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人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二函数第三章 函数与基本初等函数-第一节 函数的概念及其表示法
典例2根据下列条件，求函数的解析式.
（1）是二次函数，且，.
解（待定系数法）设，由，得，则，所以，且，解得，，故.
（2）.
解方法一（换元法）：令，则，，所以，所以函数的解析式为.方法二（配凑法）.因为，所以函数的解析式为.
（3）.
解（构造方程组法）将代入，得，联立得解得.
（4），对任意的实数，都有.
规律方法求函数解析式的常用方法
方法
使用条件
解题思路
待定系数法
已知函数的类型（图象）
设出含有待定系数的函数解析式，将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）求出相应的待定系数
换元法
已知，求
设，从中解出，代入进行换元（应用换元法时要注意新元的取值范围）
配凑法
把右边的整理或配凑成只含的式子，然后用将代换
对应关系
并集
并集
知识拓展
教材中的几个重要函数
函数类型
定义
图象
绝对值函数
“双勾”函数
_
函数类型
定义
图象
取整函数
，其中表示不超过的最大整数
符号函数
续表
自测诊断
1.函数的定义域是()
B
A.B.C.D.
[解析]由题知解得且，所以函数的定义域为.故选B.
2.已知，则()
D
A.B.C.D.
[解析]由题意，故.故选D.
A
A.B.C.D.18
[解析]因为当时，,所以,所以；又当时，，所以.故选A.
［对点训练3］（1）设函数则()
C
A.B.C.D.
[解析]因为，所以.故选C.
（2）已知函数则___.
[解析].故答案为.
高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第8节函数与方程课件新人教A版
D.[1，2)
解析 依题意直线y＝a与y＝f(x)的图象有两个交点. 作出y＝a，y＝f(x)的图象，如图所示. 又当 x≤1 时，f(x)＝12|x|∈(0，1]； 当x>1时，f(x)＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2， ∴当x＝2时，f(x)有最大值f(2)＝2. 结合图象，当 a∈0，12∪[1，2)时，两图象有 2 个交点. 此时，方程a＝f(x)有两个不同实根. 答案 B
【训练3】 (1)(角度1)(202X·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零
点，则a＝( )
A.－12
1 B.3
1
C.2
D.1
(2)(角度2)若函数y＝x＋log2(a－2x)＋2在R上有零点，则实数a的最小值为________.
解析 (1)f(x)＝(x－1)2－1＋a(ex－1＋e1－x)，则f(2－x)＝(2－x－1)2－1＋a[e2－x－1＋ e1－(2－x)]＝(1－x)2－1＋a(ex－1＋e1－x)＝f(x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称. 若 f(x)有唯一的零点，则只有 f(1)＝0，∴a＝12. 或：作出y＝a(ex－1＋e－x＋1)与y＝－x2＋2x的图象.
x0 所在的区间是________.
解析 (1)由函数 f(x)＝x－1 a为奇函数，可得 a＝0， 则 g(x)＝ln x－2f(x)＝ln x－2x. 又 g(2)＝ln 2－1<0，g(3)＝ln 3－23>0，
所以g(2)·g(3)<0. 故函数g(x)的零点所在区间为(2，3).
(2)设 f(x)＝x3－12x－2，则 x0 是函数 f(x)的零点，在同一坐 标系下画出函数 y＝x3 与 y＝12x－2的图象如图所示. 因为 f(1)＝1－12－1＝－1<0，f(2)＝8－120＝7>0， 所以f(1)·f(2)<0，所以x0∈(1，2). 答案 (1)C (2)(1，2)
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第8讲函数与方程课件
解法二：(图象法)函数 f(x)的图象如图所示，
由图象知函数 f(x)共有 2 个零点．
2．已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f(x)
＝2|x|－1，则函数g(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( B )
A．9
B．10
C．11
D．18
[解析] 由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再
考向 2 函数零点个数的确定——师生共研
x2＋x－2，x≤0， 1.函数 f(x)＝－1＋ln x，x>0 的零点个数为( B )
A．3
B．2
C．7
D．0
[解析] 解法一：(直接法)由 f(x)＝0 得
x≤0，
x>0，
x2＋x－2＝0 或－1＋ln x＝0，
解得 x＝－2 或 x＝e.
因此函数 f(x)共有 2 个零点．
2．几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x_轴__有交点⇔函数y＝ f(x)有__零__点____.
3．函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有___f_(_a_)f_(_b_)＜__0_____，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存 在c∈(a，b)，使得___f_(c_)_＝__0__，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
点所在的大致区间是( C )
1
A．e，1
C．(2，e)
B．(1,2) D．(e，＋∞)
2 [解析] y＝f(x)＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)，因为 y＝ln x 与 y＝
2
2
－x在(0，＋∞)上单调递增，所以 f(x)＝ln x－x在(0，＋∞)上单调递增，
2025届高考数学一轮总复习第3章函数与基本初等函数第1节函数的概念及其表示新人教A版
解析 因为f(x)=
故选D.
C.5
D.4
- + 1, < 0,
2=4,
所以f(-1)=-(-1)+1=2,所以f(f(-1))=f(2)=2
选择恰当的方法.
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
目录索引
1 强基础 固本增分
知识梳理
1.函数的概念
一般地,设A,B是非空的 实数集
,如果对于集合A中
的 任意一个数x ,按照某种确定的对应关系f,在集合B
概念
中都有 唯一 确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为
从集合A到集合B的一个函数
2 0232,相当于1个x值对应两个y值,不符合函数定义,即A错误;对于B选项,
取x=0和x=π,有f(g(0))=f(0)=0,f(g(π))=f(0)=π2,不符合函数定义,所以B
错误;对于 C 选项,若 f(2x-1)=x
+1
+1 2
+1 2
,令 t=2x-1,得 x= ,则 f(t)=( ) ,即 f(x)=( ) ,
选BCD.
考点二函数的定义域
例 2(1)(2024·江西赣州模拟)若函数 f(x-1)的定义域为[-2,3],则函数
f(2x-4)
g(x)= x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ -4
的定义域为( B )
1
A.[2,3]
1
B.[2,2)∪(2,3]
C.[-1,2)∪(2,4]
D.[-6,2)∪(2,4]
解析 函数 f(x-1)的定义域为[-2,3],所以由-2≤x≤3,得-3≤x-1≤2,故 f(x)的定
√
.
+ 1 > 0,
2023年高考数学一轮复习 课件 第三单元 基本初等函数(I)
17
目录
点拨 (1)幂函数的形式是 y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需 一个条件即可确定其解析式.
(2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近 x 轴(简记为“指 大图低”);在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离 x 轴.
5
(3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②当α>0 时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; ③当α<0 时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为(h,k). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2 为 f(x)的零点.
[解析]由 f(0)=3,得 c=3,
又 f(1+x)=f(1-x),
∴函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,
∴2=1,解得 b=2,
∴f(x)=x2-2x+3.
19
目录
【变式设问 1】已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3),它在 x 轴上截得的线
段长为 2,并且对任意 x∈R,都有 f(2-x)=f(2+x),则 f(x)= x2-4x+3.
(全国通用版)高考数学一轮复习第三单元基本初等函数(Ⅰ)及应用理
第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用教材复习课“基本初等函数(Ⅰ)”相关基础知识一课过一、根式与幂的运算 1．根式的性质 (1)(na )n＝a .(2)当n 为奇数时，n a n＝a . (3)当n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ，－aa(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理数指数幂 (1)分数指数幂：①正分数指数幂：a mn＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质． ①a r·a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q)．②(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q)． ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q)． 二、对数及对数运算 1．对数的定义一般地，如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质(1)log a 1＝0，log a a ＝1. (2)a log a N ＝N ，log a a N＝N .(3)负数和零没有对数． 3．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (M N )＝log a M ＋log a N . (2)log a M N＝log a M －log a N . (3)log a M n＝n log a M (n ∈R)．(4)换底公式log a b ＝log m blog m a (a >0且a ≠1，b >0，m >0，且m ≠1)．[小题速通]1．化简a 23·b－1-12·a-12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：选D 原式＝a3-1b 12a -12b13a 16b56＝a---111362·b+-151362＝1a.2．若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝( ) A.94 B.54 C.103D.43解析：选D 由x ＝log 43，得4x ＝3，即4－x ＝13，(2x －2－x )2＝4x －2＋4－x＝3－2＋13＝43.3.22－4log 23＋4＋log 213＝( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－2解析：选 B 22－4log 23＋4＋log 213＝23－2－log 23＝2－log 23－log 23＝2－2log 23.4．已知f (x )＝2x＋2－x，若f (a )＝3，则f (2a )＝( ) A ．11 B ．9 C ．7D ．5解析：选C 由题意可得f (a )＝2a ＋2－a ＝3，则f (2a )＝22a ＋2－2a＝(2a ＋2－a )2－2＝7.[清易错]1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．2．在对数运算时，易忽视真数大于零． 1．化简－x3x的结果是( )A ．－－x B.x C ．－xD.－x 解析：选A 依题意知x <0，故－x3x＝－－x3x 2＝－－x .2．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则x y的值为________． 解析：∵lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0， 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y . 又x >0，y >0，x －2y >0， 故x ＝y 不符合题意，舍去． 所以x ＝4y ，即x y＝4. 答案：4二次函数1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图象定义域 RR值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a[小题速通]1．若二次函数y ＝－2x 2－4x ＋t 的图象的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选C ∵二次函数的图象的顶点在x 轴上，∴Δ＝16＋8t ＝0，可得t ＝－2. 2．(2018·唐山模拟)如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围为( )A ．[8，＋∞)B ．(－∞，8]C ．[4，＋∞)D ．[－4，＋∞)解析：选A 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a 2，由题意得a2≥4，解得a ≥8.3．(2017·宜昌二模)函数f (x )＝－2x 2＋6x (－2≤x ≤2)的值域是( ) A ．[－20,4] B ．(－20,4) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－20，92D.⎝⎛⎭⎪⎫－20，92解析：选C 由函数f (x )＝－2x 2＋6x 可知，二次函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝32，当－2≤x <32时，函数f (x )单调递增，当32≤x ≤2时，函数f (x )单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－2×94＋6×32＝92，又f (－2)＝－8－12＝－20，f (2)＝－8＋12＝4，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－20，92.[清易错]易忽视二次函数表达式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中的系数a ≠0.若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案：a >0，ac ＝41．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． 2．常见的5种幂函数的图象3．常见的5种幂函数的性质1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选C 令f (x )＝x α，则4α＝2， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故C 正确．2．(2018·贵阳监测)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.12 B ．2 C. 2D.22解析：选C 设幂函数的解析式为f (x )＝x α，将⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3代入解析式得3－α＝3，解得α＝－12，∴f (x )＝x －12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，故选C.3．若函数f (x )＝(m 2－m －1)x m是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2解析：选B ∵f (x )＝(m 2－m －1)x m是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.又f (x )在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.[清易错]幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．2解析：选C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m <3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．指数函数指数函数的图象与性质y ＝a x (a >0，且a ≠1)a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质当x ＝0时，y ＝1，即过定点(0,1)当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞11．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0，且a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)解析：选D 由f (2)＝a 0＋1＝2，知f (x )的图象必过点(2,2)． 2．函数f (x )＝1－2x的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选A 要使f (x )有意义须满足1－2x≥0，即2x≤1，解得x ≤0. 3．函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以函数y ＝a x－a 的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：选A 构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b <c ；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R)与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x (x ∈R)之间有如下结论：当x >0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x >⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即a >c ，故a >c >b .5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数解析：选C 由指数运算的规律易知，a x ＋y＝a x ·a y ，即令f (x )＝a x，则f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故该函数为指数函数．[清易错]指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．解析：当a >1时，f (x )＝a x为增函数，f (x )max ＝f (2)＝a 2，f (x )min ＝f (1)＝a .∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍去)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x为减函数，f (x )max ＝f (1)＝a ，f (x )min ＝f (2)＝a 2.∴a －a 2＝a2.即a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍去)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.答案：12或32对数函数的图象与性质1．若函数f (x )＝log a (3x －2)(a >0，且a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0 C ．(1,0) D ．(0,1)答案：C2．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B 由题意知，y ＝a x的定义域为R ，y ＝log a (－x )的定义域为(－∞，0)，故排除A 、C ；当0<a <1时，y ＝a x在R 上单调递减，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递增；当a >1时，y ＝a x在R 上单调递增，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递减，结合B 、D 图象知，B 正确．3．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)4．函数f (x )＝log a (x 2－2x －3)(a >0，a ≠1)的定义域为________．解析：由题意可得x 2－2x －3>0，解得x >3或x <－1，所以函数的定义域为{x |x >3或x <－1}．答案：{x |x >3或x <－1}[清易错]解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域． (2)对数底数的取值范围． 1．(2018·南昌调研)函数y ＝log 23x － 的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 解析：选D 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧log 23x －，2x －1>0，解得12<x ≤1.2．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________．解析：当a >1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.当0<a <1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 12＝1，所以a ＝12.故a ＝2或a ＝12.答案：2或12一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x >0，满足f (x )＝1的x 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－2D ．1或－1解析：选D 由题意，方程f (x )＝1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2－x－1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 12＝1，解得x ＝－1或1.2．函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )解析：选B 令x ＝1，x －1＝0，显然f (x )＝ln|x －1|无意义，故排除A ；由|x －1|>0可得函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，故排除D ；由复合函数的单调性可知f (x )在(1，＋∞)上是增函数，故排除C ，选B.3．(2018·郑州模拟)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象知： 当a <0，且abc >0时，若－b2a <0，则b <0，c >0，故排除A ，若－b2a>0，则b >0，c <0，故排除B.当a >0，且abc >0时，若－b2a <0，则b >0，c >0，故排除C ，若－b2a>0，则b <0，c <0，故选项D 符合．4．设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 25，d ＝log 20.3，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A ．d <b <a <c B ．d <a <b <c C ．b <c <d <aD ．b <d <c <a解析：选B 由对数函数的性质可知c ＝log 25>2，d ＝log 20.3<0， 由指数函数的性质可知0<a ＝0.32<1,1<b ＝20.3<2， 所以d <a <b <c .5．(2018·长春模拟)函数y ＝4x＋2x ＋1＋1的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选B 令2x＝t ，则函数y ＝4x＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)．∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增， ∴y >1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B. 6．(2017·大连二模)定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy <0，例如：＝3，(－＝4，则函数f (x )＝x2x －x 2)的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意可得f (x )＝x2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x >2或x <0，当0≤x ≤2时，f (x )∈[0,4]；当x >2或x <0时，f (x )∈(－∞，0)．综上可得函数f (x )的最大值为4，故选D.7．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x －1＝－1＋－2x －1在(－1,1)上是增函数，∴f (x )在(－1,1)上是增函数．选D.8．(2018·湖北重点高中协作校联考)设函数f (x )＝1－x ＋1，g (x )＝ln(ax 2－3x ＋1)，若对任意x 1∈[0，＋∞)，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的最大值为( )A.94 B ．2 C.92D ．