与圆有关的位置关系及圆中的计算(讲义与习题)含答案
圆与圆的位置关系(解析版)
第50讲：圆与圆的位置关系一、课程标准1、能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系2、能用圆与圆的关系方解决一些简单的数学问题与实际问题. 二、基础知识回顾 圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1＞0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2＞0).三、自主热身、归纳总结1、圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋4y ＝0，则两圆的位置关系是( )A . 内含B . 相交C . 外切D . 外离 【答案】B【解析】圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：x 2＋(y ＋2)2＝22，∴C 1C 2＝5，且2－1＜5＜2＋1，∴两圆相交．故选B .2、圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为( )A . 2B . 2 2C . 3D . 23 【答案】B【解析】由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，∴所求弦长为2 2.故选B .3、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A . 内含B . 相交C . 外切D . 外离 【答案】B 【解析】圆M ：x 2＋(y －a)2＝a 2(a>0)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫||a 22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2，由||2－1<()0－12＋()2－12<2＋1得两圆相交．故选B .4、知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C 的标准方程为____． 【答案】(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18【解析】 设圆C 方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，则由题意得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝r 2，()a ＋52＋()b ＋52＝()r±522，a 2＋()b ＋62＝r2解之得圆C 方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18.5、半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为_ _ 【答案】(x±4)2＋(y －6)2＝36．【解析】 由题意知，圆心可设为(a ，6)，半径r ＝6，∴()a －02＋()6－32＝6－1，∴a ＝±4，∴所求圆的方程为(x±4)2＋(y －6)2＝36.6、（河北省石家庄二中2019届期末）已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________. 【答案】2或－5【解析】圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2.当圆C 1与圆C 2相外切时，显然有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即m ＋12＋m ＋22＝5，整理得m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2.四、例题选讲考点一、圆与圆的位置关系例1、已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.(1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．【解析】 两圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .(1)＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心距5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)当m ＝45时，4－11＜|MN |＝5＜11＋4，两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0.所以公共弦长为=. 变式1、分别求当实数k 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －6y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －14y ＋k ＝0相交和相切．【解析】 将两圆的一般方程化为标准方程，得C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，C 2：(x －1)2＋(y －7)2＝50－k ，则圆C 1的圆心为C 1(－2，3)，半径r 1＝1；圆C 2的圆心为C 2(1，7)，半径r 2＝50－k ，k<50.从而|C 1C 2|＝（－2－1）2＋（3－7）2＝5. 当|50－k －1|<5<50－k ＋1，即4<50－k<6， 即14<k<34时，两圆相交．当1＋50－k ＝5，即k ＝34时，两圆外切； 当|50－k －1|＝5，即k ＝14时，两圆内切． ∴当k ＝14或k ＝34时，两圆相切．方法总结：(1)判断两圆的位置关系多用几何法，即用两圆圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．(2)求两圆公共弦长的方法是在其中一圆中，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．考点二 圆与圆的综合问题例2、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为________．【答案】 94【解析】 由圆C 1与圆C 2相外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a ＋b)2＝9，根据基本不等式可知ab≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故ab 的最大值为94.变式1、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相内切， 则 a 2＋b 2的最小值为__________．【答案】 12【解析】 由圆C 1与圆C 2内切，得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝1，即(a ＋b)2＝1.又由基本不等式a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，可知a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a 2＋b 2的最小值为12.变式2、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相交”，则公共弦所在的直线方程为______________________． 【答案】 (2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0【解析】 由题意将圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程，得圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0①，圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0②， 由②－①得(2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0，即所求公共弦所在直线方程为(2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0.变式3、已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A. 3B. 8C. 4D. 9 【答案】D【解析】 由题设中可知两圆相内切，其中C 1(－2a ，0)，r 1＝2；C 2(0，b )，r 2＝1，故|C 1C 2|＝a 2＋4b 2，由题设可知a 2＋4b 2＝2－1，即a 2＋4b 2＝1，则1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2(a 2＋4b 2)＝5＋4b 2a 2＋a 2b2≥5＋4＝9.当且仅当a 2＝2b 2时等号成立．故选D.变式4、 已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA →＋PB →|的取值范围为____． 【答案】[]7，13【解析】 设AB 的中点为E ，则其轨迹为x 2＋y 2＝14，|PA →＋PB →|＝2||PE →，由||PE →∈⎣⎡⎦⎤72，132，∴|PA →＋PB →|∈[]7，13.变式5、 求圆心在直线x ＋y ＝0上，且过两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0交点的圆的方程．【解析】 (方法1)(利用圆心到两交点的距离相等求圆心)将两圆的方程联立得方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解这个方程组求得两圆的交点坐标A(－4，0)，B(0，2)． 因所求圆心在直线x ＋y ＝0上，故设所求圆心坐标为(x ，－x)，则它到上面的两上交点(－4，0)和(0，2)的距离相等，故有()－4－x 2＋()0＋x 2＝x 2＋()2＋x 2，即4x ＝－12，∴x ＝－3，y ＝－x ＝3，从而圆心坐标是(－3，3)．又r ＝()－4＋32＋32＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(方法2)(利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程)同方法1求得两交点坐标A(－4，0)，B(0，2)，弦AB 的垂直平分线方程为2x ＋y ＋3＝0，它与直线x ＋y ＝0交点(－3，3)就是圆心，又半径r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(方法3)(用待定系数法求圆的方程)同方法1求得两交点坐标为A(－4，0)，B(0，2)．设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，∵两点在此圆上，且圆心在x ＋y ＝0上，∴得方程组⎩⎨⎧()－4－a 2＋b 2＝r 2，a 2＋()3－b 2＝r 2，a ＋b ＝0，解之得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3，r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(方法4)设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0(λ≠－1)， 即x 2＋y 2－2()1－λ1＋λx ＋2()5＋λ1＋λy －8()3＋λ1＋λ＝0.可知圆心坐标为(1－λ1＋λ，－5＋λ1＋λ)．∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴1－λ1＋λ－5＋λ1＋λ＝0，解得λ＝－2.将λ＝－2代入所设方程并化简，求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.方法总结：圆与圆的综合题目涉及到参数的问题，解题思路就是通过圆与圆的位置关系，寻求参数之间的关系，然后转化为函数的思想进行解决。
第11讲 圆与圆的位置关系(解析版)
第11讲 圆与圆的位置关系题型一：圆与圆的位置关系【例1】（2022·全国·高二课时练习）“a ＝3”是“圆与圆相切”的（ ）221x y +=()224x a y ++=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例2】（北京高二期末）已知圆的方程为，圆的方程为1O 22()()4x a y b -+-=2O ，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（ ）22(1)1x y b +-+=,a b ∈R A ．外离B ．外切C ．内含D ．内切【答案】C【解析】圆的圆心为，半径为()()4:221=-+-b y a x O ()b a O ,121=r 圆的圆心为，半径为()11:222=+-+b y x O ()1,01-b O 12=r 所以，所以两圆不可能内含，故选C2122111r r a O O -=≥+=【例3】（山东聊城市·高二期末）已知圆与圆()()()221:80C x a y a a -+-=>没有公共点，则实数的取值范围为（ ）222:220C x y x y +--=a A ．B ．()0,2()4,+∞C ．D ．()()0,24,+∞ ()()()0,10,24,⋃⋃+∞【答案】C【解析】圆，表示以为圆心，半径的圆；()()8:221=-+-a y a x C ()a a C ,1221=r 所以圆，，圆心，半径为()()211:222=-+-y x C ()1,12C 22=r 所以，由于两圆没有公共点，则或者()()12112221-=-+-=a a a C C 121-<r C C ，解得或者，故选C121+>r C C 20<<a 4>a 【例4】（2021·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点，，若圆C 上存在点P ，使得(),0A m -()(),00B m m >90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B 【解析】【分析】由题意得点轨迹，转化为有交点问题P 【详解】，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，90APB ∠=︒AB O ||OP m =P m又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则，而，|1|||1m OC m -≤≤+||10OC ==得．911m ≤≤故选：B【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知圆，圆229:4O x y +=22:()(1)1M x a y -+-=，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得，则实数π3APB ∠=a的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．[[[【题型专练】1.（浙江高二期末）圆与圆的位置关系为（ ）221:(1)1C x y -+=222:(4)(4)17C x y -+-=A ．内切B ．相切C ．相交D ．外离【答案】C【解析】圆的圆心为，半径为()11:221=+-y x C ()0,11C 11=r 圆的圆心为，半径为()()1744:222=-+-y x C ()4,42C 172=r 所以，所以两圆相交，故选C()171541411721222112+=+<=+-=<-=-r r C C r r2.（2022·全国·高二课时练习）（多选）若圆与圆()(221:19C x y -+=()222:1Cx a y -+=没有公共点，则实数a 的值可能是（ ）A ．7B ．C ．－2D ．11【答案】AD3.（江西上高二中高二其他模拟（文））已知圆关于直线()221:210C x y x my m R +-++=∈对称，圆的标准方程是，则圆与圆210x y ++=2C ()()222316x y ++-=1C 2C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含【答案】B【解析】圆，即，表示以012:221=++-+my x y x C ()421222m m y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫⎝⎛-2,11m C 为圆心，因为圆关于直线对称。
圆与圆的位置关系参考答案
2.5.2 圆与圆的位置关系参考答案1．圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋4y －1＝0的位置关系为( )A ．相交B ．外切C ．内切D ．外离答案 C解析 由已知，得C 1(－2，－4)，r 1＝5，C 2(－2，－2)，r 2＝3，则d ＝|C 1C 2|＝2，所以d ＝|r 1－r 2|，所以两圆内切．2．圆x 2＋y 2－2x －5＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0答案 A解析 圆x 2＋y 2－2x －5＝0的圆心为M (1,0)，圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心为N (－1,2)，两圆的相交弦AB 的垂直平分线即为直线MN ，其方程为y －0x －1＝2－0－1－1，即x ＋y －1＝0. 3．圆(x －4)2＋y 2＝9和圆x 2＋(y －3)2＝4的公切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案 C解析 圆(x －4)2＋y 2＝9的圆心为(4,0)，半径为3，圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为(0,3)，半径为2. 两圆的圆心距为42＋32＝5＝2＋3，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3.4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋m ＝0与圆(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝36内切，则实数m 的值为( )A ．0B ．－120C ．0或－120D ．5答案 C解析 将圆C ：x 2＋y 2－2x ＋m ＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝1－m ，由两圆内切可得|6－1－m |＝5，解得m ＝0或－120.5．圆C 1：(x －1)2＋y 2＝4与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －3)2＝9的相交弦所在的直线为l ，则直线l 被圆O ：x 2＋y 2＝4截得的弦长为( ) A.13 B ．4 C.43913 D.83913答案 D解析 由圆C 1与圆C 2的方程相减得l ：2x －3y ＋2＝0.圆心O (0,0)到l 的距离d ＝21313，圆O 的半径R ＝2， 所以截得的弦长为2R 2－d 2＝24－413＝83913. 6．(多选)下列圆中与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0相切的是( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝9B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝9C ．(x －2)2＋(y －2)2＝25D ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝49答案 BCD解析 由圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，可知圆心C 的坐标为(－1,2)，半径r ＝2.A 项，圆心C 1(－2，－2)，半径r 1＝3.∵|C 1C |＝17∈(r 1－r ，r 1＋r )，∴两圆相交；B 项，圆心C 2(2，－2)，半径r 2＝3，∵|C 2C |＝5＝r ＋r 2，∴两圆外切，满足条件；C 项，圆心C 3(2,2)，半径r 3＝5，∵|C 3C |＝3＝r 3－r ，∴两圆内切；D 项，圆心C 4(2，－2)，半径r 4＝7，∵|C 4C |＝5＝r 4－r ，∴两圆内切．7．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，则实数a ，b 的关系是________．答案 4a 2＋b 2＝1解析 圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0，化为标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，圆心坐标为(－2a ,0)，半径长为2.圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0，化为标准方程为x 2＋(y －b )2＝1.圆心坐标为(0，b )，半径长为1.由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以(2a )2＋b 2＝2－1＝1，整理得4a 2＋b 2＝1.8．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________．答案 x 2＋y 2－34x －34y －114＝0 解析 由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0. 9．已知两圆C 1：x 2＋y 2＝4，C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝r 2(r >0)，直线l ：x ＋2y ＝0.(1)当圆C 1与圆C 2相交且公共弦长为4时，求r 的值；(2)当r ＝1时，求经过圆C 1与圆C 2的交点且和直线l 相切的圆的方程．解 (1)由圆C 1：x 2＋y 2＝4，知圆心C 1(0,0)，半径r 1＝2，又由圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝r 2(r >0)，可得x 2＋y 2－2x －4y ＋5－r 2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x ＋4y －9＋r 2＝0.因为圆C 1与圆C 2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C 1(0,0)，即r 2＝9(r >0)，解得r ＝3.(2)设过圆C 1与圆C 2的圆系方程为(x －1)2＋(y －2)2－1＋λ(x 2＋y 2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)·y 2－2x －4y ＋4(1－λ)＝0，所以⎝⎛⎭⎫x －1λ＋12＋⎝⎛⎭⎫y －2λ＋12＝4λ2＋1(λ＋1)2，由圆心到直线x ＋2y ＝0的距离等于圆的半径，可得⎪⎪⎪⎪1λ＋1＋4λ＋15＝4λ2＋1|λ＋1|，解得λ＝1，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x －2y ＝0. 10．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0.(1)若直线l 1过定点A (1,1)，且与圆C 相切，求l 1的方程；(2)若圆D 的半径为3，圆心在直线l 2：x －y ＋2＝0上，且与圆C 外切，求圆D 的方程． 解 (1)圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝4，所以圆C 的圆心为(3,4)，半径为2.①若直线l 1的斜率不存在，即直线为x ＝1，符合题意．②若直线l 1的斜率存在，设直线l 1的方程为y －1＝k (x －1)．即kx －y －k ＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l 1的距离等于半径2，所以|3k －4－k ＋1|k 2＋1＝2，即|2k －3|k 2＋1＝2， 解得k ＝512，所以直线方程为5x －12y ＋7＝0. 综上，所求l 1的方程为x ＝1和5x －12y ＋7＝0.(2)依题意，设D (a ，a ＋2)．又已知圆C 的圆心为(3,4)，半径为2，由两圆外切，可知|CD |＝5，∴(a －3)2＋(a ＋2－4)2＝5，解得a ＝－1或a ＝6.∴D (－1,1)或D (6,8)，∴所求圆D 的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝9或(x －6)2＋(y －8)2＝9.11. 设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆圆心的距离|C 1C 2|为( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．82答案 C解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且都在直线y ＝x 上．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17.∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32，∴|C 1C 2|＝(a －b )2＋(a －b )2＝32×2＝8.12．(多选)圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的交点为A ，B ，则有( )A ．公共弦AB 所在直线的方程为x －y ＝0B ．线段AB 中垂线的方程为x ＋y －1＝0C ．公共弦AB 的长为22D ．P 为圆O 1上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为22＋1 答案 ABD解析 对于A ，由圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的交点为A ，B ， 两式作差可得4x －4y ＝0，即公共弦AB 所在直线方程为x －y ＝0，故A 正确；对于B ，圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，又k AB ＝1，则线段AB 中垂线的斜率为－1，即线段AB 中垂线的方程为y －0＝－1×(x －1)，整理可得x ＋y －1＝0，故B 正确；对于C ，圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0，圆心O 1(1,0)到直线x －y ＝0的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22，半径r ＝1，所以|AB |＝21－⎝⎛⎭⎫222＝2，故C 不正确； 对于D ，P 为圆O 1上一动点，圆心O 1(1,0)到直线x －y ＝0的距离为d ＝22，半径r ＝1，即P 到直线AB 距离的最大值为22＋1，故D 正确． 