高中数学空间几何中线面角

线面角

1.直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。图示：

⇒

2.利用等体积法：其中θ是斜线与平面所成的角h 是垂线段的长，l 是斜线段的长其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例1：如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，PA AC =，则直线PC 与平面ABC 所成角的大小为（）

A ．30

B ．45

C ．60

D ．90

例2：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AC ，1A B 的中点，则直线MN

与平面ABCD 所成角为

例3：如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，

点E 在棱P B 上.当2PD AB =且E 为P B 的中点时，求A E 与平面P D B 所成的角的大小.解：设A

C B

D O =I ，连接O

E ，易证A C ⊥平面P D B 于O ，

∴A E O ∠为A E 与平面P D B 所的角，

∴,O E 分别为D B P B 、的中点，∴\\O E P D ，12

OE PD =，又∵PD ABCD ⊥底面，∴OE⊥底面A B C D ，O E ⊥A O ，

在AOE Rt ∆中，1222OE PD AB AO =

==，∴45AOE ︒∠=，即A E 与平面P D B 所成的角的大小为45

︒例4：已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面

1BDC 所成角的正弦值。

法一（直接法）：

解：连接A C 交BD 于点O ,连接1C O ,过C 作1C O 的垂线，垂足为

E ,

111C D C B

C O B

D =∴⊥Q 1111ABCD A B C D BD AC -⊥又在正四棱柱中，，

且1C O AC O

=I 1C D C O C C E B D ∴⊥∴⊥平面1C O CE E =又Q I 11CE C DB CDE CD C CB ∴⊥∴∠平面是与平面所成的角

设1A B =,则12C C =，22CO =,22221123()222

C O CO CC =+=+=在1R tC O C ∆中，有11C O C C O C C E ⋅=⋅,则112

12332C O C C C E C O

⋅===则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值113sin 13

A E D C θ===

法二(等体积法）：

解：连接A C 交B D 于点O ,连接1C O

111C D C B

C O B

D =∴⊥,令1A B =,则12A A =

，BD =

,

2CO =

,1C O ===在三棱锥1C C B D -中，底面积11122C B D S B C C D =

⋅⋅=,高为12A A =在三棱锥1C C B D -中，底面积11324

C B

D S C O B D =

⋅⋅=,设点C 到平面1C B D 的距离为h ，由11C C B D C C B D V V --=得：111133

C B

D C B D S h S A A ⋅⋅=⋅⋅,解得13h =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值113sin 13

h C D θ===例5：如图所示，已知AB 为圆O 的直径，长度为4，点D 为线段AB 上一点，且

13AD DB =，点C 为圆O

上一点，且BC =．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD DB =．

（1）求证：CD ⊥平面PAB ；

（2）求PD 与平面PBC 所成的角的正弦值．

(1)证明：连接CO ，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点,

又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，

BC =知，60CAB ∠=，∴ACO ∆为等边三角形,故CD AO ⊥．

∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，∴PD ⊥平面ABC ，

又CD ⊂平面ABC ，∴PD CD ⊥，

由PD ⊂平面PAB，AO ⊂平面PAB，且PD AO D =I ，

得CD ⊥平面PAB .

（2）由（1）可得CD =

，3PD DB ==，

∴1111133332322P BDC BDC V S PD DB DC PD -∆=

⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=，

又PB ==

PC ==

BC ==

，

∴PBC ∆

为等腰三角形，则122PBC S ∆=⨯=，设点D 到平面PBC 的距离为d ，由P BDC D PBC V V --=

得，132PBC S d ∆⋅=

，解得5

d =∴PD 与平面PBC 所成的角α的正弦值3555sin 35d PD α===