带电粒子在电磁场中运动轨迹的对称美赏析

如图,正方形匀强磁场区边界长为a、由光滑绝缘壁围成,质量为m、 电量为q的带正电粒子垂直于磁场方向和边界,从下边界正中央的A 孔射入磁场中.粒子碰撞时无能量和电量损失,不计重力和碰撞时间, 磁感应强度大小为B,粒子在磁场中运动的半径小于a.欲使粒子仍能 从A孔处射出,粒子的入射速度应为多少?在磁场中运动时间是多少? [解析] 粒子运动轨迹如甲、乙图所示 [欣赏]粒子运动 R 对甲图,由几何关系有： 1(2n+1)=a/2 2m mV1 (n=0.1.2…) 轨迹成一幅美 T R1 在磁场中有： Bq Bq 丽的窗帘,可谓 qBa v1 巧夺天工! 得速度： 2(2n 1)m
v 得： 3BqR m
所求时间为:
1 m t 3 T 6 Bq
[欣赏]离子运动的轨迹构成了一颗星星，闪闪发光!
如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感 应强度为B；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E。 一质量为m，电量为-q的粒子从坐标在点O沿着y轴正方向射出。 射出之后，第三次到达x轴时，它与点O的距离为L。求此粒子 射出时的速度v和运动的总路程s（重力不计）。 [解析] 对粒子，轨迹如图 由几何关系有： L=4R ① BqV=mV2/R ② 在磁场中,有： 由① ②得: V=BqL/4m ③ 在电场中,作减速运动, 有：v2=2ax ④ qE=ma ⑤ [欣赏]粒子运动 总路程：s=2πR+2x ⑥ 轨迹成一座美 丽的桥,可谓巧 由①③④⑤⑥式得： S= 夺天工!
2(4n 1)m 时间:t=(4n+1)T= qB
对乙图,由几何关系有：2kR2=a/2 mV2 (k=1.2…) R2 在磁场中有： Bq
v 得速度：2 qBa 4km
时间:
t1 2k T
2a 2k ( 2)m v2 qB
如图,两块水平放置的平行金属板板长L= 1.4m,板距d = 30cm,两板 间有B=1.5T垂直于纸面向里的匀强磁场,在两板上加如图所示的脉 动电压.在t = 0时,质量为m=2×10-15Kg、电量为q=1×10-15C的正 离子以速度v0= 4000m/s从两板中间水平射入.试问(1)粒子在板间 作什么运动？画出其轨迹.(2)粒子在场区运动的时间是多少？ [解析] 在第一个10- 4s内 因L/s = 1.4/0.4 = 3.5 离子在板内转了3周 F电=qU/d=5×10-7N -4 f = Bqv=5×10-7N= F电 历时t1=3T=3×10 s 匀速运动的时间: 离子作匀速直线运动 t2=L/v0=3.5×10-4s 位移为s=v0t=0.4m 总时间:t =6.5×10-4s - 4s内 在第二个10 离子作匀速圆周运动 r=mv0/Bq=6.4×10-2m<d/2 不会碰板 周期:T=2πm/Bq=1×10-4s 刚好在无电场时转满一周, 易知以后重复上述运动
如图在xoy平面内,有很多质量为ｍ、电量为ｅ的电子， 从点O不断以相同速率Vo沿不同方向平行xoy平面射入 第Ⅰ象限．现加一垂直xoy平面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场,要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴 且沿x轴正方向运动.求符合条件的磁场的最小面积. mv R [解析]电子在第Ⅰ象限做匀速圆周运动半径： Bq 沿y轴正方向射出的电子转过1/4圆周,速度变 y 为沿x轴正方向,这条轨迹为磁场区域的上边界; P (x,y) 设某电子做匀速圆周运动的圆心o`和O点的 v0 连线与y轴正方向夹角为θ,若离开磁场时速度变 O2 θ 为沿x轴正方向,其射出点的坐标为(x、y).由图中 O r r 几何关系可得: X=Rsinθ，y＝R-Rcosθ O′ 消去θ可知磁场区域的下边界满足的方程为: [欣赏]由两条圆弧 x2+(y-R)2=R2 (x>0，y>0) 所围的磁场区域 磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积． 像一片嫩绿的树 磁场的最小面积为: S 2 ( R 2 R 2 ) ( 2)m2v 2 叶，青翠欲滴! 4 2 2e 2 B 2
