8.如图2211所示的几何体中,△ABC 是任意三角形,AE ∥CD ,且AE=AB=2a,CD=a,F为BE的中点,求证:DF∥平面ABC.图2211【证明】如图所示,取AB的中点G,连接FG,CG,∵F,G分别是BE,AB的中点,∴FG∥AE,FG=21AE.又∵AE=2a,CD=a,∴CD=21AE.又AE∥CD,∴CD∥FG,CD=FG,∴四边形CDFG为平行四边形,∴DF∥CG.又CG⊂平面ABC,DF⊄平面ABC,∴DF∥平面ABC.9.如图2212所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,点D,E分别是BC与B1C1的中点.求证:平面A1EB∥平面ADC1.图2212【证明】由棱柱性质知,B1C1∥BC,B1C1=BC,又D,E分别为BC,B1C1的中点,所以C1E═∥DB,则四边形C1DBE为平行四边形,因此EB∥C1D,又C1D⊂平面ADC1,EB⊄平面ADC1,所以EB∥平面ADC1.连接DE,同理,EB1═∥BD,所以四边形EDBB1为平行四边形,则ED═∥B1B.因为B1B═∥A1A(棱柱的性质),所以ED═∥A1A,则四边形EDAA1为平行四边形,所以A1E∥AD,又A1E⊄平面ADC1,AD⊂平面ADC1,所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1,EB∥平面ADC1.A1E⊂平面A1EB,EB⊂平面A1EB,且A1E∩EB=E,所以平面A1EB∥平面ADC1.10.如图2213,正方体EFGHE1F1G1H1中,下列四对截面中,彼此平行的一对截面是()图2213A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G【解析】正方体中E1F∥H1G,E1G1∥EG,从而可得E1F∥平面EGH1,E1G1∥平面EGH1,所以平面E1FG1∥平面EGH1.【答案】A11.如图2214所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,若D是棱CC1的中点,E是棱BB1的中点,问在棱AB上是否存在一点F,使平面DEF ∥平面AB1C1?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.图2214【解】存在点F,且F为AB的中点.理由如下:如图,取AB的中点F,连接DF,EF,因为四边形BCC1B1是平行四边形,所以BB1∥CC1,且BB1=CC1,因为D,E分别是CC1和BB1的中点,所以C1D∥B1E且C1D=B1E,所以四边形B1C1DE是平行四边形,所以DE∥B1C1,又DE⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1.所以DE∥平面AB1C1.因为E,F分别是BB1,AB的中点,所以EF∥AB1.又EF⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1.所以EF∥平面AB1C1.又DE⊂平面DEF,EF⊂平面DEF,且DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面AB1C1.。

高中数学必修2 第二章 点线面位置关系(B卷)

高中数学必修2 第二章 点线面位置关系(B卷)