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1 : x 2 ＋y 2＝8与圆C 2 : x 2＋y 2＋2x ＋y －a ＝0相交于A ，B 两点．若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为________________． 答案 {}8，8－25，8＋25解析 由题知，直线AB 为2x ＋y ＋8－a ＝0，当∠P AB ＝90°或∠PBA ＝90°时，设C 1到AB 的距离为d ，因为△ABP 为等腰直角三角形，所以d ＝12|AB |，即d ＝8－d 2，所以d ＝2，所以|8－a |22＋12＝d ＝2， 解得a ＝8±25， 当∠APB ＝90°时，AB 经过圆心C 1，则8－a ＝0，即a ＝8.14．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是________________．答案 x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0解析 设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0(λ≠－1)，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入直线l ：2x ＋4y －1＝0的方程， 可得λ＝13， 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.15．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2－2ax ＋y 2－2ay ＋2a 2－1＝0上存在点P 到点(0,1)的距离为2，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－172，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋172 解析 因为圆C ：x 2－2ax ＋y 2－2ay ＋2a 2－1＝0，所以(x －a )2＋(y －a )2＝1，其圆心C (a ，a )，半径r ＝1.因为点P 到点(0,1)的距离为2，所以P 点的轨迹为x 2＋(y －1)2＝4.因为P 又在(x －a )2＋(y －a )2＝1上，所以圆C 与圆x 2＋(y －1)2＝4有交点，即2－1≤a 2＋(a －1)2≤2＋1，所以1－172≤a ≤0或1≤a ≤1＋172. 所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－172，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋172. 16．已知圆M 与圆N ：⎝⎛⎭⎫x －532＋⎝⎛⎭⎫y ＋532＝r 2关于直线y ＝x 对称，且点D ⎝⎛⎭⎫－13，53在圆M 上． (1)判断圆M 与圆N 的位置关系；(2)设P 为圆M 上任意一点，A ⎝⎛⎭⎫－1，53，B ⎝⎛⎭⎫1，53，P ，A ，B 三点不共线，PG 为∠APB 的平分线，且交AB 于G ，求证：△PBG 与△APG 的面积之比为定值．(1)解 N ⎝⎛⎭⎫53，－53关于直线y ＝x 的对称点为M ⎝⎛⎭⎫－53，53， 所以圆M 的半径r ＝|MD |2＝⎝⎛⎭⎫－53＋132＋⎝⎛⎭⎫53－532＝43， 所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋532＋⎝⎛⎭⎫y －532＝169. 又|MN |＝⎝⎛⎭⎫1032＋⎝⎛⎭⎫1032＝1023>43×2， 故圆M 与圆N 相离．(2)证明 设P (x 0，y 0)，则|P A |2＝(x 0＋1)2＋⎝⎛⎭⎫y 0－532＝(x 0＋1)2＋169－⎝⎛⎭⎫x 0＋532＝－43x 0，|PB |2＝(x 0－1)2＋⎝⎛⎭⎫y 0－532＝(x 0－1)2＋169－⎝⎛⎭⎫x 0＋532＝－163x 0， 所以⎝⎛⎭⎫|P A ||PB |2＝14，即|P A ||PB |＝12. 又PG 为∠APB 的平分线，故S △BPG S △APG ＝|PB ||P A |＝2为定值．。
圆与圆的位置关系(解析版)
圆与圆的位置关系(解析版)圆与圆的位置关系（解析版）圆与圆的位置关系是几何学中常见的问题。
在解析几何中，我们可以通过方程和图形的分析来确定两个圆之间的位置关系。
本文将详细介绍圆与圆的位置关系及其解析方法。
I. 两个圆的位置关系当给定两个圆的方程时，我们可以通过以下几种情况来判断它们的位置关系：1. 相离(disjoint)如果两个圆不相交，它们互相分离，也就是说没有公共点。
我们可以通过计算它们的半径之和和两个圆心之间的距离来判断。
如果半径之和小于圆心之间的距离，即 r1 + r2 < d，那么两个圆相离。
2. 外切（tangent exterior）如果两个圆的外部只有一个公共点，我们称它们相切于外部。
这意味着两个圆心之间的距离等于它们的半径之和，并且没有其他公共点。
我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。
如果半径之和等于圆心之间的距离，即 r1 + r2 = d，那么两个圆相切于外部。
3. 内切（tangent interior）如果两个圆的内部只有一个公共点，我们称它们相切于内部。
这意味着两个圆的半径之差等于它们的圆心之间的距离，并且没有其他公共点。
我们可以通过计算两个圆的半径之差和两个圆心之间的距离来判断。
如果圆心之间的距离等于半径之差，即 d = |r1 - r2|，那么两个圆相切于内部。
4. 相交（intersect）如果两个圆有两个公共点，我们称它们相交。
这意味着两个圆心之间的距离小于半径之和，并且有两个公共点。
我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。
如果半径之和大于圆心之间的距离，即 r1 + r2 > d，那么两个圆相交。
II. 解析方法在解析几何中，我们可以利用两个圆的方程来求解它们的位置关系。
假设第一个圆的方程为(x - h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2，第二个圆的方程为(x - h2)^2 + (y - k2)^2 = r2^2，其中(h1, k1)和(h2, k2)分别代表两个圆的圆心坐标，r1和r2分别代表两个圆的半径。
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，＋By＋C ＝0，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ01<0Δ02＝0Δ03>0几何观点d 04>rd 05＝rd 06<r2．圆与圆的位置关系(⊙O 1，⊙O 2的半径分别为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)位置关系图形几何法公切线条数外离d >r 1＋r 2四条外切d＝r1＋r2三条相交|r1－r2|<d<r1＋r2两条内切d＝|r1－r2|一条内含0≤d<r1－r2无1．圆的切线方程常用的结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M x N. 3．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．()(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．()(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(4)在圆中最长的弦是直径．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题2.5T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离答案B解析圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距离d＝12＝22，而0<22<1，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．故选B.(2)(人教A选择性必修第一册2.5.2练习T2改编)圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋4y ＝0的位置关系是()A．外离B．外切C．相交D．内切答案C解析圆O1：x2＋y2－2x＝0的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为O1(1，0)，半径为r1＝1，圆O2：x2＋y2＋4y＝0的标准方程为x2＋(y＋2)2＝4，圆心为O2(0，－2)，半径为r2＝2，所以两圆的圆心距为|O1O2|＝（－1）2＋（－2）2＝5，所以1＝|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2＝3，因此两圆的位置关系为相交．故选C.(3)(人教A选择性必修第一册习题2.5T2改编)以点(3，－1)为圆心且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是________________．答案(x－3)2＋(y＋1)2＝1解析由题意得，r＝|3×3＋4×（－1）|32＋42＝1，因此圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.(4)(人教A选择性必修第一册习题2.2T3改编)已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0.若一直线被圆C所截得的弦的中点为M(2，3)，则该直线的方程为________________．答案y＝x＋1解析圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9，则圆心为C(3，2)，k CM＝3－22－3 1.设所求的直线为m.由圆的几何性质可知，k m·k CM＝－1，所以k m＝1，所以所求的直线方程为y－3＝1·(x－2)，即y＝x＋1.考点探究——提素养考点一直线与圆的位置关系例1(1)(2023·江西九江二模)直线l：mx－y－2＋m＝0(m∈R)与圆C：x2＋(y－1)2＝16的位置关系为________．答案相交解析由mx－y－2＋m＝0(m∈R)，得m(x＋1)－y－2＝0(m∈R)，＋1＝0，y－2＝0，解得＝－1，＝－2，所以直线l过定点(－1，－2)，又因为(－1)2＋(－2－1)2＝10<16，得(－1，－2)在圆内，所以直线l与圆C总相交．(2)(2024·广东湛江廉江中学高三第二次月考)已知直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，则r 的值为________．答案±2解析由直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，得|2|12＋12＝|r|，即|r|＝2，故r的值为± 2.【通性通法】判断直线与圆的位置关系的两种方法特别地，对于过定点的直线，也可以通过定点在圆内部或圆上判定直线和圆有公共点．【巩固迁移】1．(2023·陕西榆林模拟)已知点P(x0，y0)为圆C：x2＋y2＝2上的动点，则直线l：x0x－y0y＝2与圆C的位置关系为()A．相交B．相离C．相切D．相切或相交答案C解析由题意可得x20＋y20＝2，于是圆心C到直线l的距离d＝2x20＋y20＝22＝2＝r，所以直线l与圆C相切．故选C.2．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为________．答案(－32，32)解析由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝3，即d＝|－a|2<3，解得－32＜a＜32.考点二圆的弦长、切线问题(多考向探究)考向1弦长问题例2(1)(2024·四川西昌期末)直线l：x－3y cosθ＝0被圆x2＋y2－6x＋5＝0截得的最大弦长为()A．3B．5C．7D．3答案C解析因为圆x2＋y2－6x＋5＝0，所以其圆心为(3，0)，半径r＝2，于是圆心(3，0)到直线l：x－3y cosθ＝0的距离为d＝31＋3cos2θ，因为cosθ∈[－1，1]，所以cos2θ∈[0，1]，所以d＝31＋3cos2θ∈32，3，因为直线l与圆相交，所以d<2，所以d∈32，又因为弦长为2r2－d2＝24－d2，所以当d取得最小值32时，弦长取得最大值，为7.故选C.(2)(2023·海南华侨中学二模)已知直线x－3y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．答案5解析因为圆心(0，0)到直线x－3y＋8＝0的距离d＝81＋3＝4，由|AB|＝2r2－d2，可得6＝2r2－42，解得r＝5.【通性通法】求直线被圆截得的弦长的两种方法【巩固迁移】3．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l 的方程为()A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0答案B解析当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝0时，弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34.综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0.故选B.4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l ：x －my ＋1＝0与⊙C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 的面积为85”的m 的一个值：________．答案，－2，12，－12中任意一个皆可以解析设点C 到直线AB 的距离为d ，由弦长公式得|AB |＝24－d 2，所以S △ABC ＝12×d ×24－d 2＝85，解得d ＝455或d ＝255，由d ＝|1＋1|1＋m 2＝21＋m 2，所以21＋m 2＝455或21＋m 2＝255，解得m ＝±2或m ＝±12.考向2切线问题例3(1)在平面直角坐标系中，过点A (3，5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为()A ．5x －12y ＋45＝0B ．y ＋5＝0C ．x －3＝0或5x －12y ＋45＝0D ．y －5＝0或12x －5y ＋45＝0答案C解析因为32＋52－2×3－4×5＋1>0，点(3，5)在圆外，且x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为(1，2)，半径为2.若切线的斜率不存在，即x ＝3，圆心(1，2)到直线x ＝3的距离为2，故直线x ＝3是圆的切线；若切线的斜率存在，设切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋5＝0，则|k －2－3k ＋5|k 2＋1＝2，则|3－2k |k 2＋1＝2，两边平方得12k ＝5，k ＝512，所以y －5＝512(x －3)，即5x－12y ＋45＝0.综上，切线的方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.故选C.(2)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．答案7解析设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，M 的坐标为(3，0)，则|PQ |即为切线长，|MQ |为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离．设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝22，所以|PM |的最小值为22，此时|PQ |＝|PM |2－1＝（22）2－1＝7.【通性通法】1．求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系，求得切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求得切线方程，如果k ＝0或k 不存在，则由图形可直接得到切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0.2．求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程当切线斜率存在时，圆的切线方程的求法：(1)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求得k .(2)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求得k .注意验证斜率不存在的情况．3．涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，可以利用几何图形求解，也可以把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求解．【巩固迁移】5．(2023·河南开封模拟)已知圆M 过点A (1，3)，B (1，－1)，C (－3，1)，则圆M 在点A 处的切线方程为()A ．3x ＋4y －15＝0B ．3x －4y ＋9＝0C ．4x ＋3y －13＝0D ．4x －3y ＋5＝0答案A解析设圆M 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.＋3E ＋F ＋10＝0，－E ＋F ＋2＝0，3D ＋E ＋F ＋10＝0，＝1，＝－2，＝－5，所以圆M 的方程为x 2＋y 2＋x －2y －5＝0，圆心为－12，所以直线AM的斜率k AM ＝3－11＋12＝43，所以圆M 在点A 处的切线方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.故选A.6．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x 2＋y 2－4x －1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝()A ．1B ．154C ．104D ．64答案B解析解法一：因为x 2＋y 2－4x －1＝0，即(x －2)2＋y 2＝5，可得圆心C (2，0)，半径r ＝5，过点P (0，－2)作圆C 的切线，切点为A ，B ，因为|PC |＝22＋（－2）2＝22，则|PA |＝|PC |2－r 2＝3，可得sin ∠APC ＝522＝104，cos ∠APC ＝322＝64，则sin ∠APB ＝sin2∠APC ＝2sin ∠APC cos ∠APC ＝2×104×64＝154，cos ∠APB ＝cos2∠APC ＝cos 2∠APC －sin 2∠APC ＝＝－14<0，即∠APB 为钝角，所以sin α＝sin(π－∠APB )＝sin ∠APB ＝154.故选B.解法二：圆x 2＋y 2－4x －1＝0的圆心C (2，0)，半径r ＝5，过点P (0，－2)作圆C 的切线，切点为A ，B ，连接AB ，可得|PC |＝22＋（－2）2＝22，则|PA |＝|PB |＝|PC |2－r 2＝3，因为|PA |2＋|PB |2－2|PA |·|PB |cos ∠APB ＝|CA |2＋|CB |2－2|CA |·|CB |cos ∠ACB ，且∠ACB ＝π－∠APB ，则3＋3－6cos ∠APB ＝5＋5－10cos(π－∠APB )，即3－3cos ∠APB ＝5＋5cos ∠APB ，解得cos ∠APB ＝－14<0，即∠APB 为钝角，则cos α＝cos(π－∠APB )＝－cos ∠APB ＝14，又α为锐角，所以sinα＝1－cos2α＝154.故选B.解法三：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝5，若切线斜率不存在，则切线方程为x＝0，则圆心到切线的距离d＝2<r，不符合题意；若切线斜率存在，设切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0，则|2k－2|k2＋1＝5，整理得k2＋8k＋1＝0，且Δ＝64－4＝60>0.设两切线斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝－8，k1k2＝1，可得|k1－k2|＝（k1＋k2）2－4k1k2＝215，所以tanα＝|k1－k2|1＋k1k2＝15，即sinαcosα＝15，可得cosα＝sinα15，则sin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2α15＝1，又α则sinα>0，解得sinα＝154.故选B.7．(2024·陕西西安碑林区校级月考)已知圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8，点T(－3，4)，从坐标原点O向圆M作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若切线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，k1·k2＝－1，则|TM|的取值范围为________．答案[1，9]解析由题意可知，直线OP的方程为y＝k1x，直线OQ的方程为y＝k2x，∵OP，OQ与圆M相切，∴|k1x0－y0|1＋k21＝22，|k2x0－y0|1＋k22＝22，分别对两个式子进行两边平方，整理可得21（8－x20）＋2k1x0y0＋8－y20＝0，22（8－x20）＋2k2x0y0＋8－y20＝0，∴k1，k2是方程k2(8－x20)＋2kx0y0＋8－y20＝0的两个不相等的实数根，易知8－x20≠0，∴k1·k2＝8－y208－x20，又k1·k2＝－1，∴8－y208－x20＝－1，即x20＋y20＝16，则圆心M的轨迹是以(0，0)为圆心，4为半径的圆．又|TO|＝9＋16＝5，∴|TO|－4≤|TM|≤|TO|＋4，∴1≤|TM|≤9.考点三圆与圆的位置关系例4(1)(2024·广东揭阳期末)圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系为() A．相交B．相离C．外切D．内切答案A解析圆O1：x2＋y2＝1的圆心为O1(0，0)，半径为r1＝1.圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的圆心为O2(2，0)，半径为r2＝3.|O1O2|＝2，r2－r1<|O1O2|<r2＋r1，所以两圆相交．故选A.(2)(多选)(2023·吉林期中)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则()A．|PQ|的最小值为0B．|PQ|的最大值为7C ．两个圆心所在直线的斜率为－43D ．两个圆相交弦所在直线的方程为6x －8y －25＝0答案BC解析根据题意，圆C 1：x 2＋y 2＝1，其圆心C 1(0，0)，半径R ＝1，圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0，即(x －3)2＋(y ＋4)2＝1，其圆心C 2(3，－4)，半径r ＝1，圆心距|C 1C 2|＝9＋16＝5，则|PO |的最小值为|C 1C 2|－R －r ＝3，最大值为|C 1C 2|＋R ＋r ＝7，故A 错误，B 正确；对于C ，圆心C 1(0，0)，圆心C 2(3，－4)，则两个圆心所在直线的斜率k ＝－4－03－0＝－43，故C 正确；对于D ，两圆的圆心距|C 1C 2|＝5，则|C 1C 2|>R ＋r ＝2，两圆外离，不存在公共弦，故D 错误．故选BC.(3)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程：________．答案x ＝－1或7x －24y －25＝0或3x＋4y －5＝0解析如图，因为圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0，0)，半径r 1＝1，圆(x －3)2＋(y －4)2＝16的圆心为A (3，4)，半径r 2＝4，所以|OA |＝5，r 1＋r 2＝5，所以|OA |＝r 1＋r 2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l 1的方程为x ＝－1.②另一条公切线l 2与公切线l 1关于过两圆圆心的直线l 对称．易知过两圆圆心的直线l 的方程为y ＝43x ，＝－1，＝43x ，＝－1，＝－43，由对称性可知公切线l21，设公切线l 2的方程为y ＋43＝k (x ＋1)，则点O (0，0)到l 2的距离为1，所以1＝|k －43|k 2＋1，解得k ＝724，所以公切线l 2的方程为y ＋43＝724(x ＋1)，即7x －24y －25＝0.③还有一条公切线l 3与直线l ：y ＝43x 垂直．设公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋t ，易知t ＞0，则点O (0，0)到l 3的距离为1，所以1解得t ＝54，所以公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y －5＝0.综上，所求直线方程为x ＝－1或7x －24y －25＝0或3x ＋4y －5＝0.【通性通法】(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．【巩固迁移】8．(2024·安徽芜湖模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是()A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离答案B解析由题意，得圆M 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2，圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．故选B.9．(2023·云南丽江期中)圆C 1：x 2＋y 2－6x －10y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋14y ＋4＝0公切线的条数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析根据题意，圆C 1：x 2＋y 2－6x －10y －2＝0，即(x －3)2＋(y －5)2＝36，其圆心为(3，5)，半径r ＝6；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋14y ＋4＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋7)2＝49，其圆心为(－2，－7)，半径R ＝7，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－2－3）2＋（－7－5）2＝13＝R ＋r ，所以两圆相外切，其公切线有3条．