大样本置信区间
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15.4 大样本置信区间
样本容量足够大时，根据中心极限定理可以利用渐近正态分布构造置信区间。 例 15.4.1 贝伦斯-费舍尔（Behrens-Fisher）问题，样本 X 1 ,
, X m 来自正态总
2
2 体 N 1 , 1 ，样本 Y1 , , Yn 来自正态总体 N 2 , 2 ， 1 、 2 未知， 1 、 2
X 1 X n c2 4
1 X c 1 c 2
u2
X 1 X n
1
2
c2 4
p 1 X c 1c 2
u
2
1
2
其中 c
1
2
n
， 当 n 较大时，c 的值很小可略去，得到参数 p 的 1 置信水平
x
84 0.168 ， u0.975 1.96 ， 近似估计区间为： 0.135, 0.201 。 500
********************************************************** 例 15.4.4 一个网络产品的运营商希望了解该产品在某个城市的用户占有率， 进 行了随机抽样调查，样本容量为 500，调查结果有 84 人是该产品的用户。根据 抽样调查的信息，运营商希望得到参数 p 的 95%置信水平的区间估计，且估计区 间长度不超过 0.02，问至少需要多大的样本容量？
解：参数 p 的 1 置信区间为 X u 1 2
X 1 X n
,X u
1
2
X 1 X n
估计区间长度不超过 0.02，即 u
u1 2 n 0.01
2
1
2
x 1 x 0.01 。 n
2 2 u0.975 1.96 x 1 x 0.168 1 0.168 5369.6 x 1 x 0.01 0.01
u 1 ， 即 1 p 1 p n 2 Xp
X p
u2
1 2
p 1 p n
P
Xp p 1 p n
u
1 ， 即 1 2
u
2
X p
2
u2
1 2
p 1 p ，解得 n
解：参数 p 的 1 置信区间为 X u 1 2 X 1 X n ,X u X 1 X n
1
2
对任何 X 0, 1 ， x 1 x
u1 2 n 0.01 1 u1 2 4 0.01
2
2
未知，且假设这两个样本相互独立，求 2 1 的 1 置信区间。 解： X ~ N 1 ,
12
m
， Y ~ N 2 ,
22
n
2 2 X Y ~ N 1 2 , 1 2 m n
X 1 X n X 1 X 。 n
的近似估计区间 X u 1 2
,X u
1
2
********************************************************** 例 15.4.3 一个网络产品的运营商希望了解该产品在某个城市的用户占有率， 进 行了随机抽样调查，样本容量为 500，调查结果有 84 人是该产品的用户，求这 个网络产品在该城市占有率的一个 95%置信区间。 解：总体分布 X ~ b 1, p ， 样本均值 X
2 2 Sx m Sy n , X Y u1 2 2 Sx mΒιβλιοθήκη Baidu Sy n 。
2
2
********************************************************** 例 15.4.2 样本 X1 , , X n 来自两点分布总体 b1, p ，求 p 的区间估计。
********************************************************** 例 15.4.5 一个网络产品的运营商希望了解该产品在某个城市的用户占有率， 希 望得到参数 p 的 95%置信水平，且估计区间长度不超过 0.02 的区间估计，问在 没有任何先验知识的情况下，至少需要多大的样本容量才能保证达到所希望的 估计精度？
2 2
1 4
u n 0.975 0.01 1 9604 4
2
x 1 x ，
问题没有变， 可是现在这个情况下估计的所需样本容量数比上一题多了不少。 因 为本题中先验信息少于上一题， 所以得到估计不如上题精确也是很自然的。 一般 而言，得到信息越多，越有可能得到更好的估计。 **********************************************************
X Y 2 1
12 m 22 n
~ N 0, 1
2 Sy 22
2 当 m 和 n 较大时， S x 12
有如下近似
X Y 1 2 S mS n
2 x 2 y
~ N 0, 1 ，以此作为枢轴量，
可得到 2 1 的 1 置信水平的 近似区间估计 X Y u1
X1 X 500 500
p 1 p p 1 p n 500
期望、方差分别为 E X p , Var X
X p
p 1 p 500
X 1 X X 1 X , X u0.975 ~ N 0, 1 ， X u0.975 500 500
p 1 p n
解：样本均值的期望、方差分别为 E X p , Var X 根据中心极限定理当 n 较大时，有近似分布
p 1 p X ~ N p, ， n
