大一高数上PPT课件

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§1.1 函 数
一、集合及其运算
1.集合
集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事 物的总体。集合用A，B，M等表示。
元素: 组成集合的事物称为集合的元素。a 是集 合M的元素表示为aM。
集合的表示:
(1) A={a, b, c, d, e, f, g}。
(2) M={(x, y) | x，y为实数，x2+y2 =1}。
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高等数学研究的主要对象是函数，主要研
究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。
由于高等数学的研究对象和研究方法与初
3. 函数的定义 设 D 是一个给定的数集。如果对于每个数
xD，变量 y 按照一定法则总有确定的数值和 x对应，则称 y 是 x 的函数，记作y=f(x)。
定义中，数集D叫做这个函数的定义域， x 叫做自变量，y叫做因变量。
函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f 也可改
用其它字母，例如j 、F 等。此时函数就记作 y=j(x)，y=F(x)。
微积分学，无穷级数论和作为理论基础的
极限理论我们这门课程叫高等数学，它的内容 包括一元和多元，以及作为一元微积分学的简 单应用——常微分方程。由于构成它的主体是 一元函数微积分学，所以有时又称为微积分。
17世纪（1763年）Descartes建立了解析几 何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生 了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学 进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是 高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量 间的依赖关系——函数的一门学科，是学习其 它自然科学的基础。
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几个数集: R表示所有实数构成的集合，称为实数集。 Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。
子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记
为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
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等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出 以下显著特点：
理论性更强 概念更复杂 表达形式更加抽象 推理更加严谨
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因此在学习高等数学时，应当认真阅读和 深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的 表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵 与实质，以及它们之间的内在联系，正确领 会一些重要的数学思想方法，另一方面也要 培养抽象思维和逻辑推理的能力。
学习数学，必须做一定数量的习题，做习 题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且 也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想 方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能 认为，只要做了题，就算学好了数学。
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高等数学中几乎所有的概念都离不开极限， 因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理 论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的 精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理 解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是 从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。
Oa
x
(- ， b)
O
bx
(-,+) = R
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3. 邻域: 以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域，记
作U(a)。
设>0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作 U(a, )，即 U(a, ) ={x|a-<x<a+} ={x| |x-a|<}。 其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。
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2. 区间:
数集{x|a<x<b}称为开区间，记为(a, b)， 即 (a, b)={x|a<x<b}。
(a， b)
Oa
bx
[a, b]={x|axb}称为闭区间。
[a， b]
Oa
bx
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[a, b)={x|ax<b}及 (a, b]={x|a<xb}称为
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2. 举例
圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取
(0, +)内的任意值。
由落体下落距离的计算公式为s= 1- gt2，t
可取[0, T]内的任意值。
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圆内接正n边形的周长的计算公式为
Sn=2nr
sin p-
n
，
n可取3，4，5，
。
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定义域： 在数学中，有时不考虑函数的实际意义，
而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函 数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值。 函数值：
任取 xD，与 x对应的 y的数值称为函数 y=f(x)在点 x处的函数值，记为 f(x)。
值域：Rf={y | y=f(x),xD}。
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参考书目
＜工科数学分析基础＞ 马知恩 等编 （高教出版社）
＜高等数学释疑解难＞ 工科数学课委会编（高教出版社）
＜高等数学辅导＞ 盛祥耀 等编（清华大学出版社）
＜高等数学解题方法及同步训练＞
同济大学编（同济大学出版社）
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第一章 函数与极限
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半开区间。
[a， b)
Oa
bx
(a， b]
Oa
bx
上述区间都是有限区间，其中a 和 b 称为 区间的端点，b-a 称为区间的长度。
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以下区间称为无限区间：
[a，+)
[a, +) ={ x|ax}，
Oa
x
(- ， b]
(-, b] ={ x|xb}，
O
bx
(a，+)
(a, +) ={ x|a<x}， (-, b) ={ x|x<b}，
O a-
a+ x
去心邻域:
U
(a,)
={x
|0<|
x-a
|<}。
O a- a a+ x
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二、函数的概念
1. 常量与变量
在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不 同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同 一数值，这种量叫做常量。
还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取 不同的数值，这种量叫做变量。