故选C.10．(2024·江苏启东中学阶段考试)已知P 是圆M ：x 2－4x ＋y 2－4y ＋6＝0上一动点，A ，B 是圆C ：x 2＋2x ＋y 2＋2y －2＝0上的两点，若|AB |＝23，则|PA →＋PB →|的取值范围为________．答案[42－2，82＋2]解析由题意知，点P 所在圆M ：(x －2)2＋(y －2)2＝2，且A ，B 所在圆C ：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C (－1，－1)，半径为2.设D 是AB 的中点，连接CD ，则CD 垂直平分AB ，则|CD |1，所以点D 在以C 为圆心，1为半径的圆上，即点D 所在圆C 1：(x＋1)2＋(y ＋1)2＝1，又由PA →＋PB →＝2PD →，可得|PA →＋PB →|＝2|PD →|，|PD →|即为圆M ：x 2－4x ＋y 2－4y ＋6＝0上的点与圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的点的距离，因为|MC 1|＝（2＋1）2＋（2＋1）2＝32，所以32－1－2≤|PD →|≤32＋1＋2，即|PA →＋PB →|的取值范围为[42－2，82＋2]．课时作业一、单项选择题1．(2023·福建泉州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，直线l ：2x －y －1＝0，则直线l 与圆C 的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交且直线过圆C 的圆心答案B解析由x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，可得(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，故圆心C (－1，2)，半径r ＝5，则圆心到直线l ：2x －y －1＝0的距离d ＝|－2－2－1|22＋1＝55＝5＝r ，故直线l 与圆C 相切．故选B.2．(2024·黑龙江大庆质检)若直线kx －y ＋1－2k ＝0与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为()A ．23B ．22C ．3D ．2答案B解析直线kx －y ＋1－2k ＝0，即k (x －2)－(y －1)＝0恒过定点M (2，1)，而(2－1)2＋12＝2<4，即点M 在圆C 内，因此当且仅当AB ⊥CM 时，|AB |最小，而圆C 的圆心C (1，0)，半径r ＝2，|CM |＝2，所以|AB |min ＝2r 2－|CM |2＝24－2＝2 2.故选B.3．(2023·河北联考一模)直线l ：ax ＋by －4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相切，则(a －3)2＋(b －4)2的最大值为()A ．16B ．25C ．49D ．81答案C解析由直线l 与圆O 相切可得，圆心O (0，0)到直线l 的距离等于圆的半径，即|－4|a 2＋b 2＝2，故a 2＋b 2＝4，即点(a ，b )在圆O 上，(a －3)2＋(b －4)2的几何意义为圆上的点(a ，b )与点(3，4)之间距离的平方，由a 2＋b 2＝4，得圆心为(0，0)，因为32＋42>4，所以点(3，4)在圆a 2＋b 2＝4外，所以点(a ，b )到点(3，4)的距离的最大值为圆心到(3，4)的距离与圆半径之和，即d ＋r ＝（3－0）2＋（4－0）2＋2＝7，所以(a －3)2＋(b －4)2的最大值为72＝49.故选C.4．(2023·广东汕头模拟)已知圆C 1：(x －3)2＋(y ＋4)2＝1与C 2：(x －a )2＋(y －a ＋3)2＝9恰好有4条公切线，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，0)∪(4，＋∞)B ．(－∞，1－6)∪(1＋6，＋∞)C ．(0，4)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案D解析因为圆C 1：(x －3)2＋(y ＋4)2＝1与C 2：(x －a )2＋(y －a ＋3)2＝9恰好有4条公切线，所以圆C 1与C 2外离，所以（a －3）2＋（a －3＋4）2>4，解得a >3或a <－1，即实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．故选D.5．(2023·山东青岛模拟)已知直线l ：3x ＋my ＋3＝0，曲线C ：x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋5＝0，则下列说法正确的是()A ．“m >1”是“曲线C 表示圆”的充要条件B ．当m ＝33时，直线l 与曲线C 表示的圆相交所得的弦长为1C ．“m ＝－3”是“直线l 与曲线C 表示的圆相切”的充分不必要条件D ．当m ＝－2时，曲线C 与圆x 2＋y 2＝1有两个公共点答案C解析对于A ，曲线C ：x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋5＝0⇒(x ＋2)2＋(y ＋m )2＝m 2－1，曲线C 表示圆，则m 2－1>0，解得m <－1或m >1，所以“m >1”是“曲线C 表示圆”的充分不必要条件，A 错误；对于B ，当m ＝33时，直线l ：x ＋3y ＋1＝0，曲线C ：(x ＋2)2＋(y ＋33)2＝26，圆心到直线l 的距离d ＝|－2＋3×（－33）＋1|1＋3＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝226－25＝2，B 错误；对于C ，若直线l 与圆相切，则圆心到直线l 的距离d ＝|－6－m 2＋3|9＋m 2＝m 2－1，解得m ＝±3，所以“m ＝－3”是“直线l 与曲线C 表示的圆相切”的充分不必要条件，C 正确；对于D ，当m ＝－2时，曲线C ：(x ＋2)2＋(y －2)2＝3，其圆心坐标为(－2，2)，r ＝3，曲线C 与圆x 2＋y 2＝1的圆心距为（－2－0）2＋（2－0）2＝22>3＋1，故两圆相离，没有公共点，D 错误．故选C.6．(2024·山东淄博期末)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx －2，若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线l 1，l 2，使得l 1⊥l 2，则实数k 的取值范围是()A ∞，－43∪[0，＋∞)B ∞，－43∪[0，1)C ∞，－43∪[1，＋∞)D ．－43，1答案A解析圆心C (1，0)，半径r ＝2，设P (x ，y )，因为两切线l 1⊥l 2，如图，设切点为A ，B ，则PA ⊥PB ，由切线性质定理，知PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，|PA |＝|PB |，所以四边形PACB 为正方形，所以|PC |＝2，则点P 的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆，方程为(x －1)2＋y 2＝4，直线l ：y ＝kx －2过定点(0，－2)，直线方程即kx －y －2＝0，只要直线与点P 的轨迹(圆)有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即d ＝|k －2|k 2＋1≤2，解得k ≥0或k ≤－43，即实数k ∞，－43∪[0，＋∞)．故选A.7．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则x －y 的最大值是()A ．1＋322B ．4C ．1＋32D ．7答案C解析解法一：令x －y ＝k ，则x ＝k ＋y ，代入原式，化简得2y 2＋(2k －6)y ＋k 2－4k －4＝0，因为存在实数y ，则Δ≥0，即(2k －6)2－4×2(k 2－4k －4)≥0，化简得k 2－2k －17≤0，解得1－32≤k ≤1＋32，故x －y 的最大值是32＋1.故选C.解法二：x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，整理得(x －2)2＋(y －1)2＝9，令x ＝3cos θ＋2，y ＝3sin θ＋1，其中θ∈[0，2π]，则x －y ＝3cos θ－3sin θ＋1＝32cos 1，因为θ∈[0，2π]，所以θ＋π4∈π4，9π4，则当θ＋π4＝2π，即θ＝7π4时，x －y 取得最大值32＋1.故选C.解法三：由x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，可得(x －2)2＋(y －1)2＝9，设x －y ＝k ，则圆心到直线x －y ＝k 的距离d ＝|2－1－k |2≤3，解得1－32≤k ≤1＋3 2.故选C.8．(2023·甘肃酒泉三模)若直线3x －y －3＝0分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，动点P 在圆x 2＋(y －1)2＝1上，则△ABP 面积的取值范围是()A ．[2，32]B ．[3，23]C ．[3，33]D ．[22，32]答案C解析如图所示，因为直线3x －y －3＝0与坐标轴的交点A (3，0)，B (0，－3)，则|AB |＝3＋9＝23，圆x 2＋(y －1)2＝1的圆心为C (0，1)，半径为r ＝1，则圆心C (0，1)到直线3x －y －3＝0的距离为d ＝|－1－3|3＋1＝2，所以圆x 2＋(y －1)2＝1上的点P 到直线3x －y －3＝0的距离的最小值为d －r ＝2－1＝1，最大距离为d ＋r ＝2＋1＝3，所以△ABP 面积的最小值为12×23×1＝3，最大值为12×23×3＝33，即△ABP 面积的取值范围为[3，33]．故选C.二、多项选择题9．(2024·湖北武汉期末)已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b.若圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，则b的可能值为()A．－1B．－2C．1D．2答案BD解析由圆x2＋y2＝4，可得圆心为(0，0)，半径为2，要使圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，则圆心到直线的距离为1，所以|b|2＝2－1，所以b＝± 2.故选BD.10．已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则() A．圆O1和圆O2有两条公切线B．直线AB的方程为x－y＋1＝0C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋2答案ABD解析对于A，因为两圆相交，所以有两条公切线，故A正确；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为|1＋1| 2＝2，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋2，D正确．故选ABD.三、填空题11．(2023·广东深圳校考二模)过点(1，1)且被圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0所截得的弦长为22的直线方程为________．答案x＋y－2＝0解析圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝4，圆心为(2，2)，半径r＝2，若弦长l＝22，则圆心到直线的距离d＝2，显然直线的斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y－k＋1＝0，所以d＝|2k－2－k＋1|k2＋（－1）2＝2，解得k＝－1，所以直线方程为x＋y－2＝0.12．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．答案8解析圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝5.因为|C1C2|>r1＋r2，所以圆C1与圆C2外离．又A 为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.13．(2024·浙江校考模拟预测)已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝1，则过点MC1，C2都相切的直线方程为________(写出一个即可)．答案x＝2或5x＋12y－26＝0(写出一个即可)解析若过M的切线斜率不存在，即为x＝2，此时显然与两圆都相切；若过M的切线斜率存在，不妨设为y－43＝k(x－2)，则C1(0，0)，C2(3，2)到y－43＝k(x－2)的距离分别为d1＝|2k－43|k2＋1＝2，d2＝|k－23|k2＋1＝1，解得k＝－512，即y－43＝－512(x－2)，即5x＋12y－26＝0.综上，过M且与两圆都相切的直线方程为x＝2或5x＋12y－26＝0(写出一个即可)．14．(2024·云南大理一模)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，过点A(1，1)的相互垂直的两条直线分别交圆C于点M，N和P，Q，则四边形MQNP面积的最大值为________．答案7解析圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝4，点A(1，1)在圆C内部，设圆心C到直线PQ和MN的距离分别为d1，d2，则有|PQ|＝24－d21，|MN|＝24－d22，且d21＋d22＝|CA|2＝1，所以四边形MQNP的面积S＝12|PQ|·|MN|＝24－d21·4－d22≤7，当且仅当d1＝d2＝22时，等号成立，故四边形MQNP面积的最大值为7.四、解答题15．(2024·辽宁大连月考)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．解(1)由题意知，圆C的圆心为(2，3)，半径r＝2.当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，则圆心到直线的距离为d＝r，即|2k－3－4k－1|1＋k2＝2，解得k＝－34，所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.(2)当直线l 的倾斜角为135°时，直线l 的方程为x ＋y －3＝0，圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3－3|2＝ 2.故所求弦长为2r 2－d 2＝222－（2）2＝2 2.16．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及△POM 的面积．解(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )．由题意，得CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，故直线l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到直线l 的距离为|－8|12＋32＝4105，所以|PM |＝2＝4105，所以S △POM ＝12×4105×4105＝165.17．(多选)(2023·重庆一中模拟)已知⊙E ：(x －2)2＋(y －1)2＝4，过点P (5，5)作圆E 的两条切线，切点分别为M ，N ，则下列命题中正确的是()A ．|PM |＝21B ．直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0C ．圆x 2＋y 2＝1与圆E 共有4条公切线D ．若过点P 的直线与圆E 交于G ，H 两点，则当△EHG 的面积最大时，|GH |＝22答案ABD解析因为圆E 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆心E 的坐标为(2，1)，半径为2，所以|EM |＝|EN |＝2，又P (5，5)，所以|PE |＝（5－2）2＋（5－1）2＝5，由已知得PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以|PM |＝|PE |2－|EM |2＝21，A 正确；因为PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以P ，M ，E ，N 四点共圆，且圆心为PE 的中点，线段PE 的中点坐标为所以圆F ＋(y －3)2＝254，即x 2－7x ＋y 2－6y ＋15＝0，因为52－2<|EF |＝52<52＋2，所以圆E 与圆F 相交，又圆E 的方程可化为x 2－4x ＋y 2－2y ＋1＝0，所以圆E 与圆F 的公共弦方程为3x ＋4y －14＝0，故直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0，B 正确；圆x 2＋y 2＝1的圆心O 的坐标为(0，0)，半径为1，因为|OE |＝5，2－1<|OE |<1＋2，所以圆x 2＋y 2＝1与圆E 相交，故两圆只有2条公切线，C 错误；设∠HEG ＝θ，则θ∈(0，π)，△EHG 的面积S ＝12EH ·EG sin θ＝2sin θ，所以当θ＝π2时，△EHG 的面积取最大值2，此时|GH |＝4＋4＝22，D 正确．故选ABD.18．(2023·福建龙岩统考二模)已知M 是圆C ：x 2＋y 2＝2上一个动点，且直线l 1：m (x －3)－n (y －2)＝0与直线l 2：n (x －2)＋m (y －3)＝0(m ，n ∈R ，m 2＋n 2≠0)相交于点P ，则|PM |的最小值是____________．答案2解析由两直线方程可知，l 1，l 2分别过定点A (3，2)，B (2，3)，且两直线互相垂直，设AB的中点为O ，则如图所示，则两直线的交点P 的轨迹为以O 为圆心，AB 为直径的圆O ，|AB |＝2，|OC |＝522，可知两圆相离，设直线OC 交圆C 于点E ，交圆O 于点D ，显然|PM |≥|ED |＝|OC |－|CE |－|OD |＝522－2－22＝ 2.。
圆与圆有关的位置关系 讲义(教师版)
与圆有关的位置关系1.能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系；2.能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系；3.能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系．1.点与圆的位置关系的判定；2.直线与圆的位置关系的判定.点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：点P在圆内⇔d<r点P在圆上⇔d=r点P在圆外⇔d>r【注意】点与圆的位置关系是由点P到圆心的距离ｄ和圆的半径ｒ的数量关系决定的，在运用这一性质时应注意“形”与“数”之间的转化．2.确定圆的条件：不在同一条直线上的三点确定一个圆．【注意】可以让学生通过作图进行归纳总结“不在同一条直线上的三点确定一个圆”，熟练掌握其方法，经过一点或经过两点作圆，因为圆心不能唯一确定，半径也就不能确定．所以作出的圆都有无限多个．“不在同一直线上的三点确定一个圆”，这个“确定”的含义是“有且只有”．3.外接圆与外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．【注意】要注意的是，锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是三角形斜边中点；钝角三角形的外心在三角形的外部，反之成立．例1.矩形ABCD中，AB=8，BC=35，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P 是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A.点B、C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B、C均在圆P内【答案】解：连接PD、PC，⊙AB=8，点P 在边AB 上，且BP=3AP ，⊙AP=2，BP=6 在Rt APD ∆中，7PD ====，⊙⊙P 的半径r=7， 在Rt BPC ∆中，9PC ===⊙PB=6＜r ，PC=9＞r⊙点B 在圆P 内、点C 在圆P 外．故选C ．【解析】此题主要考查判断点与圆的位置关系．需要比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据BP=3AP 和AB=8求得AP 的长，然后利用勾股定理求得圆P 的半径PD 的长，根据点B 、C 到P 点的距离判断点P 与圆的位置关系即可．练习1.如图，在Rt⊙ABC 中⊙ACB=90°，AC=6，AB=10，CD 是斜边AB 上的中线，以AC 为直径作⊙O ，设线段CD 的中点为P ，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A.点P 在⊙O 内B.点P 在⊙O 上C.点P 在⊙O 外D.无法确定 【答案】A【解析】解：⊙AC=6，AB=10，CD 是斜边AB 上的中线， ⊙AD=5，OP=2.5，OC=OA=3， ⊙OP ＜OA ，⊙点P 在⊙O 内，故选A ．练习2.如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1， 点A坐标为12⎛ ⎝⎭，则点A 与⊙O的位置关系是（ ）ABA.点A 在⊙O 外B.点A 在⊙O 上C.点A 在⊙O 内D.无法判断【答案】解：⊙点A 坐标为12⎛ ⎝⎭，⊙OA = ⊙点A 在⊙O 上，故选B ．【解析】本题考查点与圆的三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外．根据点与圆的位置关系比较点到圆心的距离与1的大小关系，然后再确定点在圆上、内、外． 练习3.点P 到⊙O 的圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，d 与r 的值是一元二次方程的两个根，则点P 与⊙O 的位置关系为（ ）A.点P 在⊙O 内B.点P 在⊙O 外C.点P 在⊙O 上D.点P 不在⊙O 上 【答案】解：解方程2320x x -+=得：x=1或x=2， ⊙d≠r ，⊙点P 不在⊙O 上， 故选D ．【解析】本题考查了点与圆的位置关系及用因式分解法解一元二次方程的知识，解题的关键是正确地解方程.解方程求得方程的两个根即可得到d 与r 的值，然后做出判断．点与圆心之间的距离d 和该圆的半径r 有三种不同的大小关系，则点与圆也有三种不同的位置关系，所以在判断点与圆的位置关系时，只需要判断点到圆心的距离与半径的大小即可.例2.如图所示，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为（-2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）0232=+-xxA.（-1，2）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（2，1）【答案】C【解析】解：如图所示，⊙AW=1，WH=3，=⊙BQ=3，QH=1，=⊙AH=BH同理，AD=BD，所以GH为线段AB的垂直平分线，易得EF为线段AC的垂直平分线，H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，则BH=AH=HC，H为圆心．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（-1，1）．故选C．练习1.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A.点PB.点QC.点RD.点M【答案】B【解析】根据垂径定理的推论，则作弦AB和BC的垂直平分线，交点Q即为圆心．故选B．练习2.如图，小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A.第⊙块B.第⊙块C.第⊙块D.第⊙块【答案】B【解析】解：第⊙块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于圆心，进而可得到半径的长．故选B．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心.例3.下列说法中，正确的有（）①三点可以确定一个圆；⊙ 三角形的外心是三角形三边中线的交点；⊙ 锐角三角形的外心在三角形外；⊙ 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】解：⊙不在同一直线上三点才可以作一个圆，⊙⊙错误；⊙三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，⊙⊙错误；⊙锐角三角形的外心在三角形的内部，⊙⊙错误；⊙三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，⊙根据垂直平分线性质得出三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，⊙⊙正确；故选A．练习1.有如下结论：⊙一个圆只有一个内接三角形；⊙一个三角形只有一个外接圆；⊙直角三角形的外心是它斜边的中点；⊙等边三角形的外心是它角平分线的交点．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】解：一个圆有无数个内接三角形，⊙⊙错误；三角形只有一个外接圆，⊙⊙正确；直角三角形斜边的中点到直角三角形三个顶点的距离相等，是直角三角形的外心，⊙⊙正确；等边三角形具有等腰三角形的三线合一的性质，等边三角形的外心是三边垂直平分线的交点，也是三条角平分线的交点，⊙⊙正确；故选C．练习2.正三角形的外接圆的半径和高的比为( )A.1⊙2B.2⊙3C.3⊙4D.1⊙3【答案】B【解析】连接OB，AO，延长AO交BC于D，⊙⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙AD⊙BC，⊙OBC=12⊙ABC =12×60°=30°，⊙⊙ADB=90°，⊙OBC=30°，⊙12 OD OB⊙AD=OA+OD，⊙AD=OB+12OB =32OB，即OB：AD =2：3．故选B．练习3.已知：如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，D为CB延长线上一点，⊙AOC=130°，则⊙ABD 的度数为（）A.40°B.50°C.65°D.100°【答案】C【解析】解：在优弧AC上任意找一点E，连接AE、CE，根据圆周角定理得⊙E=65°；⊙四边形ABCE内接于⊙O，⊙⊙ABD=⊙E=65°．