第十讲等腰三角形

第十讲等腰三角形

第一部分知识梳理

1．等腰三角形

(1)概念：有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两边叫腰，另一条边叫底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．

(2)理解：①等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是180°，两边之和大于第三边等．②等腰三角形是轴对称图形，这既是等腰三角形的特点也是研究它的重要方法．

等腰三角形有关概念的认识(1)对于等腰三角形问题，我们说角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，没说明则都有可能，要讨论解决，这是解决等腰三角形最容易忽视和错误的地方；(2)等腰三角形顶角可以是直角，是钝角或锐角，而底角只能是锐角．

2、等腰三角形性质1

(1)性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．

(2)理解：这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便．

(3)适用条件：必须在同一个三角形中．

(4)应用模式：在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.

3.等腰三角形性质2

（1）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．习惯上称作等腰三角形“三线合一”性质．

(2)含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际上是一组定理，应用过程中，只要是在等腰三角形前提下，知道是其中“一线”，就可以说明是其他的“两线”，性质中包含有线段相等、角相等、垂直等关系，所以应用非常广泛．

(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．

(4)应用模式：

如图，在△ABC中，

①AB=AC，AD⊥BC，

∴AD平分∠BAC(或BD=CD)；

②∵AB＝AC，BD＝DC，

∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；

③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴BD＝DC(或AD⊥B C)．

技巧“三线合一”的应用：因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”性质实际的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活．4．等腰三角形的判定

(1)判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．

(2)与性质的关系：判定定理与性质定理是互逆的，性质：线段相等→角相等；

判定：角相等→线段相等.

(3)理解：性质和判定应用的前提都是在同一三角形中，并且不经过三角形全等的证明，直接由等边得等角或由等角得等边，所以应用起来更简单、便捷．

等腰三角形的判定方法的理解：

教材中涉及等腰三角形的判定方法主要有两种：一是判定定理；二是定义．另外还有很多方法，如在同一个三角形中，三线中两线重合，也能说明是等腰三角形．但不常用，一般是通过推理得出角相等或边相等，再得出是等腰三角形．

第二部分例题精讲

例1 等腰三角形两边长分别是5 cm和11 cm，则它的周长是( )．

A．27 cm B．22 cm

C．27 cm或22 cm D．无法确定

出题意图：等腰三角形概念的掌握

解析：边长为5 cm的边可能是底，也可能是腰，当5 cm的边是底边时，腰长为11 cm，所以周长为27 cm，当5 cm的边是腰时，则底边长为11 cm，因为5＋5＜11，所以构不成三角形，因此只有一种情况，周长为27 cm.故选A.

答案：A

针对训练 1 若三角形ABC是一个等腰三角形，其中两边分别是4和8，那么这个等腰三角形的周长是（）

A. 16 B .20 C 16或20 D.不确定

例2 已知等腰三角形的一个角为40°，则其顶角为( )．

A．40° B．80°

C．40°或100° D．100°

出题意图：等腰三角形的角的考察

解析：因为并未说明等腰三角形中40°的角是顶角还是底角，所以需要对角进行分类讨论．①当40°的角是底角时，则顶角的度数为：180°－40°×2＝100°；②当40°的角是等腰三角形的顶角时，则顶角的度数为40°.所以这个等腰三角形的顶角为40°或100°，

故选C.

答案：C

针对训练 2 等腰三角形的一个角为30º，则它的底角为（）

A. 30º

B. 75º

C. 30º或75º

D. 15º

例3 如图，AD、BC相交于O，AB∥CD，OA＝OB，求证：∠C＝∠D.

出题意图：等腰三角形的概念结合平行线来证明问题

分析：由等腰三角形的性质易得∠A＝∠B，由平行线的性质可得∠A＝∠D，∠B＝∠C，等量代换即得∠C＝∠D.

证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.

∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C.

∴∠C＝∠D.

∠

针对训练3 如图，若AD//EF//BC，AB=BD那么图中与BAD

∠外还有（）

相等的角除了BDA

A．2个 B．3个 C．4个 D．5

个

例4 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，交BC于D，BD＝5 cm，求底边BC的长．出题意图：等腰三角形三线合一的考察

分析：因为是等腰三角形，所以底边上的高也是底边上的中线，

所以BC＝2BD，即可求出BC的长．

解：因为AB＝AC，AD⊥BC，

所以BC＝2BD＝2×5＝10(cm)．

答：底边BC的长是10 cm.

针对训练 4

如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2.说明：AD⊥BC.