【公开课】空间向量数乘运算
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空间向量的 数乘运算
高二数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
1
一、复习:平面共线向量:
1.平面向量共线:平面内,两个向量方向
相同或相反的非零向量叫做共线向量(或平
行向量),记作
a// b
零向量与任意向量共线.
2.平面向量共线定理:
向量 a 与非零向量b 共线的充要条件
是有且只有一个实数使 a b
线,如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A•
• •P l
B
注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.
⑴∵ AP // aO,∴存即a在,唯一 P,实A,数Bt三 点R ,共使 A线P可 t表a .Fra Baidu bibliotek为
∴ 点 P 在直线 l 上 唯O一P 实 数(1t t)RO,A使AtPOB.t a ①
⑵对于任意一点 O,有 AP OP OA
2
二、空间共线向量及其定理
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
a // b R , a b .
c b
a
3
练习1
1.下列说明正确的是:D
(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
证明:②EF OF OE kOB kOA O
k(OB OA) kAB 由①知 EG kAC
D
C
EG // AC EF // AB
EG // AC EF // AB
由面面平行判定定理的推论得:
面EG // 面AC
A
B
H
G
E
F
13
思考题:
如 图 , 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 向 量
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③
注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式。
5
推论
(1)空间任意一直线由空间一点及直线的方向向量唯一 确定;
6
复习: 平面向量基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向
量,那么,该平面内的任一向量a,存在惟一
的一对实数a1,a2,使 a= a1 e1 +a2 e2
7
三.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
a
注意:空间任意两个 向量是共面的,但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
(性质) 向量c与向量a,b共面
(判定)
9
推论 空间一点P位于平面ABC内的充要条 件是存在有序实数对x,y,使
AP=x AB +y AC 或平面ABC外任一点O,有
OP= OA+xAB + yAC.①
= OA+x(OB - OA)+y(OC- OA )
= (1- x- y)OA+ xOB+yOC 长沙市第一中学高二数学备课组 ②
(﹡)代入
k( AB AD)
A
H
k(OB OA OD OA)
E
OF OE OH OE
EF EH 所以 E、F、G、H共面。
C
B
G
F
例1 已知 ABCD ,从平面AC外一点O引向量
OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD
求证:①四点E、F、G、H共面;
②平面AC//平面EG。
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线
(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线
2.下列说法正确的是:C
(A)平面内的任意两个向量都共线
(B)空间的任意三个向量都不共面
(C)空间的任意两个向量都共面
(D)空间的任意三个向量都共面
4
思考 1:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直
11
例1 (课本例)已知 ABCD ,从平面AC外一点O引向量
OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD
求证:①四点E、F、G、H共面; ②平面AC//平面EG.
证明:∵四边形ABCD为
O
① ∴AC AB AD
(﹡)
EG OG OE kOC kOA
D
k(OC OA) kAC
①②式叫做平面 ABC 的向量表达式.
OP= xOA+ yOB+zOC (其中x+y+1z0 =1)
例1(课本例)如图,已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD , 求证: ⑴四点E、F、G、H共面; ⑵平面EG//平面AC.
AB a , AC b , AD c , 若 M 为 BC 的 中 点 , G 为
△BCD 的重心,试用 a 、b 、c 表示下列向量:
⑴ DM
1(a b) c 2
⑵ AG
A
1(a b c)
3
B
G
M
C
D
14
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
bC
p
P
AaB
8
共面向量定理的剖析
如果两个向量 a,b 不共线,
★ 向量c与向量a,b共面
存在唯一的一对实数x,
y,使 c=xa+yb
★ c=xa+yb
(2)利用③式可以判定空间任意三点 A、B、P 共线。
有三种方式:
• 存在实数t,使OP OA t AB
• 存在实数t,使OP (1 t)OA t OB
• 存在实数x, y,使OP x OA y OB其中x y 1
中点公式:若P为AB中点, 则 OP 1 OA OB 2 此推论应用于证明三点共线
高二数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
1
一、复习:平面共线向量:
1.平面向量共线:平面内,两个向量方向
相同或相反的非零向量叫做共线向量(或平
行向量),记作
a// b
零向量与任意向量共线.