4解析：选A 设g (x )＝ln (ax 2－3x ＋1)的值域为A ，因为函数f (x )＝1－x ＋1在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A ，因此h (x )＝ax 2－3x ＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h (0)＝1，于是，实数a 需要满足a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，9－4a ≥0，解得a ≤94.故选A.二、填空题9．(2018·连云港调研)当x >0时，函数y ＝(a －8)x的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，a －8>1，解得a >9. 答案：(9，＋∞)10．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________． 解析：设f (x )＝x α， 又f (4)＝3f (2)， ∴4α＝3×2α， 解得α＝log 23， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13.答案：1311．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e1－x，x ≤1，x －，x >1，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是________．解析：由题意，f (x )≥2等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，e 1－x≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x －，解得x ≤1－ln 2或x ≥1＋e 2，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)． 答案：(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)12．若对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，恒有4x <log ax (a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝4x，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是增函数，g (x )＝log a x ，当a >1时，g (x )＝log a x在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是增函数，且g (x )＝log a x <0，不符合题意；当0<a <1时，g (x )＝log a x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，解得22≤a <1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 三、解答题13．函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且f (2)－f (4)＝1. (1)若f (3m －2)>f (2m ＋5)，求实数m 的取值范围； (2)求使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x ＝log 123成立的x 的值．解：(1)由f (2)－f (4)＝1，得a ＝12.∵函数f (x )＝log 12x 为减函数且f (3m －2)>f (2m ＋5)，∴0<3m －2<2m ＋5，解得23<m <7，故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，7. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x ＝log 123，即x －4x ＝3，x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1.14．已知函数f (x )＝a －22x＋1为奇函数． (1)求a 的值；(2)试判断函数f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )， ∴a －22x ＋1＝－a ＋22－x ＋1，∴2a ＝2·2x2x ＋1＋22x ＋1＝2，∴a ＝1.(2)f (x )在R 上为单调递增函数． 证明如下：设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－1＋22x 2＋1＝x 1－2x 2x 1＋x 2＋.∵x 1<x 2，∴2x 1－2x 2<0，(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )为R 上的单调递增函数． (3)∵f (x )＝1－22x＋1为奇函数，且在R 上为增函数， ∴由f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立， ∴f [t 2－(m －2)t ]>－f (t 2－m ＋1)＝f (m －t 2－1)， ∴t 2－(m －2)t >m －1－t 2对t ∈R 恒成立， 化简得2t 2－(m －2)t －m ＋1>0， ∴Δ＝(m －2)2＋8(m －1)<0， 解得－2－22<m <－2＋22，故m 的取值范围为(－2－22，－2＋22)．高考研究课(一) 幂函数、二次函数的 3类考查点——图象、性质、解析式 [全国卷5年命题分析]幂函数的图象与性质[典例] ((n 2＋2n －2)·xn 2－3n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或－3(2)1.112，0.912，1的大小关系为________．[解析] (1)由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，当n ＝1时，函数f (x )＝x －2为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.(2)把1看作112，幂函数y ＝x 12在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.9<1<1.1，∴0.912<112<1.112.即0.912<1<1.112.[答案] (1)B (2)0.912<1<1.112[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．[即时演练]1．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b<f (b )解析：选C ∵0<a <b <1，∴0<a <b <1b <1a ，又f (x )＝x 12为增函数，∴f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a .2．若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，则实数a 的取值范围是________________．解析：不等式(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a .解得23<a <32或a <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 二次函数的解析式二次函数的解析式有一般式、顶点式、零点式.求二次函数的解析式时，要灵活选择解析式形式以确立解法.[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．[解] 法一：用“一般式”解题 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：用“顶点式”解题 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋－2＝12， ∴m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：用“零点式”解题由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8，即4a－2a －－a24a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：[即时演练]1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )A ．y ＝14(x ＋3)2B ．y ＝－14(x －3)2C ．y ＝－14(x ＋3)2D ．y ＝14(x －3)2解析：选D 由题图可知，对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，所以点C 的纵坐标为0，横坐标的绝对值为3，即C (－3,0)，因为点F 与点C 关于y 轴对称，所以F (3,0)，因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y ＝a (x －3)2(a >0)，将点D (1,1)代入得，a ＝14，即y ＝1(x－3)2.42．已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16，则函数f(x)的解析式为________．解析：由题意可设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(4)＝16a＋c＝16，f(2)＝4a＋c＝4，解得a＝1，c＝0，故f(x)＝x2.答案：f(x)＝x2二次函数的图象与性质；二次函数的最值问题角度一：二次函数的图象与性质1．(2018·武汉模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1<a<3)，且x1<x2，x1＋x2＝1－a，则下列结论正确的是( )A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定解析：选A f(x)的对称轴为x＝－1，因为1<a<3，则－2<1－a<0，若x1<x2≤－1，则x1＋x2<－2，不满足x1＋x2＝1－a且－2<1－a<0；若x1<－1，x2≥－1，则|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a>0(1<a<3)，此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)>f(x1)；若－1≤x1<x2，则此时x1＋x2>－2，又因为f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以f(x1)<f(x2)．2．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，且实数m 的取值范围是( )A．(－∞，0] B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]解析：选D 二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x－1)<0，x∈[0,1]，所以a>0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.[方法技巧]解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解． 角度二：二次函数的最值问题3．已知二次函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．解：(1)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝1a －2a＝－1a.②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(2)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a ∈－∞，∪，，－1a，a ∈[1，＋4．已知a 是实数，记函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[a ，a ＋1]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式．解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[a ，a ＋1]，a ∈R ，对称轴为x ＝1.当a ＋1<1，即a <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为减函数，所以最小值为f (a ＋1)＝a 2＋1；当a ≤1≤a ＋1，即0≤a ≤1时，函数图象如图(2)，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当a >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为增函数，所以最小值为f (a )＝a 2－2a ＋2.综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1，a <0，1，0≤a ≤1，a 2－2a ＋2，a >1.[方法技巧]二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系．1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x在R 上为增函数，知b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由幂函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，知a <c .综上得b <a <c .故选A.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.3．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：当x <1时，由ex －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由x 13≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.答案：(－∞，8]一、选择题1．(2018·绵阳模拟)幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m的图象过点(2,4)，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D ∵幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m的图象过点(2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，2m＝4，解得m ＝2.故选D.2．(2018·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( )A ．[－3,3]B ．[－1,3]C ．{－3,3}D ．{－1，－3,3}解析：选C ∵函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，∴当a ≥1时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3； 当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4. 故a 的取值集合为{－3,3}．故选C.3.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析：选B ∵二次函数的图象与x 轴交于两点，∴b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象知，当x ＝－1时，y >0，即a －b＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，∴a <0，∴5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.4．若对任意a ∈[－1,1]，函数F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B 由题意，令f (a )＝F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，对任意a ∈[－1,1]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f＝x 2－3x ＋2>0，f －＝x 2－5x ＋6>0，解得x <1或x >3.5．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－∞，－1]D ．[－1,0]解析：选D 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3在R 上递减，符合题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，只需对称轴x ＝1m≤－1，且m <0，解得－1≤m <0，综上，实数m 的取值范围为[－1,0]．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A ∵f (1)＝3，∴不等式f (x )>f (1)，即f (x )>3.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得x >3或－3<x <1.7．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选D f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.8．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析：选B f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24＋b ，①当0≤－a2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关； ③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关． 综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关． 二、填空题9．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z)在(0，＋∞)上为增函数，且在其定义域内是偶函数，则m 的值为________．解析：∵幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1或m ＝2.当m ＝0或m ＝2时，f (x )＝x 3在其定义域内为奇函数，不满足题意；当m ＝1时，f (x )＝x 4在其定义域内是偶函数，满足题意．综上可知，m 的值是1. 答案：110．二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m ＝________.解析：二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 的图象的开口向上，对称轴为直线x ＝－m －13，要使得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x ＝－m －13＝1，解得m ＝－2.答案：－211．(2018·南通一调)若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )min ]min ≥8，当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )min 取得最小值，即f (t ＋1)－f (t )＝2at ＋a ＋20≥8，f (t －1)－f (t )＝－2at ＋a －20≥8，两式相加，得a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案：812．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使得函数y ＝f (x )－bx 恰有2个零点，则实数a 的取值范围为_______．解析：显然x ＝0是y ＝f (x )－bx 的一个零点； 当x ≠0时，令y ＝f (x )－bx ＝0得b ＝f xx， 令g (x )＝f xx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤a ，x ，x >a ，则b ＝g (x )存在唯一一个解．当a <0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，显然当a <b <a 2且b ≠0时，b ＝g (x )存在唯一一个解，符合题意； 当a >0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，若要使b ＝g (x )存在唯一一个解，则a >a 2，即0<a <1， 同理，当a ＝0时，显然b ＝g (x )有零解或两解，不符合题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)． 答案：(－∞，0)∪(0,1) 三、解答题13．(2018·杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )，可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称， 设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)， 由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1， 根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋h a， ∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝－4ha＝2，解得a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增， 又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x . ∴g (x )的对称轴方程为x ＝k －22，则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．14．(2018·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24－a ＋3，令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )．(1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，∴a ≤73.又a >4，∴a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋3≥0， ∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4， ∴－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7.又a <－4，∴－7≤a <－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >b >c )的图象经过点A (m 1，f (m 1))和点B (m 2，f (m 2))，f (1)＝0.若a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，则( )A ．b ≥0B ．b <0C ．3a ＋c ≤0D ．3a －c <0解析：选A 由f (1)＝0可得a ＋b ＋c ＝0，若a ≤0，由a >b >c ，得a ＋b ＋c <0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾，故a >0，若c ≥0，则有b >0，a >0，此时a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾；所以c <0成立，因为a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，所以(a ＋f (m 1))(a ＋f (m 2))＝0，所以m 1，m 2是方程f (x )＝－a 的两个根，Δ＝b 2－4a (a ＋c )＝b (b ＋4a )＝b (3a －c )≥0，而a >0，c <0，所以3a －c >0，所以b ≥0.2．设函数f (x )＝2ax 2＋2bx ，若存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立，则t 的取值范围是________．解析：因为存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立，所以2ax 2＋2bx ＝a ＋b 等价于(2x －1)b ＝(1－2x 2)a . 当x ＝12时，左边＝0，右边≠0，即等式不成立，故x ≠12；当x ≠12时，(2x －1)b ＝(1－2x 2)a 等价于b a ＝1－2x 22x －1，设2x －1＝k ，因为x ≠12，所以k ≠0，则x ＝k ＋12，则b a ＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k －2. 设g (k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k －2，则函数g (k )在(－1,0)，(0,2t －1)上的值域为R. 又因为g (k )在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减， 所以g (k )在(－1，0)，(0,2t －1)上单调递减， 故当k ∈(－1,0)时，g (k )<g (－1)＝－1；当k ∈(0,2t －1)时，g (k )>g (2t －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －1－2t －1，故要使值域为R ，则g (2t －1)<g (－1)，即12t －1－2t －1<－2，解得t >1.答案：(1，＋∞) 高考研究课(二)指数函数的2类考查点——图象、性质 [全国卷5年命题分析]指数函数的图象 5年3考 指数函数图象的应用 指数函数的性质5年3考比较大小、求值指数函数的图象及应用[典例] (1)函数f (x )＝e x·x2e 2x ＋1的大致图象是( )(2)(2018·广州模拟)若存在负实数使得方程2x－a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,2)D ．(0,1)[解析] (1)因为f (－x )＝e －x·x 2e －2x ＋1＝e x·x21＋e 2x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以排除A 、D 项．当x ＝0时，y ＝0，故排除B 项，选C.