第2章检测系统的基本特性

2 1 ( y(t ) K 0 A1 e 2 2 1
1 )0t
2

2 1
2 1
2
e
( 2 1 )0t

特点：系统没有振荡，是非周期性过渡过程。
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（4）当 1即临界阻尼时，阶跃响应为：
K0 H ( j ) 1 j
K ( ) K0 1 ( )2
相频特性
Ф(ω)=-arctan (ωτ)
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2.一阶系统
图2-1-1
一阶系统幅频及相频特性曲线（为方便起见，令k0=1）
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2.一阶系统
图2-1-1
一阶系统幅频及相频特性曲线（k0=1）
图 2-1-4 迟滞特性
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7.稳定性与漂移

稳定性：在一定工作条件下，保持输入信号不变时，输 出信号随时间或温度的变化而出现缓慢变化的程度。

时漂： 在输入信号不变的情况下，检测系统的输出随 着时间变化的现象。
温漂： 随着环境温度变化的现象（通常包括零位温漂、 灵敏度温漂）。
2 3
n
a0,a1,…,an为标定系数，它决定静态特性曲线的形状和位 置。a0称为检测系统的零位值。
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2.1.2 系统的静态性能指标
1.测量范围和量程 测量范围： [xmin，xmax] xmin――检测系统所能测量到的最小被测输入量（下限） xmax――检测系统所能测量到的最大被测输入量（上限）。 量程：
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理论方法是根据检测系统的数学模型，通过求解微分方程来 分析其输出量与输入量之间的关系。 常用实验的方法： 频率响应分析法――以正弦信号作为系统的输入； 瞬态响应分析法――以阶跃信号作为系统的输入。
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2.2.1 检测系统的传递函数
检测系统的理想动态特性要求：当输入量随时间变化 时，输出量能立即随之无失真的变化。但实际的传感器总
S S1S 2 S3
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3.分辨力与分辨率 分辨力：能引起输出量发生变化时输入量的最小变化量xmin。 它说明了检测系统响应和分辨输入量微小变化的能力。 分辨率：全量程中最大的 xmin 即 xmin max 与满量程L之比的百 分数。
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4.精度（用误差来说明精度，第三节） 5.线性度eL 实际检测系统，由于多种原因，其输入量与输出量之间 的关系大都具有一定程度的非线性。检测系统的线性度通常 用检测系统实际测得的输出－输入特性曲线（称为标定曲 线）与其拟合直线之间的最大偏差 L max与满量程输出 y F .S . 比值的百分数来表示。
当ω τ<<1时，K(ω) ≈1，输入和输出的幅值几乎相等。Φ(ω) 很小， Φ(ω) ≈ - ω τ，相位差与频率ω成线性关系。这时保证 了测试是无失真的，输出y(t)真实的反映了输入x(t)的变化规 律。 （例题2.2-1）
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3.二阶系统 微分方程
d2y dy a 2 2 a1 a0 y b0 x dt dt
值。产生迟滞的原因：传感器机械部分存在不可避免的摩擦、
间隙 、松动、积尘等，引起 能量的吸收和消耗。 ？？？
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6.迟滞eH（回程误差）
迟滞的大小常用全量程中最大的迟滞ΔHmax（ ΔHmax―― 输出值在正反行程的最大差值即回程误差最大值 ）与满 量程输出值之比的百分数表示
H max eH 100% y F .S .
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图 2－2－3 一阶.二阶系统的阶跃响应
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3）二阶系统的阶跃响应 （1）当 0即无阻尼时， y(t ) K 0 A1 cos(0t ) 特点：输出量 y(t )围绕稳态值K 0 A 作等幅振荡，振荡频率是 系统的固有频率 0 。
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y (t ) y (t ) 1 e t y ( ) K 0 A

一阶系统在阶跃输入下的相对动态误差为
y (t ) y () (t ) 100% e t 100% y ( )

一阶系统在τ=0 时即变成零阶系统，零阶系统在阶跃 输入下的相对动态误差ε（t）=0。

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2.2 检测系统的动态特性及指标
动态测量：当被测量随时间变化时，因系统总是存在着机械的、 电气的和磁的各种惯性，而使检测系统不能实时无失真 地反映被测量值，这时的测量过程就称为动态测量。 动态特性：检测系统动态测量时的输出－输入特性。 动态特性是检测系统对于随时间变化的输入量的响应特性， 是时间的函数。 动态特性好的检测系统，其输出随时间变化的规律，将能 再现输入随时间变化的规律，即具有相同的时间函数。
2性： H ( j )
1 (
幅频特性：
K ( )
2 ) j 2 ( ) 0 0
K0
K0
相频特性：
2 2 2 1 ( ) 4 ( ) 0 0
2
2 0 2 arctan ( ) arctan ( ) ( 0 ) 1 ( ) 2 0 0
第2章 检测系统的基本特性
2.1 静态特性及性能指标
2.1.1 检测系统的静态特性 静态测量和静态特性 ：