故选C不在同一直线上三点才可以作一个圆，在同一直线上三点不能作一个圆，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在三角形的内部.直线与圆的位置关系1.直线与圆的三种位置关系：【注意】判断直线与圆的位置关系时，既可以用直线与圆的公共点个数来判断，也可以用圆心到直线的距离d与r的大小关系来判定．要注意让学生根据不同的条件准确快速地判断直线与圆的位置关系．2.切线的判定方法（1）定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线．（2）数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线（d=r）．（3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．例1.已知⊙O 的半径为3cm ，点P 是直线l 上一点，OP 长为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为（ ） A.相交 B.相切C.相离D.相交、相切、相离都有可能【答案】D【解析】本题知道⊙O 的半径为3cm ，并知道点P 是直线l 上一点，OP 长为5cm ，并没有告诉圆心到直线l 的距离，且根据已知条件无法确定圆心到直线l 的距离的大小，所以此时要根据直线圆的位置关系的三种情况分别探究是否都有可能.通过具体的数值分析，可知直线l 与圆的位置关系三种都有可能，所以选D.练习1.如图，⊙O 的半径OC=5cm ，直线l ⊥OC ，垂足为H ，且l 交⊙O 于点A 、B 两点，AB=8cm ，则l 沿OC 所在的直线向下平移____cm 时与⊙O 相切.【答案】2【解析】本题是一道判断直线与圆相切有关的问题,涉及到垂径定理、勾股定理以及平移等有关知识的应用.要判断直线l 沿OC 的方向平移多少cm 时与⊙O 相切，只要求到CH 的长度即可.因为CH=OC -OH ，所以只要求到OH 就可解决问题. 解：连接OA ，在Rt⊙AOH 中，因为0A=5cm ，AH=4cm ， 所以OH=3452222=-=-AH OA cm.所以CH=OC -OH=2cm.即l 沿OC 所在的直线向下平移2cm 时与⊙O 相切.练习2.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，⊙AOD=30°，半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 的距离为6cm ．如果⊙P 以1cm/s 的速度沿由A 向B 的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P 与直线CD 相切． A ．4B ．8C ．4或6D ．4或8【解析】本题是一道设计比较新颖的题目，要判断几秒种后⊙P与直线CD相切，则需要计算出当P与直线CD相切时，圆心P移动的距离，如图，在移动的过程中，P与直线CD相切有两种情况，如图，当圆心运动到P1、P2的位置时与直线CD相切，只要求到PP1，PP2长度即可.解：当圆心移动到P1、P2的位置时，设P1与直线CD切于E点，则P1E=1，因为⊙POD=30°，所以OP1=2，所以PP1=6-2=4，同样可求PP2=8cm，所以经过4秒或8秒钟后⊙P与直线CD 相切.故选D.练习3.如图，⊙ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE 为直径的圆与BC的位置关系（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定【答案】A【解析】解：过点A作AM⊙BC于点M，交DE于点N，⊙AM·BC=AC·AB，⊙AM=4.8⊙D、E分别是AC、AB的中点，⊙DE⊙BC，DE=12BC=5⊙AN=MN=12AM，⊙MN=2.4，⊙以DE为直径的圆半径为2.5⊙r=2.5＞2.4，⊙以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．故选A练习4.如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y=x与⊙O的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.以上三种情况都有可能 【答案】B【解析】解：⊙令x=0，则y=令y=0，则， ⊙A(0，，,0)，⊙⊙AOB 是等腰直角三角形， ⊙AB=2，过点O 作OD⊙AB ，则OD=BD=1 ⊙直线y=x与⊙O 相切．故选B判断直线与圆的位置关系时，既可以用直线与圆的公共点个数来判断，也可以用圆心到直线的距离d 与r 的大小关系来判定．例2.如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，⊙ADE = 60°，⊙C = 30°．判断直线CD是否为⊙O 的切线，并说明理由．【答案】解：连接OD ，如图，⊙⊙ADE=60°，⊙C=30°， ⊙⊙A=⊙ADE -⊙C=60°-30°=30°， 又⊙OD=OA ，⊙⊙ODA=⊙A=30°， ⊙⊙EDO=90°，⊙OD 为⊙O 的半径，⊙CD 是⊙O 的切线【解析】本题考查圆切线的判定方法：若直线与圆有唯一交点，则此直线是圆的切线；若圆心到直线的距离等于圆的半径，则此直线是圆的切线；经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和该点，证明该连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径，由题可知直线CD 与圆有公共点，故直接连接OD 证明OD⊙CD 即可．练习1.已知：如图，O 为ABC ∆的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D ．求证： 直线DA 为⊙O 的切线．【答案】解：连接OA ，⊙BC 为⊙O 的直径，BA 平分⊙CBF ，AD⊙BF ，⊙⊙ADB=⊙BAC=90°，⊙DBA=⊙CBA；⊙⊙OAC=⊙OCA，⊙⊙DAO=⊙DAB+⊙BAO=⊙BAO+⊙OAC=90°，⊙OA为⊙O半径，⊙DA为⊙O的切线．【解析】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．练习2.已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足⊙D=⊙ACB.判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【答案】直线BD与⊙O相切．证明：如图，连接OB．⊙⊙OCB=⊙CBD+⊙D，⊙1=⊙D，⊙⊙2=⊙CBD，⊙AB⊙OC，⊙⊙2=⊙A，⊙⊙A=⊙CBD．⊙OB=OC，⊙⊙BOC+2⊙3=180°．⊙⊙BOC=2⊙A，⊙⊙A+⊙3=90°．⊙⊙CBD+⊙3=90°．⊙⊙OBD=90°．⊙OB为⊙O半径，⊙直线BD与⊙O相切．【解析】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．练习3.如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO，求证：BD是⊙O的切线．【答案】连接BO，⊙AB=AD，⊙⊙D=⊙ABD⊙AB=AO，⊙⊙ABO=⊙AOB又在⊙OBD中，⊙D+⊙DOB+⊙ABO+⊙ABD=180°，⊙⊙OBD=90°，即BD⊙BO⊙OB为⊙O半径，⊙BD是⊙O的切线．练习4.已知：如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊙DC，交DC的延长线于点E，且AC平分⊙EAB．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若⊙ADC=30°，AC=6，求BC的长．【答案】（1）连接OC，则⊙CAO=⊙ACO．⊙AC平分⊙EAB，⊙⊙EAC=⊙CAO．⊙⊙EAC=⊙ACO ．⊙AE⊙OC ． ⊙⊙DCO=⊙E=90°，即DE⊙OC ． ⊙OC 为半径，⊙DE 是⊙O 的切线． （2）⊙⊙ADC=30°，⊙⊙EAD=60°， ⊙⊙BAC=12⊙EAD=30°， ⊙AB 是⊙O 的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙BC=【解析】本题考查了切线的判定与性质；证明某一直线是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一直线来判定切线．（1）应用判定定理判定圆的切线时，必须先弄清“题设”中的两个条件：一是经过半径的外端，二是垂直于这条半径，这两者缺一不可；（2）切线的判定定理中，只有证明是切线后，这个交点才能称为切点；（3）证明切线常见题型：⊙已知交点：连半径、证垂直；⊙交点未知：作垂直、证半径．例3.等腰⊙ABC 中，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点G ，过点D 作⊙O 的切线交AB 于点E ，交AC 的延长线与点F ．求证：EF⊙AB ．【答案】解：连接OD ，⊙OC=OD ，⊙⊙ODC=⊙OCD ，又⊙AB=AC，⊙⊙OCD=⊙B，⊙⊙ODC=⊙B，⊙OD⊙AB，⊙ED是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，⊙OD⊙EF，⊙AB⊙EF ．练习1.如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B 作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．（1）求⊙AEC的度数；（2）求证：四边形OBEC是菱形．【答案】解：（1）在⊙AOC中，AC=2，⊙AO=OC=2，⊙⊙AOC是等边三角形，⊙⊙AOC=60°，⊙⊙AEC=30°；（2）⊙OC⊙l，BD⊙l．⊙OC⊙BD．⊙⊙ABD=⊙AOC=60°．⊙AB为⊙O的直径，⊙⊙AEB=90°，⊙⊙AEB为直角三角形，⊙EAB=30°．⊙⊙EAB=⊙AEC．⊙CE⊙OB，又⊙CO⊙EB，⊙四边形OBEC为平行四边形．又⊙OB=OC=2．⊙四边形OBEC是菱形．归纳切线的性质：(1)切线和圆有唯一公共点（切线的定义）；(2)圆心到直线的距离等于圆的半径（判定方法(2)的逆命题）；(3)切线垂直于过切点的半径（切线的性质定理）；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点（推论1）；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心（推论2）．例4.如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为（）A．5B．6C．√30D．112【答案】B【解析】解：连接OM、ON，⊙四边形ABCD是正方形，⊙AD=AB=11，⊙A=90°，⊙圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，⊙⊙OMA=⊙ONA=90°=⊙A，⊙OM=ON，⊙四边形ANOM是正方形，⊙AM=OM=5，DE与圆O相切于E点，圆O的半径为5，⊙AM=5，DM=DE，⊙DE=11﹣5=6，故选B．练习1.如图，在Rt⊙AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．【答案】2【解析】解：连接OP、OQ．⊙PQ 是⊙O 的切线，⊙OQ⊙PQ ； 根据勾股定理知PQ 2=OP 2﹣OQ 2， ⊙当PO⊙AB 时，线段PQ 最短， ⊙在Rt⊙AOB 中，OA=OB=3， ⊙AB=OA=6，⊙OP==3， ⊙PQ===2．故答案为：2．练习2.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得⊙APB=60°，则称P 为⊙C 的关联点. 已知点D （21，），E （0，-2），F （32，0） （1）当⊙O 的半径为1时，⊙在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是__________；⊙过点F 作直线交y 轴正半轴于点G ，使⊙GFO=30°，若直线上的点P （m ，n ）是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围.【答案】(1) ⊙；⊙；(2)21E D 、30≤≤m 1≥r【解析】(1) ⊙；⊙由题意可知，若点要刚好是圆的关联点；需要点到圆的两条切线和之间所夹的角度为； 由图可知，则，连接，则rBC CPBBCPC 22sin ==∠=； ⊙若点为圆C 的关联点；则需点P 到圆心的距离d 满足r d 20≤≤； 由上述证明可知，考虑临界位置的P 点，如图2；点P 到原点的距离212=⨯=OP ；过作轴的垂线，垂足为，； ⊙，⊙； ⊙，⊙； 易得点与点重合，过作轴于点； 易得，⊙；从而若点为圆的关联点，则点必在线段上，⊙；E D 、P C P C PA PB ︒601︒=∠60APB ︒=∠30CPB 图1CBAPBC PO x OH H 3232tan ===∠OG OF OGF ︒=∠60OGF 360sin =︒⋅=OG OH 23sin ==∠OP OH OPH ︒=∠60OPH 1P G 2P x M P ⊥2M ︒=∠302OM P 330cos 2=︒⋅=OP OM P O P 21P P 30≤≤m(2) 若线段上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小， 则这个圆的圆心应在线段的中点； 考虑临界情况，如图3；即恰好点为圆的关联时，则； ⊙此时；故若线段上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径的取值范围为.利用直线与圆相切的性质可以处理一些较综合的问题，其中相切的性质可以为解题提供垂直的条件.圆与圆的位置关系1.圆和圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含2.设两圆圆心距为d ，两圆半径分别为R ，r （R>r ）由圆和圆的位置关系及圆心距d 与R ，r （R>r ）之间的关系得： 两圆外离d R r ⇔>+； 两圆外切d R r ⇔=+；EF EFF E 、K2212===EF KN KF 1=r EF r 1≥r两圆相交R r d R r ⇔-<<+；两圆内切d R r ⇔=-；两圆内含0d R r ⇔≤<-3.相交两圆性质定理: 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦．4.相切两圆的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上．例1.两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）A.内切B.相交C.外切D.外离【答案】B【解析】解：根据题意得R+r=5+3=8，R -r=5-3=2，圆心距=7，⊙2＜7＜8，⊙两圆相交．故选B ．练习1.已知⊙O 1与⊙O 2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距12O O 可能是（ ）A.2B.3C.6D.12【答案】C【解析】解：两圆半径之差为3，半径之和为11，两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，所以，3＜12O O ＜11．符合条件的数只有C ．故选C ．练习2.已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是方程2430x x -+=的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ）A 、外离B 、外切C 、相交D 、内切【答案】B【解析】解：⊙2430x x -+=，⊙（x -3）（x -1）=0，解得：x=3或x=1，⊙⊙O 1与⊙O 2的半径12,r r 分别是方程2430x x -+=的两实根，⊙124r r +=，⊙⊙O 1与⊙O 2的圆心距d=4，⊙⊙O 1与⊙O 2的位置关系是外切．故选B ．练习3.若两个圆相切于A 点，它们的半径分别为10cm 、4cm ，则这两个圆的圆心距为( )A ．14cmB ．6cmC ．14cm 或6cmD ．8cm【答案】C 【解析】解：⊙两圆半径分别为10cm 、4cm ，⊙若这两个圆外切，则圆心距为：10+4=14（cm ），若这两个圆内切，则圆心距为：10-4=6（cm ），⊙这两个圆的圆心距为14cm 或6cm ．故选C ．练习4.定圆O 的半径是4cm ，动圆P 的半径是2cm ，动圆在直线l 上移动，当两圆相切时，OP 的值是（ ）A.2cm 或6cmB.2cmC.4cmD.6cm【答案】A【解析】解：设定圆O 的半径为R=4cm ，动圆P 的半径为r=2cm ，分两种情况考虑： 当两圆外切时，圆心距OP=R+r=4+2=6cm ；当两圆内切时，圆心距OP=R -r=4-2=2cm ，综上，OP 的值为2cm 或6cm ．故选A由圆和圆的位置关系及圆心距d 与R ，r （R>r ）之间的关系得：两圆外离d R r ⇔>+； 两圆外切d R r ⇔=+；两圆相交R r d R r ⇔-<<+；两圆内切d R r ⇔=-；两圆内含0d R r ⇔≤<-.例2.已知：如图，⊙O 1与⊙O 2外切于A 点，直线l 与⊙O 1、⊙O 2分别切于B ，C 点，若⊙O 1的半径r 1=2cm ，⊙O 2的半径r 2=3cm ．求BC 的长．【答案】解：连接O 1B ，O 2C ，O 1O 2，过点O 1作O 1D⊙O 2C 于D ，⊙直线l 与⊙O 1、⊙O 2分别切于B ，C 点，⊙O 1B⊙BC ，O 2C⊙BC ，⊙四边形O 1BCD 是矩形，⊙CD=O 1B=r 1=2cm ，BC=O 1D ，⊙O 2D=O 2C -CD=3-2=1（cm ），⊙⊙O 1与⊙O 2外切于A 点，在Rt⊙O 2DO 1中，O 2O 1=r 1+r 2=2+3=5（cm ），⊙O 1D=cm ，⊙BC=cm ．【解析】此题考查两圆相切的性质、切线的性质、矩形的判定与性质．难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握相切两圆的性质．练习1.如图为某机械的截面图，相切的两圆⊙O 1，⊙O 2均与⊙O 的弧AB 相切，且O 1O 2⊙l 1（l 1为水平线），⊙O 1，⊙O 2的半径均为30mm ，弧AB 的最低点到l 1的距离为30mm ，公切线l 2与l 1间的距离为100mm ．则⊙O 的半径为（ ）A.70mmB.80mmC.85mmD.100mm【答案】B【解析】解：如图，设⊙O 的半径为Rmm ，依题意，得CE=100-30=70（mm ），⊙l 2⊙O 1O 2，⊙CD=O 1D=30（mm ），DE=CE -CD=70-30=40（mm ），OD=OE -DE=R -40（mm ），在Rt⊙OO 1D 中，O 1O=R -30（mm ），O 1D=30mm ，由勾股定理，得O 1D 2+OD 2=O 1O 2，即302+（R -40）2 =（R -30）2，解得R=80mm ．故选B 练习2.如图，⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3两两相切,AB 为⊙O 1，⊙O 2的公切线，AB 为半圆，且分别与三圆各切于一点．若⊙O 1，⊙O 2的半径均为1，则⊙O 3的半径为（ ）A.1B.121 1 【答案】C 【解析】解：如图，分别作三个圆心到AB 的垂线，垂足分别点E 、D 、F ，⊙O 1与⊙O 2的半径相等且相切于S ，则O 3D 过点S ，且点D 是半圆AB 的圆心，延长DS 交圆D 于点W ，则WD 是半圆AB 的半径．EFO 2O 1是矩形，SDEO 1是正方形，DQ=DW=SD+O 3S+O 3W设圆O 3的半径为R ，由勾股定理得O 3DO 1-1．故选C ．两圆相切有两种情况：内切和外切，注意在处理两圆相切问题时需要分类讨论.例3.已知：如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过A 点的割线分别交两圆于C ，D ，弦CE⊙DB ，连接EB ，试判断EB 与⊙O 2的位置关系，并证明你的结论．【答案】解：过B 作⊙O 2的直径BH ，连接AH ，AB ，⊙BH 是⊙O 2的直径，⊙⊙BAH=90°，⊙CE⊙DB ，⊙⊙ACE=⊙D⊙⊙H=⊙D ，⊙ACE=⊙ABE ，⊙⊙H=⊙ABE⊙⊙H+⊙ABH=90°，⊙⊙ABH+⊙ABE=90°⊙⊙EBH=90°， 又⊙O 2B 为半径，⊙EB 是⊙O 2的切线．【解析】此题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是根据题意作出辅助线，再根据在同圆中等弧所对的圆周角相等和三角形的内角和等于180°进行解答．练习1.已知：相交两圆的公共弦的长为6cm ，两圆的半径分别为cm 23，cm 5，求这两个圆的圆心距．【答案】解：当公共弦在圆心的同侧时如图，AB=6cm ，O 1A=5cm ，O 2A=⊙公共弦长为6cm ，⊙AC=3cm ，AC⊙O 1O 2，⊙O 1C=4cm ，O 2C=3cm ，⊙当公共弦在两个圆心之间时，圆心距=4+3=7cm ；当公共弦在圆心的同侧时，圆心距=4-3=1cm ．则这两个圆的圆心距是7cm 或1cm ．【解析】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理．注意此题应考虑两种情况是解题关键．先根据勾股定理，得圆心距的两部分分别是4cm，3cm，然后根据两圆的位置关系确定圆心距．练习2.已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连接EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D．（1）如图，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立？证明你的结论；（2）当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径．【答案】解：（1）EA=ED成立．证明：连接AB，在EA延长线上取点F；⊙AE是⊙O1的切线，切点为A，⊙⊙FAC=⊙ABC，⊙⊙FAC=⊙DAE（对顶角），⊙⊙ABC=⊙DAE，而⊙ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角，⊙⊙ABC=⊙D，⊙⊙DAE=⊙D，⊙EA=ED；（2）当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，所以，直线CA与⊙O2相切，直径为4．两圆相交的重点是对相交弦的处理.。
九年级数学圆知识点及习题(含答案)
九年级数学圆知识点及习题(含答案)1.圆上各点到圆心的距离都等于半径。
2.圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形, 圆心是它的对称中心。
3.垂直于弦的直径平分这条弦 ,并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。
4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量相等 ,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
5.同弧或等弧所对的圆周角相等 ,都等于它所对的圆心角的一半。
6.直径所对的圆周角是 90° ,90°所对的弦是直径。
7.三角形的三个顶点确定 1 个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形的外接圆的圆心叫外心,是三角形三边垂直平分线的交点。
8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 ,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点的交点,叫做三角形的内心。
9.圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形．10.圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角2、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系共有三种：①点在圆外 ,②点在圆上 ,③点在圆内；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：①d > r,②d = r,③d < r.2.直线与圆的位置关系共有三种：①相交 ,②相切 ,③相离；对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：①d < r,②d = r,③d > r.3.圆与圆的位置关系共有五种：①内含 ,②相内切 ,③相交 ,④相外切 ,⑤外离；两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：①d < R-r,②d = R-r,③ R-r < d < R+ r,④d = R+r,⑤d > R+r.4.圆的切线垂直于过切点的半径；经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线, 切线长相等,这点与圆心之间的连线平分这两条切线的夹角。
考点20 与圆有关的位置关系及计算(精讲)(解析版)
考点20.与圆有关的位置关系及计算（精讲）【命题趋势】与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。
关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。
【知识清单】1：点、直线与圆的位置关系类（☆☆）1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：图1图2(1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3．解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。
2）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：图1图2图3(1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。
2：切线的性质与判定（☆☆☆）1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。
解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。
2）切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。
3）切线长定理定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
第2讲 与圆有关的位置关系含答案
第2讲 与圆有关的位置关系模块一 点和圆的位置关系 一、 点和圆的位置关系点和圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设O ⊙的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：点在圆外⇔d r >； 点在圆上⇔d r =； 点在圆内⇔d r <.二、确定圆的条件：1. 经过已知一个点A 的圆有无数个，且圆心排列无规律。