(2)在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x－a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求．[答案] (1)C (2)C [方法技巧]指数函数图象问题的求解策略(1)画指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a . (2)与指数函数有关函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [即时演练] 1．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：选B 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，结合图象知，选B.2．(2018·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．比较大小或解不等式；与指数函数有关的函数值域问题；与指数函数有关的单调性问题；与指数函数有关的最值与参数问题角度一：比较大小或解不等式1．(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1解析：选B A 中，∵函数y ＝1.7x在R 上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，故A 错误； B 中，∵y ＝0.6x在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，故B 正确； C 中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2， 即0.8－0.1<1.250.2，故C 错误；D 中， ∵1.70.3>1,0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，故D 错误．2．(2018·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}解析：选B ∵f (x )为偶函数， 当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－x－4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x－4，x <0，若f (x －2)>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0，解得x >4或x <0. [方法技巧](1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．(2)有关指数不等式问题，应注意a 的取值，及结合指数函数的性质求解． 角度二：与指数函数有关的函数值域问题3．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4， 又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案：52[方法技巧]形如y ＝a 2x＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．角度三：与指数函数有关的单调性问题 4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.5．已知函数f (x )＝a|x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________________．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1.由于函数f (x )＝a|x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1)．答案：f (－4)>f (1) [方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．角度四：与指数函数有关的最值与参数问题6．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1D.12解析：选C 由a x ＝b y＝3，可得a ＝31x ，b ＝31y，所以23＝a ＋b ＝31x ＋31y≥231x ＋1y，则1x ＋1y ≤1，当且仅当x ＝y 时，等号成立．故1x ＋1y的最大值为1.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－3m 有三个不同的交点，作出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象如图所示，则0<－3m <1，所以－13<x <0.。
高考数学一轮复习基本初等函数知识点
高考数学一轮复习基本初等函数知识点每一章知识点掌握对温习是十分有利的，查字典数学网为您提供的是基本初等函数知识点，希望可以协助到你。
一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念：普通地，假设，那么叫做的次方根(nthroot)，其中1，且*.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，正数的次方根是一个正数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以兼并成(0).由此可得：正数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
留意：当是奇数时，，当是偶数时，2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规则：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规则了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推行到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也异样可以推行到有理数指数幂.3.实数指数幂的运算性质(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：普通地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为R.留意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是正数、零和1.2、指数函数的图象和性质a1图象特征函数性质向x、y轴正负方向有限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点(0，1)自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋向是越来越陡图象上升趋向是越来越缓函数值末尾增长较慢，到了某一值后增长速度极快;函数值末尾减小极快，到了某一值后减小速度较慢;留意：应用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在[a，b]上，值域是或;(2)假定，那么;取遍一切正数当且仅当;(3)关于指数函数，总有;(4)事先，假定，那么;二、对数函数(一)对数1.对数的概念：普通地，假设，那么数叫做以为底的对数，记作：(底数，真数，对数式)说明：1留意底数的限制，且;2;3留意对数的书写格式.两个重要对数：1常用对数：以10为底的对数;2自然对数：以在理数为底的对数的对数.对数式与指数式的互化对数式指数式对数底数幂底数对数指数真数幂(二)对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+).留意：1对数函数的定义与指数函数相似，都是方式定义，留意区分。
高考一轮复习 基本初等函数 知识点+例题+练习
1．指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次实数方根．也就是，若x n＝a，则x叫做______________，其中n>1且n∈N*.式子na叫做________，这里n叫做____________，a叫做____________．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号______表示，负的n次实数方根用符号________表示．正负两个n次实数方根可以合写成________(a>0)．③(na)n＝____.④当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.⑤当n为奇数时，na n＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．②正数的负分数指数幂是mna-＝____________＝____________(a>0，m，n∈N*，n>1)．③0的正分数指数幂是____，0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a s a t＝________(a>0，s，t∈Q)．②(a s)t＝_______(a>0，s，t∈Q)．③(ab)t＝_______(a>0，b>0，t∈Q)．3．指数函数的图象与性质a >10<a<1图象定义域值域性质(1)过定点________(2)当x>0时，______；当x<0时，________(2)当x>0时，________；当x<0时，______(3)在(－∞，＋∞)上是______(3)在(－∞，＋∞)上是______自我检测1．下列结论中正确的有________(填序号)．①当a<0时，322()a＝a3；②na n＝|a|；③函数y＝12(2)x －(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.2．函数y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则a＝________.3．如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图象，则a，b，c，d的大小关系为____________．4．若a>1，b>0，且a b＋a－b＝22，则a b－a－b的值为________．5．函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是________(填序号)．①a>1，b<0；②a>1，b>0；③0<a<1，b>0；④0<a<1，b<0.探究点一 有理指数幂的化简与求值例1 已知a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a <b ，求：(1)a －1＋b －1(ab )－1； 733338152a a a a --.变式迁移1 3322114443()a b ab ba b a(a 、b >0)的结果为____________．探究点二 指数函数的图象及其应用例2 已知函数y ＝(13)|x +1|.(1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值．变式迁移2 若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围为________．探究点三 指数函数的性质及应用例3 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．变式迁移3 已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)证明：f (－x )＝f (x )； (3)证明：f (x )>0.分类讨论思想例 已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．一、填空题1．已知a ＝133()4-，b ＝143()4-，c ＝343()2-，则a 、b 、c 的大小关系为______________．2．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围为________．3．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x ∈Z |12<2x ＋1<4}，则M ∩N ＝________.4．定义运算a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b )，则函数f (x )＝12x 的值域为________．5．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围为________．6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围为________．7．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R 是偶函数，则实数a ＝________. 8．若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 的值为________．二、解答题9．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．10．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值．(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．11．函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．。
2025届高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第2讲函数的基本性质作业试题2含解析新人教版
其次讲 函数的基本性质1.[2024江西红色七校第一次联考]下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是 ( )A.y=cos xB.y=x 2C.y=ln|x|D.y=e-|x|2.[2024湖北省四地七校联考]若函数f(x)=sin x·ln(mx+√1+4x 2)的图象关于y 轴对称,则m= ( )A.2B.4C.±2D.±43.[2024郑州三模]若函数f(x)={e x -x +2a,x >0,(a -1)x +3a -2,x ≤0在(-∞,+∞)上是单调函数,则a 的取值范围是( )A.[1,+∞)B.(1,3]C.[12,1) D.(1,2]4.[2024广州市阶段模拟]已知f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=x 3+x 2+a,则g(2)=( ) A.-4B.4C.-8D.85.[2024长春市第一次质量监测]定义在R 上的函数f(x)满意f(x)=f(x+5),当x∈[-2,0)时,f(x)=-(x+2)2,当x∈[0,3)时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+…+f(2 021)= ( )A.809B.811C.1 011D.1 0136.[2024陕西省部分学校摸底检测]已知函数f(x)=2x cosx 4x +a是偶函数,则函数f(x)的最大值为 ( )A.1B.2C.12 D.37.[2024济南名校联考]已知定义在R 上的函数f(x)满意f(x+6)=f(x),y=f(x+3)为偶函数,若f(x)在(0,3)上单调递减,则下面结论正确的是 ( )A.f(192)<f(e 12)<f(ln 2)B.f(e 12)<f(ln 2)<f(192)C.f(ln 2)<f(192)<f(e 12) D.f(ln 2)<f(e 12)<f(192)8.[2024江苏苏州初调]若y=f(x)是定义在R 上的偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)={sinx,x ∈[0,1),f(x -1),x ∈[1,+∞),则f(-π6-5)= .9.函数f(x)=x 3-3x 2+5x-1图象的对称中心为 .10.[2024蓉城名校联考]已知函数f(x)=x+cosx,x∈R,设a= f(0.3-1), b= f(2-0.3),c= f(log 20.2),则 ( )A.b<c<aB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a11.[2024辽宁葫芦岛其次次测试]已知y=f(x-1)是定义在R 上的偶函数,且y=f(x)在[-1,+∞)上单调递增,则不等式f(-2x-1-1)<f(3)的解集为 ( )A.(2,+∞)B.(3,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,3)12.已知f(x)是定义在(1,+∞)上的增函数,若对于随意x,y∈(1,+∞),均有f(x)+f(y)=f(2x+y),f(2)=1,则不等式f(x)+f(x-1)-2≥0的解集为 ( )A.[52,+∞)B.(52,+∞)C.[1,52]D.(2,52]13.[2024广东七校联考]已知定义在R 上的偶函数y=f(x+2),其图象是连续的,当x>2时,函数y=f(x)是单调函数,则满意f(x)=f(1-1x+4)的全部x 之积为 ( )A.3B.-3C.-39D.3914.[原创题]设增函数f(x)={lnx,x >1,-1+ax x ,0<x ≤1的值域为R,若不等式f(x)≥x+b 的解集为{x|c≤x≤e},则实数c 的值为 ( )A.e -√e 2-42B.e+√e 2-42C.e±√e 2-42D.1215.[多选题]已知奇函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,f(1)=2,若0<f(m)<2,则 ( )A.log m (1+m)<log m (1+m 2) B.log m (1-m)<0 C.(1-m)2>(1+m)2D.(1-m )13>(1-m )1216.[2024湖南六校联考][多选题]已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则关于函数g(x)=|f(x)|+f(|x|),下列说法正确的是( ) A.g(x)为偶函数B.g(x)在(1,2)上单调递增C.g(x)在[2 016,2 020]上恰有三个零点D.g(x)的最大值为2答 案其次讲 函数的基本性质1.D 函数y=cos x 是偶函数且是周期为2π的周期函数,所以y=cos x 在(0,+∞)上不具有单调性,所以A 选项不符合题意;函数y=x 2为偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,所以B 选项不符合题意;函数y=ln|x|={lnx,x >0,ln(-x),x <0为偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,所以C 选项不符合题意;函数y=e -|x|={e -x ,x ≥0,e x ,x <0为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,所以D 选项符合题意.故选D.2.C ∵f(x)的图象关于y 轴对称,∴f(x)为偶函数,又y=sin x 为奇函数,∴y=ln(mx+√1+4x 2)为奇函数,即ln[-mx+√1+4·(-x)2]+ln(mx+√1+4x 2)=0,即ln(1+4x 2-m 2x 2)=0,1+4x 2-m 2x 2=1,解得m=±2.故选C.3.B 当x>0时,f(x)=e x -x+2a,则f '(x)=e x-1>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.因为函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数.当x≤0时,f(x)=(a-1)x+3a-2是单调递增函数,所以a-1>0,得a>1.e 0-0+2a≥(a -1)×0+3a -2,解得a≤3.所以1<a≤3,故选B.4.C 依题意f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)-g(x)=x 3+x 2+a ①,所以f(-x)-g(-x)=-x 3+x 2+a,即f(x)+g(x)=-x 3+x 2+a ②,②-①得2g(x)=-2x 3,g(x)=-x 3,所以g(2)=-23=-8.故选C. 5.A 由f(x)=f(x+5)可知f(x)的周期为5,又f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2,f(-1)=-1,f(-2)=0,∴f(3)=f(-2)=0,f(4)=f(-1)=-1,f(5)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=2,∴f(1)+f(2)+…+f(2 021)=f(1)+2×404=809.故选A. 6.C 解法一 因为函数f(x)=2x cosx 4x +a 是偶函数,所以f(-x)=f(x),即2-x cos(-x)4-x +a=2x cosx 4x +a ,化简可得a(4x -1)=4x-1,得a=1,所以f(x)=2x cosx4x +1=cosx2x +2-x .又cos x≤1,2x+2-x≥2,当且仅当x=0时两个“=”同时成立,所以f(x)≤12.故选C. 解法二 因为函数f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),即2-1cos(-1)4-1+a=21cos14+a ,解得a=1,所以f(x)=2x cosx4x +1=cosx2x +2-x .因为cosx≤1,2x+2-x≥2,当且仅当x=0时两个“=”同时成立,所以f(x)max =12,故选C.7.A 由f(x+6)=f(x)知函数f(x)是周期为6的函数.因为y=f(x+3)为偶函数,所以f(x+3)=f(-x+3),所以f(192)=f(72)=f(12+3)=f(-12+3)=f(52).(题眼)(难点:利用函数的性质把自变量的取值化到同一个单调区间内) 因为1<e 12<2,0<ln 2<1,所以0<ln 2<e 12<52<3.因为f(x)在(0,3)上单调递减,所以f(52)<f(e 12)<f(ln 2),即f(192)<f(e 12)<f(ln 2),故选A.8.12 因为y=f(x)是定义在R 上的偶函数,所以f(-π6-5)=f(π6+5).因为x≥1时,f(x)=f(x-1),所以f(π6+5)=f(π6+4)=…=f(π6).又0<π6<1,所以f(π6)=sin π6=12.故f(-π6-5)=12.9.(1,2) 解法一 由题意设图象的对称中心为(a,b),则2b=f(a+x)+f(a-x)对随意x 均成立,代入函数解析式得,2b=(a+x)3-3(a+x)2+5(a+x)-1+(a-x)3-3(a-x)2+5(a-x)-1=2a 3+6ax 2-6a 2-6x 2+10a-2=2a 3-6a 2+10a-2+(6a-6)x 2对随意x 均成立,所以6a-6=0,且2a 3-6a 2+10a-2=2b,即a=1,b=2,即f(x)的图象的对称中心为(1,2).解法二 由三次函数对称中心公式可得,f(x)的图象的对称中心为(1,2).10.D f(x)=x+cos x,则f '(x)=1-sin x≥0,所以f(x)在R 上单调递增,又log 20.2<2-0.3<1<0.3-1=103,所以f(log 20.2)<f(2-0.3)<f(103),即c<b<a.11.D 由题可知y=f(x-1)的图象关于y 轴对称.因为y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到y=f(x-1)的图象,所以y=f(x)的图象关于直线x=-1对称.因为y=f(x)在[-1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减.所以|-2x-1-1-(-1)|<|3-(-1)|,即0<2x-1<4,解得x<3,所以原不等式的解集为(-∞,3),故选D.12.A 依据f(x)+f(y)=f(2x+y),f(2)=1,可得2=1+1=f(2)+f(2)=f(24),所以f(x)+f(x-1)-2≥0得f(22x-1)≥f(24).又f(x)是定义在(1,+∞)上的增函数,所以{22x -1≥24,x >1,x -1>1, 解得x≥52.所以不等式f(x)+f(x-1)-2≥0的解集为[52,+∞).13.D 因为函数y=f(x+2)是偶函数,所以函数y=f(x)图象关于x=2对称,因为f(x)在(2,+∞)上单调,所以f(x)在(-∞,2)上也单调,所以要使f(x)=f(1-1x+4),则x=1-1x+4或4-x=1-1x+4.由x=1-1x+4,得x 2+3x-3=0,Δ1>0,设方程的两根分别为x 1,x 2,则x 1x 2=-3;由4-x=1-1x+4,得x 2+x-13=0,Δ2>0,设方程的两根分别为x 3,x 4,则x 3x 4=-13.所以x 1x 2x 3x 4=39.故选D.14.A 当x>1时,f(x)为增函数,且f(x)∈(0,+∞), 当0<x≤1时,-1+ax x=a-1x≤a -1,即f(x)∈(-∞,a -1].因为f(x)为增函数,所以a-1≤0,则a≤1,又函数f(x)的值域为R,所以a-1≥0,即a≥1,从而a=1,函数f(x)={lnx,x >1,-1+x x,0<x ≤1.因为不等式f(x)≥x+b 的解集为{x|c≤x≤e},易知ln x=x+b 的解为x=e,所以b=1-e,当x=1时,x+b=1+1-e=2-e<0=f(1),故0<c<1.令-1+x x=x+1-e,得x 2-ex+1=0,从而x=e -√e 2-42,则c=e -√e 2-42,故选A.15.AD ∵f(x)为奇函数,0<f(m)<2,f(1)=2,f(0)=0,∴f(0)<f(m)<f(1).又f(x)在R 上单调递增,∴0<m<1,∴1+m>1,0<1-m<1,∴log m (1-m)>0,B 错误.∵1+m>1+m 2,∴log m (1+m)<log m (1+m 2),A 正确.∵y=x 2在(0,+∞)上单调递增,1-m<1+m,∴(1-m)2<(1+m)2,C 错误.∵y=(1-m)x在(0,+∞)上单调递减,∴(1-m )13>(1-m )12,D 正确.故选AD. 16.AD 易知函数g(x)的定义域为R,且g(-x)=|f(-x)|+f(|-x|)=|-f(x)|+f(|x|)=|f(x)|+f(|x|)=g(x),所以g(x)为偶函数,故A 正确.因为f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)是奇函数,所以f(x)是周期为4的函数,其部分图象如图D 2-2-1所示,图D 2-2-1所以当x≥0时,g(x)={2f(x),x∈[4k,2+4k]0,x∈(2+4k,4+4k],k∈N,当x∈(1,2)时,g(x)=2f(x),g(x)单调递减,故B错误.g(x)在[2 016,2 020]上零点的个数等价于g(x)在[0,4]上零点的个数,而g(x)在[0,4]上有多数个零点,故C错误. 当x≥0时,易知g(x)的最大值为2,由偶函数图象的对称性可知,当x<0时,g(x)的最大值也为2,所以g(x)在整个定义域上的最大值为2,故D正确.综上可知,选AD.。
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第6讲对数与对数函数pptx课件
1 (2)log53＋log53＝___0___；
(3)lg
5 2＋2lg
2－12－1＝___－__1___；
(4)(log29)·(log34)＝__4____.