静态测量：测量过程中被测量保持恒定不变（即 dx/dt=0系统处于稳定状态）时的测量。

静态特性：在静态测量中，检测系统的输出－输入 特性。
y a0 a1 x a2 x a3 x an x
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2.2.1 检测系统的传递函数 线性系统的传递函数
Y (s) bm s m b m1 s m1 b1 s b0 H ( s) X ( s) an s n an1 s n1 a1 s a0
用傅里叶变换代替拉普拉斯变换，可得到检测系统的频率
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（2）当 0 1 即欠阻尼时，
y (t ) K 0 A[1
e

w0t
2
1
sin(wd t )]
特点：输出信号为衰减振荡，其振荡角频率（阻尼振荡 角频率）为 d ，幅值按指数衰减。 越大，即阻
尼越大，衰减越快。
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（3）当 1即过阻尼时，
y (t ) L1 [
A H ( s)] s
y(t ) K 0 A(1 e t ) (t 0)
一阶系统的稳态输出为
y(t ) y() K 0 A
t
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2）一阶系统的阶跃响应 图2-2-3(a)给出了一阶系统在阶跃输入下的归一化 （即 y(t ) / K 0 A ）阶跃响应曲线：
对上式作拉普拉斯变换，当输入x(t)和输出y(t)及它们的各 阶时间导数的初始值（t=0时的值）为0时，则有
(an sn an1sn1 a1s a0 )Y (s) (bms m b m1 s m1 b1s b0 ) X (s)
整理可得，系统的传递函数
Y (s) bm s m b m1 s m1 b1 s b0 H ( s) X ( s) an s n an1 s n1 a1 s a0
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dy d mx d m1 x a1 a0 y bm m bm1 m1 dt dt dt
b1
dx b0 x dt
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2.2.1 检测系统的传递函数
dny d n 1 y an n an 1 n1 dt dt dy d mx d m1 x a1 a0 y bm m bm1 m1 dt dt dt dx b1 b0 x dt
L xmax xmin
例：温度 - 60~180℃ L=？
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2.灵敏度
灵敏度是指检测系统在静态检测时，输出量的增量与输入量 的增量之比的极限值，即
y dy S lim ( ) x 0 x dx
图 2－1－2 检测系统的灵敏度
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若检测系统是由灵敏度分别为S1、S2、S3等多个相 互独立的环节串联而成时，该检测系统的总灵敏度为各组 成环节灵敏度的连乘积 ，即
L max eL 100% yF .S . y0

注意：线性度和直线拟合方法有关。 最常用的求解拟合直线的方法：端点法 和最小二乘法
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图2-1-3 线性度
a.端基线性度；b.最小二乘线性度
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6.迟滞eH（回程误差）
检测系统的输入量由小增大（正行程），继而自大减小 （反行程）的测试过程中，对应于同一输入量，输出量的差
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图 2－2－2 二阶系统的频率特性（k0=1）
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从图2-2-2可见，二阶检测系统的频率响应特性的好坏主要 取决于系统的固有角频率和阻尼系数。 由控制理论分析知道， ξ的最佳取值为0.707，此时响应过 渡时间短、响应快、超调量小。 当0< ξ<1, ω0>> ω时：K(ω) ≈1，φ(ω)很小, φ(ω)≈-2 ξ ω/ ω 0即相位差与频率成线性关系，此时，系 统的输出y(t)真实准确的再现输入的波形。 在ω≈ ω0附近，系统发生共振，幅频特性受阻尼系数影响极大， 实际测量时应避免此情况。
或
1
0 2
式中：
d 2 y 2 dy 2 y K0 x 0 dt dt
b0 ; a0
a0 ; a2
K0------系统的静态灵敏度，K 0 ω0------系统的固有角频率，0 ξ ------系统的阻尼比系数，
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a1 2 a0 a2
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1
0
2
d y 2 dy 2 y K0 x 0 dt dt
2
可得系统传递函数：
Y ( s) H ( s) 2 X ( s) s K0 2
2 K00 2 2 s 20 s 0

频率响应特性为
2 0

0
s 1
H ( j )
2 1 ( ) j 2 ( ) 0 0
特性：
H ( s) H ( j ) K ( ) e j ( )
s j
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2.2.1 检测系统的传递函数 1.零阶系统 系统方程：
a0 y b0 x
H ( s) K 0 H ( j ) K 0
0
或 y K0 x
传递函数：
频率特性：
幅频特性：K () K 相频特性： ( ) 0
是存在着弹性、惯性或阻尼元件，导致输出y(t)不仅与输入
x(t)有关，还与输入量的变化速度dx/dt、加速度d2x/dt2等 有关。 在工程测试实践中，大多数检测系统属于线性时不变 系统。从数学上可以用常系数线性微分方程表示检测系统
输出量y(t)与输入量x(t)的关系：
dny d n 1 y an n an 1 n1 dt dt
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为了使测试结果能精确的再现被测信号的波形，在检测系统 （传感器）设计时，必须使其阻尼系数小于1，固有角频率至
少大于被测信号频率的3～5倍，即ω0≥（3～5） ω。
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2.2.2 检测系统的阶跃响应和时域动态性能指标
1.阶跃响应
1）零阶系统的阶跃响应 ――阶跃信号。 2、一阶系统的阶跃响应
零阶系统是一个与时间和频率无关的系统，输出量的幅 值与输入量的幅值成确定的比例关系，通常称为比例系统或 无惯性系统。
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2.一阶系统
微分方程： a1 传递函数： 频率特性： 幅频特性
dy a 0 y b0 x dt
或
dy y K0 x dt
K0 H ( s) 1 s