2014年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)

第二章 随机信号及其统计描述

1．求在实数区间[]b a ,均匀分布的随机变量X 均值和方差。

解： 变量X 的概率密度 ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧≤≤-=其他，,01

)(b x a a b x p

均值 []⎰

∞

∞

-+=

=

=2

)(b

a dx x xp X E m X 方差 ⎰∞

∞--=-=12

)()()(2

2

2

a b dx x p m x X X

σ

2．设X 是具有概率密度函数)(x p 的随机变量，令x 的函数为

0),exp(>-=a ax y

试求随机变量y 的概率密度函数)(y p 。

解： 反函数0,ln 1

>-

=a y a

x 雅可比式为 ay

dy dx J 1-==

所以 0),ln 1

(1)ln 1()(>-=-

⋅=a y a

p ay y a p J y p 4. 随机过程)(t X 为

)sin()cos()(00t B t A t X ωω+=

式中，0ω是常数，

A 和

B 是两个互相独立的高斯随机变量，而且0][][==B E A E ，

222][][σ==B E A E 。求)(t X 的均值和自相关函数。

7. 设有状态连续、时间离散的随机过程)2sin()(t t X Ω=π，式中t 只能取正整数，即

,3,2,1=t ，而Ω为在区间)1,0(上均匀分布的随机变量，试讨论)(t X 的平稳性。

8.平稳随机过程)(t X 的自相关函数为1)10cos(22)(10++=-τττ

e R X ，求)(t X 均值、二阶

原点矩和方差。

解： 可按公式求解[]

)()0(,

)0()(,

)(2

22

∞-==∞=X X X X X X R R R t X E R m σ。

但在求解周期性分量时，不能得出)(∞R ，为此把自相关函数分成两部分： (

)

12)10cos(2)()()(1021++=+=-τ

ττττe R R R X X X

由于)10cos(2)(1ττ=X R 的对应的随机过程为

是随机变量为常数，ϕϕA t A t X ),10cos()(1+=

所以[]0)(1=t X E

而对于12)(102+=-τ

τe

R X ，有1)(2=∞X R ，即[]1)(2±=t X E

所以[][][]1)()()(21±=+=t X E t X E t X E 可理解为1)(=∞X R

从而有 [

]

5)0()(2

==X R t X E ， )()0(2

∞-=X X X R R σ=4 因此)(t X 的均值、二阶原点矩和方差分别为

[]1)(±=t X E []

5)(2=t X E 42

=X

σ

9. 若随机过程)(t X 的自相关函数为)cos(2

1

)(0τωτ=

X R ，求)(t X 的功率谱密度。 解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有

ττωττωωτωτ

d e d e

R G j j X X --⎰⎰

∞

∞

-∞

∞

-==

)cos(21

)()(0

利用欧拉公式，可得

[]

)(2

)(241)(41

)cos(21)(00)()(00000ωωδπωωδπττ

ττωωτωωτωωτωτωωτωτ++-=+=+==+---∞

∞--∞

∞

-∞

∞-⎰⎰⎰--d e e d e e e d e G j j j j X j j

11. 已知平稳随机过程)(t X 具有如下功率谱密度

6

51

)(242+++=ωωωωX G

求)(t X 的相关函数)(τX R 及平均功率W 。 解：

21

32651)(22242+-

+=+++=ωωωωωωX G

而自相关函数τ

a be -与功率谱密度

2

22a ab

+ω是一对傅立叶变换，

所以有

τ

τ

τ

τ

τ23234

23

32

213

1)(----

-

=

-

=

e e e

e R X

总功率为

平均功率为42

3322131)(21)0(-=-==⎰∞

∞

-ωωπd G R X

X

随机过程通过线性是不变系统的习题 1、设白噪声的相关函数为)(2

τδN ，通过幅频特性如下图所示的理想带通放大器，求放

解: 由于)(2)(0τδτN R n = ， 所以其功率谱2)()(0N

d e R G j n n ==-∞

∞

-⎰ττωωτ

线性系统的幅频特性如图所示，因此输出端的噪声功率谱为

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧Ω≤-Ω≤+==为其它时

当，时或当ωωωωωωω022,2)(2)(000

20N H N G Y 总噪声功率为Ω==⎰

∞

∞

-0)(N d G P Y Y ωω

2、零均值平稳随机过程)(t X 加到一线性滤波器， 1）当滤波器的单位冲激响应为

⎩⎨

⎧<≥=-0,

00

,)(t t be t h bt 求滤波器的输出功率谱密度；