高中数学必修2 第二章点线面位置关系(B卷)试卷一、选择题(共21题;共90分)1.下列图形所表示的直线与平面的位置关系,分别用符号表示正确的一组是()A.a⊄α,a∩α=A,a∥αB.,a∩α=A,a∥αC.a⊂α,a∩α=A,a∥αD.,a∩α=A,a∥α【答案】C【考点】平面概念及表示,点线面关系【解析】根据图形可得,选C.2.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是()A.异面或平行B.异面或相交C.异面D.相交,平行或异面【答案】D【考点】异面直线【解析】a和c可以相交,平行或者异面.选D.3.若平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则直线a与b的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.平行或异面【答案】D【考点】平面概念及表示,平面的公理及应用,异面直线,点线面关系【解析】由于平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,所以直线a与b没有公共点,即直线a与b的位置关系为平行或异面.4.已知平面α与平面β平行,a⊂α,则下列命题正确的是()A.a与β内所有直线平行B.a与β内的无数条直线平行C.a与β内的任何一条直线都不平行D.a与β内的一条直线平行【答案】B【考点】线面平行的判定与性质【解析】根据线面平行的判定可以得到.5.平面α平面β,平面γ平面δ,且α∩γ=a,α∩δ=b,β∩γ=c,β∩δ=d,则交线a,b,c,d的位置关系是()A.互相平行B.交于一点C.相互异面D.不能确定【答案】A【考点】线线平行的判定与性质,面面平行的判定与性质【解析】由平面与平面平行的性质定理知,a b,a c,b d,c d,所以a b c d,故选A.6.如图,已知三棱柱ABC—A1B1C1中,E是BC的中点,D是AA1上的动点,且,若AE平面DB1C,则m的值为()A.B.1C.D.2【答案】B【考点】线线平行的判定与性质,线面平行的判定与性质【解析】如图,取CB1的中点G,连接GE,DG,当m=1时,且AD GE,∴四边形ADGE为平行四边形,则AE DG,可得AE平面DB1C.7.已知直线l⊄平面α,直线m⊂平面α,下面四个结论:①若l⊥α,则l⊥m;②若l∥α,则l∥m;③若l⊥m,则l⊥α;④若l∥m,则l∥α,其中正确的是()A.①②④B.③④C.②③D.①④【答案】D【考点】线线垂直的判定与性质,线面垂直的判定与性质【解析】由直线l⊄平面α,直线m⊂平面α,知,在①中,若l⊥α,则由线面垂直的性质定理得l⊥m,故①正确;在②中,若l∥α,则l与m平行或异面,故②错误;在③中,若l⊥m,则l与α不一定垂直,故③错误;在④中,若l∥m,则由线面平行的判定定理得l∥α,故④正确.故选D.8.空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交D.不确定【答案】B【考点】线线垂直的判定与性质,线面垂直的判定与性质,面面垂直的判定与性质,垂直关系综合【解析】由于直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,而这两边相交于点C,所以直线l和三角形所在的平面垂直,又因三角形的第三边AB在这个平面内,所以l⊥AB.9.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则()A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC【答案】B【考点】线面垂直的判定与性质,面面垂直的判定与性质【解析】因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.又因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面PAB,所以PD⊥平面ABC.10.已知两条不同直线m,l,两个不同平面α,β,在下列条件中,可得出α⊥β的是()A.m⊥l,lα,lβB.m⊥l,α∩β=l,m⊂αC.m l,m⊥α,l⊥βD.m l,l⊥β,m⊂α【答案】D【考点】面面垂直的判定与性质,垂直关系综合【解析】对于A,lα,lβ,α与β可以平行,相交,故A不正确;对于B,α与β可以相交,故B不正确;对于C,m l,m⊥α⇒l⊥α,l⊥β⇒αβ.故C不正确;对于D,m l,l⊥β⇒m⊥β,m⊂α⇒α⊥β.故D正确.故选D.11.在△ABC所在的平面α外有一点P,且PA=PB=PC,则P在α内的射影是△ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心【答案】C【考点】线面垂直的判定与性质【解析】设P在平面α内的射影为O,易证△PAO≌△PBO≌△PCO⇒AO=BO=CO.12.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1,若AB=BC,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论中成立的是()①EF与BB1垂直;②EF⊥平面BCC1B1;③EF与C1D所成的角为45°;④EF平面A1B1C1D1.A.②③B.①④C.③D.①②④【答案】B【考点】线线垂直的判定与性质,线面垂直的判定与性质【解析】连B1C,则B1C交BC1于F且F为BC1中点,在三角形B1AC中,,所以EF平面ABCD,因为AB与BB1垂直,所以EF与BB1垂直①正确;AC不垂直平面BCC1B1,所以②EF⊥平面BCC1B1;②不正确;③EF与C1D所成角就是∠B1AC=60°,③中EF与C1D所成角为45°,不正确;④由,AC A1C1得EF A1C1,所以EF平面A1B1C1D1正确.故选B.13.若OA∥O′A′,OB∥O′B′,且∠AOB=130°,则∠A′O′B′为()A.130°B.50°C.130°或50°D.不能确定【答案】C【考点】异面直线所成的角【解析】根据等角定理可知,可以相等或互补,选C.14.下列命题中正确的结论有()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;②如果两条相交直线和另两条直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【考点】平面的公理及应用,异面直线【解析】对于①,这两个角也可能互补,故①错;对于②,正确;对于③,不正确,举反例:如图,BC⊥PB,AC⊥PA,∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边,但这两个角既不一定相等,也不一定互补;对于④,由公理4可知正确.