第六章 图论与网络模型
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运筹学课件 第六章图与网络分析(清华大学出版社)
w(P ) = min w(P) 0
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
OR3 12
– 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs到 j的 短 v 最 路
vs ,...,vi ,...,vj ⇒ vs ,...,vi
vs到 i的 短 v 最 路
OR3 17
4 ）
标号的点，考察弧（ v 4 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ v 4 , v 6），（ v 4 , v 7）的端点 v 6，v 7： T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [13 , 9 + 9 ] = 13 46 6 6 4 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 , 9 + 7 ] = 14 47 7 7 4 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 13 。 6 6 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 。 6 7）v 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ 标号的点，考察弧（ v 6 , v 7），（ v 6 , v 8）的端点 v 7， 8： v 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 ,13 + 5 ] = 14 67 7 7 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ ,13 + 4 ] = 17 68 8 8 6 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 14 。 7 7 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 7 。 7
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
OR3 12
– 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs到 j的 短 v 最 路
vs ,...,vi ,...,vj ⇒ vs ,...,vi
vs到 i的 短 v 最 路
OR3 17
4 ）
标号的点，考察弧（ v 4 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ v 4 , v 6），（ v 4 , v 7）的端点 v 6，v 7： T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [13 , 9 + 9 ] = 13 46 6 6 4 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 , 9 + 7 ] = 14 47 7 7 4 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 13 。 6 6 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 。 6 7）v 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ 标号的点，考察弧（ v 6 , v 7），（ v 6 , v 8）的端点 v 7， 8： v 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 ,13 + 5 ] = 14 67 7 7 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ ,13 + 4 ] = 17 68 8 8 6 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 14 。 7 7 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 7 。 7
数学建模方法之图与网络模型
如果图G的一个生成子图还是一个树，则称这个生成子图为生成树， 在图11-12中，(c)就是(a)的生成树。
最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一个生成 树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
(a)
图11-12
(b)
(c)
11
§3 最小生成树问题
一、求解最小生成树的破圈算法 算法的步骤： 1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt），则 vs 到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向追踪到起点 vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs到vt的有向路。如果 上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
e2
(v(v3) 李(v4)
周(v5)
图11-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
3