2 [解析] (1)log2 2 ＝
1 ＝－2.
1 (2)log53＋log53＝log51＝0.
(3)lg
5 2＋2lg
2－12－1＝lg
5．(必修1P140T4改编)若b>a>1，则函数y＝loga(x＋b)的图象不经过
(D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] 函数y＝loga(x＋b)的图象是由函数y＝logax的图象向左平移b
个单位长度得到，结合对数函数y＝logax的图象即可求解．∵b>a>1，∴
函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，图象过第一、四象限，又∵函数y
(3)对数的换底公式
logaN logbN＝____lo_g_a_b____(a，b 均大于零且不等于 1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝__l_o_g_aM__＋__l_o_g_a_N___； ②logaMN ＝_l_o_g_a_M_－__l_o_g_a_N__； ③logaMn＝_n__lo_g_a_M__(n∈R)．
对数形式
特点
一般对数
底数为a(a>0，且a≠1)
常用对数
底数为___1_0____
自然对数
底数为___e___
记法 _____lo_g_a_N_____ _____l_g_N______ ______ln__N_____
新课标版数学理高三总复习之2-3函数与基本初等函数
题 组 层 级 快 练
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第二章
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课 前 自 助 餐
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1．单调性定义 (1) 单调性定义：给定区间 D 上的函数 y ＝ f(x) ，若对于 ∀x1，x2 ∈D，当x ＜x 时，都有f(x ) ＜ f(x ) ，则 f(x) 为区间
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题型一
单调性的判断与证明
a 例 1 已知 a>0，函数 f(x)＝x＋ (x> 0 ) ， 证 明 ： 函 数 x 在(0， a]上 是 减 函 数 ， 在 [ a，＋∞)上 是 增 函 数 ．
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(3)由题意，得 x>0. 1 x－1 y′＝1－ ＝ . x x
x (0,1) 1 (1，＋∞)
y′
y
－
0
＋
由上表可知，函数的单调递增区间为 (1 ，＋ ∞ ) ，单调递 减区间为(0,1)．
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思考题2
求下列函数的单调区间．
函数基础知识梳理高三数学一轮复习
函数基础知识梳理一、函数的概念与表示【知识清单】1．函数的概念：设A ，B 是两个 ，如果对于集合A 中的 一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，使，在集合B 中都有 的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y ＝f (x )，x ∈A .在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的 .特别地,如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法表示函数的常用方法有 、图象法和 . 4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 【必备知识】 1．常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R . (4)零次幂的底数不能为0. (5)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为 .(6)y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的定义域为 ． (7)y ＝tan x 的定义域为 . 2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域：当a ＞0时，值域为 ；当a ＜0时，值域为 . (3)y ＝kx(k ≠0)的值域是 ．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是 ．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是 . 补充(1)一次分式函数()()0ax b f x c cx d+=≠+的值域 ；(2)函数()()0,0bf x ax a b x =+>>的值域为 ；(3)函数()()0,0b f x ax a b x=->>的值域为 ； (4)函数()(),,R f x x a x b a b x =-+-∈的值域为),a b ⎡-+∞⎣； 函数()(),,R f x x a x b a b x =---∈的值域为,a b a b ⎡---⎤⎣⎦.二、函数的基本性质【知识清单】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是 的自左向右看图象是 的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．★函数单调性的证明：定义法“取值—作差—变形—定号—结论”。
初等函数与函数模型知识点总结-2025届高三数学一轮复习
知识点总结 3-3初等函数与函数模型一．幂函数1．幂函数的概念：一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1图象定义域R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)增 增 增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1，1)x ＝1，y ＝1，y ＝x 分区域． 根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；幂函数的图象过定点(1，1)；(2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增， 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减； (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．(5)在第一象限，直线x ＝a (a >1)同各幂函数相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．(即：指大图高)(6)形如f (x )＝x α(其中α∈Z )，当α为奇数时，幂函数为奇函数，图象关于原点对称； 当α为偶数时，幂函数为偶函数，图象关于y 轴对称．(7)对于形如f (x )＝x m n(其中n ∈N *，m ∈Z ，m 与n 互质)的幂函数的奇偶性： ①当m 为偶数时，f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称； ②当m ，n 都为奇数时，f (x )为奇函数，图象关于原点对称；③当n 为偶数时，x >0(或x ≥0)，f (x )是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)． 二．二次函数1.二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)；xyy ＝1y ＝xx ＝1α<00<α<1α>1O顶点式：f(x)=a(x −m)2+n(a ≠0)，对称轴为：x =m ，顶点是：(m,n)；零点式：f(x)=a(x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)，x 1,x 2是f(x)的零点(即方程ax 2+bx +c =0两根)，对称轴x =x 1+x 22；2.二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 R R值域[4ac −b 24a,+∞)(−∞,4ac −b 24a]单调性 (−∞,−b2a ]上递减；[−b2a ,+∞)上递增 (−∞,−b2a ]上递增；[−b2a ,+∞)上递减对称性 函数的图象关于直线x =−b 2a 对称3.与二次函数有关的恒成立问题：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则(1)f (x )＞0恒成立的充要条件是{a >0,∆<0, f (x )＜0恒成立的充要条件是{a <0,∆<0,(2)f (x )＞0(a ＜0)在区间[m ，n ]恒成立的充要条件是{f(m)>0f(n)>0(3)f (x )＜0(a ＞0)在区间[m ，n ]恒成立的充要条件是{f(m)<0f(n)<0三．指数与指数函数1.根式：式子√a n叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 性质：(√a n)n ＝a (a 使√a n有意义)；当n 为奇数时，√a n n ＝a ， 当n 为偶数时，√a n n＝|a |＝{a, a ≥0,−a,a <0,2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n=√a m n(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； 正数的负分数指数幂的意义是a−m n=√a mna >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r +s ； (a r )s ＝a rs ； (ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q.4.指数函数及其性质①概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. ②指数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象定义域R值域 (0，＋∞)性质 过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1 当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数①画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，(−1,1a ). ②在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大，简称“底大图高” 如图是:(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则：c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0．四．对数与对数函数1．(1)对数的定义：如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ， 其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，N>0(负数和零没有对数)． (2)几种常用的对数一般对数：log a N (a >0，且a ≠1)； 常用对数：lgN =log 10N ； 自然对数：lnN =log e N (e ≈2.718) 2.对数的常用结论(1)log a 1＝0(a >0且a ≠1)； (2)log a a ＝1(a >0且a ≠1)； 推广：log a a n =n (a >0且a ≠1) (3)对数恒等式： a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)．4.对数的运算法则：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； 5.对数的换底公式：log b N ＝log a Nlog ab (a ，b 均大于零，且不等于1)；推广：(1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1log ba (a ，b 均大于0且不等于1)；(2)log a m b n ＝nmlog a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R )；6.对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 7.对数函数的图象与性质 函数y ＝log a x ，a >1y ＝log a x ，0<a <1图象图象特征 在y 轴右侧，过定点(1，0) 当x 逐渐增大时，图象是上升的 当x 逐渐增大时，图象是下降的定义域(0，＋∞)值域 R单调性 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值变化规律当x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 五．对勾函数与飘带函数f (x )＝ax ＋bx1.对勾函数：f (x )＝ax ＋bx (ab ＞0)(1)当a ＞0，b ＞0时，f (x )在(－∞，－√ba]，[√ba ，＋∞)上是增函数，在[－√ba ，0)，(0，√ba ]上是减函数；(2)当a ＜0，b ＜0时，f (x )在(－∞，－]√ba ，[√ba ，＋∞)上是减函数，在[－√ba ，0)，(0，√ba ]上是增函数；2.飘带函数：f (x )＝ax ＋bx(ab ＜0)(1)当a ＞0，b ＜0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数； (2)当a ＜0，b ＞0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数； 六.几类常见函数模型 函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)幂函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)七．抽象函数的模型 1.反比例函数模型若f(x +y)=f(x)f(y)f(x)+f(y)；则f(x)=f(1)x，(其中x,f(x),f(y),f(x +y)均不为0)2.一次函数模型模型1：若()()()f x y f x f y ±=±，则()(1)f x f x =； 模型2：若()()()f x y f x f y ±=±，则()f x 为奇函数；模型3：若()()(),f x y f x f y m +=++则()()[1]f x f m x m =+-； 模型4：若()()(),f x y f x f y m -=-+则()()[1]f x f m x m =-+；xya ＞0，b ＞0－b ab aOxya ＜0，b ＜0－b ab aOxya ＞0，b ＜0－－b a－b aOxya ＜0，b ＞0－－b a－b aO3.指数函数模型模型1：若f(x +y)=f(x)f(y)，则f(x)=[f(1)]x ,(f(x)>0)； 模型2：若f(x −y)=f(x)f(y)，则f(x)=[f(1)]x ,(f(x)>0)； 模型3：若f(x +y)=m ∙f(x)f(y)，则f(x)=[mf(1)]xm；模型4：若f(x −y)=m ∙f(x)f(y)，则f(x)=m [f(1)m]x ；4.对数函数模型模型1：若f(x n )=nf(x)，则f(x)=f(a )log a x(a >0且a ≠1，x >0)； 模型2：若f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)=f(a )log a x(a >0且a ≠1，x >0)； 模型3：若f(xy )=f(x)−f(y)，则f(x)=f(a )log a x(a >0且a ≠1，x >0)；模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m ，则f(x)=[f(a )+m ]log a x +m(a >0且a ≠1，x >0)； 模型5：若f(x y )=f(x)−f(y)+m ，则f(x)=[f(a )−m ]log a x +m(a >0且a ≠1，x >0)； 5.幂函数模型模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f(x)=[f(a )]log a x (a >0且a ≠1，x >0)；模型2：若f(xy )=f(x)f(y)，则f(x)=[f(a )]log a x (a >0且a ≠1，x >0,y ≠0,f(y)≠0)； 代入()f a 则可化简为幂函数； 6.余弦函数模型模型1：若f(x +y)+f(x −y)=2f(x)f(y)(f(x)不恒为0)，则f(x)=cosωx ； 模型2：若f(x)+f(y)=2f(x+y 2)f(x−y 2)(f(x)不恒为0)，则f(x)=cosωx ；模型3：若f(x +y)+f(x −y)=kf(x)f(y)(f(x)不恒为0)，则f(x)=2kcosωx ； 7.正切函数模型模型1：若f(x +y)=f(x)+f(y)1−f(x)f(y) (f(x)f(y)≠1)，则f(x)=tanωx ；。
(全国通用版)高考数学一轮复习第三单元基本初等函数(Ⅰ)及应用(理)
第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用教材复习课“基本初等函数(Ⅰ)”相关基础知识一课过指数与对数的基本运算 一、根式与幂的运算 1．根式的性质 (1)(na )n＝a .(2)当n 为奇数时，n a n＝a . (3)当n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥0，－a a <0.(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理数指数幂 (1)分数指数幂：①正分数指数幂：a mn＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质． ①a r·a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q)．②(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q)． ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q)． 二、对数及对数运算 1．对数的定义一般地，如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质(1)log a 1＝0，log a a ＝1. (2)a log a N ＝N ，log a a N＝N .(3)负数和零没有对数． 3．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (M N )＝log a M ＋log a N . (2)log a M N＝log a M －log a N . (3)log a M n＝n log a M (n ∈R)．(4)换底公式log a b ＝log m blog m a (a >0且a ≠1，b >0，m >0，且m ≠1)．[小题速通]1．化简a 23·b－1-12·a-12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：选D 原式＝a3-1b 12a -12b13a 16b56＝a---111362·b+-151362＝1a.2．若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝( ) A.94 B.54 C.103D.43解析：选D 由x ＝log 43，得4x ＝3，即4－x ＝13，(2x －2－x )2＝4x －2＋4－x＝3－2＋13＝43.3.log 232－4log 23＋4＋log 213＝( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－2解析：选 B log 232－4log 23＋4＋log 213＝log 23－22－log 23＝2－log 23－log 23＝2－2log 23.4．已知f (x )＝2x ＋2－x，若f (a )＝3，则f (2a )＝( ) A ．11 B ．9 C ．7D ．5解析：选C 由题意可得f (a )＝2a ＋2－a ＝3，则f (2a )＝22a ＋2－2a＝(2a ＋2－a )2－2＝7.[清易错]1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．2．在对数运算时，易忽视真数大于零． 1．化简－x3x的结果是( )A ．－－x B.x C ．－xD.－x 解析：选A 依题意知x <0，故－x3x＝－－x3x 2＝－－x .2．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则x y的值为________． 解析：∵lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0， 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y . 又x >0，y >0，x －2y >0， 故x ＝y 不符合题意，舍去． 所以x ＝4y ，即x y＝4. 答案：4二次函数1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图象定义域 RR值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a[小题速通]1．若二次函数y ＝－2x 2－4x ＋t 的图象的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选C ∵二次函数的图象的顶点在x 轴上，∴Δ＝16＋8t ＝0，可得t ＝－2. 2．(2018·唐山模拟)如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围为( )A ．[8，＋∞)B ．(－∞，8]C ．[4，＋∞)D ．[－4，＋∞)解析：选A 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a 2，由题意得a2≥4，解得a ≥8.3．(2017·宜昌二模)函数f (x )＝－2x 2＋6x (－2≤x ≤2)的值域是( ) A ．[－20,4] B ．(－20,4) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－20，92D.⎝⎛⎭⎪⎫－20，92解析：选C 由函数f (x )＝－2x 2＋6x 可知，二次函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝32，当－2≤x <32时，函数f (x )单调递增，当32≤x ≤2时，函数f (x )单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－2×94＋6×32＝92，又f (－2)＝－8－12＝－20，f (2)＝－8＋12＝4，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－20，92.[清易错]易忽视二次函数表达式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中的系数a ≠0.若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案：a>0，ac ＝4幂函数[过双基]1．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． 2．常见的5种幂函数的图象3．