2.平面向量共线定理:
向量 a 与非零向量b 共线的充要条件
是有且只有一个实数使 a b
线,如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A•
• •P l
B
注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.
⑴∵ AP // aO,∴存即a在,唯一 P,实A,数Bt三 点R ,共使 A线P可 t表a .Fra Baidu bibliotek为
∴ 点 P 在直线 l 上 唯O一P 实 数(1t t)RO,A使AtPOB.t a ①
⑵对于任意一点 O,有 AP OP OA
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二、空间共线向量及其定理
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
a // b R , a b .
c b
a
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练习1
1.下列说明正确的是:D
(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
证明:②EF OF OE kOB kOA O
k(OB OA) kAB 由①知 EG kAC
D
C
EG // AC EF // AB
EG // AC EF // AB
由面面平行判定定理的推论得:
面EG // 面AC
A
B
H
G
E
F
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思考题:
如 图 , 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 向 量
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③
注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式。
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推论
(1)空间任意一直线由空间一点及直线的方向向量唯一 确定;
6
复习: 平面向量基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向
量,那么,该平面内的任一向量a,存在惟一
的一对实数a1,a2,使 a= a1 e1 +a2 e2
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三.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
a
注意:空间任意两个 向量是共面的,但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
(性质) 向量c与向量a,b共面
(判定)
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推论 空间一点P位于平面ABC内的充要条 件是存在有序实数对x,y,使
AP=x AB +y AC 或平面ABC外任一点O,有
OP= OA+xAB + yAC.①
= OA+x(OB - OA)+y(OC- OA )
= (1- x- y)OA+ xOB+yOC 长沙市第一中学高二数学备课组 ②
(﹡)代入
k( AB AD)
A
H
k(OB OA OD OA)
E
OF OE OH OE
EF EH 所以 E、F、G、H共面。
C
B
G
F
例1 已知 ABCD ,从平面AC外一点O引向量
OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD
求证:①四点E、F、G、H共面;
②平面AC//平面EG。
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线
(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线
2.下列说法正确的是:C
(A)平面内的任意两个向量都共线
(B)空间的任意三个向量都不共面
(C)空间的任意两个向量都共面
(D)空间的任意三个向量都共面
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思考 1:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直
11
例1 (课本例)已知 ABCD ,从平面AC外一点O引向量
OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD
求证:①四点E、F、G、H共面; ②平面AC//平面EG.
证明:∵四边形ABCD为
O
① ∴AC AB AD
(﹡)
EG OG OE kOC kOA
D
k(OC OA) kAC
①②式叫做平面 ABC 的向量表达式.
OP= xOA+ yOB+zOC (其中x+y+1z0 =1)
例1(课本例)如图,已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD , 求证: ⑴四点E、F、G、H共面; ⑵平面EG//平面AC.
AB a , AC b , AD c , 若 M 为 BC 的 中 点 , G 为
△BCD 的重心,试用 a 、b 、c 表示下列向量:
⑴ DM
1(a b) c 2
⑵ AG
A
1(a b c)
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B
G
M
C
D
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2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
bC
p
P
AaB
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共面向量定理的剖析
如果两个向量 a,b 不共线,
★ 向量c与向量a,b共面
存在唯一的一对实数x,
y,使 c=xa+yb
★ c=xa+yb
(2)利用③式可以判定空间任意三点 A、B、P 共线。
有三种方式:
• 存在实数t,使OP OA t AB
• 存在实数t,使OP (1 t)OA t OB
• 存在实数x, y,使OP x OA y OB其中x y 1
中点公式:若P为AB中点, 则 OP 1 OA OB 2 此推论应用于证明三点共线