如图所示，一个质量为m、电量为q的正离子，从A点正对着圆心 O以速度，射入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里 的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。要使带电粒子与圆筒内壁 碰撞两次后仍从A点射出，求正离子在磁场中运动的速度v、半径 r和时间t.设粒子与筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的 重力. [解析] 粒子运动轨迹如图 由几何关系有： r=Rtan 600＝ 3 R 由 BqV=mV2/r
1
O3 E O
B1
B2
O2
中间磁场宽度： d=Rsin600 t 2 T 2m 3 3qB 1 6mEL d 解得： 2B q 在右侧磁场中：
5 5m t3 T 6 3qB
a qE v2 Bqv 在磁场中： m R 在中间磁场中：
O1
[欣赏]粒子运动轨 粒子运动周期： 迹形成了一滴木 2mL 7m t2 珠，晶莹明亮! qE 3qB
x
如图,在xoy平面上-H<y<H的范围内有一片稀疏的电子.从x轴的 负半轴的远处以相同的速率V沿x轴正向平行地向y轴射来.试设计 一个磁场区域,使得:(1)所有电子都能在磁场力作用下通过原点 O;(2)这一片电子最后扩展到-2H<y<2H范围内,继续沿x轴正向平 行地以相同的速率V0向远处射出.已知电子(e、m)． [解析] 根据题意,电子在O点先会聚再发散 第Ⅰ象限: 磁场方向： 垂直纸面向里 沿y轴正向射入的电子运动轨迹1为磁场上边界 x 磁场下边界2应满足： 2+(y-R)2=R2 实线1、2的交集为第1象限内的磁场区域： 由B1qv=mv2/2H得磁场大小: B1=mv/2eH 第Ⅲ象限: 可以看成是第1象限的逆过程 [欣赏]磁场 磁场方向：垂直纸面向外 区域像一 磁场大小： B3=mv/eH 只漂亮蝴 由对称得： 第Ⅱ象限 第Ⅴ象限 磁场方向：垂直纸面向里 垂直纸面向外 蝶，赏心 磁场大小： B2=mv/eH B4=mv/2eH 悦目!
带电粒子在电磁场中运动的对称美 赏 析
对称美
大自然奇妙而又神秘的对称美普遍 存在于各种物理现象、物理过程和物理 规律中．从某种意义上讲，物理学的每 一次重大突破都有美学思想在其中的体 现．用对称性思想去审题，从对称性角 度去分析和解决问题，将给人耳目一新 的感觉．今天通过对带电粒子在电磁场 中的运动问题的分析，体会其中的美学 思想和对称美的感受．
a S d o c b
v2 在磁场中：Bqv m R
由几何关系有： R＝r
B 2 qr 2 解得： U 2m
如图空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场.左侧匀强电 场的场强大小为E、方向水平向右,电场宽度为L;中间区域匀强磁 场的磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向外;右侧匀强磁场的磁 感应强度大小为B,方向垂直纸面向里.一个质量为ｍ、电量为ｑ、 不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动, 穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后,又回到O点,然后重复上 述运动过程．求:(1)中间磁场区域的宽度ｄ；(2)带电粒子从O点 开始运动到第一次回到O点的所用时间t． 1 2 在电场中： L qEL d 2v 2mL [解析] 在电场中： 2 mv t 2
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（00年全国）如图两个共轴的圆筒形金属电极,均匀分布着平行于 轴线的四条狭缝abcd,外筒外半径为ｒ.在圆筒之外的足够大区域 中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感应强度大小为Ｂ.在两极间 加上电压,使两筒之间的区域内有沿半径向外的电场.一质量为ｍ、 带电量+ｑ的粒子,从紧靠内筒且正对狭缝ａ的Ｓ点出发,初速度为 零.如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S,则两 极之间的电压U应是多少?（不计重力，整个装置在真空中） [解析]粒子运动轨迹如图 [欣赏]粒子运动轨迹构成一 朵怒放的梅花,香气迎风而来! 1 qU mv 2 在电场中： 2
L
d B1 B2
a S d o c 图 13 b
O E
O3
O2
O1
物理学家温伯格说：“目前物理学中最有希望的探索方法就是透 过现象世界与表层结构的迷雾去发现隐藏在事物深处的对称性”。 由此可见,对称性思想在物理学中的应用是广泛的。也是很重要的, 所以我们平时生活和学习中要逐渐培养美学思维能力。
y P (x,y) v0 O θ r O2 r O′ x