故②④正确,所以正确的结论有2个.15.已知a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,则下列五个命题中正确的命题有()①a c,b c⇒a b;②aγ,bγ⇒a b;③cα,cβ⇒αβ;④cα,a c⇒aα;⑤aγ,αγ⇒aα.A.1个B.2个C.3个D.5个【答案】A【考点】线线平行的判定与性质,线面平行的判定与性质,面面平行的判定与性质,平行关系综合【解析】由公理4知①正确;②错误,a与b可能相交;③错误,α与β可能相交;④错误,可能有a⊂α;⑤错误,可能有a⊂α.16.设有直线m,n和平面α,β,则下列结论中正确的是()①若m∥n,n⊥β,m⊂α,则α⊥β;②若m⊥n,α∩β=m,n⊂α,则α⊥β;③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β.A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】B【考点】线面垂直的判定与性质,面面垂直的判定与性质【解析】②错,当两平面不垂直时,在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直.17.在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且,EF=,则AB和CD所成角的大小()A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】D【考点】异面直线所成的角【解析】如图,连接BD,过点E作AB的平行线交BD于O,连接OF.∵EO AB,∴.又∵AB=3,∴EO=2.又,∴,∴OF DC,∴OE与OF所成的角即为AB和CD的所成的角,.∵DC=3,∴OF=1,在△OEF中,,∴∴AB和CD所成的角为.18.如图所示,在三棱锥A-SBC中,∠BSC=90°,∠ASB=∠ASC=60°,SA=SB=SC.则直线AS与平面SBC 所成的角()A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】A【考点】直线与平面所成的角【解析】因为∠ASB=∠ASC=60°,SA=SB=SC,所以△ASB与△SAC都是等边三角形.因此AB=AC.如图所示,取BC的中点D,连接AD,SD,则AD⊥BC.设SA=a,则在Rt△SBC中,BC=a,.在Rt△ADC中,.则AD2+SD2=SA2,所以AD⊥SD.又BC∩SD=D,所以AD⊥平面SBC.因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角.在Rt△ASD中,,所以∠ASD=45°,即直线AS与平面SBC所成的角为45°.19.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.求二面角A-BE-P的大小( )A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】C【考点】二面角【解析】如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°,知△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.因为PB⊂平面PAB,所以PB⊥BE.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.在Rt△PAB中,,则∠PBA=60°.故二面角A-BE-P的大小是60°.20.在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,M为PE的中点,在棱PC上一点F,当()时使平面BFM平面AEC?A.B.C.D.【答案】A【考点】面面平行的判定与性质【解析】当F是棱PC的中点时,平面BFM平面AEC.∵M是PE的中点,∴FM CE.∵,,∴FM平面AEC.由,得E为MD的中点,连接BM,BD,如图所示,设,则O为BD的中点,连接OE,则BM OE.∵,,∴BM平面AEC.又∵,,,∴平面BFM平面AEC.21.已知平面α外两点A,B到平面α的距离分别为1和2,A,B两点在α内的射影之间的距离为,则直线AB和平面α所成的角()A.45°B.30°C.60°D.30°或60°【答案】D【考点】直线与平面所成的角【解析】① 如图1,当A、B位于平面α同侧时,由点A、B分别向平面α作垂线,垂足分别为A1,B1,则AA1=1,BB1=2,.过点A作AH⊥BB1于点H,则AB和α所成角即为∠HAB.而∴∠BAH=30°.②如图2,当A、B位于平面α异侧时,经A、B分别作AA1⊥α于点A1,BB1⊥α于点B1,AB∩α=C,则A1B1为AB在平面α上的射影,∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角.∵△BCB1∽△ACA1,∴,∴B1C=2CA1,而,∴∴∴∠BCB1=60°.综合①②可知AB与平面α所成的角为30°或60°.二、解答题(共1题;共10分)22.如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点.(1). 点C到平面A1ABB1的距离()A.B.C.D.2【答案】B【考点】空间距离【解析】由AC=BC,D为AB的中点,得CD⊥AB,又CD⊥AA1,故CD⊥平面A1ABB1,所以C到平面A1ABB1的距离.(2).若AB1⊥A1C,二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值()A.B.C.D.【答案】C【考点】二面角【解析】如图,取D1为A1B1的中点,连接DD1,则DD1AA1CC1.又由(1)知CD⊥平面A1ABB1,故CD⊥A1D,CD⊥DD1,所以∠A1DD1为所求的二面角A1-CD-C1的平面角.因为CD⊥平面A1ABB1,AB1⊂平面A1ABB1,所以AB1⊥CD,又已知AB1⊥A1C,A1C∩CD=C,所以AB1⊥平面A1CD,故AB1⊥A1D,从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余,因此∠A1AB1=∠A1DA,所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此,即,得A1A=.从而所以,在Rt△A1DD1中,.。