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识”
的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关
系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图11-3就
是一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向
的弧表示。
a1 a2
(v2)钱
a7
a8
(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(v5) 周
a10
(v6)吴 a13
最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一个生成 树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
(a)
图11-12
(b)
(c)
11
§3 最小生成树问题
一、求解最小生成树的破圈算法 算法的步骤： 1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt），则 vs 到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向追踪到起点 vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs到vt的有向路。如果 上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
e2
(v(v3) 李(v4)
周(v5)
图11-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
3
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识”
的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关
系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图11-3就
是一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向
的弧表示。
a1 a2
(v2)钱
a7
a8
(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(v5) 周
a10
(v6)吴 a13
运筹学 第6章 图论与网络分析
(4) 重复第3步，一直到t点得到标号为止。 例3 求从v1到v7的最短路
v2
5 2 7 6
v5
3 1 2 6
v1
2 7
v4
v7
解：
5
v3
v2
0 2 7 7
4
v6
v5
6 1 2 6 3
(1)
v1
2
v4
v7
v3
4
v6
(2)
L1 p min d12 , d13 min 5, 2 2 L13
• 若两个点之间的边多于一条，称为具有多重边；
• 对无环、无多重边的图称为简单图。 次、奇点、偶点、孤立点、悬挂点 • 与某一个点vi 相关联的边的数目称为次(也称度)，记d(vi)；
次为奇数的点称为奇点；次为偶数的点称为偶点；
次为0的点称为孤立点；次为1的点称为悬挂点。
多重边 v1 e'13 v3 e13
( vi , v j )
3-1 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法 算法的思想：如果P是从vs到vt的最短路，vi是P上的一个 点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。 设dij为图中两相邻点i与j的距离，若不相邻，dij=0；Lsi为点 s到i的最短距离, 求s点到t点最短距离。 算法的步骤：
v4
v7
v3
2
4
v6 6
(5) L1 p min L12 d 25 , L12 d 24 , L13 d 34 , L16 d 64 , L16 d 65 , L16 d 67 min 5 7, 5 2, 2 7, 6 2,6 1,6 6 7 L14 L15
第六章图与网络分析
e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
图论与网络模型
图论与网络模型一、最短路径1、问题 在加权图),,(W E V G =中求v u ,两点之间的路径),(v u P P =，使该路径上的边权之和最小。
例如，求下图中从1v 到其他顶点的最短路径。
2、模型 ∑E ∈=)()(w )(min P e e P W3、算法（1）求给定两点之间最短路径的Dijkstra 算法，计算复杂性为)(2n O ，其中V =n ; 例如，对上图，当i v 与j v 不相邻时，取∞=)(j i v v w 。
1） 标号∞========)()()()()(,14)(,10)(,0)(87654321v l v l v l v l v l v l v l v l ,取固定标号顶点集合为},{21v v S =，临时标号顶点集合为},,,,,,{876543v v v v v v T =得1v 到2v 的最短路径为21v v ，权为10。
2）令14}10,14min{)}()(),(min{)(32233=∞+=+=v v w v l v l v l∞=∞+∞=+=∞=∞+∞=+=∞=∞+∞=+==+∞=+==+∞=+=}10,min{)}()(),(min{)(}10,min{)}()(),(min{)(}10,min{)}()(),(min{)(20}1010,min{)}()(),(min{)(20}1010,min{)}()(),(min{)(8228872277622665225542244v v w v l v l v l v v w v l v l v l v v w v l v l v l v v w v l v l v l v v w v l v l v l取},,,,,{),,,{87654321v v v v v T v v v S ==得1v 到3v 的最短路径为,31v v 权为14。
