三角函数的值域与最值(教师版)

教学过程
1 .在下列说法中：(1 )函数＞,=
2 - Sill X 的最大值为3； (2)函数y = —Z — + sin 2
X 最小值 sin' X 是4; (3)函数＞• = — 的值域是[-l,O)∪(O,l] : (4)存在实数X,使得tanx + —= 2⅛ COSX tan % 立.正确的是 (
)
A. (1) (2)
B. (2) (4)
C. (1) (3)
2. 函数 y = sinx,Λ' ∈[―,—]的值域为(
)
6 3
A. [~1, 1]
B. [pl]
C. £，¥
3. 函数y = Sin 2Λ COS 2X 的最大值为 __________ ,最小值为 ______________
时，函数y = Sin(X + —) + Sin(X-―)的最大值为
4 4
函数y = sin 2 x + sinx + 1的值域为 6 .函数y = UCOSX+ b ( a.b 为常数，且« ＞ O )的最大值是
1 ,最小值是-7，则函数
y = GSinX+ Z?CoSX 的最大值是 ____________________ 二.互动平台
(I )简单三角函数的值域
【例1】1.求下列三角函数的值域.
(1 ) y = sinx
(2) y = sinx,x ∈
_6 3
2.若函数y = acosx+b 的最大值是1,最小值是-7,求"、b .
4.
5.
/•函数的最大值为√2 ,最小值为-血・
类型二：y = a Sin2x + bsin x∙ cosx + c{a ≠ O)型∙形如这种类型的，可利用倍角公式、降幕公
式进行降次、整理为y = Asin2x + B COS2x型再利用辅助角公式求出最值.
【例5］求函数f(x) = 5>^COS2 X +λ∕3sin2 x —4SinXCOsx(∙^ <x≤—)的最值,并求取得最值时X 4
24
的值.
=2λ∕3cos3x-2sin 2X +3Λ∕3
=4 cos (2% + —) + 3y∣3
∕∙ f(x)的最小值为3λ∕3-2^2 ,此时X = E~、f(x)无最大值・
【例6】)求函数y = (3 + sinΛ)(3 + COSX)的值域.
方法小结：求只含有SinX ± cos X , SinXCOSX的函数的最值问题，通常方法是换元法：令sin X ± cosx = / (―λ∕∑≤t <V∑),将SinXCOSX转化为/的关系式，从而使问题转化为二次函数的最值问题.但要注意换元后变量的取值范围.
［小试身手］已知：y = —gj∩2χ + ^y-sinx∙cosx + l, x w R,求y的最大值及此时.r的集合.
2 2
［分析］此类问题为y = asin2 x +∕? Sin X∙ COS x + c cos2 X的三角函数求最值问题,它可通过降
次化简整理为y = ash ∖x + bcosx 型求解•
1 1 + COS 2x √3 Sin 2x t y =
_・ ----- +——・ --- +1
• 2 2 2 2
= ICOS2x÷^sin2x÷^ 4 4 4
- + 2kπ , .∖x = - + kπ(k ∈z),y max
2 6
［小试身手］1 •已知函数/(x) = sin2-v, ^(X) = COS(2x + -),直线X= t ( t∈ 0套)与函数 6 L 2 _ f(x)、g(x)的图像分别交于M 、N 两点，则IMNl 的最大值是多少
2.
求函数 y = 5sin 2 X + VJsin xCOS x + 6cos 2 X 的值域∙
3・ y = cos 2x +COSX
4.求函数 y = sillx+ cosx+ siιιx ∙cosx 的值域∙
(IV)配方法：y = asin 2 x + bsinx + c(α Ho)型。

此类型可化为 y = at 2
+bt + c(a ≠ 0)在区间［-1,1］
上的最值问题•
【例6】求函数y = cos 2 X + >∕3sinX +1 (XWR)的最值.
解： y = 1 - Sin 2 x + λ∕3 sin x +1 = -(Sin X - )2 + —
2
•••函数的最大值为专，最小值为呼
解: -COS 2x +
2λ+
τ=
【例8】求函数y = cos2X + V3«SinX +1 ( a w R ,x∈ ∕?)的最大值.
解：y = cos2X + Sin x +1 转化为 y =- sin2x + >∕5^sinx + 2 配方得：
√37 3 7
y = -(Sin X -- ay + —6T + 2
• 2 4
①当斗">1,即">科时，在SinX=A , y max= √3^ + l
②当务时,即心琴时，在SgT, “五+ 1
③当-∖<^a<X i即一半"琴时，在Sinx =织时，焜弓/+2
∖∣3a + ∖(a >
综上: >t max
-yj3a + l(α < -
小结：对于二次型函数，都可通过换元构造二次函数y = at2+ht + c t进而转化为二次函数在某个区间上的值域问题，但一定要注意新元的范围.
［小试身手］1.函数/(x) = sin2 X+ 2cosx⅛区间［-3,8］上的最大值为1,则&的值是多少
2.求函数y = 5Sin X + COS2x的最值.
［分析］:观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一.
(1) 当-≥1,即心2,g(∕)在［0, 1］上递增
,M(G)=g(l)上-1;
2
4 2
(2) 当 O≤f≤l,即 O≤αS2 时，g(∕)在［0, 1］上先增后减,Λ∕(α)= J -I = --- + 1;
(3) 当-≤0,即"≤0,g(∕)在［0, 1］上递减,M(α)=g(θ)=丄-
2 2
———一,“二乙
4 2
・ M (a) =
+ -.0≤a ≤2
4 4 2 ---√∕≤0 2 4
3. 求函数y = cos2x + 2sinx 在区间
(V)数形结合：/(X)=竺m 型。

此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为
ashy χ + bcosx = c 再利用辅助角公式求其最值；②采用数形结合法(转化为斜率问题)求
,用α表示y(Λ∙)的最大值M ⑷
—Λ上的值域.
Sin x = l ・・∖x = 2kπ + — , k 已 乙 v αv = -2× — + — = 4
^(Z )=/(A )=-Z2 +川_彳 +㊁=
最值∙
【例9】求函数y =卫丄的值域
COSX-2
解法1 :将函数y = —变形为ycosx-sinx = 2y
COSX-2
/• Sin(X+ ¢) = I由 ISin(JV+ 0) I= L rSl => (2y)12≤ 1 + √ι+r √ι^F
,故值域是［-
解法2:数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点 P(COSX f
s∕>7x)与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。

作出如图得图象，当过
Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数H 得最值，由几何知识，易求得
过Q的两切线得
COSX-2
斜率分别为—迴、逅。

结合图形可知，此函数的值域是
3 3
辱•
课后作业
1.函数y = sin X + Λ∕5COS X在区间[o,∣]±的最小值为 __________________
2.函数f(x) = COSX--COS2x(x e R)的最大值等于 ________________
2
3.函数y = tan(y-x) ≤x<^且XHo)的值域是___________________________
4.当。

“尹，函数如V沁的最小值为—。