平面的基本性质与推论

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

1. 平面的基本性质与推论

2. 空间中的平行关系

二. 教学目的

1、了解平面的基本性质与推论，并能运用这些公理及推论去解决有关问题，会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。

2、以所学过的作为推理依据的一些公理和定理为基础，通过直观感知，操作确认，思辨论证，归纳出空间中线、面平行的有关判定定理和性质定理。能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

三. 教学重点、难点

【重点】平面的基本性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定。

【难点】自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用；如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用。

四. 知识分析

（一）平面的基本性质与推论

1. 平面的基本性质

（1）关于公理1

①三种数学语言表述：

文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。

图形语言表述：如图1所示

图1

∈∈∈α∈α⇒⊂α

符号语言表述：A m,B m,A,B m

②内容剖析：

公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，条件“线上两点在平面内”是公理的必须条件，结论“线上所有点都在面内”。这个结论阐述两个观点，一是整个直线在平面内，二是直线上所有点都在平面内。

③公理（1）的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面。

（2）关于公理2

①公理2的三种数学语言表述：

文字语言表述：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

图形语言表述：如图2所示

图2

符号语言表述：A 、B 、C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ,B ,C ∈α∈α∈α. ②内容剖析：

公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”。条件中的“三点”是条件的骨干，不会被忽视，但“不在同一直线上”这一附加条件则易被遗忘，如舍之，结论就不成立了，因此绝对不能遗忘．同时还应认识到经过一点、两点或在同一直线上的三点可有无数个平面；过不在同一直线上的四点，不一定有平面，因此要充分重视“不在同一直线上的三点”这一条件的重要性。

公理2中的“有且只有一个”含义要准确理解。这里的“有”是说图形存在。“只有一个”是说图形惟一，本公理强调的是存在和惟一两个方面。因此“有且只有一个”必须完整的使用，不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达存在性。“确定一个平面”中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和惟一性这两方面的，这个术语今后也会常常出现，要理解好。

③公理2的作用： 作用一是确定平面；

作用二是可用其证明点、线共面问题。 （3）关于公理3

①公理3的三种数学语言表述： 文字语言表述：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

图形语言表述：如图3所示。

图3

符号语言表述： P m m ∈αβ⇒αβ=∈且P ②公理3的剖析：

公理3的内容反映了平面与平面的位置关系。公理2的条件简言之是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线惟一”。对于本公理应强调对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线。

③公理3的作用：

其一它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；其二它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。 2. 平面的基本性质的推论

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 请同学们想一想：

三个推论的图形语言如何表示呢？ 三个推论的符号语言如何表述呢？ 三个推论有何作用呢？ 推论2的证明

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

已知：直线a b A =

求证：经过直线a 、b 有且只有一个平面α。

【证明】（1）如图4所示，在直线a,b 上分别取不同于点A 的点C 、B ，得不在同一直线上的三点A 、B 、C ，过这三个点有且只有一个平面α（公理2）。

图4

B b,A b,B ,A b ∈∈∈α∈α∴⊂α

又C a,A a,C ,A a ∈∈∈α∈α∴⊂α（公理1） ∴平面α是过相交直线a ，b 的平面。

（2）如果过直线a 和b 还有另一平面β，那么A,B,C 三点也一定都在平面β内，这样过不在一条直线上的三点A,B,C 就有两个平面 α、β了，这与公理3矛盾。所以过直线a ，b 的平面只有一个。

综上知，过直线a 、b 有且只有一个平面。

3. 用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质

（1）点与平面的位置关系：点A 在平面α内，记作A ∈α；点A 不在α内，记作A ∉α； （2）直线与平面的位置关系：直线 m 在平面α内，记作 m ⊂α;直线 m 不在平面α内，记作m ⊄α；

（3）平面α与平面 β相交于直线a ，记作 a α

β=；

（4）直线 m 和 n 相交于点A ，记作m n A =。 4. 学习时应注意的几个问题

学习本节课要注意正确的作图，恰当的作图有利于培养我们的空间想象能力．在平面几何中，辅助线一般要画成虚线，而立体几何中则不同，一般是将看不见的线画成虚线，与它是否是辅助线无关，这一点同学们一定要注意。在平时的训练中要养成多动手、勤画图的习惯，必须熟练掌握空间图形的直观图的画法—斜二测画法。

要注意重视几何语言的训练和书写，尽可能熟记有关公理及推论的几何语言的叙述。 5. 几种常见题型的解法

（1）证明直线在平面内的方法：证明直线上有两点在平面内。

（2）证明直线共面的方法：先证明其中两条直线确定一个平面，再证明其余直线都在这个平面内。

（3）证明点在直线上的方法：首先确定这条直线是哪两个平面的交线，然后证明这个点是这两个平面的公共点。

（二）平面中的平行关系 1. 平行直线

（1）空间两条直线的位置关系

①相交：在同一平面内，有且只有一个公共点； ②平行：在同一平面内，没有公共点。 （2）初中几何中的平行公理：

过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。 【说明】此结论在空间中仍成立．

（3）公理4（空间平行线的传递性）：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．即：如果直线a // b,c // b ，那么a // c 。

【说明】此公理是判定两直线平行的重要方法：寻找第三条直线分别与前两条直线平行。

2. 等角定理

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这