常见的5种幂函数的性质 函数 特征 性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R ，且x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ∈R ，且y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增(－∞，0]减，[0，＋∞)增增增(－∞，0)减，(0，＋∞)减 定点(0,0)，(1,1)(1,1)1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选C 令f (x )＝x α，则4α＝2， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故C 正确．2．(2018·贵阳监测)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.12 B ．2 C. 2D.22解析：选C 设幂函数的解析式为f (x )＝x α，将⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3代入解析式得3－α＝3，解得α＝－12，∴f (x )＝x －12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，故选C.3．若函数f (x )＝(m 2－m －1)x m是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2解析：选B ∵f (x )＝(m 2－m －1)x m是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.又f (x )在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.[清易错]幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．2解析：选C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m <3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．指数函数指数函数的图象与性质y ＝a x (a >0，且a ≠1)a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质当x ＝0时，y ＝1，即过定点(0,1)当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数1．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0，且a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)解析：选D 由f (2)＝a 0＋1＝2，知f (x )的图象必过点(2,2)． 2．函数f (x )＝1－2x的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选A 要使f (x )有意义须满足1－2x≥0，即2x≤1，解得x ≤0. 3．函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以函数y ＝a x－a 的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：选A 构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b <c ；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R)与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x (x ∈R)之间有如下结论：当x >0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x >⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即a >c ，故a >c >b .5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数解析：选C 由指数运算的规律易知，a x ＋y＝a x ·a y ，即令f (x )＝a x，则f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故该函数为指数函数．[清易错]指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．解析：当a >1时，f (x )＝a x为增函数，f (x )max ＝f (2)＝a 2，f (x )min ＝f (1)＝a .∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍去)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x为减函数，f (x )max ＝f (1)＝a ，f (x )min ＝f (2)＝a 2.∴a －a 2＝a2.即a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍去)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.答案：12或32对数函数对数函数的图象与性质y ＝log a x (a >0，且a ≠1)a >1 0<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)当0<x <1时，y ∈(－∞，0)；当x >1时，y ∈(0，＋∞)当0<x <1时，y ∈(0，＋∞)； 当x >1时，y ∈(－∞，0) 在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数1．若函数f (x )＝log a (3x －2)(a >0，且a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0 C ．(1,0) D ．(0,1)答案：C2．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B 由题意知，y ＝a x的定义域为R ，y ＝log a (－x )的定义域为(－∞，0)，故排除A 、C ；当0<a <1时，y ＝a x在R 上单调递减，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递增；当a >1时，y ＝a x在R 上单调递增，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递减，结合B 、D 图象知，B 正确．3．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________． 解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)4．函数f (x )＝log a (x 2－2x －3)(a >0，a ≠1)的定义域为________．解析：由题意可得x 2－2x －3>0，解得x >3或x <－1，所以函数的定义域为{x |x >3或x <－1}．答案：{x |x >3或x <－1}[清易错]解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域． (2)对数底数的取值范围． 1．(2018·南昌调研)函数y ＝log 232x －1 的定义域是( ) A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 解析：选D 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧log 232x －1≥0，2x －1>0，解得12<x ≤1.2．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________．解析：当a >1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.当0<a <1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 12＝1，所以a ＝12.故a ＝2或a ＝12.答案：2或12一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x >0，满足f (x )＝1的x 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－2D ．1或－1解析：选D 由题意，方程f (x )＝1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2－x－1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 12＝1，解得x ＝－1或1.2．函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )解析：选B 令x ＝1，x －1＝0，显然f (x )＝ln|x －1|无意义，故排除A ；由|x －1|>0可得函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，故排除D ；由复合函数的单调性可知f (x )在(1，＋∞)上是增函数，故排除C ，选B.3．(2018·郑州模拟)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象知： 当a <0，且abc >0时，若－b2a <0，则b <0，c >0，故排除A ，若－b2a>0，则b >0，c <0，故排除B.当a >0，且abc >0时，若－b2a <0，则b >0，c >0，故排除C ，若－b2a>0，则b <0，c <0，故选项D 符合．4．设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 25，d ＝log 20.3，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A ．d <b <a <c B ．d <a <b <c C ．b <c <d <aD ．b <d <c <a解析：选B 由对数函数的性质可知c ＝log 25>2，d ＝log 20.3<0， 由指数函数的性质可知0<a ＝0.32<1,1<b ＝20.3<2， 所以d <a <b <c .5．(2018·长春模拟)函数y ＝4x＋2x ＋1＋1的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选B 令2x＝t ，则函数y ＝4x＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)．∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增， ∴y >1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B. 6．(2017·大连二模)定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy <0，例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f (x )＝x2(2x －x 2)的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意可得f (x )＝x2(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x >2或x <0，当0≤x ≤2时，f (x )∈[0,4]；当x >2或x <0时，f (x )∈(－∞，0)．综上可得函数f (x )的最大值为4，故选D.7．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x －1＝－1＋－2x －1在(－1,1)上是增函数，∴f (x )在(－1,1)上是增函数．选D.8．(2018·湖北重点高中协作校联考)设函数f (x )＝1－x ＋1，g (x )＝ln(ax 2－3x ＋1)，若对任意x 1∈[0，＋∞)，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的最大值为( )A.94 B ．2 C.92D ．4解析：选A 设g (x )＝ln (ax 2－3x ＋1)的值域为A ，因为函数f (x )＝1－x ＋1在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A ，因此h (x )＝ax 2－3x ＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h (0)＝1，于是，实数a 需要满足a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，9－4a ≥0，解得a ≤94.故选A.二、填空题9．(2018·连云港调研)当x >0时，函数y ＝(a －8)x的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，a －8>1，解得a >9. 答案：(9，＋∞)10．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________． 解析：设f (x )＝x α， 又f (4)＝3f (2)， ∴4α＝3×2α， 解得α＝log 23， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13.答案：1311．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 1－x，x ≤1，ln x －1，x >1，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是________．解析：由题意，f (x )≥2等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，e 1－x≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，ln x －1≥2，解得x ≤1－ln 2或x ≥1＋e 2，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)． 答案：(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)12．若对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，恒有4x <log ax (a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝4x，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是增函数，g (x )＝log a x ，当a >1时，g (x )＝log a x在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是增函数，且g (x )＝log a x <0，不符合题意；当0<a <1时，g (x )＝log a x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，解得22≤a <1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 三、解答题13．函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且f (2)－f (4)＝1. (1)若f (3m －2)>f (2m ＋5)，求实数m 的取值范围； (2)求使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x ＝log 123成立的x 的值．解：(1)由f (2)－f (4)＝1，得a ＝12.∵函数f (x )＝log 12x 为减函数且f (3m －2)>f (2m ＋5)，∴0<3m －2<2m ＋5，解得23<m <7，故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，7. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x ＝log 123，即x －4x ＝3，x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1.14．已知函数f (x )＝a －22x＋1为奇函数． (1)求a 的值；(2)试判断函数f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )， ∴a －22x ＋1＝－a ＋22－x ＋1，∴2a ＝2·2x2x ＋1＋22x ＋1＝2，∴a ＝1.(2)f (x )在R 上为单调递增函数． 证明如下：设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－1＋22x 2＋1＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1.∵x 1<x 2，∴2x 1－2x 2<0，(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )为R 上的单调递增函数． (3)∵f (x )＝1－22x＋1为奇函数，且在R 上为增函数， ∴由f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立， ∴f [t 2－(m －2)t ]>－f (t 2－m ＋1)＝f (m －t 2－1)， ∴t 2－(m －2)t >m －1－t 2对t ∈R 恒成立， 化简得2t 2－(m －2)t －m ＋1>0， ∴Δ＝(m －2)2＋8(m －1)<0， 解得－2－22<m <－2＋22，故m 的取值范围为(－2－22，－2＋22)．高考研究课(一) 幂函数、二次函数的 3类考查点——图象、性质、解析式 [全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度 幂函数 5年2考 幂函数的性质 二次函数5年1考二次函数的图象幂函数的图象与性质[典例] ((n 2＋2n －2)·xn 2－3n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或－3(2)1.112，0.912，1的大小关系为________．[解析] (1)由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，当n ＝1时，函数f (x )＝x －2为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.(2)把1看作112，幂函数y ＝x 12在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.9<1<1.1，∴0.912<112<1.112.即0.912<1<1.112.[答案] (1)B (2)0.912<1<1.112[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．[即时演练]1．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b<f (b )解析：选C ∵0<a <b <1，∴0<a <b <1b <1a ，又f (x )＝x 12为增函数，∴f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a .2．若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，则实数a 的取值范围是________________．解析：不等式(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a .解得23<a <32或a <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 二次函数的解析式二次函数的解析式有一般式、顶点式、零点式.求二次函数的解析式时，要灵活选择解析式形式以确立解法.定该二次函数的解析式．[解] 法一：用“一般式”解题 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：用“顶点式”解题 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋－12＝12，∴m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：用“零点式”解题由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8，即4a－2a －1－a24a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：[即时演练]1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )A ．y ＝14(x ＋3)2B ．y ＝－14(x －3)2C ．y ＝－14(x ＋3)2D ．y ＝14(x －3)2解析：选D 由题图可知，对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，所以点C 的纵坐标为0，横坐标的绝对值为3，即C (－3,0)，因为点F 与点C 关于y 轴对称，所以F (3,0)，因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y ＝a (x －3)2(a >0)，将点D (1,1)代入得，a ＝14，即y ＝1(x－3)2.42．已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16，则函数f(x)的解析式为________．解析：由题意可设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(4)＝16a＋c＝16，f(2)＝4a＋c＝4，解得a＝1，c＝0，故f(x)＝x2.答案：f(x)＝x2二次函数的图象与性质高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用.常见的命题角度有：1二次函数的图象与性质；2二次函数的最值问题.1．(2018·武汉模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1<a<3)，且x1<x2，x1＋x2＝1－a，则下列结论正确的是( )A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定解析：选A f(x)的对称轴为x＝－1，因为1<a<3，则－2<1－a<0，若x1<x2≤－1，则x1＋x2<－2，不满足x1＋x2＝1－a且－2<1－a<0；若x1<－1，x2≥－1，则|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a>0(1<a<3)，此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)>f(x1)；若－1≤x1<x2，则此时x1＋x2>－2，又因为f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以f(x1)<f(x2)．2．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，且实数m 的取值范围是( )A．(－∞，0] B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]解析：选D 二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x－1)<0，x∈[0,1]，所以a>0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.