重复上述步骤，可分别得1v 到87654,,,,v v v v v 的最短路径。
第6章 图与网络分析
为了区别起见。把两点之间的不带箭头的连线称 为边，带箭头的连线称为弧。 用图来描述事物间的联系，不仅直观清晰，便于 统观全局，而且网络图的画法简便，不必拘泥于 比例和曲直。总之，这里所讲的图是反映对象之 间关系的一种工具。
29
2013-2-14
无向图
由点和边组成的图称为无向图。
无向图可表示为一个有序二元组(V，E)，记为 G＝(V，E)，其中 V ＝(v1，v2,…….vp)是 p 个点的集合，E＝{e1，e2，……eq}是 q 条边的集 合，并且 ei 是一个无序二元组，记为 ei＝[vi，vj]＝[vj,vi]， vi,vj∈V。
2013-2-14 31
环、多重边、简单图、多重图
一条边的两个端点如果相同，称此边 为环（自回路） 。如上图中的 e1。 两个点之间多于一条边的，称为多重 边。如上图中的 e4，e5。 不含环和多重边的图称为简单图，含 有多重边的图称为多重图。
2013-2-14 32
点的次
以点 v 为端点的边数叫做点 v 的次， 记作 d(v)。 如上图中， 1)=4， 2)=4。 d(v d(v 若 V＝(v1，v2,…….vp)，则称{ d(v1)，d(v2),…….d(vp)}为图 G 的次序列。 次为 1 的点称为悬挂点，连接悬挂点的边称为悬挂边。次为 0 的点称为 孤立点。 次为奇数的点称为奇点，次为偶数的点称为偶点。 定理 1 任何图 G＝(V，E)中，所有点的次数之和等于边数的 2 倍。即
运筹学 Operations Research
高 谦
烟台大学文经学院 基础教学部
2013-2-14 1
引言 图论是专门研究图的理论的一门数学 分支，属于离散数学范畴，与运筹学有 交叉，它有200多年历史，大体可划分 为三个阶段： 第一阶段是从十八世纪中叶到十九世纪 中叶，处于萌芽阶段，多数问题围绕游 戏而产生，最有代表性的工作是所谓的 Euler七桥问题，即一笔画问题。
29
2013-2-14
无向图
由点和边组成的图称为无向图。
无向图可表示为一个有序二元组(V，E)，记为 G＝(V，E)，其中 V ＝(v1，v2,…….vp)是 p 个点的集合，E＝{e1，e2，……eq}是 q 条边的集 合，并且 ei 是一个无序二元组，记为 ei＝[vi，vj]＝[vj,vi]， vi,vj∈V。
2013-2-14 31
环、多重边、简单图、多重图
一条边的两个端点如果相同，称此边 为环（自回路） 。如上图中的 e1。 两个点之间多于一条边的，称为多重 边。如上图中的 e4，e5。 不含环和多重边的图称为简单图，含 有多重边的图称为多重图。
2013-2-14 32
点的次
以点 v 为端点的边数叫做点 v 的次， 记作 d(v)。 如上图中， 1)=4， 2)=4。 d(v d(v 若 V＝(v1，v2,…….vp)，则称{ d(v1)，d(v2),…….d(vp)}为图 G 的次序列。 次为 1 的点称为悬挂点，连接悬挂点的边称为悬挂边。次为 0 的点称为 孤立点。 次为奇数的点称为奇点，次为偶数的点称为偶点。 定理 1 任何图 G＝(V，E)中，所有点的次数之和等于边数的 2 倍。即
运筹学 Operations Research
高 谦
烟台大学文经学院 基础教学部
2013-2-14 1
引言 图论是专门研究图的理论的一门数学 分支，属于离散数学范畴，与运筹学有 交叉，它有200多年历史，大体可划分 为三个阶段： 第一阶段是从十八世纪中叶到十九世纪 中叶，处于萌芽阶段，多数问题围绕游 戏而产生，最有代表性的工作是所谓的 Euler七桥问题，即一笔画问题。
运筹学第6章 图与网络
也就是说| V1 |必为偶数。
定理6.2有学者也称作定理6.1的推论。根据定理6.2，握手定理也可以 表述为，在任何集体聚会中，握过奇次手的人数一定是偶数个。
12 该课件的所有权属于熊义杰
另外，现实中不存在面数为奇数且每个面的边数也是奇数的多面 体，如表面为正三角形的多面体有4个面，表面为正五边形的多面体有 12个面等等，也可以用这一定理予以证明。因为在任意的一个多面体 中， 当且仅当两个面有公共边时，相应的两顶点间才会有一条边，即 任意多面体中的一个边总关联着两个面。所以，以多面体的面数为顶
v j V2
(m为G中的边数）
因式中 2m 是偶数， d (v j ) 是偶数，所以 d (vi ) 也必为偶数
v j V2
vi V1
( 两个同奇同偶数的和差必为偶数 ), 同时,由于 d (vi ) 中的每个加数 d (vi )
均为奇数,因而 d (vi ) 为偶数就表明, d (vi ) 必然是偶数个加数的和 ,
图论、算法图论、极值图论、网络图论、代数图论、随机图论、 模糊图论、超图论等等。由于现代科技尤其是大型计算机的迅 猛发展，使图论的用武之地大大拓展，无论是数学、物理、化 学、天文、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、 经济乃至社会科学的众多问题．都可以应用图论方法子以解决。
1976年，世界上发生了不少大事，其中一件是美国数学家 Appel和Haken在Koch的协作之下，用计算机证明了图论难题— —四色猜想(4CC)：任何地图，用四种颜色，可以把每国领土染 上一种颜色，并使相邻国家异色。4CC的提法和内容十分简朴， 以至于可以随便向一个人(哪怕他目不识丁)在几分钟之内讲清 楚。1852年英国的一个大学生格思里(Guthrie)向他的老师德·摩 根(De Morgan)请教这个问题，德·摩根是当时十分有名的数学家， 他不能判断这个猜想是否成立，于是这个问题很快有数学界流 传开来。1879年伦敦数学会会员Kemple声称，证明了4CC成立， 且发表了论文。10年后，Heawood指出了Kemple的证明中
