6 小结与复习题

小 结

无穷级数是表示函数、研究函数及进行数值计算的一个有力工具，在实际应用中具有重要的作用.本章主要包括三部分：常数项级数、幂级数和傅立叶级数.

一、常数项级数

1. 常数项级数收敛的定义 给定常数项级数

1

n

n u

∞

=∑，称

1

n

n k n k s u u u u ===+++∑

为它的第n 个部分和，称12,,,n s s s 为它的部分和数列.如果该数列有极限 lim n n s s →∞

=,

则说常数项级数

1

n

n u

∞

=∑收敛，称s 为该级数的和，记为

1

n n s u ∞

==∑;

否则，即它的部分和数列12,,,n s s s 无极限（包括无穷大），则称该级数发散.

2. 常数项级数的基本性质

性质1.设C 是任意非零常数，则级数

1

n

n u

∞

=∑和

1

n

n Cu

∞

=∑的敛散性相同，且当收敛时，

1

1

n

n n n Cu

C u ∞

∞

===∑∑.

性质 2. 如果级数

1

n n u ∞=∑,1

n

n v

∞

=∑分别收敛于和S ,σ，则

1

()n

n n u

v ∞

=±∑也收敛，且其和

为s σ±.

性质3. 在级数中去掉、增加或改变有限项，其敛散性不变. 性质4. 收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变. 3．级数收敛的必要条件

若级数

1

n

n u

∞

=∑收敛，必有lim 0n n u →∞

=.

4．两个重要级数及其敛散性 1）几何级数

1

211

(0)n n n aq

a aq aq aq a ∞

--==+++++≠∑ .

当1q <时该级数收敛，其和为

1a

q

-； 当1q ≥时该级数发散.

2）p -级数

111111(0)23p p p p

n p n

n ∞

==+++++>∑ . 当1p >时，该级数收敛；当1p ≤时，该级数发散.

当1p =时称上述级数

11111

123n n

n ∞

==+++++∑ 为调和级数，它是一个发散级数. 5. 正项级数的审敛法

若对一切自然数n ，都有0n u ≥，则称级数1

n

n u

∞

=∑为正项级数.

判别正项级数敛散性的主要方法如下：

1）（比较审敛法） 设

1

n

n u

∞

=∑和

1

n

n v

∞

=∑都是正项级数，且(1,2,).n n u v n ≤= 若级数

1

n

n v

∞

=∑收敛，则级数

1

n

n u

∞

=∑收敛；反之，若级数

1

n

n u

∞

=∑发散，则级数

1

n

n v

∞

=∑发散.

2) (比较审敛法的极限形式) 设

1n n u ∞=∑和1

n n v ∞

=∑都是正项级数. 如果 lim

(0<<+),n

n n

u l l v →∞=∞

则级数

1

n

n u

∞

=∑和级数

1

n

n v

∞

=∑同时收敛或同时发散.

3) （比值审敛法） 若正项级数

1

n

n u

∞

=∑的后项与前项之比的极限等于ρ：

1

lim

n n n

u u ρ+→∞=，

则当1ρ<时，级数收敛；1ρ>(包括1

lim n n n

u u +→∞=∞)时，级数发散；1ρ=时，级数可能收

敛也可能发散.

4）（根值审敛法）若正项级数

1

n

n u

∞

=∑的一般项n u 的n

ρ，即

n ρ=,

则当1ρ<时，级数收敛；当1ρ>

（或n =+∞）时，级数发散;1ρ=时，级数可能

收敛也可能发散.

6. 交错级数的莱布尼兹审敛法

设0n u >,则称级数

1

1

(1)

n n n u ∞

-=-∑为交错级数.

定理（莱布尼兹审敛法）设

1

1

(1)

n n n u ∞

-=-∑为交错级数.如果n u 满足：

1）对一切自然数n 有1n n u u +≤； 2）lim 0n n u →∞

=，则

1

(1)n

n

n u

∞

=-∑收敛，且其和1s u ≤.

7．级数的绝对收敛和条件收敛

如果级数

1

n

n u

∞

=∑收敛，则称级数

1

n

n u

∞

=∑绝对收敛.如果

1

n

n u

∞

=∑收敛，而

1

n

n u

∞

=∑发散，则

称级数

1

n

n u

∞

=∑条件收敛.

对任意项级数，如果它绝对收敛，则它必收敛.

二、幂级数

1．幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 1）幂级数的收敛半径 对于任意一个幂级数

1

n

n n a x

∞

=∑，都存在一个0R ≤≤+∞，使得对一切x R <，都有

1

n

n n a x

∞

=∑绝对收敛，而当x R >时

1

n

n n a x

∞

=∑发散.称R 为该幂级数的收敛半径，称开区间

(,)R R -为该幂级数的收敛区间.当幂级数只在0x =一点收敛时，0R =，当对一切x ，

幂级数都收敛时，R =+∞.

2) 幂级数收敛半径、收敛区间和收敛域的求法