[方法技巧]解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解． 角度二：二次函数的最值问题3．已知二次函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．解：(1)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝1a －2a＝－1a.②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(2)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a ∈－∞，0∪0，1，－1a，a ∈[1，＋∞.4．已知a 是实数，记函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[a ，a ＋1]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式．解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[a ，a ＋1]，a ∈R ，对称轴为x ＝1.当a ＋1<1，即a <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为减函数，所以最小值为f (a ＋1)＝a 2＋1；当a ≤1≤a ＋1，即0≤a ≤1时，函数图象如图(2)，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当a>1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[a，a＋1]上为增函数，所以最小值为f(a)＝a2－2a＋2.综上可知，g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧a2＋1，a<0，1，0≤a≤1，a2－2a＋2，a>1.[方法技巧]二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系．1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝243，b＝425，c＝2513，则( )A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b解析：选A 因为a＝243，b＝425＝245，由函数y＝2x在R上为增函数，知b<a；又因为a＝243＝423，c＝2513＝523，由幂函数y＝x23在(0，＋∞)上为增函数，知a<c.综上得b<a<c.故选A.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x m，y m)，则∑i＝1mx i＝( ) A．0 B．mC．2m D．4m解析：选B ∵f(x)＝f(2－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象关于直线x＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x＝1对称．当m为偶数时，∑i＝1mx i＝2×m2＝m；当m为奇数时，∑i＝1mx i＝2×m－12＋1＝m.故选B.3．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：当x <1时，由ex －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由x 13≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.答案：(－∞，8]一、选择题1．(2018·绵阳模拟)幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m的图象过点(2,4)，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D ∵幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m的图象过点(2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，2m＝4，解得m ＝2.故选D.2．(2018·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( )A ．[－3,3]B ．[－1,3]C ．{－3,3}D ．{－1，－3,3}解析：选C ∵函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，∴当a ≥1时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3； 当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4. 故a 的取值集合为{－3,3}．故选C.3.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析：选B ∵二次函数的图象与x 轴交于两点，∴b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象知，当x ＝－1时，y >0，即a －b＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，∴a <0，∴5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.4．若对任意a ∈[－1,1]，函数F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B 由题意，令f (a )＝F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，对任意a ∈[－1,1]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f1＝x 2－3x ＋2>0，f －1＝x 2－5x ＋6>0，解得x <1或x >3.5．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－∞，－1]D ．[－1,0]解析：选D 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3在R 上递减，符合题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，只需对称轴x ＝1m≤－1，且m <0，解得－1≤m <0，综上，实数m 的取值范围为[－1,0]．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A ∵f (1)＝3，∴不等式f (x )>f (1)，即f (x )>3.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得x >3或－3<x <1.7．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选D f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.8．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析：选B f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24＋b ，①当0≤－a2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关； ③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关． 综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关． 二、填空题9．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z)在(0，＋∞)上为增函数，且在其定义域内是偶函数，则m 的值为________．解析：∵幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1或m ＝2.当m ＝0或m ＝2时，f (x )＝x 3在其定义域内为奇函数，不满足题意；当m ＝1时，f (x )＝x 4在其定义域内是偶函数，满足题意．综上可知，m 的值是1. 答案：110．二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m ＝________.解析：二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 的图象的开口向上，对称轴为直线x ＝－m －13，要使得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x ＝－m －13＝1，解得m ＝－2.答案：－211．(2018·南通一调)若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )min ]min ≥8，当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )min 取得最小值，即f (t ＋1)－f (t )＝2at ＋a ＋20≥8，f (t －1)－f (t )＝－2at ＋a －20≥8，两式相加，得a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案：812．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使得函数y ＝f (x )－bx 恰有2个零点，则实数a 的取值范围为_______．解析：显然x ＝0是y ＝f (x )－bx 的一个零点； 当x ≠0时，令y ＝f (x )－bx ＝0得b ＝f xx， 令g (x )＝f xx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤a ，x ，x >a ，则b ＝g (x )存在唯一一个解．当a <0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，显然当a <b <a 2且b ≠0时，b ＝g (x )存在唯一一个解，符合题意； 当a >0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，若要使b ＝g (x )存在唯一一个解，则a >a 2，即0<a <1， 同理，当a ＝0时，显然b ＝g (x )有零解或两解，不符合题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)． 答案：(－∞，0)∪(0,1) 三、解答题13．(2018·杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )，可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称， 设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)， 由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1， 根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋h a， ∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝－4ha＝2，解得a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增， 又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x . ∴g (x )的对称轴方程为x ＝k －22，则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．14．(2018·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24－a ＋3，令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )．(1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，∴a ≤73.又a >4，∴a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋3≥0， ∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4， ∴－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7.又a <－4，∴－7≤a <－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >b >c )的图象经过点A (m 1，f (m 1))和点B (m 2，f (m 2))，f (1)＝0.若a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，则( )A ．b ≥0B ．b <0C ．3a ＋c ≤0D ．3a －c <0解析：选A 由f (1)＝0可得a ＋b ＋c ＝0，若a ≤0，由a >b >c ，得a ＋b ＋c <0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾，故a >0，若c ≥0，则有b >0，a >0，此时a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾；所以c <0成立，因为a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，所以(a ＋f (m 1))(a ＋f (m 2))＝0，所以m 1，m 2是方程f (x )＝－a 的两个根，Δ＝b 2－4a (a ＋c )＝b (b ＋4a )＝b (3a －c )≥0，而a >0，c <0，所以3a －c >0，所以b ≥0.2．设函数f (x )＝2ax 2＋2bx ，若存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立，则t 的取值范围是________．解析：因为存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立，所以2ax 2＋2bx ＝a ＋b 等价于(2x －1)b ＝(1－2x 2)a . 当x ＝12时，左边＝0，右边≠0，即等式不成立，故x ≠12；当x ≠12时，(2x －1)b ＝(1－2x 2)a 等价于b a ＝1－2x 22x －1，设2x －1＝k ，因为x ≠12，所以k ≠0，则x ＝k ＋12，则b a ＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k －2. 设g (k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k －2，则函数g (k )在(－1,0)，(0,2t －1)上的值域为R. 又因为g (k )在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减， 所以g (k )在(－1，0)，(0,2t －1)上单调递减， 故当k ∈(－1,0)时，g (k )<g (－1)＝－1；当k ∈(0,2t －1)时，g (k )>g (2t －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －1－2t －1，故要使值域为R ，则g (2t －1)<g (－1)，即12t －1－2t －1<－2，解得t >1.答案：(1，＋∞) 高考研究课(二)指数函数的2类考查点——图象、性质 [全国卷5年命题分析]指数函数的图象 5年3考 指数函数图象的应用 指数函数的性质5年3考比较大小、求值指数函数的图象及应用[典例] (1)函数f (x )＝e x·x2e 2x ＋1的大致图象是( )(2)(2018·广州模拟)若存在负实数使得方程2x－a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,2)D ．(0,1)[解析] (1)因为f (－x )＝e －x·x 2e －2x ＋1＝e x·x21＋e 2x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以排除A 、D 项．当x ＝0时，y ＝0，故排除B 项，选C.(2)在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x－a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求．[答案] (1)C (2)C [方法技巧]指数函数图象问题的求解策略(1)画指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a . (2)与指数函数有关函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [即时演练] 1．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：选B 由题意得f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x≥1，⎝⎛⎭⎪⎫12x－1，x<1，结合图象知，选B.2．(2018·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．答案：[－1,1]指数函数的性质高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属于低档题.常见的命题角度有：1比较大小或解不等式；2与指数函数有关的函数值域问题；3与指数函数有关的单调性问题；4与指数函数有关的最值与参数问题.角度一：比较大小或解不等式1．(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( )A．1.72.5>1.73B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2D．1.70.3<0.93.1解析：选B A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，故A错误；B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，故B正确；C中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，故C错误；D 中， ∵1.70.3>1,0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，故D 错误．2．(2018·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}解析：选B ∵f (x )为偶函数， 当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－x－4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x－4，x <0，若f (x －2)>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0，解得x >4或x <0. [方法技巧](1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．(2)有关指数不等式问题，应注意a 的取值，及结合指数函数的性质求解． 角度二：与指数函数有关的函数值域问题3．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4， 又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案：52[方法技巧]形如y ＝a 2x＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．角度三：与指数函数有关的单调性问题 4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.5．已知函数f (x )＝a|x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________________．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1.由于函数f (x )＝a|x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1)．答案：f (－4)>f (1) [方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．角度四：与指数函数有关的最值与参数问题6．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1D.12解析：选C 由a x ＝b y＝3，可得a ＝31x ，b ＝31y，所以23＝a ＋b ＝31x ＋31y≥231x ＋1y，则1x ＋1y ≤1，当且仅当x ＝y 时，等号成立．故1x ＋1y的最大值为1.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－3m 有三个不同的交点，作出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象如图所示，则0<－3m <1，所以－13<x <0.。
高三数学第一轮复习单元讲座第04讲 基本初等函数
高三新数学第一轮复习第四讲 基本初等函数一．知识整合1．指数与对数运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。
即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。
②性质：1）a a nn =)(；2）当n 为奇数时，a an n=；3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n 。
（2）．幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n 。
②性质：1）r a a a a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a aa sr sr ,0()(>=⋅、∈s Q ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( Q ）。
（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
（3）．对数的概念①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数。
1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 3）1log =a a ；4）对数恒等式：N aNa =log 。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M NMa a alog log log -=； 3）∈=n M n M a na (log log R ）。
第6讲、函数的概念(教师版)2025高考数学一轮复习讲义