图论与网络模型_中国邮递员问题
● 管梅谷首先提出的方法是奇偶点图上作业法（1962 年） ● Edmonds，Johnson（1973 年）给出有效算法。
Edmonds-Johnson 算法
有奇点的中国邮路问题，这种情形下，有的边要通过至少两次。下图中，边旁写的是权。
图3
（1）在图 3 中，奇点集合为
V 0={v1 , v2 , v3, v4}
(5,6)，(9,7)。
邮递员问题
一位邮递员从邮局选好邮件去投递，然后返回邮局，他必须经过由他负责投递的每条街 道至少一次，为这位邮递员设计一条投递线路，使其耗时最少。
用图的语言来描述，就是给定一个连通图 G，在每条边 e 上有一个非负的权 w(e)，要寻 求一个回路 W，经过 G 的每条边至少一次，并且回路 W 的总权数最小。
图论中的图是由点和点与点之间的线所组成的。 通常，我们把点与点之间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫做弧。
如果边 [ vi, v j]∈ E ，E 是边集合，那么称 vi, vj 是边的端点，或者称 vi, vj 是相邻的。 如果一个图 G 中，一条边的两个端点是相同的，那么称为这条边是环。 如果两个端点之间有两条以上的边，那么称为它们为多重边。 一个无环，无多重边的图标为简单图。 一个无环，有多重边的图标图称为多重图。
∑ w(e )=min
e∈W
如果 G 是欧拉图，则所求的 W 就是一条欧拉回路。 由于这个问题是我国菅梅谷同志于 1962 年首先提出来的，因此国际上长称它为中国邮递 员问题。
求无奇点连通图的中国邮递员问题的算法(Fleury 算法)
就是求欧拉回路。算法思想：“过河拆桥，尽量不走独木桥”。 例如，下图是欧拉图，设从 v1 开始，寻找一条欧拉回路，如果开始三步是 v1v3v2v1，那 么就失败了，因为回到 v1 之后发现左侧的 v3 上的边还没有用过，而 v1 的关联边已全用过， 不能从 v1 再去通过左侧那些未用过的边了（注意每边只能用一次）。
Edmonds-Johnson 算法
有奇点的中国邮路问题，这种情形下，有的边要通过至少两次。下图中，边旁写的是权。
图3
（1）在图 3 中，奇点集合为
V 0={v1 , v2 , v3, v4}
(5,6)，(9,7)。
邮递员问题
一位邮递员从邮局选好邮件去投递，然后返回邮局，他必须经过由他负责投递的每条街 道至少一次，为这位邮递员设计一条投递线路，使其耗时最少。
用图的语言来描述，就是给定一个连通图 G，在每条边 e 上有一个非负的权 w(e)，要寻 求一个回路 W，经过 G 的每条边至少一次，并且回路 W 的总权数最小。
图论中的图是由点和点与点之间的线所组成的。 通常，我们把点与点之间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫做弧。
如果边 [ vi, v j]∈ E ，E 是边集合，那么称 vi, vj 是边的端点，或者称 vi, vj 是相邻的。 如果一个图 G 中，一条边的两个端点是相同的，那么称为这条边是环。 如果两个端点之间有两条以上的边，那么称为它们为多重边。 一个无环，无多重边的图标为简单图。 一个无环，有多重边的图标图称为多重图。
∑ w(e )=min
e∈W
如果 G 是欧拉图，则所求的 W 就是一条欧拉回路。 由于这个问题是我国菅梅谷同志于 1962 年首先提出来的，因此国际上长称它为中国邮递 员问题。
求无奇点连通图的中国邮递员问题的算法(Fleury 算法)
就是求欧拉回路。算法思想：“过河拆桥，尽量不走独木桥”。 例如，下图是欧拉图，设从 v1 开始，寻找一条欧拉回路，如果开始三步是 v1v3v2v1，那 么就失败了，因为回到 v1 之后发现左侧的 v3 上的边还没有用过，而 v1 的关联边已全用过， 不能从 v1 再去通过左侧那些未用过的边了（注意每边只能用一次）。
图与网络模型及方法 ppt课件
三.次（度）的性质
性质1：在图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数m的两倍。 证明：由于每条边均与两个顶点关联，因此在计算顶点的次时
每条边都计算了两遍，所以顶点次数的总和等于边数的二倍。
性质2：在任何图G=(V,E)中，奇点的个数为偶数
证明：设V1，V2分别是图G中奇点和偶点的集合，则V1∪V2=V,
e1 e8
e4
v2
e9 e2 v3
{v6, e7 , v1, e8, v4}
不是链
{v5,e4,v4,e9,v2,e2,v3,e3,v4,e8,v1} 简单链
e3
v4
{v6,e5,v5,e7,v1 }
初等链
v1
e6
v6
e7
e1 e8
e5 v5 e4
v2
e9 e2 v3 e3
问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点u0 ,v0间的 具最小权的轨。这条轨叫做u0 ,v0间的最短路，它 的权叫做u0 ,v0间的距离，亦记作d(u0 ,v0)
最短轨道问题求法 ---Dijkstra算法
基本思想 是按距 u 0从近到远为顺序，依次求得u 0到G 的各顶点的最短路和距离，直至v 0 （或直 至G 的所有顶点），算法结束。为避免重 复并保留每一步的计算信息，采用了标号 算法。
v• 5
7 v1• 4
56 • v4
2
94
8
v2 • 3 v• 3
0 9 2 4 7 9 0 3 4 0 A 2 3 0 8 5 4 4 8 0 6 7 0 5 6 0
定义：对于图G＝(V，E)，|V|=n,构造一个矩阵A=(aij)n×n,其中：
aij 10 ( vi , vj其) 它E
运筹学课件-第六章图与网络分析
运筹学课件-第六章 图与网络分析
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
第六章物流运筹学——图与网络分析.
