北京交通大学激光原理期末A4

4.1谐振腔的稳定性 均匀的各向同性自由空间 薄透镜 球面反射镜(凸面球面反射镜，曲率半径取负值)

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=10112z z T L ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-=1101

F

T F ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=1201F R T 2R F = 21det ηη=-=BC AD T // ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-1201R ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡1001 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-212

1201n n R n n n ⎥⎥⎦⎤

⎢⎢

⎣⎡21001n n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

⎡

101n L ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---1021n d ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡++200

2

121L L n n L L γγγ 稳定性 1)(21<+D A 对于球面镜谐振腔 111R L g -

=，2

21R L g -= 1021<

l

l L +=(有介质,长度为l ，折射率为n )

4.2光学谐振腔的模式 纵模数与下列两个因素有关：1）粒子（分子或离子）自发辐射的荧光线宽越大，可能出现的纵模数越多2）激光器腔长越大，相邻纵模的频率间隔越小，因而同样的荧光谱线宽度内可容纳的纵模数越多。

λL a N 2= I I 0ln 21=δ c L R δτ'= c π2π2δνντL Q R '== L '=

=∆π2c π21R R δτνQ

ν

= 21211ln 'π41

ln

21r r L c r r R =∆→⎪⎩

⎪⎨⎧=νδ '

2c c L q q q ⋅==λν '2c 1L q q q =-=∆+ννν 4.3衍射积分理论 βαγi +=e βαγ

i 1e )e (1

--+==

q q q u u u α

-e 表示腔内单程传播后自再现模的振幅衰减，β表示单

程传播带来的自再现模的相位滞后。 2

21

1

1e

1γ

δα

-

=-=-=

-+q

q q I I I π1

a r g q Φ±=-==βγ

由于谐振腔谐振的要

求，积分本征方程的本征值只能取分立值。每一个本征值所对应的本征函数，就是谐振腔的一个模式；本征值不能取连续值，谐振腔只有分立的模式。

4.4平行平面腔Fox-Li 数值迭代法 实现自在现模的条件为

x x i x i ix x i x E x E x E x E γ==

+++)

()()

()()1()2()1( 与坐标无关的常数//单程相移可

表示为φλφδ'π

2+-

=∆L 圆形平行平面镜腔4

.1200)(207.0a L λδ=腔谐振频率)(2c mn mnq π

ην∆Φ+=q L 4.5 球面镜对称共焦腔解析解 1)(0=X H X X H 2)(1= 24)(2

2-=X X H

N L a C a C x X π2π2,2==⎪⎩

⎪⎨⎧=λ ),(mn y x u )π/(n m mn 22e )π2()π2(λλλL y x y L H x L H C +-⋅= l ．基模 )

π/(00002

2),(λL y x e

C y x u +-

=202

2e

00s

y x C ω+-

=

π

0λ

ωL s =

2．高阶横模 2

02

2e 22),(010

10s

w y x s x C y x u +-

=ω

2

02

2e

2

2),(001

01s

w y x s

y C y x u +-

=ω 2

02

2e

)224

(),(02

2020s

w y x s

x

C y x u +--=ω 2

02

2e

24),(201111s

w y x s

x xy

C y x u +-

⨯

⨯=ω

os

ns os ms 1212ωωωω+=+=n m 谐振条件

)1(24mnq

+++=n m q L

λ各阶横模的谐振频率：)]1(2

1

[*2c mnq +++

=

n m q L

ην 属于同一横模的相邻两纵模 L mnq mnq q ηννν2c 1=

-=∆+ 属于同一纵模的相邻两横模L

mnq nq m q ηννν4c 1=-=∆+

行波场 等相位面方程 )(422

22

20

0y x z L z z z ++-≈- 02

22z F z f +=' 22L R F == (等相位抛物面的焦距 ) TEM 00高斯光束半径 2

/1220)1()(F

z z +=ωω π

20L

λω=

腔镜面π

)(os L

F λωω=

±= 镜面0os 2ωω=

瑞利长度 λω20

π==F z R 122

202=-R z z ωω 球面等相位面，曲率半径与其焦距0

2002)(z F z f z R +='=

])(1[)(2z z z z R R +=发散角L π22e /1λ

θ=

π

ππ0

R z F

λ

λ

ωλ=

==高阶横模

2

2

e 1

n e 1

m 1212θθθθ+=+=n m λ2

003

2L V =

圆形球面镜]2

π

)12(exp[++-=l p i ikL pl γ π

λωL os =

os pls L p ωω21

2++=)]12(21[2c +++=l p q L plq ην

4.6球面镜稳定腔的等价共焦腔 共焦腔基模的光斑半径 2/1202/1220])(1[)1()(R z z

F z z +=+=ωωω

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+==+-==122222221111)(1()())(1()(z z L z F z z R R z F z z R R ⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+-=-+--=

-+-=2212122121221212122121121)2()1(2)1(2)1(g g g g L g g g g F g g g g g Lg z g g g g g Lg z ⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧

--+=-+-=-=-=

4/1212122121e /14/12212121210

4

/1212124/121121])1()2([22])

2()1([])

1([])

1([2g g g g g g g g L g g g g g g g g L g g g g L

g g g g L πλθπλωπλωπλω

4.7高斯光束变换

)

(πi )(1)(12

z z R z q ωλ

-= R z F q i i 0== 0i i q z z z F z q R +=+=+= D Cq B Aq q ++=112 )1()1

(

11

12q B A q D C q ++= λω200πi ==q q λω200'πi ='='q q 新束腰2

240

22202

0π)1('F

F z λωωω+-= F F

F z F z

z ]π)1()1(1[2

24

22λω+--

-=' 前焦面1]π)([2200+-=ωλωωF z F F '0πωλωF = 后焦面'F ω ， 'F

0πωλωF = 发散角F

'

F 0πωωλθ=

= 模式匹配 20202101f F F z -±=ωω 2

0210022f F F z -±=ωω λωω02100π=f 高斯光束的聚焦 焦深为λ

ω2

π2

2=R z 一般要求高斯光束聚焦后的焦斑位于成像光学系统能清晰成像的区域，即所谓“齐焦”。z = F

时 新束腰 F F F z

02

240

2220

'

ππ)1(ωλλωωω=+-= 束腰压缩比：F 2

00'

0πωλ

ωω= R 20πz w F =<λ薄透镜才有聚焦作用。