第6讲函数的概念知识梳理1、函数的概念（1）一般地，给定非空数集A ，B ，按照某个对应法则f ，使得A 中任意元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B的一个函数．记作：)(x f y x =→，A x ∈．集合A 叫做函数的定义域，记为D ，集合)({x f y y =，}A x ∈叫做值域，记为C ．（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．2、函数的三要素（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．3、函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．【解题方法总结】1、基本的函数定义域限制求解函数的定义域应注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切tan y x =的定义域是{,x x R ∈且,2x kx k Z π⎫≠+∈⎬⎭；（6）已知()f x 的定义域求解()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f x 的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．2、基本初等函数的值域（1）)0(≠+=k b kx y 的值域是R ．（2）)0(2≠++=a c bx ax y 的值域是：当0>a 时，值域为}44{2ab ac y y -≥；当0<a 时，值域为}44{2ab ac y y -≥．（3）)0(≠=k xky 的值域是}0{≠y y ．（4）0(>=a a y x 且)1≠a 的值域是)0(∞+，．（5）0(log >=a x y a 且)1≠a 的值域是R ．必考题型全归纳题型一：函数的概念例1．（2024·山东潍坊·统考一模）存在函数()f x 满足：对任意x ∈R 都有（）A ．()3f x x=B ．()2sin f x x=C ．()22f x x x +=D ．()21f x x =+【答案】D【解析】对于A ，当1x =时，()(1)11f f ==；当=1x -时，()(1)11f f =-=-，不符合函数定义，A 错误；对于B,令0x =，则()sin (0)0f x f ==，令πx =，则()2sinπ(0)πf f ==，不符合函数定义，B 错误；对于C,令0x =，则(0)0f =，令2x =-，则()22(2)(0)2(2)f f +--==，不符合函数定义，C 错误；对于D,()221||1f x x x =+=+,x ∈R ,则||0x ≥，则存在0x ≥时，2()1f x x =+，符合函数定义，即存在函数2()1,(0)f x x x =+≥满足：对任意x ∈R 都有()21f x x =+，D正确，故选：D例2．（2024·重庆·二模）任给[]2,0u ∈-，对应关系f 使方程20u v +=的解v 与u 对应，则()v f u =是函数的一个充分条件是（）A ．[4,4]v ∈-B ．(]4,2v ∈-C ．[2,2]v ∈-D ．[]4,2v ∈--【答案】A【解析】根据函数的定义，对任意[2,0]u ∈-，按2v u =-，在v 的范围中必有唯一的值与之对应，2[0,4]u ∈，则2[4,0]u -∈-，则v 的范围要包含[4,0]-，故选：A ．例3．（2024·全国·高三专题练习）如图，可以表示函数()f x 的图象的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的定义，对于一个x ，只能有唯一的y 与之对应，只有D 满足要求故选：D变式1．（2024·全国·高三专题练习）函数y =f (x )的图象与直线1x =的交点个数（）A ．至少1个B ．至多1个C ．仅有1个D ．有0个、1个或多个【答案】B【解析】若1不在函数f (x )的定义域内，y =f (x )的图象与直线1x =没有交点，若1在函数f (x )的定义域内，y =f (x )的图象与直线1x =有1个交点，故选：B.【解题方法总结】利用函数概念判断题型二：同一函数的判断例4．（2024·高三课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）．A ．()2lg f x x =，()2lg g x x=B ．()1lg 1x f x x +=-，()()()lg 1lg 1g x x x =+--C ．()f u =，()g vD ．()2f x =，()g x =【答案】C【解析】对于A ：()2lg f x x =的定义域为R ，()2lg g x x =的定义域为()0,∞+.因为定义域不同，所以()f x 和()g x 不是同一个函数.故A 错误；对于B ：()1lg1x f x x +=-的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，()()()lg 1lg 1g x x x =+--的定义域为()1,+∞.因为定义域不同，所以()f x 和()g x 不是同一个函数.故B 错误；对于C ：()f u =()1,1-，()g v ()1,1-，所以定义域相同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C 正确；对于D ：()2f x =的定义域为[)0,∞+，()g x =R .因为定义域不同，所以()f x 和()g x 不是同一个函数.故D 错误；故选：C例5．（2024·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（）A ．,y x u =B ．2y s =C ．21,11x y m n x -==+-D ．y y ==【答案】A【解析】对于A ，y x =和u =的定义域都是R ，对应关系也相同，是同一个函数，故选项A 正确；对于B ，函数y R ，函数2s =的定义域为[0,)+∞，定义域不同，不是同一个函数，故选项B 错误；对于C ，函数211x y x -=-的定义域为{|1}x x ≠，函数1m n =+的定义域为R ，定义域不同，不是同一个函数，故选项C 错误；对于D ，函数y ={|1}x x ≥，函数y =(,1][1,)∞∞--⋃+，定义域不同，不是同一个函数，故选项D 错误，故选：A .例6．（2024·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．()lnx f x e =，()g x x=B ．24(),()22x f x g x x x -==-+C ．0()f x x =，()1g x =D ．()||f x x =，{1x ∈-，0，1}，2()g x x =，{1x ∈-，0，1}【答案】D【解析】对于A ：()f x 的定义域是(0,)+∞，()g x 的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于B ：()2f x x =-，(2)x ≠-，()g x 的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于C ：()f x 的定义域为{|0}x x ≠，()g x 的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于D ：()f x 对应点的坐标为{(1,1)-，(0,0)，(1,1)}，()g x 对应点的坐标为{(1,1)-，(0,0)，(1,1)}，两个函数对应坐标相同，是同一函数，故选：D ．【解题方法总结】当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．题型三：给出函数解析式求解定义域例7．（2024·北京·高三专题练习）函数()f x =的定义域为________.【答案】{}1x x ≥【解析】令2101x x -≥+，可得10x -≥，解得1x ≥.故函数()f x ={}1x x ≥.故答案为:{}1x x ≥.例8．（2024·全国·高三专题练习）若1y =，则34x y +=_________.【答案】5-或13【解析】由12y x =+-有意义可得2290,90,20x x x -≥-≥-≠，所以3x =或3x =-，当3x =时，1y =，3413x y +=，当3x =-时，1y =，345x y +=-，故答案为：5-或13.例9．（2024·高三课时练习）函数()23()log 32f x x x =+-的定义域为______．【答案】[)1,3【解析】要使函数有意义，则22230320x x x x ⎧+-≥⎨+->⎩，解得13x ≤<.所以函数的定义域为[1,3).故答案为：[1,3).变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知正数a ，b 满足2,log b aa b a b==，则函数()f x =___________.【答案】(]0,2【解析】由log b a a b =可得a b b a =，即2a b b b =，所以22aa b b=⇒=，代入2a b =即22b b =，解得2b =或0b =（舍），则4a =所以()f x =401log 02x x >⎧⎪⎨-≥⎪⎩解得02x <≤所以函数定义域为(]0,2故答案为:(]0,2变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为40cm ，底边长()y cm 是腰长()x cm 的函数，则函数的定义域为()A ．()10,20B ．()0,10C ．()5,10D ．[)5,10【答案】A【解析】由题设有402y x =-，由4020402x x x x ->⎧⎨+>-⎩得1020x <<，故选A.【解题方法总结】对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子()f x 有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式．题型四：抽象函数定义域例10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数(1y f =的定义域为{|01}x x ≤≤，则函数()y f x =的定义域为_____【答案】[1,2]【解析】令1u =01x ≤≤得：10011x x -≤-≤⇔≤-≤，所以01112≤≤⇔≤≤，即12u ≤≤，所以，函数()y f x =的定义域为[1,2].故答案为：[1,2]例11．（2024·高三课时练习）已知函数()f x 的定义域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则函数212y f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的定义域为______．【答案】11,01,22⎡⎤⎡⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦【解析】因为函数()y f x =的定义域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以在函数212y f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭中，2111222x x ---≤≤，解得102x ≤≤或112x ≤≤，故函数212y f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的定义域为⎤⎡⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦.故答案为：11,01,22⎡⎤⎡⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦.例12．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()1f x +定义域为[]1,4，则函数()1f x -的定义域为_______.【答案】[]3,6【解析】因()1f x +的定义域为[]1,4，则当14x ≤≤时，215x ≤+≤，即()f x 的定义域为[]2,5，于是()1f x -中有215x ≤-≤，解得36x ≤≤，所以函数()1f x -的定义域为[]3,6.故答案为：[]3,6变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]3,6，则函数y =的定义域为______【答案】3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】由函数()f x 的定义域是[]3,6，得到326x ，故1232620log (2)0x x x ⎧⎪⎪->⎨⎪->⎪⎩即332212x x x ⎧⎪⎪>⎨⎪<<⎪⎩.解得:322x < ；所以原函数的定义域是：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[2,3]-，则函数(21)f x -的定义域为__________．【解析】由2213x -≤-≤解得122x -≤≤，所以函数(21)f x -的定义域为1[,2]2-.故答案为：1[,2]2-【解题方法总结】1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若)(x f 的定义域为)(b a ，，求)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域，口诀：定义域指的是x 的范围，括号范围相同．已知)(x f 的定义域，求四则运算型函数的定义域2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．题型五：函数定义域的应用例13．（2024·全国·高三专题练习）若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[0,4)【解析】()f x 的定义域是R ，则210ax ax ++>恒成立，0a =时，2110ax ax ++=>恒成立，0a ≠时，则2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<，综上，04a ≤<．故答案为：[0,4)．例14．（2024·全国·高三专题练习）已知()2()ln 1f x x ax =-+的定义域为R ，那么a 的取值范围为_________．【答案】(2,2)-【解析】依题可知，210x ax -+>的解集为R ，所以240a ∆=-<，解得22a -<<．故答案为：(2,2)-．例15．（2024·全国·高三专题练习）函数21()43f x ax ax =++的定义域为(,)∞∞-+，则实数a的取值范围是___________.⎢⎣⎭【解析】因为函数21()43f x ax ax =++的定义域为R ，所以2430ax ax ++≠的解为R ，即函数243y ax ax =++的图象与x 轴没有交点，（1）当0a =时，函数3y =与x 轴没有交点，故0a =成立；（2）当0a ≠时，要使函数243y ax ax =++的图象与x 轴没有交点，则()24120a a ∆=-<，解得304a <<.综上：实数a 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭变式6．（2024·全国·高三专题练习）若函数()f x R ，则实数a 的取值范围是__________.【答案】11,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】由函数()f x =R,得221202x ax a---≥恒成立,化简得2210x ax a --+≥恒成立,所以由()24410a a ∆=--≤解得:⎣⎦.故答案为: ⎣⎦.【解题方法总结】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论．题型六：函数解析式的求法例16．（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的解析式：(1)已知()21sin cos f x x -=，求()f x 的解析式；(2)已知2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式；(3)已知()f x 是一次函数且()()3121217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式；(4)已知()f x 满足()()23f x f x x +-=，求()f x 的解析式.【解析】(1)设1sin x t -=，[]0,2t ∈，则sin 1x t=-∵()221sin cos 1sin f x x x-==-∴()()22112f t t t t =--=-，[]0,2t ∈即()22f x x x =-，[]0,2x ∈(2)∵222111()2f x x x x x x ⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭由勾型函数1y x x=+的性质可得，其值域为(][),22,-∞-+∞U 所以()(][)22,22,f x x x ∞∞=-∈--⋃+，(3)由f (x )是一次函数，可设f (x )=ax +b (a ≠0)，∴3[a (x +1)+b ]-2[a (x -1)+b ]=2x +17，即ax +(5a +b )=2x +17，∴2,517,a a b =⎧⎨+=⎩解得2,7,a b =⎧⎨=⎩∴f (x )的解析式是f (x )=2x +7.(4)∵2f (x )+f (-x )=3x ，①∴将x 用x -替换，得()()23f x f x x -+=-，②由①②解得f (x )=3x .例17．（2024·全国·高三专题练习）根据下列条件，求()f x 的解析式(1)已知()f x 满足()2141f x x x +=++(2)已知()f x 是一次函数，且满足()()3129f x f x x +-=+；(3)已知()f x 满足()()120f f x x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭【解析】（1）令1t x =+，则1x t =-，故()()()22141122f t t t t t =-+-+=+-，所以()222f x x x +=-；（2）设()f x kx b =+，因为()()3129f x f x x +-=+，所以()31329k x b kx b x ++--=+，即23229kx k b x ++=+，所以22329k k b =⎧⎨+=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩，所以()3f x x =+；（3）因为()()120f f x x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭①，所以()112f x f x x⎛⎫+= ⎪⎝⎭②，2⨯②-①得()23f x x x=-，所以()()2033xf x x x =-≠.例18．（2024·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数()f x 的解析式．(1)已知)1fx =+()f x 的解析式为__________．(2)已知()f x 满足12()3f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式．(3)已知(0)1f =，对任意的实数x ，y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式．【解析】（1）方法一（换元法）1t =，则2(1)x t =-，1t ≥．所以22()(1)2(1)1(1)f t t t t t =-+-=-≥，所以函数()f x 的解析式为2()1(1)f x x x =-≥．方法二（配凑法）：))211111fx x =+=++-=-．11≥，所以函数()f x 的解析式为2()1(1)f x x x =-≥．（2）将1x代入12()3f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此12()()3,132()(),f x f x x f f x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1()2(0)f x x x x =-≠．（3）令0x =，得22()(0)(1)1()()1f y f y y y y y y -=--+=+-=-+-+，所以2()1f y y y =++，即2()1f x x x =++．变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知2211(11x x f x x--=++，求()f x 的解析式.【解析】由2211()11x x f x x --=++，令1,11x t t x -=≠-+，则11t x t -=+，所以22211()21(),1111()1t t t f t t t t t--+==≠--+++，所以22()(1)1xf x x x =≠-+.变式8．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：()()()2f x y f x f y xy +=++的函数解析式为______.【答案】()2f x x=【解析】()()()2f x y f x f y xy +=++中，令0x y ==，解得()00f =，令y x =-得()()()22f x x f x f x x -=+--，故()()22f x f x x +-=，不妨设()2f x x =，满足要求.故答案为：()2f x x=变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，若对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则方程()2f x =_______．【答案】{}416，．【解析】∵定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令()12log f x x c +=，则()3f c =，在上式中令x c =，则()1122log log 3f c c c c c +==-，，解得2c =，故()122log f x x =-，由()2f x =122log 2x -=2log x =在同一坐标系中作出函数2log y x =和y 的图像，可知这两个图像有2个交点，即()42，和()164，，则方程()2f x ={}416，．故答案为：{}416，.【解题方法总结】求函数解析式的常用方法如下：（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解．（2）当已知表达式为()[]x g f 时，可考虑配凑法或换元法，若易将含x 的式子配成()x g ，用配凑法．若易换元后求出x ，用换元法．（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法．（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求．（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．（6）若已知成对出现()f x ，1()f x或()f x ，()f x -，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出()f x ．题型七：函数值域的求解例19．（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的值域（1）34xy x+=-；（2）25243y x x =-+；（3）y x =；（4）22436x x y x x ++=+-；（5）4y =；（6）y x =+（7）y =；（8）y =（9）312x y x +=-；（10）2211()212x x y x x -+=>-.