2. 经过已知两个点A,B 的圆也有无数个，且圆心在连接这两点的线段的垂直平分线上。
3. 经过不在同一条直线上的已知三个点A,B,C 的圆有且只有一个，圆心是连接任意两条线段的垂直平分线的交点。
三、三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．OA OB OC ==注意：锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.OCBA例题1（1）⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．点P在⊙O上或⊙O外（2）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是3<r<5 ．练习：一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为3cm或8cm ．例题2小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块B．C．第③块D．第④块例题3若△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝24cm，则它的外接圆的直径26cm．模块二直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：二、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．“经过圆心”、“经过切点”、“互相垂直”知二推一三、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 四、切线的判定方法1、定义法：圆只有一个公共点的直线是圆的切线；2、距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；3、定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．定义法 距离法 定理法五、切线长和切线长定理切线长：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.,PA PB OPA OPB =∠=∠六、三角形的内切圆三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的的内心。
2.5.2圆与圆的位置关系(解析版)
2.5.2圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义 两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则： 两圆外离d＞r1+r2 两圆外切d=r1+r2 两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2) 两圆内切d=r1-r2(r1＞r2) 两圆内含d＜r1-r2(r1＞r2)要点： (1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； (3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【答案】A 【解析】由图形可以看出，有两种位置关系，相交和内切．故选A.题型2：根据圆与圆的位置关系求半径4．已知1O e 与2O e 相切，若1O e 的半径为3cm ，127cm O O =，，则2O e 的半径为（ ）A ．4cm 或12cmB ．10cm 或6cmC ．4cm 或10cmD ．6cm 或12cm【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系，内切时()2121d r r r r =->，外切时12d r r =+，计算即可．【解析】解：两圆内切时，2O e 的半径7310=+=(cm)，外切时，2O e 的半径734=-=(cm)，∴2O e 的半径为4cm 或10cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键．5．如果两圆有两个交点，且圆心距为13，那么此两圆的半径可能为（ ）A ．1、10B ．5、8C ．25、40D ．20、30【答案】D【分析】先由两圆有两个交点得到两圆相交，然后根据半径与圆心距之间的关系求解即可．【解析】∵两圆有两个交点，∴两圆相交，∵圆心距为13∴两圆的半径之差小于13，半径之和大于13．A ．1101113+=<，故不符合题意；B ．5813+=，故不符合题意；【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7A．45°B．30°【答案】B【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可得【解析】解：连接O1O2，AO2，O∵O 1B = O 1A∴112112O AB O BA AO O Ð=Ð=Ð ∵⊙O 1和⊙O 2是等圆，∴AO 1=O 1O 2=AO 2，∴△AO O 是等边三角形，【点睛】本题考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出21AO O D 是等边三角形是解题的关键．题型5：分类讨论13．已知圆1O 、圆2O 的半径不相等，圆1O 的半径长为5，若圆2O 上的点A 满足15AO =，则圆1O 与圆2O 的位置关系是（ ）A ．相交或相切B ．相切或相离C ．相交或内含D ．相切或内含【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，分类讨论．【解析】解：如图所示：当两圆外切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相交时，交点A 能满足15AO =，当两圆内切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相离时，圆2O 上的点A 不能满足15AO =，所以，两圆相交或相切，故选：A ．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．14．如图，长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，圆B 半径为1，圆A 与圆B 外切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（ ）A ．点C 在圆A 外，点D 在圆C ．点C 在圆A 上，点D 在圆【答案】A 【分析】先根据两圆外切求出圆A 的半径，连接【解析】解：∵4AB =，圆B 半径为【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．15．如图，1O e ，2O e 的圆心 1O ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含【答案】D 【分析】先求出7s 后，两圆的圆心距为1cm ，结合两圆的半径差即可得到答案．【解析】解：∵1O e 的半径为 2cm ，2O e 的半径为 3cm ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线 l 向右运动，7s 后停止运动．∴7s 后，两圆的圆心距为1cm ，此时两圆的半径差为321cm -=，∴此时两圆内切，∴在此过程中，1O e 与 2O e 没有出现的位置关系是：内含，故选D ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握d R r =+，则两圆外切，d R r =-，则两圆外切，是关键．题型6：圆的位置关系综合16．如图，∠MON =30°，p 是∠MON 的角平分线，PQ 平行ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，那么r 的取值范围是（ ）A ．4<r <12B ．2<r <12C ．4<r <8D ．r >4【答案】A 【分析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，得到四边形ABPQ 是矩形，QA=PB=4，根据∠MON =30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r ，即可得到两圆相交时的半径r 的取值范围.【解析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，∵PQ ∥ON ，∴PQ ⊥PB ，∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，∴四边形ABPQ 是矩形，∴QA=PB=4，∵∠MON =30°，∴OQ=2QA=8，∵OP 平分∠MON ，PQ ∥ON ，∴∠QOP=∠PON=∠QPO ，∴PQ=OQ=8，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相外切时，r=8-4=4，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相内切时，r=8+4=12，∴以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，4<r<12，故选：A.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定及性质，两圆相切的性质.17．如图，在Rt ABC V 中，90C Ð=°，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，A e 的半径长为3，D e 与A e 相交，且点B 在D e 外，那么D e 的半径长r 可能是（ ）A ．1r =B ．3r =C ．=5r D ．7r =【答案】B 【分析】连接AD 交A e 于E ，根据勾股定理求出AD 的长，从而求出DE DB 、的长，再根据相交两圆的位置关系得出r 的范围即可．【解析】解：连接AD 交A e 于E ，如图1，在Rt ACD V 中，由勾股定理得：则532DE AD AE =-=-=，73BC CD ==Q ，，734BD \=-=，\D e A eA ．142r <<B ．52r <<【答案】C【分析】过点O 作OE AD ^，勾股定理求得11,OE AB OF AD ==，根据题意，画出相应的图形，即可求解．当圆O 与CD 相切时，过点O 作OF CD ^于点F ，如图所示，则162OF AD ==则1325622r =+=∴O e 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且D e 与O e 内切时，作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆一、单选题1．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切【答案】D【分析】根据两圆半径的和与圆心距，即可确定两圆位置关系．【解析】解：∵两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，538+=，∴两圆外切，故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握：外离，则d R r >+；外切，则d R r =+；相交，则R r d R r -<<+；内切，则d R r =-；内含，则d R r <-．2．两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两个圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】A【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据它们数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【解析】解：∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，又∵7＞3+2，∴两圆的位置关系是：外离．故选A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解题的关键在于能够准确掌握相关知识进行求解.3．已知直径分别为6和10的两圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距的取值范围是（ ）A ．d ＞2B ．d ＞8C ．d ＞8或0≤d ＜2D ．2≤d ＜8【答案】C【分析】分两种情况讨论：当两圆外离时，两圆没有公共点时，当两圆内含时，两圆没有公共点时，从而可得答案.【解析】解：Q 直径分别为6和10的两圆没有公共点，\ 两圆的半径分别为3和5，当两圆外离时，两圆没有公共点时，8,d >当两圆内含时，两圆没有公共点时，02,d £<综上：所以两圆没有公共点时，8d >或0 2.d £<故选C【点睛】本题考查的是两圆的位置关系，熟练的运用两圆外离与内含的定义解题是解本题的关键.4．已知点()4,0A ，()0,3B ，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A 与⊙B 的位置关系（ ）【点睛】本题考查了两圆外切的条件，两圆相交的条件，等腰直角三角形的性质和对称性，熟练掌握两圆D ．当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤．【答案】D【分析】根据圆与圆位置关系的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【解析】当1224O O <<时，⊙1O 与⊙2O 相交，有两个公共点，故选项A 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 有两个公共点时，1224O O <<，故选项B 描述正确；当1202O O <≤时，⊙1O 与⊙2O 没有公共点，故选项C 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤或124O O >，故选项D 描述错误；故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆位置关系的性质，从而完成求解．9．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，以A 、D 为圆心，半径分别为2和1画圆，E 、F 分别是⊙A 、⊙D 上的一动点，P 是BC 上的一动点，则PE+PF 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD′交BC 于P ，交⊙A 、⊙D′于E 、F′，连接PD ，交⊙D 于F ，EF′就是PE+PF 最小值；根据勾股定理求得AD′的长，即可求得PE+PF 最小值．【解析】解：如图，以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD’交BC 于P ，则EF′就是PE+PF最小值；∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，圆A的半径为2，圆D的半径为1，∴A′D′=BC=6，AA′=2AB=8，AE=2,D′F′=DF=1，∴AD′=10，EF′=10-2-1=7∴PE+PF=PF′+PE=EF′=7，故选C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是解答本题的关键．10．如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D．若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（）A．2﹣B．﹣1C．2D．+1【答案】A【解析】试题分析：利用圆周角定理确定点C的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系求得OC长度的取值范围．解：如图，连接OA、OD，则△OAD为等边三角形，边长为半径1．作点O关于AD的对称点O′，连接O′A、O′D，则△O′AD也是等边三角形，边长为半径1，∴OO′=×2=．由题意可知，∠ACB=∠ABC=∠AOD=30°，∴∠ACB=∠AO′D，∴点C在半径为1的⊙O′上运动．由图可知，OC长度的取值范围是：﹣1≤OC≤+1．故选A．考点：相交两圆的性质；轴对称的性质．二、填空题当1O e 位于2O e 外部，且P ，1O ，2O 位于同一条直线上时，如图所示，min 121523r O O PO =-=-=．故答案为：37r ££．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．16．在矩形ABCD 中，5AB =，8AD =，点E 在边AD 上，3AE =图)，点F 在边BC 上，以点F 为圆心、CF 为半径作F e ．如果F e【答案】4116【分析】连接EF ，作FH 股定理得到()(235r r +=-【解析】解：连接EF ，作BQe过点A，且7AB=，由函数图象可知，当即不等式①的解集为同理可得：不等式②【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理，熟练利用正三角形以及正方形的性质是解题关键．20．已知A e ，B e ，C e 【答案】A e 的半径为2厘米，(1)设AP ＝x ，求两个圆的面积之和S ；(2)当AP 分别为13a 和12a 时，比较S 【答案】(1)22111422a ax x p p p -+11求：(1)弦AC的长度；(2)四边形ACO1O2的面积．【答案】(1)8(2)21（2）解：在2Rt AO E △中，由勾股定理得：∴1212426O O O E O E =+=+=∴1111831222O AC S AC O D ==´´=g △，S ∴四边形ACO 1O 2的面积为：S S +(1)如图1所示，已知，点()02A ，，点()32B ，．①在点()()()123011141P P P -，，，，，中，是线段AB 的“对称平衡点”的是___________②线段AB 上是否存在线段AB 的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的 “对称平衡点若不存在，请说明理由；(2)如图2，以点()02A ，为圆心，1为半径作A e ．坐标系内的点C 满足2AC =，再以点作C e ，若C e 上存在A e 的“对称平衡点”，直接写出C 点纵坐标C y 的取值范围．【答案】(1)①1P ，3P ；②不存在，理由见解析(2)02c y ££∴线段AB的“对称平衡点”的是1P，故答案为：1P，3P；②不存在设P为线段AB上任意一点，则它与线段££，PA PB33点P关于x轴的对称点为P¢，它到线段，是线段AB上的任意两点，即若M N∵()()0,2,0,0A O ∴02c y ££【点睛】本题考查了对称平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题．。
第18讲 圆与圆的位置关系4种常见考法归类(解析版)-新高二数学暑假自学课讲义
第18讲圆与圆的位置关系4种常见考法归类1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想.知识点1圆与圆的位置关系1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．2．判定方法(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：|r－r|＜d＜C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E21－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)，2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．知识点2圆与圆位置关系的应用设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，①圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.③方程③表示圆C 1与C 2的公共弦所在直线的方程．(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．1、公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．核心技巧：利用圆心到切线的距离d r =求解知识点4圆系方程(1)以(,)a b 为圆心的同心圆圆系方程：22()()(0)x a y b λλ-+-=>；(2)与圆220x y Dx Ey F ++++=同心圆的圆系方程为220x y Dx Ey λ++++=；(3)过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为22()0()x y Dx Ey F Ax By C R λλ+++++++=∈4过两圆1C 221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-，此时圆系不含圆2C ：222220x y D x E y F ++++=）特别地，当1λ=-时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.1、判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d 与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．2、圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆的方程可设为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．3、两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.4、公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．5、求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程考点一：圆与圆位置关系的判断（一）判断圆与圆的位置关系例1．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）圆()22(2)21x y -+-=与圆()()221225x y +++=的位置关系是（）A ．相切B ．相交C ．内含D ．外离【答案】B【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心和半径，并计算两圆的圆心距即可判断作答.【详解】圆()22(2)21x y -+-=的圆心1(2,2)C ，半径11r =，圆()()221225x y +++=的圆心2(1,2)C --，半径25r =，于是122121||5(,)C C r r r r ==∈-+，所以两圆相交.故选：B变式1．（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O ：221x y +=与圆C :22650x y y +++=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．外切D ．内切【答案】C【分析】利用两圆外切的定义判断即可.【详解】圆O 是以(0,0)O 为圆心，半径11r =的圆，圆C :22650x y y +++=改写成标准方程为()2234x y ++=，则圆C 是以(0,3)C -为圆心，半径22r =的圆，则3OC =，12r r +=3，所以两圆外切，故选：C .变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆1C 的圆心在直线210x y +-=上，点()3,0与()1,2-都在圆1C 上，圆()()222:311C x y -++=，则1C 与2C 的位置关系是___________.【答案】相交【分析】利用待定系数法求得圆1C 的标准方程，求出圆心距12C C ，与两圆的半径和、差比较即可得出结论.【详解】设圆1C 的标准方程为()()2221x a y b r -+-=，因为圆心1C 在直线210x y +-=上，且该圆经过()3,0与()1,2-两点，列方程组22212221210(3)(0)(1)(2)a b a b r a b r +-=⎧⎪-+-=⎨⎪-+--=⎩，解得1102a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即圆1C 的标准方程为()2214x y -+=，圆心()11,0C ，半径12r =，又圆()()222:311C x y -++=，圆心()23,1C -，半径21r =，∴12C C =123r r +=，121r r-=，而13<<，∴1C 与2C 的位置关系是相交.故答案为：相交.变式3．【多选】（2023秋·江苏南通·高二统考期末）已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，则（）A ．点(5,5)在圆C内B ．直线3)y x =-与圆C 相切C ．圆229x y +=与圆C 相切D ．圆2249x y +=与圆C 相切【答案】BCD【分析】根据点和圆的位置关系判断A 选项，根据圆心与直线距离判断B 选项，根据圆心间距离和半径和差比较判断圆圆位置关系判断C,D 选项.【详解】点(5,5)代入圆22:(3)(4)4C x y -+-=可得22(53)(54)414-+-=+>,点(5,5)在圆C 外，A 选项错误；圆22:(3)(4)4C x y -+-=,圆()3,4,2C r=,直线3)y x =-,圆心到直线距离2d =,B 选项正确；圆229x y +=,圆心()110,0,3C r=,11523CC r r ===+=+,圆229x y +=与圆C 相外切,C 选项正确;圆2249x y +=,圆心()220,0,7C r =,22572CC r r ==-=-,圆2249x y +=与圆C 相内切,D 选项正确.故选:BCD.变式4．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，动点P满足PA =，则使PAB 为等腰三角形的点P 个数为（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】设(),P x y，根据PA =可得动点P 的轨迹方程为圆22:(4)12M x y -+=，再结合PAB 为等腰三角形分析即可求解.【详解】设(),P x y ，由PA =，=整理得22(4)12x y -+=，记为圆.M又PA PB =>，PAB 为等腰三角形，则有4PA AB ==或4PB AB ==.因为圆22:(2)16A x y ++=与圆M 相交，故满足4PA AB ==点P 有2个；因为圆22:(2)16B x y -+=与圆M 相交，故满足4PB AB ==点P 有2个，故使PAB 为等腰三角形的点P 共有4个.故选：D.变式5．