高中数学第二章点、线、面之间的位置关系测试题新人教A版必修2

高中数学第二章点、线、面之间的位置关系测试题新人教A版必修2

第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分)1. 已知平面α内有无数条直线都与平面β平行,那么( ) A .α∥βB .α与β相交C .α与β重合D .α∥β或α与β相交2。

两条直线a ,b 满足a ∥b ,b α⊂,则a 与平面α的关系是( ) A 。

a ∥α B.a 与α相交C 。

a 与α不相交D 。

a α⊂3。

对于命题:①平行于同一直线的两个平面平行;②平行于同一平面的两个平面平行;③垂直于同一直线的两直线平行;④垂直于同一平面的两直线平行。

其中正确的个数有( ) A. 1 个 B. 2个 C 。

3个 D. 4个 4。

经过平面外两点与这个平面平行的平面( )A .只有一个B .至少有一个C .可能没有D .有无数个5.过三棱柱111ABC A B C -的任意两条棱的中点作直线,其中与平面11ABB A 平行的直线共有( )A 。

3条 B. 4条 C. 5条 D 。

6条 6。

a ,b 是两条异面直线,下列结论正确的是( ) A.过不在a ,b 上的任一点P ,可作一个平面与a ,b 平行B 。

过不在a ,b 上的任一点P ,可作一条直线与a ,b 相交 C.过不在a,b 上的任一点P ,可作一条直线与a,b 都平行 D 。

过a 可以并且只可以作一平面与b 平行7.n m ,是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,下列命题中正确的是( )A .,,m n m n αα若则‖‖‖B .,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C .,,m m αβαβ若则‖‖‖D .,,m n m n αα⊥⊥若则‖8.如图1,正四面体ABCD 的棱长均为a ,且AD ⊥平面α于A,点B ,C ,D 均在平面α外, 且在平面α同一侧,则点B 到平面α的距离是( )A .2aB .3aC . 22aD .33aαABCD图1 图29。

如图2,已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形,,2PA ABC PA AB ⊥=平面,则下列结论正确的是A。

必修2点线面关系基础训练题

必修2点线面关系基础训练题

A高中数学必修2 点、直线、平面之间的位置关系[基础训练A 组]一、选择题1.下列四个结论:⑴两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行。

⑵两条直线没有公共点,则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为( )A .0B .1C .2D .32.下面列举的图形一定是平面图形的是( )A .有一个角是直角的四边形B .有两个角是直角的四边形C .有三个角是直角的四边形D .有四个角是直角的四边形 3.垂直于同一条直线的两条直线一定( )A .平行B .相交C .异面D .以上都有可能 4.如右图所示,正三棱锥V ABC -(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中,,,DEF 分别是 ,,VC VA AC 的中点,P 为VB 上任意一点,则直线DE 与PF 所成的角的大小是( )A .030 B . 090 C . 060 D .随P 点的变化而变化。

5.互不重合的三个平面最多可以把空间分成( )个部分 A .4 B .5 C .7 D .86.把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为( ) A .90 B .60 C .45 D .30二、填空题1. 已知,a b 是两条异面直线,//c a ,那么c 与b 的位置关系____________________。

2. 直线l 与平面α所成角为030,,,l A m A m αα=⊂∉ ,则m 与l 所成角的取值范围是 _________3.棱长为1的正四面体内有一点P ,由点P 向各面引垂线,垂线段长度分别为1234,,,d d d d ,则1234d d d d +++的值为 。

