数学建模 葡萄酒评价优秀论文

三、模型的假设
1. 同种葡萄的各理化指标和质量均相同；
2. 所有葡萄酒的酿造工艺和酿造环境相同；
3. 酿造葡萄和葡萄酒中未测到的芳香物质含量为零。
2
四、符号说明
符号
������(������������������) ������������������ ������������ ���������2��� ������������ ������������������ ������������������ ������������
5
表 1: 红、白葡萄酒的显著性分析结果
3. 两组品酒员的评价结果差异分析 计算两组品酒员评价结果的显著性差异率������������：
������
55
∑︁
55
∑︁
������������ = , ������ = ������
������������, ������ =
������
(7)
������=1
针对问题二：为了对酿酒葡萄进行分级，我们将葡萄的理化指标作为媒介。先根据国 际指标制定适用于本题评分的分级标准，将葡萄酒进行分级，再根据理化指标经标准化 之后的数值，利用欧氏距离对酿酒的55种酿酒葡萄进行������型聚类分析。聚类得到红白葡萄 各六个分类后，再把各类酿酒葡萄对应至相应葡萄酒的等级，将酿酒红葡萄和酿酒白葡 萄各分为五级。
2. 两个独立样本的t检验
①假设������0 : ������1 = ������2 ;������1 : ������1 ̸= ������2 ②选用双侧检验，置信区间为95%;
③计算统计量：
������
=
������1 − ������2
√︁
(������1
−1)������12 +(������2 −1)������22 ������1 +������2 −1
������������代表同组品酒员对第������种葡萄酒评价总分的均数,���������2��� 代表同组品酒员对第������种葡萄酒
评价总分的方差。
1
������
∑︁
������������ = ������
������������������
(8)
������=1
���������2���
(
1 ������1
+
1 ������2
)
(6)
④查表得������
������ 2
，若������
≤
������
������ 2
,则������
≥
0.05，接受������0,拒绝������1两个独立样本不具有显著差异；若������
>
������ ������ 2
,
则������
<
0.05,拒绝������0,接受������1两个独立样本具有显著差异。
针对问题一：本题需要检验两组品酒员的评价结果是否存在显著差异，并选出更可 靠的一组。我们将各种葡萄酒的10个二级指标得分，相加得到每种酒的总分。在判断知每 组品酒员的评价总分均服从正态分布后，用������检验分析两组品酒员对各葡萄酒评价的差异 性，由此计算得到两组评价的显著性差异率为13.36%，即总体上两组品酒员的评价不存在 显著差异。但由于两组品酒员的评价仍存在部分差异，我们比较两组品酒员对55种葡萄 酒评价的方差，发现第二组评分的方差普遍小于第一组，所以第二组的评价结果更可信。
①将两组20个品酒员对同一样品的评价总分按开序排列使������1 ≤ ������2 ≤ ... ≤ ������������ ≤ ... ≤
������20；
②再计算样本均数：
1
20
∑︁
������ = 20
������������
(2)
������=1
标准差：
√︃
������ = ∑︀(������������ − ������)2
3. 问题三的分析：由于各种酿酒葡萄的理化指标种类复杂，我们先用主成分分析的方 法提取出能清晰反映所有有效指标的几个新指标。首先对酿酒红葡萄和酿酒白葡萄 的27个有效指标中进行标准化处理，将标准化得到的矩阵导入������������ ������������，分别提取出累 计贡献率恰好大于80%的前几个主成分。考虑到酿酒葡萄经化学反应酿造成葡萄酒的 过程中各项理化指标一般存在线性关系，随后我们建立葡萄酒新指标关于酿酒葡萄 的多元线性回归模型，得出酿酒葡萄和葡萄酒各项有效理化指标的正负相关关系。
关键词： 显著性检验；聚类分析；主成分分析；多元回归。
1
一、问题的重述
确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对 葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿 酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会 在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果， 附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学 模型讨论下列问题：
