二次函数的应用(利润问题)

二次函数的应用——利润问题

[例1]：求下列二次函数的最值：

（1）求函数322

-+=x x y 的最值． 解：4)1(2

-+=x y

当1-=x 时，y 有最小值4-，无最大值．

（2）求函数322

-+=x x y 的最值．)30(≤≤x 解：4)1(2

-+=x y

∵30≤≤x ，对称轴为1-=x

∴当12330有最大值时；当有最小值时y x y x =-=．

[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，

1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润 则：)10300)(4060(1x x y -+-=

)60010(102

---=x x

6250)5(102

+--=x

当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）

)20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x

6125)5.2(202

+--=x

当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元）

综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．

[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高x 元，利润为y 元， 则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202

+--=x 当5=x ，4500max =y （元）

答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．

2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？

月 日

解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元， 则：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102

+--=x 当55=x ，30250max =y （元）

答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．

[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数． ⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；

⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．

则1525,

220k b k b +=⎧⎨

+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•

即一次函数表达式为40+-=x y ．

⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元， 所获销售利润为w 元

y x w )10(-=)40)(10(+--=x x

400502

-+-=x x

225)25(2

+--=x

当25=x ，225max =y （元）

答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： ⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中， “某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；

⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ ⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)． 解：⑴设y=kx+b 由图象可知，

x （元） 15 20 30 … y （件） 25 20 10 …

30400

20

,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨

⎨

+==⎩⎩

解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ． ⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202

-+-=x x

∵020<-=a ∴P 有最大值．

当35)

20(21400

=-⨯=

x 时，4500max =P （元）

（或通过配方，4500)35(202

+--=x P ，也可求得最大值）

答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．

⑶∵44804500)35(2041802

≤+--≤x 16)35(12

≤-≤x ∴31≤x ≤34或36≤x≤39．

作业布置： 1．二次函数1212-+=

x x y ，当x=_-1，_时，y 有最_小_值，这个值是2

3-． 2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为

12--=x y (只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)．

3．不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是2

9

>m ，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”)

解：2

9)23(22

-

+-=m x y ∵0)2

3(22

≥-x ，要使0>y ，只有029>-

m ∴2

9>m 4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线2

1 3.55

y x =-+的一部

分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 4.5米 ．