4.直二面角α-l -β的棱l 上有一点A ,在平面,αβ内各有一条射线AB ,AC 与l 成045,,AB AC αβ⊂⊂,则BAC ∠= 。

【高中数学检测卷及答案解析】人教A版必修2第二章《点线面的位置关系》B卷

【高中数学检测卷及答案解析】人教A版必修2第二章《点线面的位置关系》B卷

数学必修2第二章《点线面的位置关系》同步检测试卷B 卷一.单项选择题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在三棱锥A BCD -中,3AB AC BD CD ====,2AD BC ==,点,M N 分别为,B AD C 的中点,则异面直线AN ,CM 所成角的余弦值是( ) A 78 B 38 C 67 D 142.如图所示,已知平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面α平行的棱有( )条.A . 1B . 2C . 3D . 03.《九章算术》中,将如图所示的几何体称为刍甍,底面ABCD 为矩形,且//EF 面ABCD .EF 到面ABCD 的距离为h ,BC a =,AB b =,EF c =,则2B CDEF E ABD V V --=时,b c = ( ) A 23 B 12C 2D 14.已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形,侧棱长均相等,E 是线段AB 上的点(不含端点).设SE 与BC 所成的角为1θ,SE 与平面ABCD 所成的角为2θ,二面角S AB C --的平面角为3θ,则( )A.123θθθ≤≤B.321θθθ≤≤C.132θθθ≤≤D.231θθθ≤≤5.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH 在原正方体中互为异面的对数为________对.A 1B 2C 3D 46.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,点M 是AD 的中点,动点P 在底面ABCD 内(不包括边界),若1//B P 面1A BM ,则1C P 的最小值是( )A 55. D.10二.多项选择题:本大题共2小题,每小题4分,共8分,在每小题给出的四个选项中,有多个选项符 合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.7.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 中点,Q 为线段1C C 上的动点,过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是( )A.(1),(2)B.(2),(4),(5)C.(2),(3),(4)D.(3),(5)(1)当102CQ <<时,S 为四边形;(2)当1=2CQ 时,S 为等腰梯形;(3)当3=4CQ 时,S 与11C D 交点R 满足113C R =.(4)当3<14CQ <时,S 为六边形;(5)当=1CQ 时,S8.已知三棱锥A-BCD 中,AB=CD,且直线AB 与CD 所成的角为60°,点M,N 分别是BC,AD 的中点,则直线AB 和MN 所成的角为( )A 60B 120C 90D 30三、填空题:本大题共4题,每小题4分,共16分.9.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,点P 是棱AD 上一点,且3a AP =,过1B ,1D ,P 的平面交底面ABCD 于PQ ,点Q 在直线CD 上,则PQ 的长为_________10.已知直线l 1∥平面α,直线l 2⊂平面α,且l 1∥l 2,点A∈l 1,点B∈l 2.记A 到平面α的距离为a,A 到l 2的距离为b,A,B 两点间的距离为c,则a,b,c 的大小关系为_________11.如图所示,棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形,设D 是A 1C 1上的点,且A 1B∥平面B 1CD,则A 1D∶DC 1的值为________12.在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB =,3AD =,12AA =,E 是1AA 的中点,F 是棱AD 上一点,1AF =,动点P 在底面1111A B C D 内,且三棱锥P BEF -与三棱锥1B D EF -的体积相等,则1C P 的最小值为_______,直线CP 与1BB 所成角的正切值的最小值为________四、解答题:本大题共3小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13.(本小题满分16分)如图,已知正方形ABCD 的边长为6,点E,F 分别在边AB,AD 上,AE=AF=4,现将△AEF 沿线段EF 折起到△A'EF 的位置,使得A'C=2.(1)求五棱锥A'-BCDFE 的体积;(2)在线段A'C 上是否存在一点M,使得BM∥平面A'EF?若存在,求出A'M;若不存在,请说明理由.14.(本小题满分18分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是PC 的中点.求证:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.15.(本小题满分18分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD 中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD=CD ,点E 是PC 的中点,连接DE ,BD ,BE.(1)证明:DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;(2)记阳马P-ABCD 的体积为V 1,四面体EBCD 的体积为V 2,求12V V 错误!未找到引用源。

【新文案】高一数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系练习题及答案

【新文案】高一数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系练习题及答案

d1, d 2 , d3 , d 4 ,则 d1 d 2 d 3 d4 的值为

4.直二面角 - l - 的棱 l 上有一点 A ,在平面 , 内各有一条射线 AB ,
AC 与 l 成 450, AB , AC
,则 BAC

5.下列命题中:
1
(1)、平行于同一直线的两个平面平行; (2)、平行于同一平面的两个平面平行; (3)、垂直于同一直线的两直线平行; (4)、垂直于同一平面的两直线平行 .
3.在三棱锥 A BCD 中 , AC 底面 BCD , BD 则点 C 到平面 ABD 的距离是 ( )
DC , BD
DC , AC a, ABC 300 ,
A. 5 a 5
B. 15 a 5
C. 3 a 5
D. 15 a 3
4.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,若 E 是 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于(
2. D 对于前三个, 可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折;
对角为直角的平
面四边形沿着非直角所在的对角线翻折;在翻折的过程中,某个瞬间出现了有三个直角的空间四边

