角动量守恒与行星运动

Ep
(r)

E(const)
(3) 有效势能与轨道特征
因L是运动常量，故机械能守恒定律可写为：
E

1 2
m

dr dt
2

L2 2mr 2

Ep (r)

1 2
m
dr dt
2


Ep
(r)

const
Ep (r)为有效势能
Ep (r)

L2 2mr 2

Ep (r)
dt 2

来自百度文库
0

d dt

mr 2
d
dt


0
mr2 d L(const)
dt 有心力是保守力，质点机械能守恒
Ek

Ep

1 2
mvr2

1 2
mv2

Ep (r)

E(const)

1 2
m

dr dt
2

r2

d
dt
2

角动量
继续寻找运动状态中的不变量
课程回顾
• 角动量概念的引入
l r mv r p
L li ri mivi ri pi
i
i
i
• 质点系角动量定理
dL M dt
L l1 l2 ln, M M1 M2 Mn
角动量守恒定律：当外力对给定点的总外力矩之和 为零时，体系的角动量守恒。
体系的角动量与质心的角动量
设在惯性系 K 中，体系相对原点的角动量为 L。在
质心系 KC 中，体系相对于质心的角动量为 LCM，则有：
L ( ri mivi ) [(rC rCi ) mi (vC vCi )]
i
i

rC mivC rC mivCi rCi mivC rCi mivCi
即其运动规律满足：

d 2r dt 2

f
(r)eˆr
E

1 2
v2
U (r)
L r v
其中： eˆr r / r
质点在有心力场中的运动
• 有心力
所谓有心力，就是方向始终指向（或者背向）固定中心 的力
F f (r )eˆr
该固定中心称为力心。在许多情况下，有心力的大小 仅与考察点至力心的距离有关，即
eˆr方向
d 2r m dt2

r

d
dt
2


f
(r)
eˆ 方向
m
2
dr dt
d
dt
r
d 2
dt 2


0
(2) 两个守恒量
有心力对原点力矩为零，角动量守恒 对上式两边×r后再对时间积分得到：
m 2r

dr dt
d
dt

r2
d 2
u
u2

du
d
2E mh2

G2M h4
2
(u

GM h2
)2
D2

2E mh2

G2M 2 h4
,
D0
u u0 Dcos( 0)
d (u u0 ) d
D
1

u
u0 D
2


mh2 2r 2

Ep (r)
r2
hdr
d
2[E
Ep m
(r)]

h2 r2
1 du r2 dr

hdu
d
2[E Ep (r)] u2h2
m
如果有心力为万有引力的情况
mM Ep (r) G r GMmu

du
d
2
E mh2

2GM h2
dt
两个质点相对于质心的角动量为：
LC rC1 m1vC1 rC 2 m2vC2

m1m2 m1 m2
(r
vC1

r
vC2 )
m1m2 r v m1 m2
r v r p
两体问题
对于质量可以比拟的孤立两体问题，总可以把其中一个 物体看作固定力心，只要另一物体的质量用约化质量代替。 这就是说，无固定力心的两体问题等效于一质量为的质点在 固定力心的有心力作用下的运动。也就把两体问题化成单体 问题。
L2
2mr 2
为等效斥力,对应一斥力 mL2/r3 作用在质点上，Ep(r)视 具体的有心力形式而定。
如果只需要知道轨道特征而不求详细的运动情况，那么利
用:
d dt

d
dt
d
d

L mr 2
d
d

h r2
d
d
hL/m
掠面速度的两倍
得到： 令u=1/r
E

mh2 2r 4

dr
d
2
则有： i
i
L LC LCM
即：体系的角动量等于质心的角动量与体系相对于质心 的角动量之和。
两体问题下的角动量表达
两体运动方程：

d 2r dt 2
F
约化质量： m1m2
m1 m2
按照牛顿第二运动定律表述，动量变
化率为作用力，在两体问题中，动量
为：
p dr v

i
rC

mC vC

rC


mivC
i



mi rCi


vC

( rCi mivCi )
i
i

i
rC mCvC ( rCi mivCi ) i
令：LC rC mCvC rC pC
称为质心角动量
LCM ( rCi mivCi ) ( rCi pCi ) 称为体系相对于质心的角动量
质心系的角动量定理
设 LC 为质心系中体系对质心的角动量，MC为外力对质心的力矩， MC惯 为惯性力对质心的力矩。则有：
MC

M C惯

dLC dt
由于质心系是平动系，作用在各质点上的惯性力与质量成正比，方向 与质心加速度相反，对质心的力矩为：
MC惯 rCi (mia) ( mirCi )a 0
即：
MC

dLC dt
不论质心系是惯性系还是非惯性系，在质心系中，角动量定理仍然适用。
体系的角量与质心的角动量
虽然在质心系中角动量定理仍然适用，但体系 在质心系中相对质心的角动量与体系在惯性系中相 对原点的角动量并不相同。这一点应该是肯定的， 因为即使在惯性系中相对不同的点的角动量都不相 同，何况质心往往还是一个运动的点。
F f (r)eˆr
有心力存在的空间称为有心力场。如万有引力场、库仑 力场、分子力场。
在前面的课程中指出，有心力场都是保守力场。
有心力场质点运动的一般特征
在有心力场中，质点运动方程为：
d 2r m dt2

f
(r)eˆr
其特征为：
(1) 运动必定在一个平面上 – 有心力轨道定律
当质点的初速度给定后，质点只能在初速度与 初始矢径所构成的平面内运动。往往用平面极坐标 描述运动。取力心为原点，运动方程则为