L( )
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
管理运筹学 第6章 图与网络模型
表示。
a1
(v2)钱
a7
a2
a8
(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(v5) 周
a10
(v6)吴 a13
(v7)陈
图3
图（Graph）由点（Vertex）和点之间的连线所构成的集合。 不带箭头的连线称为边；带前头的连线称为弧。 点和边的集合称为无向图（Undirected graph），如图 (a)， 用G={V，E}表示；
,
d (0) SC
d (0) CB
,
d (0) SD
d
(0) DB
,
d (0) SE
d
(0) EB
,
d (0) SF
d
(0) FB
,
d
(0) ST
d (0) TB
}
一般地有：
d (1) ij
min{di(r0)
d (0) rj
}
0 2 4 4 6 1 6
2
Hale Waihona Puke 0224
3
11
v7 v6
v 3
v4 v5
v1,v2 , v4 ,v7,v3, v5,v6 , v8
§6.1 图与网络的基本概念
图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。 如物质结构、电路网络、城市规划、交通运输、信息传递、物 资调配等都可以用点和线连接起来的图进行模拟。
0sssasbscsdsesfstasaaabacadaeafatbsbabbbcbdbebfbtcscacbcccdcecfctdsdadbdcdddedfdteseaebecedeeefetfsfafbfcfdfefffttstatbtctdtetfttddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd???????????????????????????0212022420312043434071305???????????????????????????????????????6????????????????7d0为对称矩阵50160??????1sb0ss0sb0sa0ab0sb0bb0sc0cb0sd0db0se0eb0sf0fb0st0tbminddddddddddddddddd?????????因为从i到j的最短路不一定是i?j可能是i?l?ji?l?k?j
运筹学—网络模型
W w 1 2 ,w 1 3 ,w 1 4 , ,w 5 6
连通的赋权图称为网络图，记为 G＝｛V，E，W｝
6.1 最小(支撑)树问题
Minimal (Spanning)Tree Problem
6.1 最小树问题 Minimal tree problem
6.1.1树的概念
一个无圈并且连通的无向图称为树图或简称树(Tree)。组织机 构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路网络等 都能表达成一个树图 。
14
13
15
6
14
12
0
表6-3计算示例:
L
( i
3 j
)
等于表6-2中第i行与第j列对应元素相加取最小值。例如，
2
87
【解】 (1)依据图6-14,写出 任意两点间一步到达距离 4
④ 9⑤
16
表L1。见表6.1所示。本例
12
n=8，lg 7 2.807 ，因此计 算到L3lg 2
⑥
2
3 10
6
⑦ 12 ⑧
图6-14
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
表6-1 最短距离表 L1
v1
m in Z
cij xij
( i , j ) E
x12 x13 x14 1
(
i
,
j
)
E
xij
( k ,i )E
xki
0
i 2,3,
,6
x57 xij
x67 0或
1 1，(i,
j)
E
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
连通的赋权图称为网络图，记为 G＝｛V，E，W｝
6.1 最小(支撑)树问题
Minimal (Spanning)Tree Problem
6.1 最小树问题 Minimal tree problem
6.1.1树的概念
一个无圈并且连通的无向图称为树图或简称树(Tree)。组织机 构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路网络等 都能表达成一个树图 。
14
13
15
6
14
12
0
表6-3计算示例:
L
( i
3 j
)
等于表6-2中第i行与第j列对应元素相加取最小值。例如，
2
87
【解】 (1)依据图6-14,写出 任意两点间一步到达距离 4
④ 9⑤
16
表L1。见表6.1所示。本例
12
n=8，lg 7 2.807 ，因此计 算到L3lg 2
⑥
2
3 10
6
⑦ 12 ⑧
图6-14