3.D 垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系
4.B 连接 VF , BF ,则 AC 垂直于平面 VBF ,即 AC PF ,而 DE // AC , DE PF
, BF
2
2
2
EF 3 cos
BF 3
7. C 取 SB 的中点 G ,则 GE GF
二、填空题
a ,在△ SFC 中, EF
2
1. 5cm或 1cm 分 A, B 在平面的同侧和异侧两种情况
2 a , EFG
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必修二第二章综合检测题时间120分钟,满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.若直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是( )A.相交B.平行 C.异面 D.平行或异面2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( ) A.3 B.4 C.5 D.63.已知平面α和直线l,则α内至少有一条直线与l( )A.平行B.相交C.垂直D.异面4.长方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成的角等于( ) A.30°B.45°C.60°D.90°5.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得( ) A.a⊂α,b⊂α B.a⊂α,b∥αC.a⊥α,b⊥αD.a⊂α,b⊥α6.下面四个命题:①若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面;②若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;③若a∥b,则a,b与c所成的角相等;④若a⊥b,b⊥c,则a∥c. 其中真命题的个数为( )A.4 B.3 C.2 D.17.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上的不与端点重合的动点,如果A1E=B1F,有下面四个结论:①EF⊥AA1;②EF∥AC;③EF与AC异面;④EF∥平面ABCD. 其中一定正确的有( )A.①②B.②③C.②④D.①④8.设a,b为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是( )A.若a,b与α所成的角相等,则a∥bB.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bC.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b9.已知平面α⊥平面β,α∩β=l ,点A ∈α,A ∉l ,直线AB ∥l ,直线AC ⊥l ,直线m ∥α,n ∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )A .AB ∥m B .AC ⊥m C .AB ∥βD .AC ⊥β10.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点,那么直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A .-45 B. 35 C .34 D .-3511.已知三棱锥D -ABC 的三个侧面与底面全等,且AB =AC =3,BC =2,则以BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的余弦值为( )A.33B.13 C .0 D .-1212.如图所示,点P 在正方形ABCD 所在平面外,PA ⊥平面ABCD ,PA =AB ,则PB 与AC 所成的角是( )A .90°B .60°C .45°D .30°二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)13.下列图形可用符号表示为________.14.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,二面角C 1-AB -C 的平面角等于________.15.设平面α∥平面β,A ,C ∈α,B ,D ∈β,直线AB 与CD 交于点S ,且点S 位于平面α,β之间,AS =8,BS =6,CS =12,则SD =________.16.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ,有如下四个结论: ①AC ⊥BD ; ②△ACD 是等边三角形; ③AB 与平面BCD 成60°的角; ④AB 与CD 所成的角是60°; 其中正确结论的序号是________.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17/(10分)如下图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC,F、F1分别是AC,A1C1的中点.求证:(1)平面AB1F1∥平面C1BF;(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理,寻找使结论成立的充分条件.18.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.(1)证明:CD⊥平面PAE;(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.19.(12分)如图所示,边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面,BC=22,M为BC的中点.(1)证明:AM⊥PM;(2)求二面角P-AM-D的大小.20.(本小题满分12分)如图,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C ⊥A1B.