p67-用积分法求梁弯曲时的变形(精)
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dw = w′ = tan Fra Baidu bibliotek dx
即挠曲线上任一点处切线的斜率等于该处横截面的转角。因此，研究梁的 变形关键就在于找出梁的挠曲线方程 w = w(x)，便可求得梁任一横截面的 挠度 w 和转角 。
第7章 杆件的变形与刚度\梁弯曲时的变形与刚度\用积分法求梁弯曲时的变形
2. 挠曲线的近似微分方程
第7章 杆件的变形与刚度\梁弯曲时的变形与刚度\用积分法求梁弯曲时的变形
2）挠曲线方程和转角方程 梁横截面的挠度 w 和转角 都随 截面位置 x 而变化，是 x 的连续函数， w 即 w = w(x) = (x)
w
x
以上两式分别称为梁的挠曲线方程和转角方程。在小变形条件下，由于转 角 很小，两者之间存在下面的关系
可以证明：在图示坐标系中， 梁的挠曲线近似微分方程为
M ( x) dw ′ ′－ 2 =w = EI dx
2
w w
x
对其进行积分，可得转角 和挠度 w 。 式中， M(x) 为梁的弯矩方程，E 为材料的弹性模量，I 为横截面对中性 轴的惯性矩。EI 称为梁的弯曲刚度，EI 越大，梁越不容易发生弯曲变 形，因此弯曲刚度表示梁抵抗弯曲变形的能力。
式中：C、D 为积分常数。其值可利用梁上某些横截面的已知位移来确定。 例如，在固定端处的挠度 w = 0，转角 = 0。在铰支座处的挠度 w = 0 。 积分常数确定之后，将其代入转角方程和挠曲线方程可得到梁的转角 方程和挠度方程，从而求得任一横截面的转角和挠度。这种对梁的挠曲线 近似微分方程进行积分求梁的变形的方法称为积分法。 积分法是求梁变形的基本方法。
第67讲
用积分法计算梁弯曲时的变形
主讲教师：张翠英
江苏建筑职业技术学院 微课研制： 河北水利电力学院
第7章 杆件的变形与刚度\梁弯曲时的变形与刚度\用积分法求梁弯曲时的变形
§7−3 梁弯曲时的变形与刚度
7−3−1 用积分法求梁弯曲时的变形
1. 挠度和转角
1）挠度和转角的概念
w w x
取梁变形前的轴线为 x 轴，与轴线垂直向下的轴为 w 轴。在力的作 用下，梁发生平面弯曲变形，梁的轴线在 xw 平面内弯成曲线（图中虚线）， 称为梁的挠曲线。
第7章 杆件的变形与刚度\梁弯曲时的变形与刚度\用积分法求梁弯曲时的变形
w
x
w
梁受力变形后，其横截面形心在 w 方向的线位移称为该截面的挠度， 用 w 表示，规定 w 以向下为正。实际上，横截面形心沿轴线方向也存在线 位移，在小变形条件下，这种位移与挠度相比为高阶小量，一般略去不计。
横截面绕其中性轴转过的角度称为该截面的转角，用 表示，规定 以顺时针转向为正。根据平面假设，梁变形后的横截面仍保持为平面并 与挠曲线正交，因而横截面的转角 也等于挠曲线在该截面处的切线与 x 轴的夹角。 挠度和转角是表示梁变形的两个基本量。
第7章 杆件的变形与刚度\梁弯曲时的变形与刚度\用积分法求梁弯曲时的变形
第7章 杆件的变形与刚度\梁弯曲时的变形与刚度\用积分法求梁弯曲时的变形
3. 积分法求梁的弯曲变形
对于等直梁，弯曲刚度 EI 为常数，对挠曲线近似微分方程积分一次， 得转角方程，积分两次得挠曲线方程，即
= w′ =－