标准化后得到枢轴量
Xp p 1 p n
2
~ N 0, 1 ，
P
样本容量足够大时，根据中心极限定理可以利用渐近正态分布构造置信区间。 例 15.4.1 贝伦斯-费舍尔（Behrens-Fisher）问题，样本 X 1 ,
, X m 来自正态总
2
2 体 N 1 , 1 ，样本 Y1 , , Yn 来自正态总体 N 2 , 2 ， 1 、 2 未知， 1 、 2
X 1 X n c2 4
1 X c 1 c 2
u2
X 1 X n
1
2
c2 4
p 1 X c 1c 2
u
2
1
2
其中 c
1
2
n
， 当 n 较大时，c 的值很小可略去，得到参数 p 的 1 置信水平
x
84 0.168 ， u0.975 1.96 ， 近似估计区间为： 0.135, 0.201 。 500
********************************************************** 例 15.4.4 一个网络产品的运营商希望了解该产品在某个城市的用户占有率， 进 行了随机抽样调查，样本容量为 500，调查结果有 84 人是该产品的用户。根据 抽样调查的信息，运营商希望得到参数 p 的 95%置信水平的区间估计，且估计区 间长度不超过 0.02，问至少需要多大的样本容量？
解：参数 p 的 1 置信区间为 X u 1 2
X 1 X n
,X u
1
2
X 1 X n
估计区间长度不超过 0.02，即 u
u1 2 n 0.01
2
1
2
x 1 x 0.01 。 n
2 2 u0.975 1.96 x 1 x 0.168 1 0.168 5369.6 x 1 x 0.01 0.01
u 1 ， 即 1 p 1 p n 2 Xp
X p
u2
1 2
p 1 p n
P
Xp p 1 p n
u
1 ， 即 1 2
u
2
X p
2
u2
1 2
p 1 p ，解得 n
解：参数 p 的 1 置信区间为 X u 1 2 X 1 X n ,X u X 1 X n
1
2
对任何 X 0, 1 ， x 1 x
u1 2 n 0.01 1 u1 2 4 0.01
2
2
未知，且假设这两个样本相互独立，求 2 1 的 1 置信区间。 解： X ~ N 1 ,
12
m
， Y ~ N 2 ,
22
n
2 2 X Y ~ N 1 2 , 1 2 m n
X 1 X n X 1 X 。 n
的近似估计区间 X u 1 2
,X u
1
2
********************************************************** 例 15.4.3 一个网络产品的运营商希望了解该产品在某个城市的用户占有率， 进 行了随机抽样调查，样本容量为 500，调查结果有 84 人是该产品的用户，求这 个网络产品在该城市占有率的一个 95%置信区间。 解：总体分布 X ~ b 1, p ， 样本均值 X
2 2 Sx m Sy n , X Y u1 2 2 Sx mΒιβλιοθήκη Baidu Sy n 。
2
2
********************************************************** 例 15.4.2 样本 X1 , , X n 来自两点分布总体 b1, p ，求 p 的区间估计。
********************************************************** 例 15.4.5 一个网络产品的运营商希望了解该产品在某个城市的用户占有率， 希 望得到参数 p 的 95%置信水平，且估计区间长度不超过 0.02 的区间估计，问在 没有任何先验知识的情况下，至少需要多大的样本容量才能保证达到所希望的 估计精度？
2 2
1 4
u n 0.975 0.01 1 9604 4
2
x 1 x ，
问题没有变， 可是现在这个情况下估计的所需样本容量数比上一题多了不少。 因 为本题中先验信息少于上一题， 所以得到估计不如上题精确也是很自然的。 一般 而言，得到信息越多，越有可能得到更好的估计。 **********************************************************
X Y 2 1
12 m 22 n
~ N 0, 1
2 Sy 22
2 当 m 和 n 较大时， S x 12
有如下近似
X Y 1 2 S mS n
2 x 2 y
~ N 0, 1 ，以此作为枢轴量，
可得到 2 1 的 1 置信水平的 近似区间估计 X Y u1
X1 X 500 500
p 1 p p 1 p n 500
期望、方差分别为 E X p , Var X
X p
p 1 p 500
X 1 X X 1 X , X u0.975 ~ N 0, 1 ， X u0.975 500 500
p 1 p n
解：样本均值的期望、方差分别为 E X p , Var X 根据中心极限定理当 n 较大时，有近似分布
p 1 p X ~ N p, ， n
标准化后得到枢轴量
Xp p 1 p n
2
~ N 0, 1 ，
P