(1)证明:平面AB1C⊥平面A1BC1;(2)设D是A1C1上的点,且A1B∥平面B1CD,求A1D DC1的值.21.(12分)如图,△ABC中,AC=BC=22AB,ABED是边长为1的正方形,平面ABED⊥底面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点.(1)求证:GF∥底面ABC;(2)求证:AC⊥平面EBC;(3)求几何体ADEBC的体积V.[分析](1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC;(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE;(3)几何体ADEBC是四棱锥C-ABED.22.(12分)如下图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.(1)求证:AC⊥BC1;(2)求证:AC1∥平面CDB1;(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.必修二第二章综合检测题详解答案1[答案] D2[答案] C[解析] AB与CC1为异面直线,故棱中不存在同时与两者平行的直线,因此只有两类:第一类与AB平行与CC1相交的有:CD、C1D1与CC1平行且与AB相交的有:BB1、AA1,第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.3[答案] C[解析] 1°直线l与平面α斜交时,在平面α内不存在与l平行的直线,∴A错;2°l⊂α时,在α内不存在直线与l异面,∴D错;3°l∥α时,在α内不存在直线与l相交.无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直.4[答案] D[解析] 由于AD∥A1D1,则∠BAD是异面直线AB,A1D1所成的角,很明显∠BAD=90°.5[答案] B[解析] 对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都存在α,使a⊂α,b∥α,B正确;对于选项C,a⊥α,b⊥α,一定有a∥b,C错误;对于选项D,a⊂α,b⊥α,一定有a⊥b,D错误.6[答案] D[解析] 异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错;根据等角定理,可知③正确;对于④,在平面内,a∥c,而在空间中,a与c可以平行,可以相交,也可以异面,故④错误.7[答案] D[解析] 如图所示.由于AA1⊥平面A1B1C1D1,EF⊂平面A1B1C1D1,则EF⊥AA1,所以①正确;当E,F分别是线段A1B1,B1C1的中点时,EF∥A1C1,又AC∥A1C1,则EF∥AC,所以③不正确;当E,F分别不是线段A1B1,B1C1的中点时,EF与AC 异面,所以②不正确;由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD,EF⊂平面A1B1C1D1,所以EF∥平面ABCD,所以④正确.8[答案] D;[解析] 选项A中,a,b还可能相交或异面,所以A是假命题;选项B中,a,b还可能相交或异面,所以B是假命题;选项C中,α,β还可能相交,所以C是假命题;选项D中,由于a⊥α,α⊥β,则a∥β或a⊂β,则β内存在直线l∥a,又b⊥β,则b⊥l,所以a⊥b.9[答案] C[解析] 如图所示:AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m;AB∥l⇒AB∥β.10[答案] 35命题意图] 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用.[解析] 首先根据已知条件,连接DF,然后则角DFD1即为异面直线所成的角,设边长为2,则可以求解得到5=DF=D1F,DD1=2,结合余弦定理得到结论.11[答案] C[解析] 取BC中点E,连AE、DE,可证BC⊥AE,BC⊥DE,∴∠AED为二面角A-BC-D的平面角又AE=ED=2,AD=2,∴∠AED=90°,故选C.12[答案] B[解析] 将其还原成正方体ABCD-PQRS,显见PB∥SC,△ACS为正三角形,∴∠ACS=60°.13[答案] α∩β=AB14[答案] 45°[解析] 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,由于BC⊥AB,BC1⊥AB,则∠C1BC是二面角C1-AB-C的平面角.又△BCC1是等腰直角三角形,则∠C1BC=45°.15[答案] 9[解析] 如下图所示,连接AC ,BD ,则直线AB ,CD 确定一个平面ACBD .∵α∥β,∴AC ∥BD ,则AS SB =CS SD ,∴86=12SD,解得SD =9.16[答案] ①②④[解析] 如图所示,①取BD 中点,E 连接AE ,CE ,则BD ⊥AE ,BD ⊥CE ,而AE ∩CE =E ,∴BD ⊥平面AEC ,AC ⊂平面AEC ,故AC ⊥BD ,故①正确.②设正方形的边长为a ,则AE =CE =22a .由①知∠AEC =90°是直二面角A -BD -C 的平面角,且∠AEC =90°,∴AC =a ,∴△ACD 是等边三角形,故②正确.③由题意与①知,AE ⊥平面BCD ,故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角,而∠ABE =45°,所以③不正确.④分别取BC ,AC 的中点为M ,N , 连接ME ,NE ,MN .则MN ∥AB ,且MN =12AB =12a ,ME ∥CD ,且ME =12CD =12a ,∴∠EMN 是异面直线AB ,CD 所成的角.在Rt △AEC 中,AE =CE =22a ,AC =a ,∴NE =12AC =12a .∴△MEN 是正三角形,∴∠EMN =60°,故④正确.17[证明] (1)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, ∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点, ∴B 1F 1∥BF ,AF 1∥C 1F .