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
表6-1 最短距离表 L1
v1
m in Z
cij xij
( i , j ) E
x12 x13 x14 1
(
i
,
j
)
E
xij
( k ,i )E
xki
0
i 2,3,
,6
x57 xij
x67 0或
1 1，(i,
j)
E
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
6图与网络模型49页PPT
二、图与网络的数据结构
• 用矩阵表示图对研究图的性质及应用常常 是比较方便的，图的矩阵表示方法有权矩 阵、邻接矩阵、关联矩阵、回路矩阵、割 集矩阵等，这里只介绍其中两种常用矩阵。
定义11 网络G=（V，E），其
边 ( v iv j) 有 权 w ij,构 造 矩 阵 A ( a ij) n n ，
• 上述问题有两个共同的特点：一是它们的目的都 是从若干可能的安排或方案中寻求某种意义下的 最优安排或方案，数学上把这种问题称为最优化 或优化（optimization）问题；二是它们都易 于用图形的形式直观地描述和表达，数学上把这 种与图相关的结构称为网络（network）。与 图和网络相关的最优化问题就是网络最优化或称 网络优化 （netwok optimization）问题。
• 一名推销员准备前往若干城市推销产品。如何为 他（她）设计一条最短的旅行路线（从驻地出发， 经过每个城市恰好一次，最后返回驻地）？这一 问题的研究历史十分悠久，通常称之为旅行商问 题。问题。
• 例6 运输问题（transportation problem）
• 某种原材料有个产地，现在需要将原材料从产地 运往个使用这些原材料的工厂。假定个产地的产 量和家工厂的需要量已知，单位产品从任一产地 到任一工厂的运费已知，那么如何安排运输方案 可以使总运输成本最低？
下面首先简要介绍图与网络的一些基本概念
第一节 图与网络的基本知识
一、图与网络的基本概念 1. 图及其分类 自然界和人类社会中，大量的实物以及事物之间的
关系，常可以用图形来描述。例如，为了反映5个队参 加的球类比赛请况，可以用点表示球队，用点间连线表 示两个队已经比赛过。又例如工作分配问题，我们可以 用点表示工人与需要完成的工作，点间连线表示每个人 可以胜任那些工作。
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合图.
定义 若将图 G 的每一条边 e 都对应一个实数 w(e)，称 w(e)为边的权，
并称图 G 为赋权图.
求实
团结
创新
奉献
常用术语： （１）端点相同的边称为环． （２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边． （３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边
称为相邻的边． （４）边和它的端点称为互相关联的． （５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
d (v4 ) 4
d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
求实
团结
创新
奉献
握手定理：在无向图G=(V,E)中，所有顶点的度的总和等于 边数的两倍，即
d(v) 2m
vV (G)
推论：度数为奇数的顶点个数为偶数。
求实
团结
创新
奉献
例：证明在任意一次集会中和奇数个人握手的 人的个数为偶数个。
团结
创新
奉献
例2：设V ={v1,v2,v3,v4}，E ={v1v2 ,v1v2,v2v3 }， 则H = (V,E ）是一个图。
v1
v4
v2
v3
求实
团结
创新
奉献
定义 在图 G 中，与 V 中的有序偶(vi， vj)对应的边 e，称为图的有向
边（或弧），而与 V 中顶点的无序偶 vivj 相对应的边 e，称为图 的无向边.每一条边都是无向边 的图，叫无向图 ；每一条边都是 有向边的图，称为有向图；既有无向边又有有向边的图称为混
为顶点的数目．
顶点的次数
求实
团结
创新
奉献
定义 （１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的数目（环算两次）
称为 v 的次数，记为 d(v)．
（２）在有向图中，从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度，
记为 d+(v)，从顶点 v 引入的边的数目称为的入度，记为 d-(v)，
d(v)=d+(v)+d-(v)称为 v 的次数．
注：假设图为简单图
e1 e2 e3 e4 e5
1 0 0 0 1 v1
M= 1 1 0 1 0 v2
0 0
0 1
1 11 00来自1v3 v4对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 1