根据������检验结果是否小于0.05来判断两组品酒员对葡萄酒的评价是否存在差异。
5.1.2 差异分析模型的求解
1. ������ − ������图检验是否符合正态分布 我们分别画出27种红葡萄酒和28种白葡萄酒的������ − ������图。以20个品酒员对红葡萄
酒样品1的评价总分的������ − ������ 图为例：
第������种葡萄的第������项指标 葡萄酒的第������项理化指标
五、模型的建立与求解
5.1 问题一：两组品酒员评价的差异分析模型
5.1.1 数据的预处理
1. 数据的观察：在附件一葡萄酒品尝评分表中有两组品酒员分别对每种葡萄酒的评分， 每组均有10个品酒员，评分标准分为4个一级指标，一级指标下又分为10 个二级指标， 每个二级指标的分值如下表，各指标总分为100：
������=1
得到������������ = 13.36%十分小，故两组品酒员的评价结果总体上无显著性差异。
5.1.3 可信度分析模型的建立
由于两组品酒员对部分几种葡萄酒的评价结果存在显著性差异，我们需要建立模型
分析哪组的评价更加可信。我们利用方差可以反映同组10个品酒员对同种酒评价的波动
程度，建立方差模型分析可信度。
⎝
⎠
������������1 · · · ������������������
5.1.2 差异分析模型的建立
1. ������ − ������图检验是否符合正态分布
3
正态分布是利用t检验两个独立样本是否有显著性差异的前提，我们利用������ − ������图
检验总体是否服从正态分布，具体方法如下：
(3)
20 − 1
分位数：
������������
=
������������ − ������ ������
(4)
和正态分布表������������对应分位置������′������，其中
������ − 0.5
������������ = 20
(5)
③由������������、������������、������′������画出������ − ������′图，与������ = ������比较，若������ − ������′图与之吻合，则总体服从正态分 布，否则不服从。
针对问题三：由于各种酿酒葡萄的理化指标种类复杂，我们用主成分分析的方法，从 酿酒红葡萄和酿酒白葡萄的27个有效指标中各提取出了8 个和9个主要成分。考虑到酿酒 葡萄经化学反应酿造成葡萄酒的过程中各项理化指标一般存在线性关系，我们建立多元 线性回归模型，得出酿酒葡萄和葡萄酒各项有效理化指标的正负相关关系。
4
图 2: 红葡萄酒样品的正态������ − ������ 图
其������ − ������图各点均分布在直线附近，则认为红葡萄酒样品质量评分服从正态分布。 同理得到27种红葡萄酒和28种白葡萄酒的评分均服从正态分布。 2. 两个独立样本的t检验 首先以两组品酒员对红葡萄酒样品1的评价为例：其������ 值检验结果为0.213，小于显 著水平0.05，即两组品酒员对红葡萄酒样品1的评价总分方差相等，可知������ = 0.213 > 0.05， 则两组品酒员对红葡萄酒样品1的评价不存在显著性差异。 同理对27种红葡萄酒和28种白葡萄酒进行t检验的分析。记两组品酒员对第������种葡 萄酒的评价是否存在显著性差异为������������(������ = 1, 2, ..., 55)，其中27种红葡萄酒对应������ = 1, 2, ..., 27，28种 白葡萄酒对应������ = 28, 29, ..., 55。当������������ = 1 时，存在显著性差异；当������������ = 0时，不存在显著 性差异。则55种葡萄酒������检验的结果如下表：
1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？
2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。
3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。
4. 分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄 酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？
二、问题分析
意义 第������个品酒员对第������种酒的第������个二级指标的评分
第������个品酒员对第������种酒的总分 品酒员对第������种葡萄酒评价总分的均数 品酒员对第������种葡萄酒评价总分的方差
第������个酿酒葡萄 第������个酿酒葡萄与第������个酿酒葡萄之间的距离