14母函数的性质及应用

1
闭形式
1 x
不考虑收敛问题！
母函数的性质
❖ [基本操作] ❖ 1．放缩：
cg0 , cg1, cg2 ,
cG(x) cg0 cg1x cg2 x2
母函数的性质
❖ 2．加减法：
f0 g0 , f1 g1, f2 g2 ,
F (x) G(x) ( f0 g0 ) ( f1 g1)x ( f2 g2 )x2
n0
xn n!
(gk
k 0
f nk
Cnk
)
排列问题！
母函数的应用
❖ [例2]Chocolate ❖ [例4]证明题
母函数的性质
❖ [母函数型Pólya定理] ❖ （Pólya定理）设G是n个对象的一个置换群，
用m种颜色涂染这n个对象，则不同染色方案 数为
l 1 [m c(a1) m c(a2 ) m c(ag ) ] G
母函数的性质及应用
母函数的性质
❖ [定义] ❖ 母函数是用于对应一个无穷序列的幂级数，
一般来说母函数有形式：
G(x) g0 g1x g2 x2 gn xn n0
g0 , g1, g2 ,
母函数的性质
❖ 举一个例子 ：
1,1,1,1,1
G(x) 1 x x 2 x3 x n n0
❖ [例1]原创题 ❖ [例3]Sweets
母函数的应用
❖ [例1]小明出门旅游，需要带一些食物，包括薯片，巧克力， 矿泉水，汉堡，牛奶和糖果。经过估计，他觉得带 n(n<=10100)件食物比较合适，但他还有一些癖好：
最多带1个汉堡 巧克力的块数是5的倍数 最多带4瓶矿泉水 薯片的包数是一个偶数 最多带3罐牛奶 糖果的个数是4的倍数
m(x) 1 x x2 x3 1 x4
1 x
s(x) 1 x4 x8 x12 1 1 x4
母函数的应用
❖ 运用卷积规则
h(x)c(x) p(x)w(x)m(x)s(x)
(1
1 x)1 x5
1 1 x2
1 x5 1 x
1 x4 1 x
1 1 x4
1 (1 x)3
1
C32 x
1 G(x) 1 2x 3x2 4x3 (1 x)2
1 (1 x)2
Baidu Nhomakorabea
1,2,3,4,5,
母函数的性质
❖ 5．卷积规则：
H (x) G(x) F (x) (g0 g1x g2 x2 )( f0 f1x f2 x2 )
hn g0 f n g1 f n1 g 2 f n2 g n f 0
组合问题
母函数的性质
❖ [简单的序列所对应的母函数]
G(x) 1 1 1 (1 x x2 )m (1 x)m 1x1x
m个
x1 x2 xm n
不定方程非负整数解 的个数
gn
C m1 m n 1
1 (1 x) m
1,
C
m1 m
,
C
m1 m1
,
C
m1 m2
,
母函数的应用
C
2 4
x
2
C52 x3
C2 n2
母函数的性质
❖ [指数型母函数]
g n 复杂
g n 简单！ n!
G ( x)
gn
n0
xn n!
g0 , g1, g2 ,
母函数的性质
❖ 最基本的指数型母函数
1,1,1,1,
G(x) 1 x x2 x3 x4 1! 2! 3! 4!
Taylor公式
❖ 问你小明有多少种方式来准备这次旅行所带的食物。
母函数的应用
❖ 汉堡 ❖ 巧克力 ❖ 薯片 ❖ 矿泉水 ❖ 牛奶 ❖ 糖果
h(x) 1 x
c(x) 1 x5 x10 x15 1
p(x) 1 x2 x4 x6 1 1x5
w( x)
1
x
x2
x3
x4
1
1
x
5x
2
1 x
不够具体！
母函数的性质
❖ 把m种颜色具体表示出来！
P
1 G
g
（b1
b2
bm )c1(ai ) (b12
b22
b )2 c2 (ai ) m
(b1n
b2n
bmn
)cn (ai )
i 1
母函数型Pólya定理
母函数的性质
❖ 一个具体的例子：有4颗珠子绕成一圈，用两 种颜色染色，旋转后重叠的方案算一种。
母函数的性质
❖ 3．右移:
0, ,0, g0, g1, g2,
k个0
xkG(x) g0 xk g1xk1 g2 xk2
母函数的性质
❖ 4.求导：
G(x) g1 2g2 x 3g3x2
g1,2g2 ,3g3,
母函数的性质
❖ 举一个求导的例子：
G(x) 1 x x2 x3 1 1 x
置换群G： (v1 )(v2 )(v3 )(v4 ), (v2 v3 v4 v1 ), (v1 v3 )(v2 v4 ), (v4 v1 v2 v3 )
Pólya定理
l 1 (24 2 22 2) 6 4
母函数的性质
❖ 母函数型Pólya定理得具体的方案
P 1 [(b w)4 (b4 w4 ) (b2 w2 )2 (b4 w4 )] 4
名称来源 e x
母函数的性质
❖ 乘积
G(x)
g0
g1 1!
x
g2 2!
x2
F(x)
f0
f1 1!
x
f2 2!
x2
H (x) G(x) F(x) (g0
g1 1!
x
g2 2!
x2
)( f0
f1 1!
x
f2 2!
x2
)
n0
xn n!
( gk k0 k!
f nk n!) (n k)!
b4 b3w 2b2 w2 bw3 w4
2黑2白的有两种，4黑，4白，3黑1白， 3白1黑的都只有1种
母函数的应用
❖ [例5] IOI2003国家集训队难题讨论活动0015 Polygon
总结
离散数学
连续数学
母函数
❖ 解决问题 ❖ 优化算法 ❖ 证明命题