0
若vi
是e
的起点
j
若vi
是e
的终点
j
若vi与e j不关联
邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图 论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近 几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大 地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗 透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、 心理学、经济学、社会学等学科中。
哥尼斯堡七桥(Königsberg Bridges)问题
例1：设V={v1, v2, v3, v4}，E={e1, e2, e3, e4, e5 }，满足 e1= v1v2， e2= v2v3， e3= v2v3， e4= v3v4， e5= v4v4， 则称G=（V，E）是一个图。
若用小圆点表示点 集中的点，连线表 示边，可用图形将 图表示出来。
求实
求实
团结
创新
奉献
第六章 图论与网络模型
图论概述
求实
团结
创新
奉献
图论(Graph Theory)是运筹学中的一个重要分支， 主要研究具有某种二元关系的离散系统的组合结构 和性质。
如，通信系统、交通运输系统、信息网络系统、 生产工艺流程以及军事后勤保障系统等的问题常 用图论模型来描述。
一 图论的基本概念 二 最短路问题及其算法 三 最小生成树及算法 四 行遍性问题
在哥尼斯堡有七座桥 将普莱格尔河中的两个岛 及岛与河岸联结起来问题 是要从这四块陆地中的任 何一块开始通过每一座桥 正好一次，再回到起点。
欧拉(Euler)解决了这个问题！ 将问题用图表示 四快被分开的区域作为点 连结它们的桥作为边
求实
团结
创新
奉献
原来是一笔画问题！
求实
团结
创新
奉献
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给
求实
团结
创新
奉献
一、图的基本概念
求实
团结
创新
奉献
图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数 学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。 1847 年 ， 克 希 霍 夫 为 了 给 出 电 网 络 方 程 而 引 进 了 “树”的概念。1857年，凯莱在计数烷的同分异构 物时，也发现了“树”。
求实
团结
创新
奉献
第 七位图 灵 奖 (1972年 ) 获 得 者 。
图的定义
定义：一个图G是指由点和边组成的图形。
求实
团结
创新
奉献
图中的小圆点称为顶点，简称“点”。 顶点之间的连线称为边。
图可用集合表示。
设V为所有顶点组成的集合，E为所有边组成的集合，G 表示图，则 G=（V，E）
求实
团结
创新
奉献
证明: 将集会中的人作为点，若两个人握手则
对应的点联边，则得简单图G。这样G中点v的
度对应于集会中与v握手的人的个数。于是，
问题转化为证明“任意图中度数为奇的点的个
数为偶数”，这正是推论的结论。
关联矩阵
求实
团结
创新
奉献
对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
mij 10
若vi与e j相关联 若vi与e j不关联
出了一笔画的一个判定法则：
这个图是连通的，且每个点都与偶数线
相关联。
将这个判定法则应用于七桥问题，得到
了“不可能走通”的结果，不但彻底解决
了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
Euler——伟大的数学家
ei cos i sin
ei 1 0
著名的欧拉公式，最完美的公式
求实
团结
创新
奉献
结构程序设计之父
求实
团结
创新
奉献
aij 10
若vi与v j相邻 若vi与v j不相邻
注：假设图为简单图
v1
0
A= 1
0 1
v2 v3 v4
1 0 1 v1
0 1 1 v2
1 1
0 1
1 0
v3 v4
对有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
aij 10
若（vi，v j） E 若（vi，v j） E
求实
团结
创新
奉献
对有向赋权图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
wij aij 0
若(vi , v j ) E,且wij为其权 若i j
若(vi , v j ) E
无向赋权图的邻接矩阵可类似定义．
v1
0
A= 2
7
v2 v3 v4
定义 若将图 G 的每一条边 e 都对应一个实数 w(e)，称 w(e)为边的权，
并称图 G 为赋权图.