【多选】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知圆M ：22650x y y +-+=，圆N ：22280x y y ++-=，直线l ：340x y m -+=，则下列说法正确的是（）A ．圆N 的圆心为()0,1B ．圆M 与圆N 相交C ．当圆M 与直线l 相切时，则2m =D ．当7m =时，圆M 与直线l 相交所得的弦长为【答案】BD【分析】写出圆,M N 的标准方程确定圆心坐标和半径，判断||MN 与两圆半径的关系判断A 、B ；再由点线距离及相交弦长公式判断C 、D.【详解】由题设，22:(3)4M x y +-=，则(0,3)M 且半径2r =，22:(1)9N x y ++=，则(0,1)N -且半径3R =，A 错；所以4R r MN R r -<=<+，即两圆相交，B 对；M 到直线l 的距离|012||12|55m m d -+-==，若圆M 与直线l 相切，则|12|25m -=，所以22m =或2m =，C 错；当7m =时1d r =<，即圆M 与直线l 相交，相交弦长为=D 对.故选：BD变式6．（2022·全国·高二专题练习）已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.【详解】设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-=，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.（二）由圆的位置关系求参数例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）若圆221:4C x y +=与圆2222:20C x y mx m m +-+-=外切，则实数m =（）A ．－1B ．1C ．1或4D ．4【答案】D【分析】由两圆的位置关系计算即可.【详解】由条件化简得()222:,0C x m y m m -+=∴>，即两圆圆心为()()120,0,,0C C m ，设其半径分别为12,r r ，122,r r ==121224C C m r r m ==+=+⇒=.故选：D变式1．（2023秋·高二课时练习）若两圆22(1)4x y ++=和圆22()1x a y -+=相交，则a 的取值范围是（）A ．02a <<B ．02a <<或42a -<<-C ．42a -<<-D ．24a <<或20a -<<【答案】B【分析】圆()2214x y ++=与圆()221x a y -+=相交，则圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，解不等式．【详解】 圆()2214x y ++=与圆()221x a y -+=相交，∴两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，即2121-<<+，所以113a <+<.解得02a <<或42a -<<-.故选：B变式2．（2023秋·高二课时练习）当a 为何值时，两圆2222450x y ax y a +-++-=和2222230x y x ay a ++-+-=.(1)外切；(2)相交；(3)外离.【答案】(1)5a =-或2a =(2)52a -<<-或1a 2-<<(3)5a <-或2a >【分析】（1）化两圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再求出两圆的圆心距d ，由1212||d C C r r ==+列式，即可求解.（2）由1212||r r d r r <+<-列不等式组，即可求出a 的范围.（3）由1212||d C C r r =>+列不等式，即可求出a 的范围.【详解】（1）设圆2221:2450C x y ax y a +-++-=，半径为1r ，得221:()(2)9C x a y -++=，圆心1(,2)C a -，13r =.2222:2230C x y x ay a ++-+-=，半径为2r ，得222:(1)()4C x y a ++-=，圆心1(1,)C a -，22r =.圆心距12||d C C ===因为两圆12,C C 外切，则1212||5d C C r r ==+=5=，解得5a =-或2a =.（2）因为两圆12,C C 相交，则121212||||r r C C r r -<<+，即121||5C C <<，所以15<，解得52a -<<-或1a 2-<<.（3）因为两圆12,C C 外离，则1212||d C C r r =>+，即12||5C C >，5>，解得5a <-或2a >.变式3．（2022秋·高二课时练习）若圆222x y r +=与圆222440x y x y ++-+=有公共点，则r 满足的条件是（）A ．1rB ．1r >+C ．1r ≤D ．1r <【答案】C【分析】根据两圆之间的位置关系，由圆心距和半径之间的关系即可求解.【详解】由222440x y x y ++-+=得()()22121x y ++-=，∵两圆有公共点，∴11r r -≤+，1r -＃1，即11r -≤，∴1r ≤，故选：C.变式4．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆1C ：()()()222120x y r r -++=>与圆2C ：()()224216x y -+-=有公共点，则r 的取值范围为（）A ．(]0,1B ．[]1,5C ．[]1,9D ．[]5,9【答案】C【分析】根据题意得到1244r C C r -≤≤+，再解不等式即可.【详解】由题知：()11,2C -，1r r =，()24,2C ，24r =，125C C =.因为1C 和2C 有公共点，所以1244r C C r -≤≤+，解得19r ≤≤.故选：C变式5．（2023春·安徽·高二校联考期末）已知圆()()()222:3425C x y r r *-+-=+∈N ，()1,0M -，()1,0N ，若以线段MN 为直径的圆与圆C 有公共点，则r 的值可能为______.（写出一个即可）【答案】1（2,3均可）答案不唯一【分析】根据题意，由已知利用圆与圆的位置关系即可求解.【详解】由题意得，圆221x y +=与圆()()222:3425C x y r -+-=+有公共点，11≤≤，∴46≥≤，且0r >，解得0r <1r =，2，3均可.故答案为：1（2,3均可）变式6．（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆22:(4)(3)4C x y -++=和两点(,0),(,0)(0)->A a B a a ，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则a 的最小值为（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【分析】根据条件，将问题转化成圆222x y a +=与圆C 有公共交点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果.【详解】由90APB ∠=︒，得点P 在圆222x y a +=上，故点P 在圆222x y a +=上，又点P 在圆C 上，所以，两圆有交点，因为圆222x y a +=的圆心为原点O ，半径为a ，圆C 的圆心为(4,3)-，半径为1，所以|1|1a OC a -≤≤+，又5OC ==，所以|1|51a a -≤≤+，解得46a ≤≤，所以a 的最小值为4.故选：C.变式7．（2023秋·高一单元测试）已知圆221:()(2)9O x m y -++=与圆222:()(2)1O x n y +++=内切，则22m n +的最小值为_______【答案】2【分析】计算两圆的圆心距，令圆心距等于两圆半径之差，结合基本不等式求解最小值即可．【详解】圆1O 的圆心为(,2)m -，半径为13r =，圆2O 的圆心为(,2)n --，半径为21r =，∴两圆的圆心距||d m n =+，两圆内切，||2m n ∴+=，可得()2222222442m n mn m n mn m n ++=⇒-+=≤+，所以222m n +≥．当且仅当1m n ==时，取得最小值，22m n +的最小值为2．故答案为：2．变式8．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆C 的方程为221x y +=，若直线()3y k x =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 相外切，则k 的取值范围为__________．【答案】,55⎡-⎢⎣⎦【分析】根据题意，由圆C 的圆心到直线()3y k x =-的距离不大于两半径之和求解.【详解】解：因为直线()3y k x =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 相外切，所以圆C 的圆心到直线()3y k x =-的距离不大于两半径之和，即2d =≤，化简得254k ≤，解得k ≤≤故答案为：⎡⎢⎣⎦考点二：与圆相交有关的问题（一）求两圆的交点坐标例3．（2022·高二课前预习）圆221x y +=与圆222210x y x y ++++=的交点坐标为（）A ．(1,0)和()0,1B ．(1,0)和()0,1-C ．(1,0)-和()0,1-D ．()1,0-和()0,1【答案】C【分析】联立两圆的方程，解方程组，即可求得答案.【详解】由222212210x y x y x y ⎧+=⎨++++=⎩,可得10x y ++=，即=1y x --，代入221x y +=，解得=1x -或0x =，故得10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩,所以两圆的交点坐标为(1,0)-和()0,1-,故选:C变式1．（2022·高二课时练习）求圆22230x y x +--=与圆224230x y x y +-++=的交点的坐标．【答案】(1,2)-、(3,0)【分析】联立两圆方程可得3y x =-，将其代入其中一个圆的方程中求出点坐标.【详解】由题设，22224232300x y x y x y x +-⎧+--=++=⎪⎨⎪⎩，相减可得3y x =-，所以222(3)232860x x x x x +---=-+=，解得1x =或3x =，当1x =时，132y =-=-；当3x =时，330y =-=；所以交点坐标为(1,2)-、(3,0).变式2．（2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）圆1C ：22640x y x y ++-=和圆2C ：2260x y y +-=交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是______.【答案】390x y -+=【分析】由两圆的方程得两圆心坐标，两圆心所在直线的方程即为所求直线方程，【详解】圆1C 方程为22(3)(2)13x y ++-=，圆2C 方程为22(3)9x y +-=，则圆心分别为1(3,2)C -，2(0,3)C ，两圆相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线即为直线12C C ，123210(3)3C C k -==--，则直线12C C 的方程为133y x =+，即390x y -+=，故答案为：390x y -+=变式3．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）已知圆22:16O x y +=与圆22:86160C x y x y ++++=交于A ，B 两点，则四边形OACB 的面积为（）A ．12B ．6C ．24D ．245【答案】A【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由()4,0A -和()4,3C --可知OA AC ⊥，则四边形OACB 的面积1222OAC S S OA AC ==⨯⋅⋅ ，计算即可.【详解】圆22:16O x y +=，圆心坐标为()0,0O ，半径14r =，圆22:86160C x y x y ++++=化成标准方程为()()22439x y +++=，圆心坐标为()4,3C --，半径23r =，圆O 与圆C 都过点()4,0-，则()4,0A -，如图所示，又()4,3C --，∴OA AC ⊥，由对称性可知，OB BC ⊥，4OA OB ==，3AC BC ==，则四边形OACB 的面积12243122OAC S S OA AC ==⨯⋅⋅=⨯= .故选：A（二）圆系方程的应用例4．（2023·全国·高三专题练习）经过点()1,1P 以及圆2240x y +-=与2244120x y x y +-+-=交点的圆的方程为______．【答案】2220x y x y ++--=【分析】求出两圆的交点坐标，设出所求圆的一般方程，将三点坐标代入，解出参数，可得答案.【详解】联立22224044120x y x y x y ⎧+-=⎨+-+-=⎩，整理得2y x =+，代入2240x y +-=，得220x x +=，解得0x =或2x =-，则圆2240x y +-=与2244120x y x y +-+-=交点坐标为(0,2),(2,0)-，设经过点()1,1P 以及(0,2),(2,0)-的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则20420420D E F E F D F +++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得112D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，故经过点()1,1P 以及圆2240x y +-=与2244120x y x y +-+-=交点的圆的方程为2220x y x y ++--=，故答案为：2220x y x y ++--=变式1．（2022秋·高二单元测试）求过两圆221:240C x y y +--=和圆222:420C x y x y +-+=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程.【答案】22310x y x y +-+-=【分析】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线l 的方程，从而求出圆的方程.【详解】设圆的方程为()222242(1)240x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则()()()221412240x x y y λλλλ+-+++--=，即2242240111x y x y λλλλλ-+-+-=+++，所以圆心坐标为21,11λλλ-⎛⎫⎪++⎝⎭，把圆心坐标21,11λλλ-⎛⎫⎪++⎝⎭代入2410x y +-=得24102111λλλ-++⨯+⨯-=，解得13λ=，所以所求圆的方程为22310x y x y +-+-=．（三）求两圆公共弦方程例5．（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）圆221:130O x y +-=与圆222:650O x y x +-+=的公共弦所在直线方程为___________.【答案】30x -=【分析】判断两圆相交，将两圆方程相减即可求得答案.【详解】圆221:130O x y +-=的圆心为(0,0)，半径为1r =圆222:650O x y x +-+=的圆心为(3,0)，半径为22r =，则121212||3r r O O r r -<=<+，则两圆相交，故将两圆方程相减可得：6180x -=，即30x -=，即圆221:130O x y +-=与圆222:650O x y x +-+=的公共弦所在直线方程为30x -=，故答案为：30x -=变式1．（2022秋·高二课时练习）已知圆2212610C x y x y ++-+=：与圆22242110C x y x y +-+-=：，求两圆的公共弦所在的直线方程（）A ．3460x y ++=B ．3460x y +-=C ．3460x y --=D ．3460x y -+=【答案】D【分析】由两圆方程相减即可得公共弦的方程.【详解】将两个圆的方程相减，得3x －4y ＋6＝0.故选：D.变式2．（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆1C ：222(1)x y r ++=过圆2C ：22(4)(1)4x y -+-=的圆心，则两圆相交弦的方程为______.【答案】5190x y +-=【分析】求出2r ，得到圆1C ，两圆相减得到相交弦方程.【详解】圆2C ：22(4)(1)4x y -+-=的圆心坐标为()4,1，因为圆1C 过圆2C 的圆心，所以222(41)1r ++=，所以226r =，所以1C ：22(1)26x y ++=，两圆的方程相减可得相交弦方程为5190x y +-=.故答案为：5190x y +-=.变式3．（2022秋·高二课时练习）已知过圆224x y +=外一点()3,4P 做圆的两条切线，切点为,A B 两点，求,A B 所在的直线方程为（）A ．3440x y +-=B ．3440x y ++=C ．3440x y --=D ．3440x y -+=【答案】A【分析】根据切线的特征可知,A B 所在的直线为圆224x y +=和以OP 的中点3,22M ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心,以OP 为直径的圆的公共弦所在的直线方程，【详解】根据题意得,A B 所在的直线为圆224x y +=和以OP 的中点3,22M ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心,以OP 为直径的圆的公共弦所在的直线方程，因为5OP =，所以圆()2222325234024M x y x y x y :＋骣琪--=Þ+--=琪桫，两圆相减得,A B 所在的直线方程为3440x y +-=.故选：A.（四）求两圆公共弦长例6．（2022·高二课时练习）已知圆221:(1)5C x y +-=，圆222:420C x y x y +-+=.(1)求圆1C 与圆2C 的公共弦长；(2)求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.【答案】(1)(2)22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心1C 到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，（2）解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，求出圆心坐标代入241x y +=中可求出λ，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为(),a b ，然后列方程组可求出,a b ，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即()()222242240x y x y x y y +-+-+--=，化简得10x y --=，所以圆1C 的圆心()0,1到直线10x y --=的距离为d =则22215232AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得AB =，所以公共弦长为（2）解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则2242240,1111x y x y λλλλλλ-+-+-=≠-+++；由圆心21,11λλλ-⎛⎫- ⎪++⎝⎭在直线241x y +=上，则()414111λλλ--=++，解得13λ=，所求圆的方程为22310x y x y +-+-=，即22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法二：由（1）得1y x =-，代入圆222:420C x y x y +-+=，化简可得22410x x --=，解得22x =；当22x =时，2y =；当22x =时，2y =-；设所求圆的圆心坐标为(),a b ，则2222222222241a b a b a b ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩，解得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；所以222317222r ⎛⎛=+--= ⎝⎭⎝⎭；所以过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程为22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式1．（2023·河南·统考二模）若圆221:1C x y +=与圆222:()()1C x a y b -+-=的公共弦AB 的长为1，则直线AB 的方程为（）A ．210ax by +-=B ．230ax by +-=C ．2210ax by +-=D ．2230ax by +-=【答案】D【分析】将两圆方程相减得到直线AB 的方程为22220a b ax by +--=，然后再根据公共弦AB 的长为1即可求解.【详解】将两圆方程相减可得直线AB 的方程为22220a b ax by +--=，即22220ax by a b +--=，因为圆1C 的圆心为(0,0)，半径为1，且公共弦AB 的长为1，则1(0,0)C 到直线22220ax by a b +--=的距离为2，223a b +=，所以直线AB 的方程为2230ax by +-=，故选：D.变式2．（2021秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知圆C 的圆心为()2,2-，且与直线0x y ++相切．(1)求圆C 的方程；(2)求圆C 与圆224x y +=的公共弦的长．【答案】(1)22(2)(2)20x y -++=(2)【分析】（1）由题意求得圆的半径，即可求得答案；（2）将两圆方程相减，求出两圆的公共弦方程，根据弦长、弦心距以及圆的半径之间的关系即可求得答案.【详解】（1）由题意得圆C 的半径为r =故圆C 的方程为22(2)(2)20x y -++=；（2）圆224x y +=和22(2)(2)20x y -++=的圆心距为而22<<+，即两圆相交，将224x y +=和22(2)(2)20x y -++=相减得20x y -+=，圆224x y +=的圆心到20x y -+=的距离为d ==故两圆的公共弦长为=变式3．（2021秋·高二课时练习）若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则直线AB 的方程为________；线段AB 的长为________．【答案】x ＝±14【分析】连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，利用勾股定理和等面积法，求出AC ，进而求出AB ，根据1OO ，求出m ，进而联立求出直线AB 的方程.【详解】连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA ||O 1A |＝∴|OO 1|＝5，∴|AC |2，∴|AB |＝4．由|OO 1|＝5，得5m =±，所以，联立可得2222(5)520x y x y +-±-=-，解得直线AB 的方程为x ＝±1．故答案为：①1x =±；②4.变式4．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知圆221:1O x y +=与圆()2222201：O x y x y F F +-++=<2O 的半径r =（）A ．1BC 1D【答案】D【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆2O 圆心与半径表达式可得答案.【详解】221x y+=与()2222201：O x y x y F F +-++=<两式相减得2210:l x y F ---=，即公共弦所在直线方程.圆2O 方程可化为()()22211:O x y -++2F =-，可得圆心()21,1O -，2O 半径r =则圆心2O 到l 的距离为d ==半弦长为2，则有2222r F +==-⎝⎭，解得3F =-或1F =（舍），此时r =.故选：D .变式5．（2021秋·高二课时练习）圆2221:22210C x y ax ay a ++++-=与圆2222:22220C x y bx by b ++++-=的公共弦长的最大值是（）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D【分析】将两圆转化成标准方程，根据标准方程得出两圆圆心均在直线y x =上，再利用几何关系即可求出结果.【详解】由222x y 2ax 2ay 2a 10++++-=，得()()22x a y a 1+++=，圆心1(,)C a a --，半径11r =；由2222:22220C x y bx by b ++++-=，得()()22x b y b 2+++=，圆心2(,)C b b --，半径2r =所以两圆圆心均在直线y x =上，半径分别为1，如图，当两圆相交且相交弦经过小圆圆心，也即大圆圆心在小圆上时，两圆公共弦长最大，最大值为小圆的直径，即最大值为2.故选：D.考点三：两圆的公切线问题（一）圆的公切线条数例7．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）圆221:(2)(4)25C x y +++=与圆222:(1)9C x y ++=的公切线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】先判断圆与圆的位置关系，从而可确定两圆的公切线条数.【详解】圆221:(2)(4)25C x y +++=的圆心坐标为(2,4)--，半径为5；圆222:(1)9C x y ++=的圆心坐标为(1,0)-，半径为3，所以两圆的圆心距为d因为5353-<+，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条.故选：B.变式1．【多选】（2023秋·高一单元测试）已知圆221:9C x y +=与圆222:(3)(4)16C x y -+-=，下列说法正确的是（）A ．1C 与2C 的公切线恰有4条B ．1C 与2C 相交弦的方程为3490x y +-=C ．1C 与2C 相交弦的弦长为125D ．若,P Q 分别是圆12,C C 上的动点，则max ||12PQ =【答案】BD【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断即可.【详解】由已知得圆1C 的圆心()10,0C ，半径13r =，圆2C 的圆心()23,4C ，半径24r =，1221125,C C r r d r r ==-<<+，故两圆相交，所以1C 与2C 的公切线恰有2条，故A 错误；做差可得1C 与2C 相交弦的方程为3490,x y +-=1C 到相交弦的距离为95，故相交弦的弦长为245=，故C 错误；若,P Q 分别是圆12,C C 上的动点，则max 1212||12PQ C C r r =++=，故D 正确.故选：BD变式2．