1 M ( x )dx + C EI
∫ 1 M ( x )dxdx + Cx + D w =－ ∫ ∫ EI
即挠曲线上任一点处切线的斜率等于该处横截面的转角。因此，研究梁的 变形关键就在于找出梁的挠曲线方程 w = w(x)，便可求得梁任一横截面的 挠度 w 和转角 。
第7章 杆件的变形与刚度\梁弯曲时的变形与刚度\用积分法求梁弯曲时的变形
2. 挠曲线的近似微分方程
第7章 杆件的变形与刚度\梁弯曲时的变形与刚度\用积分法求梁弯曲时的变形
2）挠曲线方程和转角方程 梁横截面的挠度 w 和转角 都随 截面位置 x 而变化，是 x 的连续函数， w 即 w = w(x) = (x)
w
x
以上两式分别称为梁的挠曲线方程和转角方程。在小变形条件下，由于转 角 很小，两者之间存在下面的关系
可以证明：在图示坐标系中， 梁的挠曲线近似微分方程为
M ( x) dw ′ ′－ 2 =w = EI dx
2
w w
x
对其进行积分，可得转角 和挠度 w 。 式中， M(x) 为梁的弯矩方程，E 为材料的弹性模量，I 为横截面对中性 轴的惯性矩。EI 称为梁的弯曲刚度，EI 越大，梁越不容易发生弯曲变 形，因此弯曲刚度表示梁抵抗弯曲变形的能力。
式中：C、D 为积分常数。其值可利用梁上某些横截面的已知位移来确定。 例如，在固定端处的挠度 w = 0，转角 = 0。在铰支座处的挠度 w = 0 。 积分常数确定之后，将其代入转角方程和挠曲线方程可得到梁的转角 方程和挠度方程，从而求得任一横截面的转角和挠度。这种对梁的挠曲线 近似微分方程进行积分求梁的变形的方法称为积分法。 积分法是求梁变形的基本方法。
第67讲
用积分法计算梁弯曲时的变形
主讲教师：张翠英
江苏建筑职业技术学院 微课研制： 河北水利电力学院
第7章 杆件的变形与刚度\梁弯曲时的变形与刚度\用积分法求梁弯曲时的变形
§7−3 梁弯曲时的变形与刚度
7−3−1 用积分法求梁弯曲时的变形
1. 挠度和转角
1）挠度和转角的概念
w w x
取梁变形前的轴线为 x 轴，与轴线垂直向下的轴为 w 轴。在力的作 用下，梁发生平面弯曲变形，梁的轴线在 xw 平面内弯成曲线（图中虚线）， 称为梁的挠曲线。
第7章 杆件的变形与刚度\梁弯曲时的变形与刚度\用积分法求梁弯曲时的变形
w
x
w
梁受力变形后，其横截面形心在 w 方向的线位移称为该截面的挠度， 用 w 表示，规定 w 以向下为正。实际上，横截面形心沿轴线方向也存在线 位移，在小变形条件下，这种位移与挠度相比为高阶小量，一般略去不计。
横截面绕其中性轴转过的角度称为该截面的转角，用 表示，规定 以顺时针转向为正。根据平面假设，梁变形后的横截面仍保持为平面并 与挠曲线正交，因而横截面的转角 也等于挠曲线在该截面处的切线与 x 轴的夹角。 挠度和转角是表示梁变形的两个基本量。
第7章 杆件的变形与刚度\梁弯曲时的变形与刚度\用积分法求梁弯曲时的变形
第7章 杆件的变形与刚度\梁弯曲时的变形与刚度\用积分法求梁弯曲时的变形
3. 积分法求梁的弯曲变形
对于等直梁，弯曲刚度 EI 为常数，对挠曲线近似微分方程积分一次， 得转角方程，积分两次得挠曲线方程，即
= w′ =－
1 M ( x )dx + C EI
∫ 1 M ( x )dxdx + Cx + D w =－ ∫ ∫ EI