全等三角形专题——截长补短练习

全等三角形专题

——截长补短

角的平分线具有其特有的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用，而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊的方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗。

1、 如图， AD BC //,点E 在线段AB 上，ADE CDE ∠=∠,DCE ECB ∠=∠, 求证：CD=AD+BC

2、已知如图，1=2∠∠，P 为BN 上一点，且PD BC ⊥于点D,且0

180BAP BCP ∠+∠=， 求证：AB+BC=2BD

,

2、 已知，如图在ABC 中，2C B ∠=∠,12∠=∠,

求证：AB=AC+CD —

4、已知ABC 中，0

60A ∠=,BD ，CE 分别评分ABC ∠和ACB ∠，BD,CE 交于点O ，试判断BE,CD,BC 的数量关系，并加以证明。

5、如图所示，ABC 是边长为1的等边三角形，BDC 是顶角为0

120的等腰三角形，以D 为顶点的一个

060的MDN ∠,点M ，N 分别在AB,AC 上，求AMN 的周长。

*

6、如图，在ABC 中，0

60BAC ∠=,AD 是BAC ∠的平分线，且AC=AB+BD,求ABC ∠的度数。

7、已知如图，ABCD 是正方形，FAD FAE ∠=，求证：BE+DF=AF

、

8、在ABC 中，2B C ∠=∠，且AD BC ⊥于D ，求证：CD=AB+BD

9、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，∠B=45°，AD 平分∠BAC 交BC 于D.求证：AB=AC+CD. 变式：如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=45°，AB=AC+CD.求证：AD 平分∠BAC.

[

10、如图所示，△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，∠ABC=90°，∠C=30°，BE ⊥AD 于E 点，求证：AC-AB=2BE.

O

A

B

C

D

E

B

C

A

D

B

C

A

E

A

B

C

全等三角形在中考中必考题型

1、已知，在中ABC ，0C=90∠，AC=BC ，直线ｌ绕点Ａ旋转，过点Ｂ，Ｃ分别向直线ｌ做垂线，垂足分别是点Ｄ、点Ｅ。 `

（１）如图１，求证：ＢＤ＋ＣＥ＝ＡＥ；

（２）当直线ｌ绕点Ａ顺时针转到如图２，则ＢＤ、ＣＥ 、ＡＥ 之间满足的数量关系 是

|

2、已知ABCD ，连接ＡＣ，ＡＣ＝ＡＢ，Ｅ为线段ＢＣ上的一动点，Ｆ为直线ＤＣ上一动点，且EAF B ∠=∠。 （１）如图（１），当0

60B ∠=时，求证：ＣＥ＋ＣＦ＝CA 。 —

\

3、已知ABC ，有一个以P 为顶点的角，且12

APE ACD ∠=∠，将此角的顶点放在边BC 上，角的一边始

终经过点A ，另一边与ACB ∠的外角的平分线交于点E 。 )

（1）如图1，当ABC 三角形为等边三角形时，求证：CP+CE=CA 。

)

4、在中Rt ABC 中，090ACB ∠=，AC=BC ，点P 为BC 所在直线上一点，分别过点B 、C 作直线AP 的垂线，垂足分别为点D ，X 。

（1）当点P 在线段BC 上时，如图1，求证：2AD BD CE -=

（2）当点P 在CB 的反向延长线上时，如图2，线段AD 、BD 、CE 三者之间满足的数量关系是

；

B

]

5、已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．

（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，

求证：FG＋DC＝AD；

（2）如图 2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是；

)

\

…6、Rt ABC

∠中，0

90

ACB

∠=,AC BC

=,点D为直线BC上一点，CH AD

⊥于H,直线CH与直线AB 交于点P，作BPE APC

∠=∠，射线PE与直线BC交于点E。

!

（1）当点D在BC上时，如图1，求证：2CD DE AC

+=

（2）当点D在的CB延长线上时，如图2，请直接写出线段CD，DE，AC的数量关系。（3）在（2）的条件下，设PE与AC交于点G，并且AG CG

=，5

PG=，连接DG，分别交CH、AB于点M、N，求的长MN的长。

：

@

H

A

D

P

E

P

A

B

C

E

H

<

7、如图①，OP是MON

∠的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请

你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在ABC

∆中，90

ACB

∠=，60,,

B AD CE

∠=︒分别是,

BAC BCA

∠∠的平分线，,

AD CE

相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在ABC

∆中，如果90

ACB

∠≠，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中

所得结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

…

?

@

、

；

8、已知在ABC

∆中，6

OA OB OC

===，过点A的直线AP交线段BC于点P，将ABC

∆分成面积

比为1:2的两部分。（1）求P点坐标；（2）过B作BH AP

⊥，垂足为H，2

BP PC

=，求直线BH

的解析式；（3）在（2）的条件下，若直线BH交直线AC于点M，在第一象限内是否存在点Q，

使BCM

∆与QCM

∆全等，若存在，求出Q点坐标，若不存在，说明理由。