【解析】（1）分式函数37144x y x x +==----，定义域为{}4x x ≠，故704x ≠-，所有1y ≠-，故值域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞；（2）函数25243y x x =-+中，分母()221124321t x x x =-+=+≥-，则(]50,5y t=∈，故值域为(]0,5；（3）函数y x =-中，令120x -≥得12x ≤，易见函数y =y x =-都是减函数，故函数y x =在12x ≤时是递减的，故12x =时min 12y =-，故值域为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（4）()2243131,3622x x x y x x x x x +++===+≠-+---，故值域为{1y y ≠且25y ⎫≠⎬⎭；（5）44y ==[]13,x ∈-而20(1)44x ≤--+≤，[]0,4x ∈，02∴≤≤，42440∴-≤≤-，即24y ≤≤，故值域为[]2,4；（6）函数y x =1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，令0t =≥，所以212t x -=，所以221,20221t t y t t t -=+=-++≥，对称轴方程为1t =，所以1t =时，函数max 111122y =-++=，故值域为(],1-∞；（7）由题意得3050x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得35x ≤≤，则2225y x =+=+≤≤，故()[]2410,1x --+∈，[]0,2，224y ∴≤≤，由y 2y ≤≤，故函数的值域为2⎤⎦；（8）函数y ==[]5,1--，()[]24043,x +∈-+，故[]0,2y =，即值域为[]0,2；（9）函数317322x y x x +==+--，定义域为{}2x x ≠，故702x ≠-，所有3y ≠，故值域为(,3)(3,)-∞+∞ ；（10）函数()()()()()22212122112121212212212x x x x y x x x x ⎡⎤-+-+-+===-++⎢⎥---⎢⎥⎣⎦，令21t x =-，则由12x >知，0t >，12122y t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据对勾函数2t t+在(递减，在)+∞递增,可知t =时，min 111222y =⨯=，故值域为1,2⎫+∞⎪⎭.例20．（2024·全国·高三专题练习）若函数()y f x =的值域是[]1,3-，则函数()32(1)g x f x =-+的值域为__．【答案】[]3,5-【解析】因为函数()y f x =的值域是[]1,3-，所以函数(1)y f x =+的值域为[]1,3-，则2(1)y f x =-+的值域为[]6,2-，所以函数()32(1)g x f x =-+的值域为[]3,5-．故答案为：[]3,5-．例21．（2024·全国·高三专题练习）函数sin 2cos 2x y x +=-的值域为_____【答案】⎣⎦【解析】sin 2cos 2x y x +=-表示点()cos ,sin x x 与点()2,2-连线的斜率，()cos ,sin x x 的轨迹为圆221x y +=，sin 2cos 2x y x +∴=-表示圆221x y +=上的点与点()2,2-连线的斜率，由图象可知：过()2,2-作圆221x y +=的切线，斜率必然存在，则设过()2,2-的圆221x y +=的切线方程为()22y k x +=-，即220kx y k ---=，∴圆心()0,0到切线的距离1d ==，解得：k =结合图象可知：圆221x y +=上的点与点()2,2-连线的斜率的取值范围为⎤⎥⎣⎦，即sin 2cos 2x y x +=-的值域为⎣⎦.故答案为：⎣⎦.变式10．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数25y x =+的最大值为______.【答案】25/0.4【解析】因为11y =，令t =，则2t ≥，令()1g x x x =+，[)2,x ∞∈+，因为函数()1g x x x=+在[)2,+∞上单调递增，所以()5,2g x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，则120,15⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即函数25y x =+的最大值为25，当且仅当0x =时取等号.故答案为：25变式11．（2024·全国·高三专题练习）函数y 的值域为______.【答案】【解析】由y =1020x x -≥⎧⎨+≥⎩，所以21x -≤≤，y =的定义域为[2,1]-，y ==设212t x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则9,04t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，y =y ∈.故答案为：．【解题方法总结】函数值域的求法主要有以下几种（1）观察法：根据最基本函数值域（如2x ≥0，0xa >及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域．（2）配方法：对于形如()20y ax bx c a =++≠的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域．（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型．（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等．（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形y ax b =++过换元将原函数转化为二次型函数．（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析．（7）判别式法：把函数解析式化为关于x 的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如y Ax B =+22ax bx cy dx ex f++=++的函数值域问题可运用判别式法（注意x 的取值范围必须为实数集R ）．（8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如d cx b ax y +++=或d cx b ax y +++=的函数，当ac >0时可利用单调性法．（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出y 的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法．（10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域．题型八：分段函数的应用例22．（2024·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知函数2(1),0()34,0f x x f x x x x +≤⎧=⎨-->⎩，则()()4f f -=（）A ．-6B ．0C ．4D ．6【答案】A【解析】由分段函数知：当0x ≤时，周期1T =，所以()()()44511346f f f -=-+==--=-，所以()()()()()466716f f f f f -=-=-+==-．故选：A例23．（2024·河南·统考模拟预测）已知函数()()1331,1,log 52,1,x x f x x x +⎧-≥⎪=⎨-+-<⎪⎩且()2f m =-，则()6f m +=（）A ．-16B ．16C ．26D ．27【答案】C【解析】当m 1≥时，()11231231m m f m m ++=-⇒-=-⇒=-⇒∈∅，当1m <时，()()32log 5224f m m m =-⇒-+-=-⇒=-，所以()()21623126f m f ++==-=，故选：C例24．（2024·全国·高三专题练习）已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，满足()()f a f a <-，则a 的取值范围是（）A ．()(),20,2-∞-B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()()2,00,2-⋃D ．()()2,02,-+∞ 【答案】D【解析】当a<0时，()()222,2f a a a f a a a =+-=--，所以()()2222f a f a a a a a <-⇔+<--，即220a a +<，解得20a -<<，当0a >时，()()222,2f a a a f a a a =-+-=-，所以()()2222f a f a a a a a <-⇔-+<-，即220a a ->，解得2a >，所以，a 的取值范围是()()2,02,-+∞ 故选：D变式12．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则使()()1f f x =的x 可以是（）A ．4-B ．1-C ．1D ．4【答案】BCD【解析】①当()0f x ≤时，由()()()21f x f f x ==，可得()0f x =，若0x ≤时，则()20xf x =>，此时()0f x =无解，若0x >时，由()2log 0f x x ==，解得1x =；②当()0f x >时，由()()()2log 1f f x f x ==，可得()2f x =或()12f x =.若0x ≤时，则()()20,1x f x =∈，由()122x f x ==可得=1x -，方程()2f x =无解，若0x >时，由()21log 2f x x ==可得x2x =，由()2log 2f x x ==可得14x =或4x =.综上所述，满足()()1f f x =的x的取值集合为12,,,424⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭.故选：BCD.变式13．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数()35,01,0x x f x x x x -+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若()52f f a ⎡⎤=-⎣⎦，则实数a 的值可能为（）A ．73B ．43-C ．1-D ．116【答案】ACD【解析】根据题意，函数()35,01,0x x f x x x x -+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，当0a ≥时，()35f a a =-+，其中当503a ≤≤时，()0f a ≥，此时()()533552f f a a =--+⎦+⎤=-⎡⎣，解可得56a =，符合题意；当53a >时，()0f a <，此时()()1535352f f a a a =-++=--+⎡⎤⎣⎦，解可得73a =或116，符合题意；当a<0时()1f a a a=+，必有()0f a <，此时()11512f f a a a a a⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭+⎡⎤⎣⎦，变形可得12a a +=-或12-，若12a a+=-，解可得1a =-，若112a a +=-，无解；综合可得：1a =-或56或73或116，分析可得选项可得：ACD 符合；故选：ACD ．【解题方法总结】1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内．。
2025届高考数学一轮总复习第3章函数与基本初等函数课时规范练12幂函数对勾函数及一次分式函数新人教
函数,则结合选项m的值可以为7,故选C.
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cos + 1
3.(2024·浙江余姚模拟)函数y=
的值域是( B )
2cos-1
A.(-∞,0]∪[4,+∞)
B.(-∞,0]∪[2,+∞)
C.[0,4]
D.[0,2]
1(2-1)+3
1
2-12Leabharlann 2 2-113
∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以
y∈(-∞,0]
4. (2024·山西阳泉模拟)图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xα
在第一象限内的图象,则解析式中指数α的值依次可以是
( D )
A.0.5,2,-1
B.-1,2,0.5
C.0.5,-1,2
D.-1,0.5,2
解析
1
在坐标系中,作直线 x= ,分别交曲线 C3,C2,C1 于 A,B,C 三点,则 yA<yB<yC,
称.依题意有x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=4×(1×2)=8,
y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8=4×(2×3)=24,故(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8)-
(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8)=24-8=16.
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2
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第二章基本初等函数（1）（基础训练）测试题 1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ） A ．2x y =B ．xx y 2= C ．)10(log ≠>=a a a y xa 且 D ．x a a y log = 2．下列函数中是奇函数的有几个（ ）①11x x a y a +=- ②2lg(1)33x y x -=+- ③x y x = ④1log 1a xy x +=-A ．1B ．2C ．3D ．43．函数y x =3与y x=--3的图象关于下列那种图形对称( ) A.x 轴 B.y 轴 C.直线y x = D.原点中心对称 4．已知13x x -+=，则3322x x -+值为（ ）A .B .C .D . -5．函数y =的定义域是（ ）A ．[1,)+∞ B.2(,)3+∞ C.2[,1]3 D.2(,1]36．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ）A . 60.70.70.7log 66<<B . 60.70.70.76log 6<<C ．0.760.7log 660.7<<D . 60.70.7log 60.76<< 7．若f x x (ln )=+34，则f x ()的表达式为（ ） A ．3ln x B ．3ln 4x + C ．3x e D ．34x e + 二、填空题1．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。
2．化简11410104848++的值等于__________。
3．计算：(log )log log 2222545415-++= 。
4．已知x y x y 224250+--+=，则log ()x xy 的值是_____________。
5．方程33131=++-x x的解是_____________。
6．函数1218x y -=的定义域是______；值域是______.7．判断函数2lg(y x x =+的奇偶性 。
三、解答题1．已知),0(56>-=a a x求xx xx a a a a ----33的值。
2．计算100011343460022++-++-lg .lg lg lg lg .的值。
3．已知函数211()log 1xf x x x+=--,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性。
4．（1）求函数21()log x f x -=的定义域。
（2）求函数)5,0[,)31(42∈=-x y xx的值域。
（综合训练）测试题一、选择题1．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( )A ．42 B ．22 C ．41 D ．21 2．若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(1,0)-和(0,1)，则( )A ．2,2a b ==B ．2a b == C ．2,1a b == D ．a b ==3．已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于（ ）A ．34 B ．8 C ．18 D ．21 4．函数lg y x =( )A ． 是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增; B.是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减 C.是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增; D ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 5．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg)(a f b a f xxx f 则若（ ） A ．b B ．b - C ．b 1 D ．1b-6．函数()log 1a f x x =-在(0,1)上递减，那么()f x 在(1,)+∞上（ ）A ．递增且无最大值B ．递减且无最小值C ．递增且有最大值D ．递减且有最小值二、填空题 1．若a x f xxlg 22)(-+=是奇函数，则实数a =_________。
2．函数()212()log 25f x x x =-+的值域是__________.3．已知1414log 7,log 5,a b ==则用,a b 表示35log 28= 。
4．设(){}1,,lg A y xy =, {}0,,B x y =,且A B =，则x = ；y = 。
5．计算：()()5log 22323-+ 。
6．函数x xe 1e 1y -=+的值域是__________.三、解答题1．比较下列各组数值的大小：（1）3.37.1和1.28.0；（2）7.03.3和8.04.3；（3）25log ,27log ,23982．解方程：（1）192327x x ---⋅= （2）649x x x +=3．已知,3234+⋅-=xx y 当其值域为[1,7]时，求x 的取值范围。
4．已知函数()log ()x a f x a a =-(1)a >，求()f x 的定义域和值域；（基础训练）测试题解析一、选择题1. D y x ==，对应法则不同；2,(0)x y x x=≠,log ,(0)a xy a x x ==>；log ()x a y a x x R ==∈2. D 对于111,()()111x x xx x xa a a y f x f x a a a--+++=-===----，为奇函数； 对于22lg(1)lg(1)33x x y x x--==+-，显然为奇函数；xy x =显然也为奇函数；对于1log 1ax y x+=-，11()log log ()11a a x x f x f x x x -+-==-=-+-，为奇函数；3. D 由y x =--3得3,(,)(,)x y x y x y --=→--，即关于原点对称；4. B1111122222()23,x x x x x x ---+=+-=+=331112222()(1)x x x x x x ---+=+-+=5. D 11222log (32)0log 1,0321,13x x x -≥=<-≤<≤ 6. D 600.700.70.70.766log 60<><=1，=1，当,a b 范围一致时，log 0a b >；当,a b 范围不一致时，log 0a b <注意比较的方法，先和0比较，再和1比较 7． D 由ln (ln )3434xf x x e =+=+得()34x f x e =+二、填空题 1．<<<123413589222222=====，而1324138592<<<<2. 1616=== 3. 2- 原式12222log 52log 5log 52log 52-=-+=--=-4. 0 22(2)(1)0,21x y x y -+-===且，22log ()log (1)0x x y ==5. 1- 33333,113x x x x x x ---⋅+===-+6. {}1|,|0,2x x y y ⎧⎫≠>≠⎨⎬⎩⎭且y 1 1210,2x x -≠≠；12180,1x y y -=>≠且 7. 奇函数22()lg(lg(()f x x x x x f x -=-=-=- 三、解答题1．解：x x x x a a a a --==+=222()222x x x x a a a a --+=+-=, 3322()(1)23x x x xx x x x x xa a a a a a a a a a-------++==-- 2．解：原式13lg 32lg 300=-+-+ 22lg 3lg 326=+-++=3．解：0x ≠且101xx+>-，11x -<<且0x ≠，即定义域为(1,0)(0,1)-；221111()log log ()11x x f x f x xxxx-+-=-=-+=--+-为奇函数；212()log (1)11f x x x=-+-在(1,0)(0,1)-和上为减函数。
4．解：（1）2102211,,13320x x x x x ->⎧⎪-≠>≠⎨⎪->⎩且，即定义域为2(,1)(1,)3+∞；（2）令24,[0,5)u x x x =-∈，则45u -≤<，5411()(),33y -<≤181243y <≤，即值域为1(,81]243。
（综合训练）测试题解析一、选择题1. A132311log 3log (2),log (2),2,8,,38a a a a a a a a a a a a ======2. A log (1)0,a b -=且log 1,2a b a b ===3. D令1666228(0),8(8)()log log x x x f f x x =>====4. B 令()lg ,()lg lg ()f x x f x x x f x =-=-==，即为偶函数 令,0u x x =<时，u 是x 的减函数，即lg y x =在区间(,0)-∞上单调递减 5. B 11()lg lg ().()().11x x f x f x f a f a b xx+--==-=--=-=--+则6． A 令1u x =-，(0,1)是u 的递减区间，即1a >，(1,)+∞是u 的递增区间，即()f x 递增且无最大值。
二、填空题1． 110 ()()22lg 22lg x x x x f x f x a a --+-=+++1(lg 1)(22)0,lg 10,10x x a a a -=++=+==（另法）：x R ∈，由()()f x f x -=-得(0)0f =，即1lg 10,10a a +== 2. (],2-∞- 2225(1)44,x x x -+=-+≥而101,2<<()21122log 25log 42x x -+≤=- 3. 2a a b-+ 141414143514log 28log 7log 5log 35,log 28log 35a b +==+= 1414141414141414141log log (214)1log 21(1log 7)27log 35log 35log 35log 35a a b+⨯++--=====+ 4. 1,1-- ∵0,0,A y ∈≠∴lg()0,1xy xy == 又∵1,1,B y ∈≠∴1,1x x =≠而，∴1,1x y =-=-且5. 15()()(32323215515--+=== 6. (1,1)- x x e 1e 1y -=+，10,111x y e y y +=>-<<-三、解答题 1．解：（1）∵ 3.301.71.71,>=2.100.80.81<=，∴3.31.7>1.28.0 （2）∵0.70.80.80.83.33.3,3.3 3.4<<，∴0.73.3<8.04.3（3）8293log 27log 3,log 25log 5,==332222233333log 2log log 3,log 3log log 5,22==<==>∴983log 25log 27.2<<2．解：（1）2(3)63270,(33)(39)0,330x xx x x ------⋅-=+-=+≠而 2390,33,x x ---==2x =-（2）22422()()1,()()103933x x x x +=+-=22()0,()33x x x >=∴=则3．解：由已知得143237,x x≤-⋅+≤即43237,43231x x x x ⎧-⋅+≤⎪⎨-⋅+≥⎪⎩得(21)(24)0(21)(22)0x xxx ⎧+-≤⎪⎨--≥⎪⎩ 即021x <≤，或224x≤≤∴0x ≤，或12x ≤≤。