又∵B 1F 1∩AF 1=F 1,C 1F ∩BF =F , ∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .(2)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面A 1B 1C 1,∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1,A 1C 1∩AA 1=A 1,∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1,而B 1F 1⊂平面AB 1F 1, ∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1. 18[解析](1)如图所示,连接AC ,由AB =4,BC =3,∠ABC =90°,得AC =5. 又AD =5,E 是CD 的中点,所以CD ⊥AE .∵PA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,所以PA ⊥CD .而PA ,AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以CD ⊥平面PAE . (2)过点B 作BG ∥CD ,分别与AE ,AD 相交于F ,G ,连接PF .由(1)CD ⊥平面PAE 知,BG ⊥平面PAE .于是∠BPF 为直线PB 与平面PAE 所成的角,且BG ⊥AE .由PA ⊥平面ABCD 知,∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角. AB =4,AG =2,BG ⊥AF ,由题意,知∠PBA =∠BPF ,因为sin ∠PBA =PA PB,sin ∠BPF =BF PB,所以PA =BF .由∠DAB =∠ABC =90°知,AD ∥BC ,又BG ∥CD ,所以四边形BCDG 是平行四边形,故GD =BC =3.于是AG =2.在Rt △BAG 中,AB =4,AG =2,BG ⊥AF ,所以BG =AB 2+AG 2=25,BF =AB 2BG =1625=855.于是PA =BF =855.又梯形ABCD 的面积为S =12×(5+3)×4=16,所以四棱锥P -ABCD 的体积为V =13×S ×PA =13×16×855=128515.19[解析] (1)证明:如图所示,取CD 的中点E ,连接PE ,EM ,EA ,∵△PCD 为正三角形,∴PE ⊥CD ,PE =PD sin ∠PDE =2sin60°= 3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ,∴PE ⊥平面ABCD ,而AM ⊂平面ABCD ,∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形,∴△ADE ,△ECM ,△ABM 均为直角三角形,由勾股定理可求得EM =3,AM =6,AE =3,∴EM 2+AM 2=AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM =E ,∴AM ⊥平面PEM ,∴AM ⊥PM . (2)解:由(1)可知EM ⊥AM ,PM ⊥AM , ∴∠PME 是二面角P -AM -D 的平面角.∴tan ∠PME =PE EM =33=1,∴∠PME =45°.∴二面角P -AM -D 的大小为45°. 20[解析](1)因为侧面BCC1B1是菱形,所以B1C⊥BC1,又已知B1C⊥A1B,且A1B∩BC1=B,所以B1C⊥平面A1BC1,又B1C⊂平面AB1C所以平面AB1C⊥平面A1BC1 .(2)设BC1交B1C于点E,连接DE,则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线.因为A1B∥平面B1CD,A1B⊂平面A1BC1,平面A1BC1∩平面B1CD=DE,所以A1B ∥DE.又E是BC1的中点,所以D为A1C1的中点.即A1D DC1=1.21[解] (1)证明:连接AE,如下图所示.∵ADEB为正方形,∴AE∩BD=F,且F是AE的中点,又G是EC的中点,∴GF∥AC,又AC⊂平面ABC,GF⊄平面ABC,∴GF∥平面ABC.(2)证明:∵ADEB为正方形,∴EB⊥AB,又∵平面ABED⊥平面ABC,平面ABED∩平面ABC=AB,EB⊂平面ABED,∴BE⊥平面ABC,∴BE⊥AC.又∵AC=BC=22 AB,∴CA 2+CB 2=AB 2, ∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE =B ,∴AC ⊥平面BCE .(3)取AB 的中点H ,连GH ,∵BC =AC =22AB =22,∴CH ⊥AB ,且CH =12,又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ,∴V =13×1×12=16.22[解析] (1)证明:在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面三边长AC =3,BC =4,AB =5,∴AC ⊥BC .又∵C 1C ⊥AC .∴AC ⊥平面BCC 1B 1. ∵BC 1⊂平面BCC 1B ,∴AC ⊥BC 1.(2)证明:设CB 1与C 1B 的交点为E ,连接DE ,又四边形BCC 1B 1为正方形. ∵D 是AB 的中点,E 是BC 1的中点,∴DE ∥AC 1. ∵DE ⊂平面CDB 1,AC 1⊄平面CDB 1, ∴AC 1∥平面CDB 1. (3)解:∵DE ∥AC 1,∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角.在△CED 中,ED =12AC 1=52,CD =12AB =52,CE =12CB 1=22,∴cos ∠CED =252=225.∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为225.。

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