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知直线l 是圆:C ()()22211x y -+-=的切线，并且点()3,4B 到直线l的距离是2，这样的直线l 有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【分析】由已知可推得，直线l 是圆C 与圆B 的公切线.根据两圆的圆心、半径，推得两圆的位置关系，即可得出答案.【详解】由已知可得，圆心()2,1C ，半径11r =.由点()3,4B 到直线l 的距离是2，所以直线l 是以()3,4B 为圆心，22r =为半径的圆的切线，又直线l 是圆:C ()()22211x y -+-=的切线，所以，直线l 是圆C 与圆B 的公切线.因为123BC r r ==>=+，所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D.变式3．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）若圆221:1Cx y +=和2221:2502C x y ay a a ⎛⎫+---=> ⎪⎝⎭有且仅有一条公切线，则=a______；此公切线的方程为______【答案】120y ++=【分析】根据两圆内切由圆心距与半径关系列出方程求a ，联立圆的方程求出切点，根据圆的切线性质得出斜率即可求解.【详解】如图，由题意得1C 与2C 相内切，又22221:()()452C x y a a a a ⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭，所以121C C ==，所以21a +=1a =，所以)2C，12C C k==联立(()2222119x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以切点的坐标为122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故所求公切线的方程为12y +=2x +⎭20y ++=．故答案为：120y ++=变式4．（2022秋·高二课时练习）已知两圆2211C x y +=：，()()()2222120C x y r r -+-=>：，当圆1C 与圆2C 有且仅有两条公切线时，则r 的取值范围________.22r <<【分析】根据两圆相交即可利用圆心距与半径的关系求解.【详解】若圆C 1与圆C 2有且仅有两条公切线时，则两圆相交，圆心C 1()0,0，半径R ＝2，圆C 2()1,2，半径r ，则12C C ==若两圆相交，则满足12<<r R C C R r -+，即22r r -<+,22r <+，22r <+变式5．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知两圆2226940x y ax a +++-=和222290x y by b ++--=恰有三条公切线，若R a ∈，R b ∈，且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（）A ．1625B ．3225C ．169D ．329【答案】A【分析】确定两圆圆心和半径，根据公切线得到两圆外切，得到22925a b +=，变换得到()22222219111125b a b a b a ⎛⎫+= ⎪⎭++⎝，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】2226940x y ax a +++-=，即()2234x a y +=+，圆心()13,0O a -，12R =；222290x y by b ++--=，即()229x y b +-=，圆心()20,O b ，半径23R =；两圆恰有三条公切线，即两圆外切，故12125O O R R =+=，即22925a b +=，()222222222211111111610102525252599a b a b a b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭+⎭.当且仅当22229b a a b=，即22512a =，2254b =时等号成立.故选：A（二）圆的公切线方程例8．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆()()224316x y -++=和圆221x y +=都相切的一条直线的方程___________.【答案】1y =（答案不唯一，247250x y ++=或4350x y --=均可以）【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1；圆()()224316x y -++=的圆心为()4,3C -，半径为4，圆心距为5OC =，所以两圆外切，如图，有三条切线123l l l ，，，易得切线1l 的方程为1y =；因为3l OC ⊥，且34OC k =-，所以343l k =，设34:3l y x b =+，即4330x y b -+=，则()0,0O 到3l 的距离315b =，解得53b =（舍去）或53-，所以343:50x y l --=；可知1l 和2l 关于3:4OC y x =-对称，联立341y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭在2l 上，在1l 上取点()0,1，设其关于OC 的对称点为()00,x y ，则0000132421314y x y x +⎧=-⨯⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则27124252447253l k --==--+，所以直线2244:173l y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即247250x y ++=，综上，切线方程为1y =或247250x y ++=或4350x y --=.故答案为：1y =（答案不唯一，247250x y ++=或4350x y --=均可以）变式1．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知圆()22:11C x y -+=与圆(22:1E x y +=，写出圆C和圆E 的一条公切线的方程______.【答案】10x +=20y +-=20y +=.【分析】设切线方程为y kx b =+，根据圆心到直线的距离均为1求解方程.【详解】设圆的公切线为y kx b =+，11==|||k b b ⇒+=，k =2k b-代入求解得：2k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或b k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以切线为：2,y =+或2y =+或10x +=故答案为：10x -+=20y +-=20y +=.变式2．（2023·湖南岳阳·统考三模）写出与圆221:1O x y +=和222:(3)1O x y -+=都相切的一条直线方程____________．【答案】3)52y x =±-或1y =±中任何一个答案均可【分析】先判断两圆的位置关系，可知公切线斜率存在，方程可设为y kx b =+，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组，解之即可得出答案.【详解】圆221x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆222:(3)1O x y -+=的圆心为()23,0C ，半径为21r =，则12123C C r r =>+，所以两圆外离，由两圆的圆心都在x 轴上，则公切线的斜率一定存在，设公切线方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，则有11==，解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或01k b =⎧⎨=⎩或01k b =⎧⎨=-⎩所以公切线方程为3)2y x =-或1y =±.故答案为：1y =.（答案不唯一，写其它三条均可）变式3．【多选】（2022秋·高二单元测试）已知圆()()221:211C x y -+-=，圆()()222:211C x y +++=，则下列是圆1C 与圆2C 的公切线的直线方程为（）A ．0y =B ．430x y -=C．20x y -=D．20x y +=【答案】ABC【分析】在同一坐标系内画出两圆图象，由两圆相离可知共有4条切线，再利用对称性设出直线方程，由点到直线距离公式即可求得切线方程.【详解】根据题意可知，两圆心()()122,1,2,1C C --关于原点对称，在同一坐标系内画出两圆图象，如下图所示：显然，圆心距1211C C =+，即两圆外离，共有4条切线；又两圆心到x 轴的距离都等于其半径，所以x 轴是其中一条公切线，即A 正确；利用对称性可知，其中一条切线1l 过原点，设其方程为y kx =，又()12,1C 到切线1l 的距离为11=，解得0k =或43k =；当0k =时，切线即为x 轴，当43k =时，切线方程为43y x =，即430x y -=，B 正确；由对称性可知，切线23,l l 与直线12C C 平行，易知12111222C C k +==+，所以直线12C C 的方程为12y x =，可设23,l l 的方程分别为12y x c =+，()1,02y x c c =->1=，解得2c =，即切线23,l l的方程分别为122y x =+，122y x =-；整理可得两切线方程为20x y -=和20x y -=，故C 正确，D 错误；故选：ABC（二）圆的公切线长例9．【多选】（2023春·山东青岛·高二统考开学考试）已知圆221:1C x y +=，圆222:2210C x x y y -+-+=，则（）A ．圆1C 与圆2C 相切B ．圆1C 与圆2CC ．圆1C 与圆2C 公共弦所在直线的方程为1x y +=D ．圆1C 与圆2C 公共部分的面积为π12-【答案】BCD【分析】求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A ，B ，两圆方程作差即可得到公共弦方程，从而判断C ，求出两圆圆心到公共弦的距离，从而取出公共部分的面积，从而判断D.【详解】解：因为圆221:1C x y +=，圆222:2210C x y x y +--+=，所以圆1C 的圆心为1(0,0)C ，半径11r =，圆2C 的圆心为2(1,1)C ，半径21r =，所以121212r r C C r r -<=+，故圆1C 与圆2C 相交，即A 错误；因为两圆半径相等，则两圆公切线的长度为12C C =B 正确将两圆方程作差得10x y +-=，所以两圆公共弦所在直线l 的方程为10x y +-=，故C 正确；因为1C 的圆心为1(0,0)C ，半径11r =，所以1(0,0)C 到直线10x y +-=的距离为1d所以公共弦长为又圆心2(1,1)C 到直线10x y +-=的距离为2d ==所以圆1C 与圆2C 公共部分的面积为11π2π14222⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BCD变式1．【多选】（2022秋·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）圆221:2660C x y x y ++-+=与圆222:2210C x y x y +--+=相交于A ，B 两点，则（）A ．AB 的直线方程为4450x y -+=B ．公共弦AB 的长为8C ．圆1C 与圆2C D ．线段AB 的中垂线方程为20x y +-=【答案】ACD【分析】对于A ，两圆方程相减可求出直线AB 的方程，对于B ，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦AB 的长，对于C ，求出12C C ，对于D ，线段AB 的中垂线就是直线12C C ，求出直线12C C 的方程即可.【详解】由222660x y x y ++-+=，得22(1)(3)4x y ++-=，则1(1,3)C -，半径12r =，由222210x y x y +--+=，得22(1)(1)1x y -+-=，则2(1,1)C ，半径21r =，对于A ，公共弦AB 所在的直线方程为2222266(221)0x y x y x y x y ++-+-+--+=，即4450x y -+=，所以A 正确，对于B ，2(1,1)C 到直线AB 的距离d =，所以公共弦AB 的长为4AB ==，所以B 错误，对于C ，因为12C C ==，12r =，21r =，。
圆和圆的位置关系经典例题+练习
例1. 已知⊙O 1、⊙O 2半径分别为15cm 和13cm ，它们相交于A 、B 两点，且AB 长24cm ，求O 1O 2长。
分析：该题没有给出图形，两圆相交有两种可能性： 1. 两圆心在公共弦的两侧； 2. 两圆心在公共弦的同侧；因此，我们必须分两种情况来解。
解：（1）连结O 1O 2交AB 于C （2）连结O 1O 2并延长交AB 于C ∵⊙O 1 ⊙O 2交于A 、B 两点 ∴⊥，且O O AB AC AB cm 121212== 在Rt △AO 1C 中，由勾股定理： O C O A AC cm 11222215129=-=-=() 在Rt △AO 2C 中，由勾股定理： O C O A AC cm 22222213125=-=-=∴如图（1） O 1O 2=O 1C+O 2C=14cm如图（2） O 1O 2=O 1C －O 2C=4cm例1是两圆相交时的一题两解问题，希望引起同学们的重视。
例2. 如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AC 切⊙O 2于C 交⊙O 1于B ，AP 交⊙O 2于D ，求证：（1）PC 平分∠BPD（2）若两圆内切，结论还成立吗？证明你的结论。
证明：（1）过P 点作公切线PM 交AC 于M 点 ∵AC 切⊙O 2于C∴MP=MC ∴∠MCP=∠MPC在⊙O1中，由弦切角定理：∠BPM=∠A∵∠CPD为△APC的外角∴∠CPD=∠A+∠MCP=∠BPM+∠MPC=∠BPC∴PC平分∠BPD。
（2）两圆内切时仍有这样的结论。
证明：过P点作公切线PM交AB延长线于M∵AM切⊙O2于C，∴MC=MP∴∠MPC=∠MCP∴∠MPB=∠A∵∠MCP为△CPA的外角∠MCP=∠CPA+∠A又∠MPC=∠MPB+∠BPC∴∠BPC=∠CPA即PC平分∠BPD。
在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线是常见的一条辅助线，利用弦切角及圆周角的性质或切线长定理，可使问题迎刃而解。
与圆有关的位置关系及圆中的计算(习题及答案)
与圆有关的位置关系及圆中的计算（习题）➢ 巩固练习1. 在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2．下列说法中不正确．．．的是（ ） A ．当a ＜5时，点B 在⊙A 内 B ．当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内 C ．当a ＜1时，点B 在⊙A 外 D ．当a ＞5时，点B 在⊙A 外2. 已知⊙O 1，⊙O 2的半径分别是12r =，24r =，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．83. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，⊙O 是以AB 为直径的圆，则直线CD 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定DCBAP OBA第3题图 第4题图4. 如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，∠AOB =45°．点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP x =，则x 的取值范围是_______． 5. 如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．如果OP =4，PA =23，那么∠AOB =_______．PBOACDB OA第5题图 第6题图 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在线段AB 的延长线上，DC切⊙O 于点C ．若∠A =25°，则∠D =_________．扫一扫 对答案6cm 12cm7. 如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，AC 是⊙O 的直径．若∠BAC =35°，则∠P =________．PCBOA01110987654321O第7题图 第8题图8. 已知宽为3 cm 的刻度尺的一边与⊙O 相切，另一边与⊙O 的两个交点处的读数如图所示（单位：cm ），则⊙O 的半径为__________cm ．9. 如图1，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC ）纸片放置成轴对称图形，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，半圆（量角器）的圆心与点D 重合，且CE =5 cm ．如图2，将量角器沿DC 方向平移2 cm ，半圆（量角器）恰与△ABC 的边AC ，BC 相切，则AB 的长为__________cm ．（结果保留根号）ED C B AA B CD图1 图210. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，OA =23，AB =3，若弦BC ∥OA ，则劣弧BC 的弧长为________．OBCA第10题图 第11题图11. 一圆锥的主视图如图所示，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数为________．12. 已知圆锥底面圆的半径为6 cm ，高为8 cm ，则该圆锥的侧面积为__________cm 2．13. 如图，把一个半径为12 cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则该圆锥的底面半径是________cm ．CB A第13题图 第14题图14. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，CA =CB =4．分别以A ，B ，C 为圆心，以21AC 为半径画弧，则三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是____________． 15. 已知在△ABC 中，AB =6，AC =8，∠A =90°．把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S 1，把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2，则S 1:S 2=________．16. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，P 是BC边上的动点．设BP =x ，若能在AC 边上找到一点Q ，使 ∠BQP =90°，则x 的取值范围是________．（提示：考虑90°的圆周角所对的弦是直径）QPABC17. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交⊙O于点E ，已知∠AEC =∠ODB ．（1）判断直线BD 和⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）当AB =10，BC =8时，求BD 的长．FE CDBOA➢ 思考小结1. 判断与圆有关的位置关系，关键是找准_____和_______，在直线与圆位置关系中，它们分别代表____________________和_________________．2. 已知圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，借助扇形及其所围成圆锥间的等量关系，推导圆锥的侧面积公式S lr =π．（写出证明的关键环节）lr3. 借助圆中思考角度及问题处理时“见到什么想什么”处理下面两道题目．【试题1】已知：点P 是⊙O 外一点，P A 是圆的切线，PC 与⊙O 交于另一点B ． 求证：2PA PB PC =⋅． 思路分析① 由要证明的比例形式，将其改写成PB PA PA PC=的形式，问题转化为证明△PBA ∽△P AC ；② 分析相似三角形的特征，问题进一步转化为证明∠P AB =∠PCA ； ③ ∠P AB 跟切线有关，考虑“遇切线，连接圆心和切点”，∠PCA为圆周角，由角看弧，找圆心角，连接OB ，转移边，转移角分析．根据上面提供的思路，写出证明过程．O BC AP【试题2】如图，半圆O 的直径AB =7，两弦AC ，BD 相交于点E ，弦CD =27，且BD =5，则DE 等于_________．EO DC BA思路分析① “遇直径，找直角”，结合已知的AB 和BD 的长，连接AD ，可求出AD 的长，此时DE 放到Rt △DEA 中；② CD 长度与半径长相等，则连接OD ，OC ，可以得到△ODC是等边三角形，圆心角∠DOC =60°；③ “由角看弧，由弧找角”，由圆周角定理可以得到∠DAE =30°，进而得到DE 的长．你还能想到其他的求解方式吗？简要写出求解思路．EO DC BA【参考答案】➢巩固练习1. A2. B3. A4.0≤x≤25.120°6.40°7.70°8.25 69.(6216)+10.3 3π11.9012.60π13.414.8-2π15.2:316.3≤x＜417.（1）相切，证明略；（2）203 BD=➢思考小结1.d，r，圆心O到直线l的距离，圆的半径．2.略【试题1】证明略【试题2】22。
高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.圆和圆的公切线条数为（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】B【解析】由圆整理得，它的圆心坐标，半径为1.由圆整理得，它的圆心坐标，半径为2.,所以两个圆相交，所以两个圆的公切线有2条．【考点】两圆的公切线条数及方程的确定；圆与圆的位置关系及其判定.2.经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．【答案】【解析】设经过两圆交点的圆的方程为,整理为,再整理：.圆心坐标为，代入直线方程，解得：，代入得圆的方程：.【考点】经过两圆交点的圆的方程3.圆与圆的位置关系是（）A．外离B．相交C．内切D．外切【答案】D【解析】由两圆的方程可知，，∴，故两圆的位置关系为外切．【考点】圆与圆的位置关系．4.圆和的位置关系为（）A．外切B．内切C．外离D．内含【答案】A【解析】两圆的圆心为，半径为，而，则两圆相外切.【考点】本题考查两圆的位置关系，可以通过圆心距与半径和差的大小比较来判断.5.已知圆，交于A、B两点；（1）求过A、B两点的直线方程；（2）求过A、B两点，且圆心在直线上的圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）过圆与圆交点的直线，即为两圆公共弦的直线.所以过A、B两点的直线方程. 5分（2）设所求圆的方程为. 6分则圆心坐标为 8分∵圆心在直线上∴将圆心坐标代入直线方程，得 9分解得. 11分∴所求圆的方程为. 12分【考点】圆与圆的位置关系与圆的方程点评：两圆相交时，其公共弦所在直线方程只需将两圆方程相减即可，求解圆的方程的题目常采用待定系数法：设出圆的方程，根据条件列出关于参数的方程组，解方程组得到参数值最后写出方程6.圆和的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【答案】D【解析】根据题意，由于圆的圆心（1,0），半径为1，和的圆心为（-2,0），半径为4，则可知圆心距d=3,而半径和为5，半径差为3，可知圆心距小于半径差，因此可知是两圆的相互内切，故选D.【考点】两圆的位置关系点评:解决两圆的位置关系的关键是根据圆心距和半径和的关系来确定，属于基础题，也是重要的知识点。
与圆有关的位置关系及圆中的计算(一)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：与圆有关的位置关系，关键是找______和______；点与圆的位置关系，d表示________________，r表示圆的半径；直线与圆的位置关系，d表示__________________，r表示圆的半径；圆与圆的位置关系，d表示_______________，R表示大圆半径，r表示小圆半径．问题2：填写与切线相关的定理：切线的性质定理：圆的切线垂直于__________________；切线的判定定理：_____________且垂直于半径的直线是圆的切线；切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长______．问题3：弧长公式：____________．扇形面积公式：①____________；②____________．扇形及其所围圆锥间的等量关系：①________________________________________；②________________________________________．与圆有关的位置关系及圆中的计算（一）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CP，CM分别是AB边上的高和中线，如果⊙A是以点A为圆心，半径为2的圆，那么下列判断正确的是( )A.点P，M均在圆A内B.点P，M均在圆A外C.点P在圆A内，点M在圆A外D.点P在圆A外，点M在圆A内答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：点与圆的位置关系2.在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，O为AB上一点，AO=2，若⊙O的半径为，则⊙O与AC的位置关系是( )A.相交B.相离C.相切D.不能确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆的位置关系3.如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线上，如果⊙O1在直线上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是( )A.6cmB.3cmC.2cmD.0.5cm答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆与圆的位置关系4.如图，⊙O的半径为2，点O到直线的距离为3，P是直线上的一个动点，若PQ切⊙O于点Q，则PQ长度的最小值为( )A. B.C.3D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：切线的性质5.如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M，N 两点，若点M的坐标是(-4，-2)，则点N的坐标为( )A.(-1，-2)B.(1，-2)C.(-1.5，-2)D.(1.5，-2)答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：切线的性质6.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( )cm．A.2B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂径定理7.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：切线长定理8.如图，正六边形内接于半径为的⊙O，则这个正六边形的边心距和的长分别为( )A.，B.，C.，D.，答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：正六边形的性质9.如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为( )A.6B.7C.8D.9答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：扇形面积的计算10.如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△ADE，点B经过的路径为，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：扇形面积的计算。
