第六章 图论与网络模型

例1：设V={v1, v2, v3, v4}，E={e1, e2, e3, e4, e5 }，满足 e1= v1v2， e2= v2v3， e3= v2v3， e4= v3v4， e5= v4v4， 则称G=（V，E）是一个图。
若用小圆点表示点 集中的点，连线表 示边，可用图形将 图表示出来。
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第六章 图论与网络模型
图论概述
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图论(Graph Theory)是运筹学中的一个重要分支， 主要研究具有某种二元关系的离散系统的组合结构 和性质。
如，通信系统、交通运输系统、信息网络系统、 生产工艺流程以及军事后勤保障系统等的问题常 用图论模型来描述。
一 图论的基本概念 二 最短路问题及其算法 三 最小生成树及算法 四 行遍性问题
在哥尼斯堡有七座桥 将普莱格尔河中的两个岛 及岛与河岸联结起来问题 是要从这四块陆地中的任 何一块开始通过每一座桥 正好一次，再回到起点。
欧拉(Euler)解决了这个问题！ 将问题用图表示 四快被分开的区域作为点 连结它们的桥作为边
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原来是一笔画问题！
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欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给
为顶点的数目．
顶点的次数
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定义 （１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的数目（环算两次）
称为 v 的次数，记为 d(v)．
（２）在有向图中，从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度，
记为 d+(v)，从顶点 v 引入的边的数目称为的入度，记为 d-(v)，
d(v)=d+(v)+d-(v)称为 v 的次数．
出了一笔画的一个判定法则：
这个图是连通的，且每个点都与偶数线
相关联。
将这个判定法则应用于七桥问题，得到
了“不可能走通”的结果，不但彻底解决
了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
Euler——伟大的数学家
ei cos i sin
ei 1 0
著名的欧拉公式，最完美的公式
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结构程序设计之父
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对有向赋权图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
wij aij 0
若(vi , v j ) E,且wij为其权 若i j
若(vi , v j ) E
无向赋权图的邻接矩ຫໍສະໝຸດ Baidu可类似定义．
v1
0
A= 2
7
v2 v3 v4
注：假设图为简单图
e1 e2 e3 e4 e5
1 0 0 0 1 v1
M= 1 1 0 1 0 v2
0 0
0 1
1 1
1 0
0 1
v3 v4
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 1
0
若vi
是e
的起点
j
若vi
是e
的终点
j
若vi与e j不关联
邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
d (v4 ) 4
d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
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握手定理：在无向图G=(V,E)中，所有顶点的度的总和等于 边数的两倍，即
d(v) 2m
vV (G)
推论：度数为奇数的顶点个数为偶数。
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例：证明在任意一次集会中和奇数个人握手的 人的个数为偶数个。
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第 七位图 灵 奖 (1972年 ) 获 得 者 。
图的定义
定义：一个图G是指由点和边组成的图形。
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图中的小圆点称为顶点，简称“点”。 顶点之间的连线称为边。
图可用集合表示。
设V为所有顶点组成的集合，E为所有边组成的集合，G 表示图，则 G=（V，E）
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证明: 将集会中的人作为点，若两个人握手则
对应的点联边，则得简单图G。这样G中点v的
度对应于集会中与v握手的人的个数。于是，
问题转化为证明“任意图中度数为奇的点的个
数为偶数”，这正是推论的结论。
关联矩阵
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对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
mij 10
若vi与e j相关联 若vi与e j不关联
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例2：设V ={v1,v2,v3,v4}，E ={v1v2 ,v1v2,v2v3 }， 则H = (V,E ）是一个图。
v1
v4
v2
v3
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定义 在图 G 中，与 V 中的有序偶(vi， vj)对应的边 e，称为图的有向
边（或弧），而与 V 中顶点的无序偶 vivj 相对应的边 e，称为图 的无向边.每一条边都是无向边 的图，叫无向图 ；每一条边都是 有向边的图，称为有向图；既有无向边又有有向边的图称为混
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aij 10
若vi与v j相邻 若vi与v j不相邻
注：假设图为简单图
v1
0
A= 1
0 1
v2 v3 v4
1 0 1 v1
0 1 1 v2
1 1
0 1
1 0
v3 v4
对有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
aij 10
若（vi，v j） E 若（vi，v j） E
合图.
定义 若将图 G 的每一条边 e 都对应一个实数 w(e)，称 w(e)为边的权，
并称图 G 为赋权图.
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常用术语： （１）端点相同的边称为环． （２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边． （３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边
称为相邻的边． （４）边和它的端点称为互相关联的． （５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图 论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近 几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大 地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗 透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、 心理学、经济学、社会学等学科中。
哥尼斯堡七桥(Königsberg Bridges)问题
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一、图的基本概念
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图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数 学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。 1847 年 ， 克 希 霍 夫 为 了 给 出 电 网 络 方 程 而 引 进 了 “树”的概念。1857年，凯莱在计数烷的同分异构 物时，也发现了“树”。