求实
团结
创新
奉献
常用术语： （１）端点相同的边称为环． （２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边． （３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边
称为相邻的边． （４）边和它的端点称为互相关联的． （５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
d (v4 ) 4
d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
求实
团结
创新
奉献
握手定理：在无向图G=(V,E)中，所有顶点的度的总和等于 边数的两倍，即
d(v) 2m
vV (G)
推论：度数为奇数的顶点个数为偶数。
求实
团结
创新
奉献
例：证明在任意一次集会中和奇数个人握手的 人的个数为偶数个。
团结
创新
奉献
例2：设V ={v1,v2,v3,v4}，E ={v1v2 ,v1v2,v2v3 }， 则H = (V,E ）是一个图。
v1
v4
v2
v3
求实
团结
创新
奉献
定义 在图 G 中，与 V 中的有序偶(vi， vj)对应的边 e，称为图的有向
边（或弧），而与 V 中顶点的无序偶 vivj 相对应的边 e，称为图 的无向边.每一条边都是无向边 的图，叫无向图 ；每一条边都是 有向边的图，称为有向图；既有无向边又有有向边的图称为混
为顶点的数目．
顶点的次数
求实
团结
创新
奉献
定义 （１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的数目（环算两次）
称为 v 的次数，记为 d(v)．
（２）在有向图中，从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度，
记为 d+(v)，从顶点 v 引入的边的数目称为的入度，记为 d-(v)，
d(v)=d+(v)+d-(v)称为 v 的次数．
注：假设图为简单图
e1 e2 e3 e4 e5
1 0 0 0 1 v1
M= 1 1 0 1 0 v2
0 0
0 1
1 11 00来自1v3 v4对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 1
0
若vi
是e
的起点
j
若vi
是e
的终点
j
若vi与e j不关联
邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图 论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近 几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大 地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗 透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、 心理学、经济学、社会学等学科中。
哥尼斯堡七桥(Königsberg Bridges)问题
例1：设V={v1, v2, v3, v4}，E={e1, e2, e3, e4, e5 }，满足 e1= v1v2， e2= v2v3， e3= v2v3， e4= v3v4， e5= v4v4， 则称G=（V，E）是一个图。
若用小圆点表示点 集中的点，连线表 示边，可用图形将 图表示出来。
求实
求实
团结
创新
奉献
第六章 图论与网络模型
图论概述
求实
团结
创新
奉献
图论(Graph Theory)是运筹学中的一个重要分支， 主要研究具有某种二元关系的离散系统的组合结构 和性质。
如，通信系统、交通运输系统、信息网络系统、 生产工艺流程以及军事后勤保障系统等的问题常 用图论模型来描述。
一 图论的基本概念 二 最短路问题及其算法 三 最小生成树及算法 四 行遍性问题
在哥尼斯堡有七座桥 将普莱格尔河中的两个岛 及岛与河岸联结起来问题 是要从这四块陆地中的任 何一块开始通过每一座桥 正好一次，再回到起点。
欧拉(Euler)解决了这个问题！ 将问题用图表示 四快被分开的区域作为点 连结它们的桥作为边
求实
团结
创新
奉献
原来是一笔画问题！
求实
团结
创新
奉献
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给
求实
团结
创新
奉献
一、图的基本概念
求实
团结
创新
奉献
图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数 学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。 1847 年 ， 克 希 霍 夫 为 了 给 出 电 网 络 方 程 而 引 进 了 “树”的概念。1857年，凯莱在计数烷的同分异构 物时，也发现了“树”。
求实
团结
创新
奉献
第 七位图 灵 奖 (1972年 ) 获 得 者 。
图的定义
定义：一个图G是指由点和边组成的图形。
求实
团结
创新
奉献
图中的小圆点称为顶点，简称“点”。 顶点之间的连线称为边。
图可用集合表示。
设V为所有顶点组成的集合，E为所有边组成的集合，G 表示图，则 G=（V，E）
求实
团结
创新
奉献
证明: 将集会中的人作为点，若两个人握手则
对应的点联边，则得简单图G。这样G中点v的
度对应于集会中与v握手的人的个数。于是，
问题转化为证明“任意图中度数为奇的点的个
数为偶数”，这正是推论的结论。
关联矩阵
求实
团结
创新
奉献
对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
mij 10
若vi与e j相关联 若vi与e j不关联
出了一笔画的一个判定法则：
这个图是连通的，且每个点都与偶数线
相关联。
将这个判定法则应用于七桥问题，得到
了“不可能走通”的结果，不但彻底解决
了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
Euler——伟大的数学家
ei cos i sin
ei 1 0
著名的欧拉公式，最完美的公式
求实
团结
创新
奉献
结构程序设计之父
求实
团结
创新
奉献
aij 10
若vi与v j相邻 若vi与v j不相邻
注：假设图为简单图
v1
0
A= 1
0 1
v2 v3 v4
1 0 1 v1
0 1 1 v2
1 1
0 1
1 0
v3 v4
对有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
aij 10
若（vi，v j） E 若（vi，v j） E
求实
团结
创新
奉献
对有向赋权图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
wij aij 0
若(vi , v j ) E,且wij为其权 若i j
若(vi , v j ) E
无向赋权图的邻接矩阵可类似定义．
v1
0
A= 2
7
v2 v3 v4