《圆的位置关系与计算》参考答案
1【参考答案】一、知识点睛1．点到圆心，圆的半径．d r >；d r =；d r <．2．圆心O 到直线l ，圆的半径．d r <；d r =；d r >．圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．3．圆心之间，大圆半径，小圆半径．d R r >+；d R r =+；d R r =-；0d R r <<-；R r d R r -<<+．4．180n r l π=． ①2360n r S π=；②2lr S =． =S lr π．全面积=侧面积+底面积．①圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长；②圆锥的侧面积等于扇形面积．二、精讲精练1．C2．相交 3．34R <≤或125R = 4．外切 5．B6．50° 7．110° 8．99°9．2+ 10．（-1，2） 11．（1）BD 与⊙O 相切，证明略；（2）203BD =． 12．25π 13．6π 14．54π 15． 16．4π 17．18° 18随堂测验1．相交2．13．4．6π【作业】1．A 2．B 3．A 4．0x≤≤5．120°6．40°7．70°8．25 69．16)1011．90°12．60π13．4 14．8-2π15．2:3 16．（1）证明略（2）203BC BF==2。
与圆有关的位置关系及圆内接正多边形(讲义及答案)
与圆有关的位置关系及圆内接正多边形（讲义）➢知识点睛与圆有关的位置关系，关键是找d．和r．．1.点与圆的位置关系d表示__________的距离，r表示___________．①点在圆外：_____________；②点在圆上：_____________；③点在圆内：_____________．2.直线与圆的位置关系d表示__________________的距离，r表示__________．①直线与圆相交：____________；②直线与圆相切：____________；③直线与圆相离：____________．切线的性质定理：__________________________________；切线的判定定理：____________________________________________________________________________________．*切线长定理：________________________________________________________________________________________．与三角形三边都相切的圆叫做三角形的__________，内切圆的圆心是_____________________，叫做三角形的_______．*3. 圆与圆的位置关系d表示__________的距离，R表示________，r表示_________．①圆与圆外离：_________________；②圆与圆外切：_________________；③圆与圆内切：_________________；④圆与圆内含：_________________；⑤圆与圆相交：_________________．4.圆内接多边形（1）三点定圆定理：_________________________________．三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的______的_________，外接圆的圆心是___________，叫做三角形的（2）_______________________________该正多边形的_________．中心角：___________________________________________；边心距：___________________________________________．A➢精讲精练1.矩形ABCD中，AB=8，BC=P在AB边上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外、点C在圆P内C．点B在圆P内、点C在圆P外D．点B，C均在圆P内2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4 cm，以点C为圆心，以3 cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是__________．C BA3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有且只有一个公共点，则R的取值范围是_________________．4.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，求∠E的度数．5. 如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，点C 是劣弧AB 上的一个动点，若∠P =40°，则∠ACB =_______．E第5题图 第6题图6. 如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E =46°，∠DCF =32°，那么∠A =______．7. 如图，O 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，⊙O 与边AB ，BC 都相切，点E ，F 分别在边AD ，DC 上．现将△DEF 沿着EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE =2，则正方形ABCD 的边长是________．OF E DCBA8. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，过点B 作BD ⊥CD ，垂足为点D ，连接BC ，BC 平分∠ABD ． 求证：CD 为⊙O 的切线．9.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在线段AC的延长线上，且∠CBF=12∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=5BC和BF的长．10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（）A．3步B．5步C．6步D．8步11.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为___________．12.若有两圆相交于两点，且圆心距为13 cm，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径（）A．25 cm，40 cm B．20 cm，30 cmC．1 cm，10 cm D．5 cm，7 cm13.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是点________．14.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）DA．第①块B．第②块C．第③块15.如图，在⊙O中，FC为直径，长为8．分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，F是⊙O 的六等分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA．过点O作OG⊥BC，垂足为G，则OG长为_______．F16. 我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值．设半径为r 的圆内接正n 边形的周长为L ，圆的直径为d ，如图所示，当n =6时，632L r d r π≈==，那么当n =12时，Ld π≈=_______．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°=cos75°≈0.259）【参考答案】➢知识点睛1.点到圆心；圆的半径；d＞r；d=r；d＜r2.圆心O到直线l；圆的半径；d＜r；d=r；d＞r圆的切线垂直于过切点的半径；过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；内切圆；三角形三条角平分线的交点；内心3.圆心之间；大圆半径；小圆半径；d＞R+r；d=R+r；d=R-r；0≤d＜R-r；R-r＜d＜R+r4.（1）不在同一条直线上的三个点确定一个圆；外接圆；内接三角形；三角形三边垂直平分线的交点；外心；（2）顶点都在同一圆上的正多边形；外接圆；一个正多边形的相邻的两个顶点与它的中心的连线的夹角叫中心角；正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离叫做边心距➢精讲精练1. C2.相交3.3＜R≤4或125 R=4.∠E的度数为50°．5.110°6.99°7.28.证明略．9.（1）证明略；（2）BC的长为BF的长为203．10.C11.68°12.B13.Q14.B15.16.3.11。
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与圆有关的位置关系及圆中的计算（讲义）➢课前预习1.半径为r的圆的周长为__________，面积为__________．2.如图，圆心角为n°的扇形的弧长为_______，面积为________．3.已知圆上一段弧长为4π cm，它所对的圆心角为120°，则圆的半径为____________．4.默写圆周角定理的相关推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：________________________________________；_______________________________________________．推论3：圆内接四边形对角互补．5.我们知道扇形能够围成圆锥，如图，从半径为4的⊙O上剪下一个圆心角度数为n的扇形，用其围成一个圆锥，在围成的过程中，扇形的弧长与底面圆的周长恰好相等．已知圆锥底面圆的半径为1，则n的值为__________．6.根据给出的圆锥的相关信息，画出圆锥的三视图，并标注相关线段长．➢知识点睛与圆有关的位置关系，关键是找d．和r．．1.点与圆的位置关系d表示__________的距离，r表示___________．①点在圆外：_____________；A主视图左视图俯视图②点在圆上：_____________；③点在圆内：_____________．2.直线与圆的位置关系d表示__________________的距离，r表示__________．①直线与圆相交：____________；②直线与圆相切：____________；③直线与圆相离：____________．切线的性质定理：__________________________________；切线的判定定理：____________________________________________________________________________________．*切线长定理：________________________________________________________________________________________．*3. 圆与圆的位置关系d表示__________的距离，R表示________，r表示_________．①圆与圆外离：_________________；②圆与圆外切：_________________；③圆与圆内切：_________________；④圆与圆内含：_________________；⑤圆与圆相交：_________________．4.圆内接正多边形_______________________________叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的_________.中心角：___________________________________________；边心距：___________________________________________．5.圆中的计算公式弧长公式：____________________．扇形面积公式：①________________；②________________．圆锥的侧面积公式：_________________________________．圆锥的全面积公式：__________=__________+__________．扇形及其所围圆锥间的等量关系：①________________________________________________；②________________________________________________．➢精讲精练1.矩形ABCD中，AB=8，BC ，点P在AB边上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外、点C在圆P内C．点B在圆P内、点C在圆P外D．点B，C均在圆P内2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4 cm，以点C为圆A心，以3 cm 长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是__________．3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4．以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 有且只有一个公共点，则R 的取值范围是_________________．4. 在△ABC 中，∠C =90°，AC =3 cm ，BC =4 cm ．若⊙A ，⊙B 的半径分别为1 cm ，4 cm ，则⊙A ，⊙B 的位置关系是_______．5. 若有两圆相交于两点，且圆心距为13 cm ，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径（ ）A ．25 cm ，40 cmB ．20 cm ，30 cmC ．1 cm ，10 cmD ．5 cm ，7 cm6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，∠CDB =20°，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点E ，则∠E =______．第6题图 第7题图 7. 如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，点C 是劣弧AB 上的一个动点，若∠P =40°，则∠ACB =_______．8. 9. OFE DC BA 10. 如图，在⊙O 中，FC 为直径，长为8．分别以F ，C 为圆心，以⊙O 的半径R 为半径作弧，与⊙O 相交于点E ，A 和D ，B ，则A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点，顺次连接AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，F A ． 过点O 作OG ⊥BC ，垂足为G ，则OG 长为_______．FD11. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，点F 在线段AC的延长线上，且12CBF CAB ∠=∠．（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；（2）若AB =5，sin 5CBF ∠=，求BC 和BF 的长．12. 如图，⊙O 的半径是1，A ，B ，C 是圆周上的三点，∠BAC =36°，则劣弧BC 的长是___________．第12题图 第13题图13. 如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ′，则图中阴影部分的面积是________．14. 如图，一把打开的雨伞可近似地看成一个圆锥，若伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径AC 的长为12分米，伞骨AB 的长为9分米，则制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料__________平方分米．15. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是腰长为4、底边为2的等腰三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为__________．俯视图左视图主视图4416. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为4，则图中阴影部分的面积为__________．17. 如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50 cm ．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是____________．18. 如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1 cm 的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为_______．图1图2【参考答案】 ➢ 课前预习1. 2πr ，πr 22. 180n r π，2360n r π 3. 6 cm4. 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径5. 906.图形略．➢ 知识点睛1. 点到圆心；圆的半径；d ＞r ；d =r ；d ＜r ．2. 圆心O 到直线l ；圆的半径；d ＜r ；d =r ；d ＞r ．圆的切线垂直于过切点的半径；过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线； 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等． 3. 圆心之间；大圆半径；小圆半径;d ＞R +r ；d =R +r ；d =R -r ；0≤d ＜R -r ；R -r ＜d ＜R +r 4. 顶点都在同一圆上的正多边形；外接圆；一个正多边形的相邻的两个顶点与它的中心的连线的夹角叫中心角； 正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离叫做边心距．5. 180n R l π=．①2360n R S π=；②2lRS =；S =πlr ；全面积；侧面积；底面积；圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长；圆锥的侧面积等于扇形面积．➢ 精讲精练1. C2. 相交3. 3＜R ≤4或125R = 4. 外切 5. B 6. 50° 7. 110° 8.99°9. 210.11. （1）证明略；（2）BC =203BF =． 12.25π13. 6π 14. 54π 15. 4π16. 163π17. 18°18.与圆有关的位置关系及圆中的计算（习题）➢ 巩固练习1. 在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2．下列说法中不正确．．．的是（ ）A ．当a ＜5时，点B 在⊙A 内 B ．当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内C ．当a ＜1时，点B 在⊙A 外D ．当a ＞5时，点B 在⊙A 外2. 已知⊙O 1，⊙O 2的半径分别是12r =，24r =，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．83. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，⊙O 是以AB 为直径的圆，则直线CD 与⊙O 的位置关系是（ ） A第3题图 第4题图4. 如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，∠AOB =45°．点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA平行的直线与⊙O 有公共点，设OP x =，则x 的取值范围是_______．5. 如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．如果OP =4，PA =．A第5题图 第6题图 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在线段AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ．若∠A =25°，则∠D =_________．7. 如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，AC 是⊙O 的直径．若∠BAC =35°，则∠P =________．6cm 12cm8. 已知宽为3 cm 的刻度尺的一边与⊙O 相切，另一边与⊙O 的两个交点处的读数如图所示（单位：cm ），则⊙O 的半径为__________cm ．9. 如图1，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC ）纸片放置成轴对称图形，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，半圆（量角器）的圆心与点D 重合，且CE =5 cm ．如图2，将量角器沿DC 方向平移2 cm ，半圆（量角器）恰与△ABC 的边AC ，BC 相切，则AB 的长为__________cm ．（结果保留根号）EC BAAB CD图1图210. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，OA =AB =3，若弦BC ∥OA ，则劣弧BC 的弧长为________．第10题图第11题图11. 一圆锥的主视图如图所示，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数为________． 12. 已知圆锥底面圆的半径为6 cm ，高为8 cm ，则该圆锥的侧面积为__________cm 2．13. 如图，把一个半径为12 cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则该圆锥的底面半径是________cm ．第13题图 第14题图14. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，CA =CB =4．分别以A ，B ，C 为圆心，以21AC 为半径画弧，则三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是____________．15. 已知在△ABC 中，AB =6，AC =8，∠A =90°．把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S 1，把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2，则S 1:S 2=________． 16. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，P 是BC 边上的动点．设BP =x ，若能在AC边上找到一点Q ，使∠BQP =90°，则x 的取值范围是________．（提示：考虑90°的圆周角所对的弦是直径）QPABC17. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交⊙O 于点E ，已知∠AEC =∠ODB ． （1）判断直线BD 和⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）当AB =10，BC =8时，求BD 的长．➢ 思考小结1. 判断与圆有关的位置关系，关键是找准_____和_______，在直线与圆位置关系中，它们分别代表____________________和_________________．2. 已知圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，借助扇形及其所围成圆锥间的等量关系，推导圆锥的侧面积公式S lr =π．（写出证明的关键环节）3. 借助圆中思考角度及问题处理时“见到什么想什么”处理下面两道题目． 【试题1】已知：点P 是⊙O 外一点，P A 是圆的切线，PC 与⊙O 交于另一点B ． 求证：2PA PB PC =⋅． 思路分析① 由要证明的比例形式，将其改写成PB PAPA PC=的形式，问题转化为证明△PBAFE CDBOA∽△P AC ；② 分析相似三角形的特征，问题进一步转化为证明∠P AB =∠PCA ；③ ∠P AB 跟切线有关，考虑“遇切线，连接圆心和切点”，∠PCA 为圆周角，由角看弧，找圆心角，连接OB ，转移边，转移角分析． 根据上面提供的思路，写出证明过程．【试题2】如图，半圆O 的直径AB =7，两弦AC ，BD 相交于点E ，弦CD =27，且BD =5，则DE 等于_________．思路分析① “遇直径，找直角”，结合已知的AB 和BD 的长，连接AD ，可求出AD 的长，此时DE 放到Rt △DEA 中；② CD 长度与半径长相等，则连接OD ，OC ，可以得到△ODC 是等边三角形，圆心角∠DOC =60°； ③ “由角看弧，由弧找角”，由圆周角定理可以得到∠DAE =30°，进而得到DE 的长． 你还能想到其他的求解方式吗？简要写出求解思路．【参考答案】➢巩固练习1.A2.B3.A4.0≤x5.120°6.40°7.70°8.25 69.16)10.311.9012.60π13.414.8-2π15.2:316.3≤x＜417.（1）相切，证明略；（2）203 BD=➢思考小结1.d，r，圆心O到直线l的距离，圆的半径．2.略【试题1】证明略【试题2】1。